CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn sách này là phiên bản in của sách điện tử tại http://tilado.edu.vn Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado® Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau: 1. Vào trang http://tilado.edu.vn 2. Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng ký 3. Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc 4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất 5. Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm để tiện truy cập Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado® Tilado® QUAN HỆ GIỮA CẠNH, GÓC, ĐƯỜNG QUAN HỆ GIỮA CẠNH, GÓC, ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC 1. Cho ΔABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. So sánh độ dài của BD và CD Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/349/761133 2. Cho ΔABC, AB MAC ^ b. Tia phân giác của BAC cắt BC tại một điểm nằm giữa B và M Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/349/761123 3. Cho hình chữ nhật ABCD trên AB lấy điểm E sao cho AE = 2cm. Biết AB = 6cm, EC = 5cm Hãy tính diện tích hình thang AECD Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/349/76182 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6cm, AD = 3cm. Lấy điểm E nằm trên đoạn AB sao cho AE = 2cm. Hãy tính độ dài các đoạn DE và EC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/349/76172 5. Cho ΔABC vuông tại A, có AB = 6cm, BC = 10cm. Hãy tính diện tích của ΔABC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/349/76162 6. Cho ΔABC, lấy M là trung điểm của cạnh BC, nối AM. Chứng minh rằng: ^ a. Nếu AM > BM thì góc BAC là góc nhọn ^ b. Nếu AM = BM thì góc BAC là góc vuông ^ c. Nếu AM < BM thì góc BAC là góc tù Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/349/76193 7. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6cm, AD = 3cm. Điểm E nằm trên AB. Kẻ EF⊥DC (F ∈ DC) Chứng minh rằng tổng diện tích ΔAED và ΔEFC không đổi khi E di chuyển trên cạnh AB Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/349/761103 8. Cho ΔABC. Gọi E, D lần lượt là trung điểm của BC, AC và AE ⊥ BD. Chứng minh BC < 2AC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/349/761153 9. Cho ΔABC đều. Lấy M là trung điểm cạnh BC.Trên cạnh AB lấy điểm D, tia DM cắt AC tại E. Chứng minh rằng MD < ME Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/349/761143 ^ ˆ 10. Cho ΔABC cân tại A, A = 110 Trên cạnh BC lấy điểm D, biết ADC = 105 Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Chứng minh rằng: a. AE < CA = CE b. EC < BC < BE Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/349/761113 11. Cho ΔABC cân tại A. Trên cạnh đáy BC lấy các điểm D, E sao cho ^ ^ BD = DE = EC. Chứng minh rằng: BAD < DAE Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/349/761173 12. Cho ΔABC nhọn. Gọi AH là đường cao lớn nhất trong các đường cao của tam giác đó. BE là trung tuyến và BE = AH a. Chứng minh Bˆ ≤ 60 b. Với điều kiện nào của tam giác thì Bˆ = 60 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/349/761183 13. Cho ΔABC. Trên tia đối của các tia CB, AC, BA lần lượt lấy các điểm A', B', C' sao cho CA ′ = AB ′ = BC ′ Chứng minh rằng nếu ΔA ′ B ′ C ′ đều thì ΔABC cũng là tam giác đều Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/349/761193 QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU ˆ 14. Cho ΔABC có Bˆ < C , đường cao AH. Lấy điểm M bất kì trên AH. Chứng minh: CM AC. Qua trung điểm I của cạnh huyền BC ta kẻ một đường thẳng vuông góc với BC, đường này cắt cạnh AB tại D. Gọi M là một điểm thuộc đoạn BD Chứng minh DB ≤ CM Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/350/762113 21. Cho ΔABC cân tại A. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh BC. Chứng minh rằng khi M thay đổi vị trí trên cạnh BC thì tổng khoảng cách từ M đến hai cạnh bên AB và AC không đổi Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/350/762123 22. Cho Δ ABC cân tại A, trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho AM = AN. Chứng minh rằng a. Các hình chiếu của BM và CN trên cạnh BC là bằng nhau b. BN > BC + MN ⋅ Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/350/76293 23. Cho ΔABC vuông tại B, phân giác AD. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt tia AD tại E. Chứng minh rằng: chu vi ΔECD lớn hơn chu vi ΔABD Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/350/762103 24. Cho ΔABC, đường cao AH. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AH. Tia BM cắt cạnh AC tại D. Biết AB < AC. Chứng minh rằng: MD < HD Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/350/762173 ^ ˆ 25. ΔABC vuông tại A có B = 54 Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DBC = 18 Chứng minh rằng BD AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Gọi I là một điểm nằm giữa A và D. Chứng minh: AB– AC > IB– IC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/351/763103 35. Cho ΔABC gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: AM < Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/351/76393 36. Cho ΔABC điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng: AB + AC − BC < AD AB + AC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/351/763153 37. Cho O là một điểm nằm trong ΔABC. Chứng minh rằng: AB + BC + CA < OA + OB + OC < AB + BC + CA Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/351/763143 38. Cho hai điểm phân biệt A, B không thuộc đường thẳng d. Xác định vị trí điểm M trên d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/351/763123 39. Cho ΔABC điểm M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng: AB + AC − BC AB + AC < AM < 2 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/351/763113 CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC 89. Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C vẽ tia Ax⊥AB và lấy trên đó một điểm E sao cho AE=AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC, không chứa điểm B, vẽ tia Ay⊥AC và lấy trên đó một điểm F sao cho AF=AC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm A’ sao cho A’D=AD ^ ^ ′ a. Chứng minh rằng ACA = FAE b. Chứng minh EF=2AD c. Chứng minh AD⊥EF d. Qua E kẻ đường thẳng song song với Ay và qua F kẻ đường thẳng song song với Ax. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ba điểm A, I, trung điểm K của EF thẳng hàng Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/76784 90. Từ các trung điểm I, K, L của cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC, ta kẻ các đường trung trực, và trên các đường trung trực ấy, về phía ngoài của tam giác 1 theo thứ tự ta lấy các điểm M, N, P sao cho IM = AB; KN = AC; LP = BC 2 a. Chứng minh MK=KP và MK⊥KP b. Chứng minh MC=NP c. Chứng minh MC⊥NP d. Chứng minh ba đường thẳng AP, BN, MC đồng quy Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/76775 91. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, phân giác trong tại đỉnh B cắt cạnh AC tại điểm D. từ D ta kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Tia ED và tia BA cắt nhau tại điểm F a. So sánh DA và DC b. Chứng minh BD⊥FC c. Chứng minh BC=BF d. Chứng minh AE//FC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/76764 92. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh C. Kẻ đường cao CH, lấy điểm M trên AB và lấy điểm N trên AC sao cho BM=BC, CN=CH a. Chứng minh MN⊥AC b. Từ kết quả trên suy ra mệnh đề “ Trong một tam giác vuông, tổng hai cạnh góc vuông bé hơn tổng của cạnh huyền và đường cao tương ứng với cạnh huyền” Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767124 93. Cho đoạn thẳng AB, từ A và B trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB, ta kẻ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB, gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, và C là một điểm bất kỳ nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, chứa các tia Ax, By sao cho OC=OA, đường vuông góc với OC kẻ qua điểm C cắt Ax ở P và cắt By ở Q Chứng minh rằng: a. PQ = AP + BQ b. Tam giác POQ là tam giác vuông c. Tam giác ACB là tam giác vuông d. AC//OQ và BC//OP Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767134 94. Cho hai góc xOy và yOz kề nhau và bằng nhau, kẻ tia phân giác Om của góc xOy và On của góc yOz lấy trên các tia Ox, Om, Oy, On, Oz theo thứ tự các điểm A, B, C, D, E sao cho OA = OB = OC = OD = OE a. So sánh các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE b. So sánh các góc BAC và DCE c. So sánh các đoạn thẳng AD và BE d. Chứng minh rằng OD⊥EC; OB⊥AC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767144 95. Cho tam giác vuông cân ABC, đỉnh A. Cạnh góc vuông AB=AC =a, trên tia AB lấy điểm D mà AD=2a và điểm E mà AE=3a. Trên tia CA lấy điểm F sao cho AF=2a. Kẻ tia Bx⊥AB (trong nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C) Bx cắt đường thẳng vuông góc với CF kẻ qua F tại điểm G. Chứng minh rằng: ^ ^ a. CGB = CEA b. Tam giác CDG là tam giác vuông cân ^ ^ ^ c. ABC = ADC + AEC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767154 96. Cho tam giác ABC, cân tại A, đường cao AH, biết AB=5cm, BC=6cm a. Tính độ dài đoạn thẳng BH và AH b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng hàng ^ ^ c. Chứng minh rằng ABG = ACG Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767204 97. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH, trên đáy BC lấy điểm M, vẽ MD⊥AB; ME⊥AC; MF⊥BH a. Chứng minh rằng ME=FH b. Chứng minh tam giác ΔDBM = ΔFMB c. Chứng minh khi M chạy trên BC thì tổng MD+ME có giá trị không đổi d. Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho KC=EH. Chứng minh rằng: trung điểm của KD nằm trên cạnh BC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767194 98. Cho tam giác ABC, gọi E, F theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AC Trên tia đối của FB ta lấy điểm P sao cho PF=BF. Trên tia đối của tia EC, ta lấy điểm Q sao cho QE=CE a. Chứng minh AP=AQ b. Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng c. Chứng minh BQ//AC và CP//AB d. Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB, chứng minh rằng Chu vi của tam giác PQR bằng hai lần chu vi của tam giác ABC e. Chứng minh ba đường thẳng AR, PB, CQ đồng quy Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767184 99. Cho hai đường thẳng p và p’ song song với nhau. Một đường thẳng q cắt p và p’ lần lượt tại các điểm A, B. Một đường thẳng q’//q cắt p và p’ lần lượt tại các điểm D, C a. Chứng minh AD=BC; AB=DC b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh O là trung điểm của AC, đồng thời cũng là trung điểm của BD c. Một điểm M thuộc đoạn AD và một điểm P thuộc đoạn BC sao cho AM=CP Chứng minh điểm O là trung điểm của đoạn thẳng MP d. Một đường thẳng đi qua O, cắt đoạn thẳng AB tại điểm Q và cắt đoạn thẳng DC tại điểm N. Chứng minh MN//PQ và MQ//NP Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767174 100. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ HI⊥AB; HK⊥AC a. Chứng minh rằng HI⊥HK b. Chứng minh IK=AH c. Gọi O là giao điểm của AH và IK, chứng minh OI=OK=OA=OH d. Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh AM⊥KI Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767164 ( ) 101. Cho tam giác ABC, cân tại A Aˆ < 90 Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H, tia AH cắt BC tại I a. Chứng minh rằng: ΔABD = ΔACE b. Chứng minh I là trung điểm của BC c. Từ C kẻ đường thẳng d vuông góc với AC, d cắt đường thẳng AH tại F. ^ Chứng minh rằng CB là tia phân giác của FCH ^ d. Giả sử BAC = 60 0 và AB = cm. Tính khoảng cách từ B đến đường thẳng CF Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767254 ^ 102. Cho ΔABC vuông tại A. Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA a. Chứng minh ΔABD = ΔEBD b. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với AC cắt BD tại K. Chứng minh tam giác BCK cân tại C c. Vẽ CH vuông góc với BK. Chứng minh CH / / AE Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767244 103. Cho tam giác đều ABC, hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a. ΔBCD = ΔCBE b. ΔBHD = ΔCHE c. AH là đường trung trực của BC d. Từ B kẻ đường thẳng song song với DC, cắt AC tại I. Chứng minh rằng ΔBCI cân Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767234 104. Cho ΔABC có Aˆ = 60 0; AB < AC, đường cao BH(H ∈ AC) ^ ^ a. So sánh các góc ABC; ACB ^ b. Tính ABH? c. Vẽ AD là phân giác của góc A (D ∈ BC), vẽ BI⊥AD tại I. Chứng minh rằng ΔAIB = ΔBHA d. Tia BI cắt AC ở E. Chứng minh ΔABE đều e. Chứng minh DC > DB Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767224 ˆ = 60 0, trên BC lấy điểm E sao cho 105. Cho tam giác ABC, vuông tại A, C EC = AC a. Chứng minh rằng ΔAEC đều b. Chứng minh BE = AC c. Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại F. Chứng minh F là trung điểm của AB d. Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt EF tại G. BG cắt AE tại H. Chứng minh CH⊥AE Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767214 106. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D sao cho ID = IB. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; CD và AB. Các đường AM, AN cắt BD theo thứ tự G; K. Chứng minh rằng: a. Ba điểm C; G ;P thẳng hàng b. BG = GK = KD Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767264 107. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH. Trên tia HA lấy điểm P sao cho HP = HB và trên HC lấy điểm M sao cho HM = HA. Chứng minh rằng: a. HB < HA < HC b. P là trực tâm của ΔABM Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767274 108. Cho ΔABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài tam giác ΔABC, các tam giác ABD vuông cân tại B và ACE vuông cân tại E. trên tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho AK = BC. Chứng minh rằng: a. ΔDBC = ΔBAK b. DC⊥KB c. CD, KH, BE đồng quy tại một điểm Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767284 109. Cho ΔABC có ba góc nhọn, vẽ ra phía ngoài của ΔABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD, I là trung điểm của BC, Dựng điểm K sao cho I là trung điểm của HK. Chứng minh rằng: a. ΔAHE = ΔCKE b. ΔEHK đều Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767294 110. Cho tam giác ABC , Aˆ = 30 0, hai đường cao BH, CK (H ∈ AC, K ∈ AB). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh: a. Tam giác BEH và tam giác CKF là các tam giác đều b. HE⊥KF Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767304 ^ 111. Cho tam giác ABC vuông ở A, ABC = 60 0. D là một điểm trên cạnh AC sao ^ ^ ^ ^ cho ABD = ABC , E là một điểm trên cạnh AB sao cho ACE = ACB. Gọi F là 3 giao điểm của BD và CE, I và K là hình chiếu của điểm F lên BC và AC. Lấy điểm G và H sao cho I là trung điểm của FG, K là trung điểm của FH ^ a. Tính BFE b. Chứng minh rằng:∆CHG đều c. Chứng minh rằng:Ba điểm H, G, D thẳng hàng d. Chứng minh rằng:Tam giác DEF là tam giác cân Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767354 112. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho BD = BA và CE = CA. Gọi I là giao điểm của các phân giác của ΔABC a. Chứng minh rằng I là giao điểm các đường trung trực của ΔADE b. Gọi m là khoảng cách từ I đến các cạnh của ΔABC. Tính DE theo m ^ c. Tính DIE? Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/768345 113. Cho ΔABC, các trung tuyến BE và CD. Trên tia đối của tia EB lấy điểm I sao cho EI = EB. Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DC = DK a. Chứng minh A là trung điểm của KI b. BK cắt CI tại F. Chứng minh BI, CK, FA đồng quy tại G(là trọng tâm của tam giác ABC) c. FA cắt BC tại P. Chứng minh GP = GF Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767324 114. Cho tam giác đều AOB. Trên tia đối của các tia OA, OB lấy theo thứ tự hai điểm C, D sao cho OC = OD. Từ B và C kẻ BM⊥AC; CN⊥BD. Gọi P là trung điểm của BC. Chứng minh: a. ΔCOD đều b. AD = BC c. ΔMNP đều Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767314 115. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi AH là đường cao lớn nhất trong các đường cao của tam giác đó, BE là trung tuyến. Biết AH=BE a. Chứng minh rằng Bˆ ≤ 60 b. Với điều kiện nào của tam giác ABC để Bˆ = 60 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767365 116. Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có AB = A ′ B ′ , AC = A ′ C ′ Chứng minh rằng: ^ a. Nếu Aˆ > A ′ thì BC > B ′ C ′ ^ b. Nếu BC > B ′ C ′ thì Aˆ > A ′ Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767374 117. Cho ΔABC nhọn, AB < AC, đường cao AH ^ ^ a. Chứng minh BAH < HAC b. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm D sao cho HB = HD, chứng minh rằng Δ ABD là tam giác cân c. Từ D kẻ DE⊥AC, từ C kẻ CF⊥AD. Chứng minh rằng ba đường thẳng AH, CE, DF cùng đi qua một điểm Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767384 118. Cho góc xOy khác góc bẹt. A và B là hai điểm theo thứ tự trên hai cạnh Ox, Oy a. Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy và cách đều hai điểm A và B b. Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn điều kiện câu a Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767394 119. Cho ΔABC nhọn , hai đường cao BN, CM. Trên tia đối của tia BN lấy điểm D sao cho BD = AC, trên tia đối của tia CM lấy điểm E sao cho CE = AB. Chứng minh: ^ ^ a. ACE = ABD b. ΔACE = ΔBDA c. Tam giác AED là tam giác vuông cân Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767404 120. Cho tam giác ABC có (AB < AC). Từ trung điểm D của cạnh BC kẻ một đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc BAC, đường thẳng đó cắt tia AB, AC theo thứ tự ở M và N a. Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân b. Chứng minh BM = CN c. Cho AB = c, AC = b. Tính AN và BM theo c và b Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767454 121. Cho cóΔABC (AB EC). Đường trung trực của DC cắt đường thẳng EC tại A. trên tia đối của tia DA lấy điểm B sao cho DB = AE. Chứng minh rằng: ^ ^ a. ADC = ACD b. Δ ABC là tam giác cân Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767434 123. Cho ΔABC. Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C của tam giác cắt nhau tại O. Từ A lần lượt kẻ đường thẳng vuông góc với hai phân giác trên, cắt đường thẳng BC ở M và N. chứng minh rằng: a. Chu vi ΔABC bằng MN b. Đường trung trực của MN đi qua O ^ c. AO là tia phân giác của góc BAC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767424 124. Cho tam giác nhọn ABC đường cao AH, vẽ điểm D sao cho AB là trung trực của HD, vẽ điểm E sao cho AC là trung trực của HE. Gọi M là giao điểm của DE với AB, N là giao điểm của DE với AC. Chứng minh: a. Tam giác ADE là tam giác cân b. HA là tia phân giác của góc MHN Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767464 125. Cho ΔABC cân ở A. gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ΔABC Trên tia đối của tia AB và CA lấy theo thứ tự hai điểm M và N sao cho AM = CN ^ ^ a. Chứng minh OAB = OCA b. Chứng minh ΔAOM = ΔCON c. Gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của OM và ON. Chứng minh OI là tia phân giác của góc MON Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767414 126. Cho Δ ABC cân, có góc Aˆ = 120 0, phân giác AD. Kẻ DE⊥AB, DF⊥AC trên đoạn EB và FC lấy hai điểm I và K sao cho EI = FK a. Chứng minh Δ DEF là tam giác đều b. Chứng minh Δ DIK là tam giác cân c. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA ở M. chứng minh Δ MAC là tam giác đều d. Tính AD biết CM = m và CF = n Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767504 127. Cho tam giác ABC, gọi O là giao điểm của các phân giác của tam giác đó, từ O kẻ OD, OE, OF lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Trên tia đối của các tia AC, BA, CB lấy theo thứ tự ba điểm A’, B’, C’ sao cho AA ′ = BC, BB ′ = AC, CC ′ = AB Chứng minh rằng: a. AE = AF; BD = BF; CD = CE b. EA ′ = FB ′ = DC ′ c. O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác A’B’C’ Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767494 128. Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác CD, gọi H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng CD. Trên CD lấy điểm E sao cho H là trung điểm của DE. Gọi F là giao điểm của BH và CA. Chứng minh rằng: ^ ^ ^ ^ a. CEB = ADC; EBH = ACD b. BE⊥BC c. DF / / BE Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767484 ^ ^ 129. Cho tam giác ABC. Lấy điểm P nằm trong tam giác sao cho PAC = PBC. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của P trên AC và BC; D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AP, BP. Chứng minh: a. ΔMED = ΔDFN b. Tam giác MND là tam giác cân Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767475 BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG 130. Cho tam giác nhọn ABC. Điểm I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác Chứng minh rằng nếu IB + AC = IC + AB thì tam giác ABC cân Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/76815 ˆ = 30 0. Trên cạnh AC, AB lần lượt lấy điểm 131. Cho tam giác ABC có Bˆ = 60 0; C ^ ^ D, E sao cho ABD = 20 ; ACE = 10 0. Gọi K là giao điểm của BD và CE Tính các góc của tam giác KDE Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/76835 132. Cho tam giác ABC có Aˆ = 120 0. Đường phân giác AD, đường phân giác ^ ngoài tại C cắt AB tại K. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Tính số đo góc BED = ? Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/76845 133. Cho tam giác ABC có K là giao điểm của các đường phân giác, O là giao điểm của các đường trung trực thỏa mãn BC là đường trung trực của KO Tính các góc của tam giác ABC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/76855 134. Cho Δ ABC có BC = a, AC = b và AB = c. Tìm điểm M nằm trong Δ ABC sao a b c cho + + đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó x, y, z lần lượt là khoảng cách từ x y z điểm M tới các cạnh BC, AC, AB. Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/768105 135. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Kẻ NH ⊥ CM tại H. Kẻ HE ⊥ AB tại E. Chứng minh rằng tam giác ABH cân và HM là phân giác của góc BHE Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/76895 136. Cho tam giác ABC cân tại A, các điểm E và D theo thứ tự di chuyển trên hai cạnh AB và AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng các đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định. Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/76885 137. Cho tam giác ABC. Tìm điểm E thuộc phân giác góc ngoài tại đỉnh A sao cho tam giác EBC có chu vi nhỏ nhất Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/76875 138. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của một tam giác lớn chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác ấy Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/768115 139. Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/768125 ^ 140. Cho A nằm trong xOy nhọn. Tìm điểm B,C lần lượt thuộc Ox, Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/768135 141. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E,I,K theo thứ tự là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh rằng AE⊥IK Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/768145 142. Chứng minh rằng: nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn điều kiện a + b > 5c 2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/768155 143. Cho Δ ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Tia phân giác của góc HAB cắt BC tại D. Tia phân giác của góc HAC cắt BC tại E. CMR : điểm cách đều ba cạnh của Δ ABC chính là điểm cách đều ba đỉnh của Δ ADE Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/768205 144. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi I là giao điểm của CM và DN. Chứng minh a. CM⊥DN b. AI = AD Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/768195 145. Cho △ ABC cân tại A, Aˆ = 30 0; BC = 2 cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = √2. Tính góc ABD =? Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/768185 146. Cho tam giác ABC, gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và BC, vẽ các điểm MN sao cho C là trung điểm của ME và B là trung điểm của ND. Gọi K là giao điểm của AC và DM, chứng minh N, E, K thẳng hàng Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/768175 ˆ = 45 0. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho 147. Cho tam giác ABC có Bˆ = 75 0, C ^ ^ BAD = 45 Đường vuông góc với DC tại C cắt tia phân giác của góc ADC tại E ^ Tính CBE. Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/768165 [...]... 0. Gọi K là giao điểm của BD và CE Tính các góc của tam giác KDE Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/76835 132. Cho tam giác ABC có Aˆ = 120 0. Đường phân giác AD, đường phân giác ^ ngoài tại C cắt AB tại K. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Tính số đo góc BED = ? Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/76845 133. Cho tam giác ABC có K là giao điểm của các đường phân giác, O là giao điểm của các đường trung trực thỏa mãn BC là đường trung trực của KO... a. ΔMED = ΔDFN b. Tam giác MND là tam giác cân Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767475 BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG 130. Cho tam giác nhọn ABC. Điểm I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác Chứng minh rằng nếu IB + AC = IC + AB thì tam giác ABC cân Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/76815 ˆ = 30 0. Trên cạnh AC, AB lần lượt lấy điểm 131. Cho tam giác ABC có Bˆ = 60... 53. Cho Δ ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng m // BC. Tia phân giác của B cắt đường thẳng m tại M. Chứng minh rằng: a. Đường thẳng AM là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của Δ ABC b. Đường thẳng CM là đường phân giác ngoài tại đỉnh C của Δ ABC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/353/76562 54. Cho ΔABC vuông tại A. I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác. Gọi r là khoảng cách từ I đến ba cạnh của ΔABC. Chứng minh rằng: ... Điểm M cách đều hai cạnh AB và AC b. Tia AM là tia phân giác của góc A Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/353/76552 ˆ = 90 0. Vẽ đường phân giác AM của tam giác đó 62. Cho Δ ABC, Bˆ − C a. Tính số đo của góc AMB b. Vẽ đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh rằng AM = AN Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/353/76542 63. Cho Δ ABC có các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I và ID = IE. CMR: ... ΔMNP đều Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767314 115. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi AH là đường cao lớn nhất trong các đường cao của tam giác đó, BE là trung tuyến. Biết AH=BE a. Chứng minh rằng Bˆ ≤ 60 0 b. Với điều kiện nào của tam giác ABC để Bˆ = 60 0 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767365 116. Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có AB = A ′ B ′ , AC = A ′ C ′ Chứng minh rằng: ^... http://tilado.edu.vn/357/76734 85. Cho tam giác ABC, phân giác trong của góc B cắt phân giác trong của góc C tại điểm I. Phân giác ngoài của góc B cắt phân giác ngoài của góc C tại điểm J. Tia phân giác trong của góc B cắt tia phân giác ngoài của góc C tại điểm K a. Chứng minh rằng BI⊥BJ; CI⊥CJ ^ ^ ^ b. Tính các góc BIC; BJC; BKC theo góc A c. Áp dụng, tính các góc trên với Aˆ = 70 0 d. Chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng... Cho biết AD ⊥ BE, chứng minh ΔICF là tam giác vuông và chu vi của tam giác này bằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của ΔABC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/352/764113 ĐƯƠNG PHÂN GIÁC 52. Cho Δ ABC, hai đường phân giác BD và CE của tam giác đó cắt nhau tại O. Tia AO cắt BC tại M. Tam giác ABC phải có điều kiện gì để AM⊥BC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/353/76511 ˆ 53. Cho Δ ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng m // BC. Tia phân giác của B cắt... 137. Cho tam giác ABC. Tìm điểm E thuộc phân giác góc ngoài tại đỉnh A sao cho tam giác EBC có chu vi nhỏ nhất Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/76875 138. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của một tam giác lớn 3 hơn chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác ấy 4 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/358/768115 139. Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực MD, AC là đường trung trực của ME thì DE... Qua E kẻ đường thẳng song song với Ay và qua F kẻ đường thẳng song song với Ax. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ba điểm A, I, trung điểm K của EF thẳng hàng Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/76784 90. Từ các trung điểm I, K, L của cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC, ta kẻ các đường trung trực, và trên các đường trung trực ấy, về phía ngoài của tam giác 1 1 1 theo thứ tự ta lấy các điểm M, N, P sao cho IM... Chứng minh ΔMIN là tam giác cân b. Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB ở P, cắt đường thẳng AC ở Q. chứng minh ΔAPQ là tam giác cân c. Kẻ phân giác AF của ΔABC. Chứng minh MN//AF Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/357/767445 122. Cho ΔDEC cân (DE = DC > EC). Đường trung trực của DC cắt đường thẳng EC tại A. trên tia đối của tia DA lấy điểm B sao cho DB = AE. Chứng minh rằng: ^ ^ a. ADC = ACD b. Δ ABC là tam giác cân ... Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/351/763113 CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN 40. Cho Δ ABC cân tại A, đường trung tuyến AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm... http://tilado.edu.vn/358/76845 133. Cho tam giác ABC có K là giao điểm của các đường phân giác, O là giao điểm của các đường trung trực thỏa mãn BC là đường trung trực của KO Tính các góc của tam giác ABC Xem lời giải tại:... http://tilado.edu.vn/357/76734 85. Cho tam giác ABC, phân giác trong của góc B cắt phân giác trong của góc C tại điểm I. Phân giác ngoài của góc B cắt phân giác ngoài của góc C tại điểm J. Tia phân giác trong của góc B cắt tia phân giác ngoài của góc C tại điểm K