PT đường trong tam giác năm 2008

Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. - Trang 1 - Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập – Tự do – Hạnh phúc *** ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Tên đề tài: ĐỀ XUẤT VÀ GIẢI QUYẾT MỘT LỚP CÁC BÀI TOÁN VỀ GIẢI TAM GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 2. Lý do chọn đề tài: Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Hình Học 12, các em học sinh được tiếp cận với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian. Với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng các em được trang bị một số kiến thức và bài toán cơ bản về lập phương trình một đường thẳng như: Lập phương trình đường thẳng qua 2 điểm, lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ chỉ phương, lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ pháp tuyến,… Do vậy nếu gặp một bài toán đã có đầy đủ giả thiết của các bài toán cơ bản thì các em chỉ cần áp dụng công thức là có ngay kết quả, song trong thực tế các kỳ thi hết cấp và thi tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng - THCN, các em có thể gặp phải 1 lớp các bài toán về giải tam giác trong mặt phẳng (tức là phải xác định các đỉnh, trung điểm, trọng tâm, trực tâm; lập phương trình các cạnh, các đường cao, các đường trung tuyến, trung trực và phân giác,…của tam giác khi đã biết một số các yếu tố tương ứng) và thực tế là khi gặp các bài toán dạng này chỉ có 1 số ít các em học sinh biết phương pháp giải, song cách trình bày và các lời giải còn chưa gọn gàng, sáng sủa. Tại sao lại như vậy? Lý do chính ở đây có thể là: trong chương trình SGK Hình Học 12 hiện hành, kiến thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được trình bày ở nửa đầu của học kì I và lượng các bài tập dạng này chưa được đề cập thường xuyên trong sách giáo khoa hoặc có thể chưa đề cập đến. Mặt khác nếu như trong các giờ dạy của mình, các thầy cô giáo không đưa thêm các bài tập dạng này và phương pháp giải tương ứng thì các em học sinh không thể giải được 1 lớp các bài toán nói trên. Với lý do đó, cùng với kinh nghiệm của mình sau 1 thời gian giảng dạy và bồi dưỡng kiến thức cho học sinh tôi đã khai thác, tổng kết, hệ thống hóa lại các kiến thức cơ bản cùng với các kết quả đã giải quyết được thành 1 chuyên đề về “Xác định các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các yếu tố đã biết bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” và tạm đặt với tên gọi: “Đề xuất và giải quyết một lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. - Trang 2 - mặt phẳng” để cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp và làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải 1 lớp các bài toán về giải tam giác trong mặt phẳng. 3. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài: Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 12 hệ THPT, khối 10(theo chương trình CCGD) và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán. Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể. Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một khối lượng rất lớn các bài toán ( hơn 70 bài toán tổng quát) với tương ứng các bài tập tự luyện. Sau mỗi bài toán tác giả đều có những nhận xét giúp bạn đọc có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng và sáng sủa nhất./. Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. - Trang 3 - Phần thứ hai QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I. KHẢO SÁT THỰC TẾ: Có rất nhiều cách khác nhau để tiếp cận và tìm hiểu kiến thức thực tế của học sinh trước khi thực hiện đề tài. Khi giảng dạy trên lớp cũng như bồi dưỡng học sinh, tôi đã đưa vào một số bài toán sau( các câu hỏi trong mỗi bài toán được đưa ra theo trật tự: giải xong câu hỏi này sẽ đặt vấn đề để có câu hỏi tiếp theo) nhằm kiểm tra kiến thức của các em học sinh. Bài toán 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(2, 3), B(4, -1), C(4, 5) a). Lập phương trình các cạnh AB, BC, CA của tam giác? b). Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác? c). Lập phương trình các đường trung bình của tam giác? d). Lập phương trình các đường cao của tam giác? e). Lập phương trình các đường trung trực của tam giác? f). Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC? g). Lập phương trình đường phân giác ngoài của góc B của tam giác ABC? h). Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC? i). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC? Bài toán 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, biết đỉnh B(-4,-5) và 2 đường cao có phương trình lần lượt là: 5x+3y-4 = 0, 3x+8y+13 = 0. a). Lập phương trình đường cao còn lại của tam giác? b). Tìm tọa độ 2 đỉnh A và C của tam giác? c). Lập phương trình 3 cạnh của tam giác? Bài toán 3: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, lập phương trình các đường phân giác trong còn lại của tam giác ABC, biết đỉnh A(1, 2), phân giác trong của góc B và trung tuyến từ đỉnh C có phương trình lần lượt là: x – y - 3 = 0, x + 4y + 9 = 0. *Với bài toán 1: thì các câu hỏi a), b), c), d), e), h) là tương đối cơ bản bởi đây chính là các bài toán đã có phương pháp giải tổng quát: - câu a, b, c): sử dụng phương trình đường thẳng qua 2 điểm. - câu d, e): sử dụng phương trình đường thẳng qua điểm và có vectơ pháp tuyến. - câu h): tọa độ trọng tâm G có thể tính được theo tọa độ 3 đỉnh A, B, C hoặc giải hệ phương trình tạo bởi các đường trung tuyến đã lập được trong câu b). Còn tọa độ trực tâm H tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các đường cao. - câu f), g): là tương đối khó với các em học sinh, không phải đơn giản để học sinh nào cũng có thể giải được kể cả các em có lực học khá. - câu i): Tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác có thể tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các trung trực của tam giác, còn tâm J của đường tròn nội Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. - Trang 4 - tiếp có thể tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các đường phân giác trong của các góc trong tam giác( ngoài phương pháp này còn có các cách giải khác nữa). *Với bài toán 2: rõ ràng bài toán này bắt đầu buộc học sinh phải tư duy để xác định được 2 đường cao đã cho được xuất phát từ đỉnh nào của tam giác( ở đây có thể thấy rằng tọa độ đỉnh B không thỏa mãn 2 PT đường cao đã cho nên ta có thể đặt: (h A ) 5x + 3y - 4 = 0, và (h C ) 3x + 8y + 13 = 0), sau khi đã xác định rõ ràng được giả thiết của bài toán thì nói chung yêu cầu của bài toán 2 không khó khăn gì nữa(bởi đây cũng là các bài toán cơ bản). *Với bài toán 3: đây là bài toán có lẽ là khó nhất trong 3 bài toán bởi để giải quyết được bài toán này phải sử dụng đến việc xác định điểm đối xứng của điểm qua đường( phải giải quyết 2 bài toán trung gian để có kết quả). Đến đây hẳn các bạn đọc cũng đã nhận thấy rằng việc hệ thống kiến thức cùng với việc đưa ra và giải quyết một lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là thật cần thiết phải không?. II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI. 1. Các dạng phương trình đường thẳng: 1.1. Phương trình tổng quát: a). Dạng: Ax + By + C = 0, (d) (điều kiện: A 2 + B 2  0). b). Nhận xét: - Đường thẳng d có Vtpt n =(A; B). - Nếu d có Vtpt n =(A; B) thì d có phương trình dạng: Ax + By + m = 0 - Điểm M(x 0 ; y 0 )  d  Ax 0 + By 0 + C = 0. - Nếu A = 0, B  0, thì d có PT dạng: By + C = 0 (d // hoặc trùng Ox). - Nếu A  0, B = 0, thì d có PT dạng: Ax + C = 0 (d // hoặc trùng Oy). - Nếu C = 0, thì d có PT dạng: Ax + By = 0 (d đi qua gốc tọa độ O(0; 0)). - Nếu B  0 thì d có PT dạng: y = - B A x - B C ; khi đó giá trị k = - B A được gọi là hệ số góc của đường thẳng d. 1.2. Phương trình tham số: a). Dạng: )( 0 0 Rt btyy atxx       , (d) (điều kiện: a 2 + b 2  0) b). Nhận xét: - Đường thẳng d có Vtcp u =(a; b) và đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ). - Với mỗi giá trị t = t 0 tùy ý, ta có M(x 0 + at 0 ; y 0 + bt 0 )  d. - Nếu d có Vtcp u =(a; b) thì d có PTTQ dạng: bx – ay + m = 0. - Khử t trong PTTS của d ta có được PTTQ ; ngược lại đặt x =f(t) ( hoặc y = f(t)) trong PTTQ ta sẽ có được PTTS của d. 1.3. Phương trình chính tắc: a). Dạng: b yy a xx 00    (d), (điều kiện a.b  0). b). Nhận xét: - Đường thẳng d có Vtcp u =(a; b) và đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ). Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. - Trang 5 - - Rút t từ PTTS ta được PTCT; Thu gọn PTCT của d ta được PTTQ. - Nếu d có Vtcp u =(a; b) mà a.b = 0 thì d không có phương trình chính tắc. - Quy ước: nếu a = 0 thì d có PT: x – x 0 = 0, nếu b = 0 thì d có PT: y – y 0 = 0. 1.4. Phương trình đoạn chắn: a). Dạng: 1 b y a x (d), (điều kiện a.b  0). b). Nhận xét: - PTĐC là dạng đặc biệt của PTTQ của d. - Đường thẳng d có Vtpt n =(1/a; 1/b) và cắt Ox tại A(a; 0), cắt Oy tại B(0; b). 1.5. Phương trình pháp dạng: a). Dạng: Ax + By + C = 0, (d) (điều kiện: A 2 + B 2 = 1). b). Nhận xét: - PTPD là dạng đặc biệt của PTTQ của d. 2. Một số bài toán cơ bản về viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng: 2.1. Bài toán 1: Đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ chỉ phương. Đường thẳng d đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ) và có véc tơ chỉ phương u =(a; b) sẽ có phương trình dạng: - Chính tắc: b yy a xx 00    (nếu a.b  0) - Tham số: )( 0 0 Rt btyy atxx       - Tổng quát: b(x – x 0 ) – a(y – y 0 ) = 0, hoặc: – b(x – x 0 ) + a(y – y 0 ) = 0. Chú ý: - Nếu d có Vtcp u =(a; b) thì d có Vtpt n =(b; - a) hoặc n =(- b; a). - Nếu d có Vtcp u =(a; b) thì d có PTTQ dạng: bx – ay + m = 0. 2.2. Bài toán 2: Đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ pháp tuyến. Đường thẳng d đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ) và có véc tơ pháp tuyến n =(A; B) sẽ có phương trình dạng: - Tổng quát: A(x – x 0 ) + B( y – y 0 ) = 0. - Tham số: )( 0 0 Rt Atyy Btxx       hoặc: )( 0 0 Rt Atyy Btxx       - Chính tắc: A yy B xx     00 hoặc: A yy B xx 00     (nếu A.B  0) Chú ý: - Nếu d có Vtpt n =(A; B) thì d có Vtcp u =(B; - A) hoặc n =(- B; A). - Nếu d có Vtpt n =(A; B) thì d có PTTQ dạng: Ax + By + m = 0 2.3. Bài toán 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc. Đường thẳng d đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ) và có hệ số góc k sẽ có phương trình dạng: y = k(x – x 0 ) + y 0 Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì d có phương trình dạng: y = kx + m. Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. - Trang 6 - 2.4. Bài toán 4: Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ) sẽ có phương trình: 12 1 12 1 yy yy xx xx      Chú ý: - Đường thẳng d qua A, B sẽ có véc tơ chỉ phương AB = (x 2 – x 1 ; y 2 – y 1 ). - Đường thẳng d qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) sẽ có phương trình dạng: 1 b y a x 2.5. Bài toán 5: Đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng. Đường thẳng d qua giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau d 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 và d 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 sẽ có phương trình dạng: m(A 1 x + B 1 y + C 1 ) + n(A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0. (điều kiện: m 2 + n 2  0) Chú ý: Sử dụng phương pháp này ta không phải tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng. 2.6. Bài toán 6: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. Đường thẳng d song song với đường thẳng: Ax + By + C = 0 sẽ có phương trình dạng: Ax + By + m = 0. Chú ý: Nếu d song song với đường thẳng: y = kx + m thì đường thẳng d có phương trình dạng: y = kx + n. (Do hai đường thẳng song song có hệ số góc k bằng nhau). 2.7. Bài toán 7: Đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng: Ax + By + C = 0 sẽ có phương trình dạng: Bx – Ay + m = 0 ( hoặc: – Bx + Ay + m = 0 ) Chú ý: Nếu d vuông góc với đường thẳng: y = kx + m thì đường thẳng d có phương trình dạng: y = k 1  x + n. (Do hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc k bằng-1). 2.8. Bài toán 8: Đường thẳng tạo với đường thẳng cho trước một góc  . Đường thẳng d tạo với đường thẳng: y = k 1 x + m 1 một góc  , sẽ có hệ số góc k được xác định bởi công thức: 1 1 .1 kk kk tg     . Chú ý: Giải phương trình trên ta tìm được hệ số góc k và quay về bài toán 3. 2.9. Hệ quả của bài toán 7: a). Hệ quả 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng d. Cách giải: - Lập PT đường thẳng  qua điểm A và vuông góc với d. - Điểm H cần tìm chính là giao điểm của d và  . b). Hệ quả 2: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua đường thẳng d. Cách giải: - Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên d (hệ quả 1). - Điểm A’ cần tìm được xác định bởi: H là trung điểm của AA’. Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. - Trang 7 - 3. Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Để tiện cho quá trình đặt và giải quyết các bài toán về tam giác trong mặt phẳng (xác định các yếu tố chưa biết thông qua các yếu tố đã biết của tam giác), ta sẽ gọi đó là quá trình giải một bài toán tam giác (hay là giải tam giác) trong mặt phẳng và ta coi như bài toán được giải quyết xong nếu như xác định được tọa độ 3 đỉnh hoặc phương trình ba cạnh của tam giác đó, các bài tập áp dụng phương pháp giải của các bài toán được đưa ra trong phần bài tập tự luyện. Trong tài liệu này ta cũng sử dụng một số kí hiệu sau:  A, B, C: các đỉnh của tam giác ABC.  AB, BC, CA: cạnh và phương trình các cạnh của tam giác ABC.  h A , h B , h C : phương trình các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C.  m A , m B , m C : phương trình các đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C.  l A , l B , l C : phương trình các đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C.  t AB , t AC , t BC : phương trình các đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC.  S, p: lần lượt là diện tích, nửa chu vi của tam giác ABC.  R, r: lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC.  G, H: lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC.  M = d 1 x d 2 : Tọa độ M là giao điểm của d 1 và d 2 . 3.1. Bài toán 1: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh A, B, C? Nhận xét: đây là bài toán cơ bản nhất về giải tam giác, do đó ta có thể dễ dàng giải quyết được một số yêu cầu của giả thiết như: - Lập phương trình cạnh AB: qua 2 điểm A và B. - Lập phương trình đường cao h A : qua A và vó vectơ pháp tuyến BC . - Lập phương trình đường trung tuyến m B : qua B và trung điểm của AC. - Lập phương trình trung trực của cạnh AB: qua trung điểm AB và  AB. - Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là trung bình cộng tọa độ 3 đỉnh A, B, C. 3.2. Bài toán 2: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 trung điểm M, N, P của 3 cạnh AB, BC, CA? Phương pháp: - Cạnh AB qua M và có vectơ chỉ phương là NP . - Cạnh CB qua N và có vectơ chỉ phương là MP . - Cạnh AC qua P và có vectơ chỉ phương là NM . Nhận xét: Ta có thể sử dụng công thức tọa độ trung điểm để lập hệ PT có ẩn là tọa độ của 3 đỉnh để có kết quả. 3.3. Bài toán 3: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 3 cạnh AB, BC, CA của tam giác? Nhận xét: đây cũng là bài toán cơ bản về giải tam giác, do đó ta có thể dễ dàng giải quyết được một số yêu cầu của giả thiết như: - Đỉnh A, B, C lần lượt là giao điểm của AB và AC; của AB và BC; của AC và BC. - Đường cao h A qua giao điểm của AB, AC đồng thời vuông góc với BC. Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. - Trang 8 - 3.4. Bài toán 4: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 chân đường phân giác trong M, N, P của các góc A, B, C? Phương pháp: - Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp  MNP. - Lập phân giác trong l A qua M, I và phân giác l B qua N, I. - Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua l A . - Cạnh AB qua 2 điểm P, N’  B = l B x AB và A = l A x AB. - Cạnh AC qua A,N và cạnh BC qua B, M. Chú ý: Ta có thể lập hai cặp phân giác khác và làm tương tự như trên. 3.5. Bài toán 5: Giải tam giác nhọn ABC khi biết tọa độ 3 chân đường cao M, N, P hạ từ các đỉnh A, B, C? Phương pháp: - Gọi H là trực tâm của tam giác ABC  H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP.  Phân giác ngoài của góc MPN là PT cạnh AB. - Lập phân giác của góc MPN(được 2 PT). - Chọn phân giác ngoài  cạnh AB. * Tương tự có lập được phương trình các cạnh AC và BC. 3.6. Bài toán 6: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ của 1 đỉnh và 2 trung điểm? Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau: - Dạng 1: 1 đỉnh và trung điểm của 2 cạnh kề với đỉnh đó(ví dụ: A + M + P). - Dạng 2: 1 đỉnh và trung điểm của 1 cạnh kề và trung điểm của 1 cạnh đối với đỉnh đó(ví dụ: A + M + N). Phương pháp: Để giải bài toán này ta sử dụng công thức về tọa độ trung điểm sẽ xác định được tọa độ 2 đỉnh còn lại. 3.7. Bài toán 7: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh còn lại? Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + m A + m B - Ta có tọa độ trọng tâm G = m A x m B . - Tọa độ trung điểm M của BC xác định từ hệ thức: MGMA 2 . - Biểu diễn tọa độ B, C theo tham số( vì B  m B , C  m C ). m B M m C C B A G P N M C B A A P N M C B H N N’ P M C A B Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. - Trang 9 - - Do M là trung điểm BC  MCBM   tham số  tọa độ B,C. Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu như giả thiết của bài toán cho 1 đỉnh và 2 trung tuyến trong đó có 1 trung tuyến xuất phát từ đỉnh đã cho. 3.8. Bài toán 8: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường cao hạ từ 2 đỉnh còn lại? Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + h C + h B - Cạnh AB qua đỉnh A và  h C . - Cạnh AC qua đỉnh A và  h B . - Đỉnh B = AB x h B ; Đỉnh C = AC x h C . Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu như giả thiết của bài toán cho 1 đỉnh và 2 đường cao trong đó có 1 đường cao xuất phát từ đỉnh đã cho. 3.9. Bài toán 9: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung trực? Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau: - Dạng 1: 1 đỉnh và 2 đường trung trực của 2 cạnh kề với đỉnh đó(ví dụ: A + t AC + t AB ). - Dạng 2: 1 đỉnh và trung trực của 1 cạnh kề và trung trực của 1 cạnh đối với đỉnh đó(ví dụ: A + t AB + t BC ). Phương pháp: Ta xét dạng 1, với dạng 2 được xét tương tự: - Cạnh AB qua đỉnh A và  t AB  M = AB x t AB - Cạnh AC qua đỉnh A và  t AC  P = AC x t AC - Đỉnh B và C được xác định từ kết quả M là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC. 3.10. Bài toán 10: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và 2 đường phân giác trong xuất phát từ 2 đỉnh còn lại? Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + l C + l B - Gọi A 1 , A 2 lần lượt là điểm đối xứng của A qua l C và l B .  A 1 , A 2  BC. (xem hệ quả 2.9) - Cạnh BC qua A 1 , A 2 . - Đỉnh B = BC x l B , đỉnh C = BC x l C . Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu như giả thiết của bài toán cho 1 đỉnh và 2 đường phân giác trong, trong đó có 1 phân giác trong xuất phát từ đỉnh đã cho. A 1 A 2 l C l B C B A P N M C B A h C h B C B A Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. - Trang 10 - 3.11. Bài toán 11: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và tọa độ 2 chân đường cao? Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau: - Dạng 1: 1 đỉnh và 2 chân đường cao thuộc 2 cạnh kề với đỉnh đó (ví dụ: A + N + P). - Dạng 2: 1 đỉnh và 2 chân đường cao, trong đó có 1 chân đường cao hạ từ đỉnh đã cho (ví dụ: A + M + P). Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự. - Cạnh AB qua 2 điểm A, P. - Cạnh AC qua 2 điểm A, N. - h B qua N và  AC  B = h B x AB. - h C qua P và  AB  C = h C x AC. 3.12. Bài toán 12: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 2 đỉnh và tọa độ 1 trung điểm(hai đỉnh và trung điểm không thẳng hàng)? Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A, B, N. - Tọa độ đỉnh C được xác định bởi hệ thức: NCBN  Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu giả thiết cho 2 đỉnh A, B và trung điểm M của AB. 3.13. Bài toán 13: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 2 đỉnh và phương trình 1 đường trung trực của cạnh không qua 2 đỉnh đã cho? Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A, B, t BC . - Cạnh BC qua B và  t BC . - Trung điểm N của BC xác định bởi: N = BC x t BC . - Tọa độ đỉnh C xác định bởi hệ thức: NCBN  . Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu giả thiết cho 2 đỉnh A, B và trung trực t AB của cạnh AB. 3.14. Bài toán 14: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 2 đỉnh và 1 phương trình đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh còn lại? Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + B + l C - Gọi A 1 là điểm đối xứng của A qua l C  A 1  BC. (xem hệ quả 2.9) - Cạnh BC qua A 1 , B. - Đỉnh B = BC x l C . Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu như giả thiết của bài toán không cho đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh còn lại. A 1 l C C B A N C B A N M C B A A P N M C B [...]... Bài 40: Cho tam giác ABC có đỉnh A(- 1; 0), B(4; 0), C(0; m) với m > 0 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m và xác định m để tam giác ABG vuông tại G? Bài 41: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A(2; -1), đường cao hạ từ B là: 3x -4y + 27 = 0, đường phân giác trong từ C là: x + 2y – 5 = 0? Bài 42: Tìm điểm C trên đường tròn (T) (x + 1)2 + (y – 2)2 =13 sao cho tam giác ABC vuông... của tam giác. ? Bài 35: Tìm điểm C trên đường thẳng d: x – y + 2 = 0 sao cho tam giác ABC vuông tai C, biết đỉnh A(1; -2), B(-3; 3) Bài 36: Cho 2 điểm B(1; 1), C(- 1; 3) và đường thẳng d: y = 2x a) Tìm điểm A thuộc đường thẳng d để tam giác ABC đều? b).Tìm điểm A thuộc đường thẳng d để tam giác ABC cân? Bài 37: Cho điểm A(1; 1), Tìm điểm B trên đường thẳng y – 3 = 0 và điểm C thuộc trục hoành sao cho tam. .. nghiệm 3.25 Bài toán 25: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 cạnh và phương trình 2 đường phân giác trong? Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau: A - Dạng 1: Phương trình 1 cạnh và 2 đường phân giác trong xuất phát từ 2 đỉnh mà cạnh đó đi qua (ví dụ: AB + lA + lB) lC - Dạng 2: Phương trình 1 cạnh và 2 đường phân C giác trong, trong đó có 1 phân giác trong xuất B lA phát từ 2 đỉnh... tọa độ các đỉnh của tam giác? Bài 5: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A(1; 3) và hai đường trung tuyến có phương trình lần lượt là: x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0.? Bài 6: Cho tam giác ABC có đỉnh B(2; -1) và phương trình 2 đường phân giác trong có phương trình lần lượt là: x – 2y + 1 = 0, x + y + 3 = 0 Lập phương trình các cạnh và phân giác còn lại? Bài 7: Cho tam giác ABC có đỉnh C(1;... các đường cao của tam giác ABC, biết đỉnh A(3; 2), B(4; -1) và trọng tâm G(- 3; - 2).? Bài 30: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A(1; 3), trong tâm G(1; 1) và phương trình trung trực của cạnh AC: 2x – y – 4 = 0.? 3 2 Bài 31: Tam giác ABC có diện tích S  , hai đỉnh A(2; - 3), B(3; - 2) và trọng tâm của tam giác thuộc đường thẳng 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C.? Bài 32: Cho tam giác. .. trình cạnh BC: x- 4 = 0, đường cao hB: x + y – 3 = 0, phân giác trong lA: x – 2 = 0.? Bài 22: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB: 4x – y + 3 = 0, phân giác trong lA: x – 2y + 1 = 0, trung tuyến mB: 6x + 9y + 177 = 0 Viết phương trình hai cạnh còn lại.? Bài 23: Viết phương trình các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC, biết cạnh BC: 4x + 3y – 5 = 0, phân giác trong lB: x + 2y – 5 = 0,... xác định từ hệ thức: CM  MA Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Trang 17 - Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm 3.39 Bài toán 39: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, phương trình 1 đường trung tuyến và 1 đường phân giác trong? Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau: A - Dạng 1: đường phân giác trong và trung tuyến mC xuất phát từ cùng 1 đỉnh và không... hB - Đường cao hC qua M và  AB - Đỉnh C = AC x hC 3.43 Bài toán 43: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, 1 đường phân giác trong và 1 chân đường cao? Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau: A - Dạng 1: đỉnh và chân đường cao cùng thuộc 1 N cạnh cắt phân giác trong tại 1 đỉnh khác (ví dụ: M A + M + lB) lB - Dạng 2: đỉnh và chân đường cao cùng thuộc 1 C B cạnh, không trùng đỉnh với phân giác. .. Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 đường trung tuyến và 1 đường phân giác? Với bài toán này giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau: - Dạng 1: Có 1 phương trình đường trung tuyến và đường phân giác xuất phát từ cùng 1 đỉnh (ví dụ: mB + mC + lC) - Dạng 2: Cả 3 đường đã cho đều xuất phát từ 3 đỉnh phân biệt (ví dụ: mB + mC + lA) A lC mC B mB C Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong. .. P(- 1; 2).? Bài 50: Cho tam giác ABC có A(1;2), đường trung tuyến BM , phân giác trong CD tương ứng có phương trình 2x+y+1=0 và x+y-1=0 ,viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC Bài 51: Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết đỉnh B(-1;-1) và phương trình phân giác ngoài góc B, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là: x 3y + 1 = 0 và 2x + y – 4 = 0 Bài 52: Cho tam giác ABC có A (2; - 4) . bình của tam giác? d). Lập phương trình các đường cao của tam giác? e). Lập phương trình các đường trung trực của tam giác? f). Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC?. đỉnh A và C của tam giác? c). Lập phương trình 3 cạnh của tam giác? Bài toán 3: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, lập phương trình các đường phân giác trong còn lại của tam giác ABC, biết. bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. - Trang 4 - tiếp có thể tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các đường phân giác trong của các góc trong tam giác( ngoài phương