BÁO CÁO TIỂU LUẬN Thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng bộ lọc ButterWorth và biến đổi song tuyến tính

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA PFIEV  BÁO CÁO TIỂU LUẬN Đề tài: Thiết kế lọc thông thấp IIR, sử dụng lọc ButterWorth biến đổi song tuyến tính GVHD : T.S NGƠ VĂN SỸ SVTH : MAI VŨ QUỐC BÌNH Lớp : 09CLC2 Đà Nẵng, 2012 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU PHẦN I: BỘ LỌC IIR VÀ BÀI TOÁN THIẾT KẾ I II Giới thiệu chung lọc IIR: Giới thiệu: 2 Hai cách tiếp cận: Thiết kế lọc IIR: III Các đặc điểm sơ bộ: Tỉ lệ tuyến tính tương đối: Các tính chất |Ha(jΩ)|2: PHẦN II: PHƢƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR I II Các đặc trƣng lọc Analog điển hình: Bộ lọc thông thấp Butterworth: Bộ lọc thông thấp Chebyshev: Bộ lọc thông thấp Ellipic: 11 Các đáp ứng pha lọc điển hình: 12 Các phép biến đổi lọc tƣơng tự thành lọc số 12 Biến đổi bất biến xung: 13 Biến đổi song tuyến tính: 15 III Biến đổi băng tần: 17 PHẦN III: CHƢƠNG TRÌNH THIẾT KẾ 20 I Tính tốn thiết kế: 20 II Thuật toán giải toán: 22 III Chƣơng trình Matlab: 23 Các hàm sử dụng chương trình: 23 Chương trình: 26 Kết quả: 28 Mô simulink: 31 PHẦN IV: ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ - KẾT LUẬN 35 I Chỉ tiêu kỹ thuật: 35 II Chất lƣợng lọc thực tế: 35 III Kết luận: 35 Báo cáo tiểu luận - - Xử lý tín hiệu số LỜI NĨI ĐẦU Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) trở thành môn học sở cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thơng, Tự động hố Xử lý tín hiệu số ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực thiết bị như: CD, VCD, DVD, camera, scanner, y khoa , hệ thống truyền hình số, thông tin địa lý, đồ số, viễn thông v.v Phép xử lý DSP lọc, hệ thống đề cập đến nhiều xử lý tín hiệu số lọc số (Digital Filter) Nếu xét đáp ứng xung chia lọc số thành loại lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite Impulse Response) cịn gọi lọc khơng đệ quy, lọc có đáp ứng xung vơ hạn IIR (Infinte Impulse Response) gọi lọc đệ quy Xét đáp ứng tần số biên độ chia lọc, FIR hay IIR, thành loại bản: thông thấp, thông cao, thông dải chắn dải Các lọc thiết kế phương pháp khác nhau, phương pháp có ưu điểm khuyết điểm riêng Trong khuôn khổ tiểu luận môn học này, em xin phép trình bày nội dung đề tài: Bài tốn thiết kế lọc thông thấp IIR, sử dụng lọc ButterWorth biến đổi song tuyến tính Nội dung tiểu luận chia thành phần: - Phần I: Bộ lọc IIR toán thiết kế - Phần II: Phương pháp thiết kế lọc IIR - Phần III: Chương trình thiết kế - Phần IV: Đánh giá kết - kết luận Em xin trân trọng cảm ơn thầy giáo TS Ngơ Văn Sỹ tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức quý giá, cung cấp tài liệu tham khảo bảo phương pháp làm việc khoa học Trong trình làm tiểu luận cố gắng song chắn không tránh khỏi sai sót Rất mong nhận góp ý Thầy để nội dung tiểu luận hoàn chỉnh Đà Nẵng, ngày 21 tháng 11 năm 2012 Sinh viên thực Mai Vũ Quốc Bình Mai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang Báo cáo tiểu luận - - Xử lý tín hiệu số PHẦN I: BỘ LỌC IIR VÀ BÀI TOÁN THIẾT KẾ I Giới thiệu chung lọc IIR: Giới thiệu:  Bộ lọc IIR có đáp ứng xung vơ hạn, chúng khớp với lọc analog, mà nói chung có đáp ứng xung dài vô hạn  Kỹ thuật để thiết kế lọc IIR biến đổi lọc analog điển hình (wellknown) thành lọc digital sử dụng ánh xạ giá trị-phức  Sự thuận tiện kỹ thuật chỗ có sẵn bảng thiết kế lọc analog (AFD) ánh xạ mở rộng thư viện  Các kỹ thuật gọi phép biến đổi lọc A/D  Tuy nhiên, bảng AFD dùng cho lọc thông thấp Trong ta cần thiết kế lọc chọn tần khác (thông cao, thông dải, chắn dải, v.v…)  Cần áp dụng phép biến đổi băng tần lọc thông thấp Các phép biến đổi gọi ánh xạ giá trị-phức, chúng có sẵn thư viện Hai cách tiếp cận: 2.1 Cách 1, đƣợc sử dụng Matlab Design analog lowpass filter Apply freq band transformation s→s Apply filter transformation s→z Desired IIR filter 2.2 Cách 2, đƣợc sử dụng để học tập, nghiên cứu Design analog lowpass filter Mai Vũ Quốc Bình Apply filter transformation s→z Lớp 09CLC2 Apply freq band transformation z→z Desired IIR filter Trang Báo cáo tiểu luận - - Xử lý tín hiệu số II Thiết kế lọc IIR: Apply filter transformation s→z Design analog lowpass filter Apply freq band transformation z→z Desired IIR filter  Thiết kế lọc thông thấp analog  Nghiên cứu áp dụng phép biến đổi lọc để thu lọc số thông thấp  Nghiên cứu áp dụng phép biến đổi băng tần để thu lọc số khác từ lọc số thông thấp Các vấn đề tồn tại:  Không điều khiển đặc tính pha lọc IIR  Các thiết kế lọc IIR xử lý thiết kế biên độ III Các đặc điểm sơ bộ: Tỉ lệ tuyến tính tƣơng đối:  Ha(jΩ) đáp ứng tần số lọc tương tự  Các đặc trưng lọc thông thấp đáp ứng bình phương biên độ cho bởi:  H a ( j)  1, 1   H a ( j )  , A   p  s   Trong đó:  ε thơng số gợn sóng dải thông  ΩP tần số cắt dải thông (rad/s)  A tham số suy hao dải chắn  ΩS tần số cắt dải chắn (rad/s) H a ( j)  1  2 H a ( j)  at    P A2 at   S Các thông số kỹ thuật lọc thông tấp Analog Mai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang Báo cáo tiểu luận  - - Xử lý tín hiệu số Các hệ thức ε, A, Rp, As, δ1 δ2 Rp 10    10 1  2 As As  10 log10  A  10 20 A 1  1    1 1   1 R p  10 log10 2   1 A  A  1 2 Các tính chất |Ha(jΩ)|2: Các đặc trưng lọc Analog cho theo hệ số đáp ứng bình phương độ lớn, khơng bao hàm thơng tin pha Do để đánh giá hàm truyền hệ thống Ha(s) miền-s ta xét: H a ( j)  H a (s) s  j Sau ta có: H a ( j)  H a ( j) H a* ( j)  H a ( j) H a ( j)  H a ( s) H a (s) s  j Hay: H a ( s) H a (s)  H a ( j) 2  s / j Vì điểm cực điểm khơng hàm bình phương biên độ phân bố theo đối xứng ảnh-gương xét theo trục jΩ Đối với lọc thực, điểm cực điểm không xuất theo cặp liên hợp phức (hoặc đối xứng ảnh-gương theo trục thực) Từ mẫu xây dựng Ha(s), hàm truyền hệ thống lọc analog Ta muốn Ha(s) để biểu diễn lọc nhân ổn định Khi tất điểm cực Ha(s) nửa mặt phẳng bên trái Như ta gán tất điểm cực nửa-trái Ha(s)Ha(-s) lên Ha(s) Hoặc chọn điểm không Ha(s)Ha(-s) nằm bên cạnh trục jΩ điểm không Ha(s) Bộ lọc kết gọi lọc pha-tối thiểu Mai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang Báo cáo tiểu luận - - Xử lý tín hiệu số PHẦN II: PHƢƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR Như nói phần trước, kỹ thuật thiết kế lọc IIR dựa lọc Analog có để thu lọc số Chúng ta thiết kế lọc Analog theo lọc điển hình Ở phần này, ta tìm hiểu phần sau: Các đặc trưng phương pháp thiết kế lọc thơng thấp Analog điển hình Các phép biến đổi lọc để thu lọc số thông thấp từ lọc Analog Các phép biến đổi băng tần để thu lọc số khác từ lọc số thông thấp I Các đặc trƣng lọc Analog điển hình: Có ba kiểu lọc Analog điển hình sử dụng rộng rãi thực tế: - Thông thấp Butterworth - Thông thấp Chebyshev (Kiểu I II) - Thông thấp Elliptic Bộ lọc thông thấp Butterworth: 1.1 Các đặc trƣng:  Bộ lọc đặc trưng tính chất đáp ứng biên độ phẳng dải thông dải chắn  Đáp ứng bình phương-biên độ lọc thơng thấp bậc-N: H a ( j)     1    C  2N ΩC tần số cắt (rad/s)  Đồ thị đáp ứng bình phương-biên độ: H a ( j) Mai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang Báo cáo tiểu luận - - Xử lý tín hiệu số  Từ đồ thị ta có nhận xét:  |Ha(0)|2 =1 với N  |Ha(jΩc)|2 =0.5 với N (hệ số suy giảm 3dB Ωc)  |Ha(jΩ)|2 đơn điệu giảm theo Ω  Tiến đến lọc lý tưởng N → ∞  Xác định hàm truyền hệ thống Ha(s): H a ( s) H a ( s)  H a ( j)  s / j   s  1    j C  Các điểm cực: pk  (1) N ( jC )  C e 2N  ( j C ) N ( j C ) N  2N s N  ( j C ) N  (s  pk ) k 1 j 2N (2 k  N 1) , k  0,1, , N 1  Nhận xét điểm cực H a (s) H a (s) :  Có 2N điểm cực phân bố đặn đường tròn bán kính ΩC với khoảng cách góc π / N radians  Với N lẻ, pk  C e jk / N , k  0,1, , N    k  j    2N N   Với N chẵn, pk  C e , k  0,1, , N   Đối xứng theo trục ảo  Một điểm cực không rơi vào trục ảo, rơi vào trục thực N lẻ  Một lọc ổn định nhân Ha(s) xác định cách chọn điểm cực nửa mặt phẳng trái, Ha(s) viết dạng: H a ( s)  C N N  ( s  pk ) LHP poles Thi hành Matlab:    Hàm [z,p,k] = buttap(N)  Để thiết kế lọc Analog Butterworth chuẩn hoá (ΩC = 1) bậc N  z: zeros; p: poles; k: gain value Hàm [b,a] = u_buttap(N,Omegac)  Để thiết kế lọc Analog Butterworth chưa chuẩn hoá với ΩC tùy ý, bậc N  Cung cấp cấu trúc dạng trực tiếp với: b tử thức, a mẫu thức Hàm [C,B,A] = sdir2cas(b,a)  Chuyển đổi dạng trực tiếp thành dạng ghép tầng Mai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang Báo cáo tiểu luận - - Xử lý tín hiệu số 1.2 Các phƣơng trình thiết kế: Bộ lọc thông thấp analog đặc trưng thông số P , RP , S AS Vì ưu điểm thiết kế trường hơp lọc Butterworth thu bậc N tần số cắt C Chúng ta muốn:     Tại   P ,  10log10 H a ( j)  RP hay: 10 log10  2N  1   P     C        RP        Tại   S ,  10log10 H a ( j)  AS hay: 10 log10  2N  1   S     C        AS    Giải phương trình ta thu được:      log10 10 RP 10  1 10 AS 10   Bậc N    log10   P  S    Tần số cắt C :   P - Để đáp ứng thông số kỹ thuật  P : C  2N 10 RP 10 S - Để đáp ứng thông số kỹ thuật  S : C  2N 10 AS 10  1  1 Thi hành Matlab:  Hàm [b,a] = afd_butt(Wp,Ws,Rp,As)  Để thiết kế lọc thông thấp analog Butterworth, cho tiêu  Hàm [db,mag,pha,w] = freqs_m(b,a,wmax)  Đáp ứng biên độ tuyệt đối tương đối theo thang dB đáp ứng pha  Hàm [ha,x,t] = impulse(b,a)  Đáp ứng xung ha(t) lọc Analog Phần giới thiệu thêm lọc thơng thấp điển hình khác: Chebyshev, Ellipic, giới hạn yêu cầu tiểu luận nên không sâu lọc Butterworth Mai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang Báo cáo tiểu luận - - Xử lý tín hiệu số Bộ lọc thông thấp Chebyshev: - Các lọc Chebyshev-I: Có đáp ứng cân gợn sóng dải thơng - Các lọc Chebyshev-II: Có đáp ứng cân gợn sóng dải chắn - Các lọc Butterworth: Có đáp ứng đơn điệu hai dải - Lưu ý chọn lọc cân gợn sóng thay lọc đơn điệu, ta thu lọc có bậc-thấp Vì lọc Chebyshev cho bậc thấp so với lọc Buttworth có tiêu 2.1 Bộ lọc Chebyshev I:  Đáp ứng bình phương biên độ: H a ( j )     2TN2    c  Trong đó: N bậc lọc ε hệ số gợn sóng dải thơng  Đa thức Chebyshev bậc N  cos  N cos 1 ( x)  ,  x   TN ( x)   1  cosh  cosh ( x)  ,  x   x   C  Với < x < 1, TN(x) dao động –1  Với < x < ∞, TN(x) tăng đơn điệu đến vô Hai dạng đồ thị đáp ứng bình phương-biên độ (N lẻ N chẵn) Nhận xét:  Tại x = (hoặc Ω = 0) H a ( j 0)  H a ( j 0)  Mai Vũ Quốc Bình 1  2 ( N odd ) ( N even) Lớp 09CLC2 Trang Báo cáo tiểu luận - - Xử lý tín hiệu số Suy đáp ứng bình phương biên độ: H a ( j )   1    c  2N     1    1.08  220  H a ( s ) H a (  s )  H a ( j )  1 ( s / j ) 40 1.0840   1 1 40 40 1.08  s / j 1 1 s 40 1.0840 S10 S20 S1 S40 S30  H a ( j)  H a ( s)  1.0820 ( s  s11 )( s  s12 ) ( s  s29 )(s  s30 ) Trong s11 , s12 s29 , s30 nghiệm mẫu thức H a (s) H a (s) nửa mặt phẳng bên trái Xác định H(z):   z 1    z 1  H ( z)  H a   H  a 2 1   T  z 1   1 z   T 1  Như ta nhận H(z) hàm hữu tỉ theo z-1 Phần giới thiệu thuật tốn chương trình thực Mai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 21 Báo cáo tiểu luận - - Xử lý tín hiệu số II Thuật toán giải toán Begin MỞ RỘNG Nhập tiêu ωp, ωs, As, Rp Đưa tín hiệu vào x với F f max  S Fs = 1000; T = 1/Fs   P  tan p T   S  tan s T Filter (vừa thiết kế) Tín hiệu đầu y Tính Ha(s) [cs, ds]  afd _ butt (P , S , RP , AS ) Phân tích phổ tín hiệu x y dùng biến đổi FFT Biến đổi song tuyến tính thu đƣợc H(z) - Dạng trực tiếp: [b, a]  bilinear (cs, ds, FS ) - Dạng ghép tầng: [C, B, A]  dir 2cas(b, a) Tính đáp ứng biên độ [db, mag , pha, grd , w]  freqz _ m(b, a) - Vẽ đồ thị: - Tín hiệu vào theo thời gian - Tín hiệu theo thời gian - Phổ tín hiệu vào - Phổ tín hiệu Tính giá trị As Rp thực tế - Vẽ mặt phẳng nghiệm phức s-plane z-plane - Vẽ đáp ứng biên độ, pha lọc thiết kế - Vẽ ha(t) h(n) END Mai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 22 Báo cáo tiểu luận - - Xử lý tín hiệu số III Chƣơng trình Matlab: Các hàm sử dụng chƣơng trình: Hàm [cs,ds] = afd_butt(OmegaP,OmegaS,Rp,As) Để thiết kế lọc thông thấp analog Butterworth, cho tiêu function [b,a] = afd_butt(Wp,Ws,Rp,As); % Analog Lowpass Filter Design: Butterworth % % [b,a] = afd_butt(Wp,Ws,Rp,As); % b = Numerator coefficients of Ha(s) % a = Denominator coefficients of Ha(s) % Wp = Passband edge frequency in rad/sec; Wp > % Ws = Stopband edge frequency in rad/sec; Ws > Wp > % Rp = Passband ripple in +dB; (Rp > 0) % As = Stopband attenuation in +dB; (As > 0) % if Wp