Thông tin tài liệu
Cao Đức Đệ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG 1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng : VTPT Véc tơ n 0 và n mp gọi là VTPT của mặt phẳng Ký hiệu : n hoặc n Chú ý: + Nếu a và b là hai véc tơ không cùng phương và các đ. thẳng chứa chúng song song (hoặc nằm trên ) mp thì n =[ a , b ] là VTPT của mp . Hai véc tơ a , b gọi là cặp VTCP của mp + Mặt phẳng (ABC) có n = [ AB , AC ] là VTPT 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 + B 2 + C 2 0 Có n =(A;B;C) là một VTPT Mặt phẳng qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) có VTPT n =(A;B;C) thì pt là : A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 a x + b y + c z = 1 gọi là pt mặt phẳng chắn qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (α) qua M(1;2;3) nhận n =(2;1;5) làm VTPT Giải : Phương trình mặt phẳng (α) là : 2(x1) 1(y+2)+5(z3) = 0 <=> 2x y +5z 19 =0 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng qua P(1;2;5) và song song với mặt phẳng : 2y –3x + z – 5 = 0 Giải : Vì mặt phẳng song song mặt phẳng nên có VTPT n = n =(3;2;1) Vậy phương trình mặt phẳng () : 3(x1) +2(y+2) +1(z5) = 0 Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng qua A( 2;1;4) và có cặp VTCP a = (3;1;2) ; b =(0;5;3) . Giải: + VTPT của mặt phẳng là n =[ a , b ]=(13;9;15) + Mặt phẳng qua a nhận n làm VTPT có phương trình : 13(x+2) – 9(y – 1) + 15(z 4) = 0 13x –9y +15z – 25 =0 n Cao Đức Đệ Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB biết A(2;1;4); B(4;3;6) . Giải : + Gọi I là trung điểm của AB I(3;2;5) + véc tơ AB = ( 2;2;2) Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua I và nhận AB làm VTPT có phương trình : 2(x – 3) –2(y + 2) + 2(z – 5) = 0 x – y + z – 10 = 0 Ví dụ 5: Lập phương trình mặt phẳng qua B( 3;2;5) và vuông góc với PQ biết P(2;1;3) , Q(3;4;5) Giải : PQ =(1;5;2) làm VTPT Phương trình mp(α) là : 1( x3) +5(y+2)2(z5) =0 <=> x+5y 2z +17=0 Ví dụ 6: Lập phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C biết A( 1;1;3) ; B(2;0;4) C(2;5;1) Giải: Cách 1 : + ta có AB = (1;1;1) ; AC = (1;4;2) n = [ AB , AC ]=(2;3;5) Phương trình mặt phẳng (ABC) qua A nhận n làm VTPT là : 2(x – 1) + 3(y + 1) 5(z – 3) = 0 <=> 2x + 3y – 5z + 16 = 0 Cách 2: Phương trình tổng quát của mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = 0 A( 1;1;3) () : A – B + 3C + D = 0 B(2;0;4) () : 2A + 4 C + D = 0 giải được A = 2 ; B = 3 ; C = 5 C(2;-5;1) () : 2A 5B + C + D = 0 => D = 16 Phương trình mp () : 2x 3y + 5z 16 = 0 Ví dụ 7:Lập phương trình mặt phẳng qua các hình chiếu của M(1;4;3) trên các trục toạ độ . Giải : M chiếu lên trục Ox được M 1 (1;0;0) M chiếu lên trục Oy được M 2 (0;4;0) M chiếu lên trục Oz được M 3 (0;0;3) Phương trình mặt phẳng (M 1 M 2 M 3 ) có phương trình là : x 1 + y 4 + z 3 = 1 Cao Đức Đệ Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng đi qua E(0;2;3) ; F(4;5;3) và có VTCP a =(3;2;5) . Giải : EF = ( 4;3;6) là VTCP của mp ; VTPT n = [ EF , a ]=(27;2;17 ) Mặt phẳng () qua E nhận n làm VTPT là : 27(x – 0) 2(y – 2 ) –17(z + 3) = 0 27x –2y –17z – 47 = 0 Ví dụ 9:a) Lập Phương trình mặt phẳng qua điểm M(2;3;4) và vuông góc với trục z / Oz b) Lập phương trình mp β qua P(2;1;5) và vuông góc với trục y / Oy Giải :a) vì () trục z / Oz => k =(0;0;1) làm VTPT của mp(α) => phương trình mặt phẳng (α) : 0( x+2) +0(y3) +1(z+4) =0 <=> z+4=0 b) Vì (β) vuông góc với trục y’Oy => J =(0;1;0) làm VTPT => Phương trình mp(β) là : 0(x+2) +1(y1) +0(z5)=0 <=> y1=0 Ví dụ 10: Viết phương trình mặt phẳng qua P(3;1;1) ;Q( 2;1;4) và vuông góc mặt phẳng : 2x – y + 3z – 1 = 0 . Giải: n = (2 ;1 ;3) là một VTCP của mp () Và PQ = ( 1;2;5 ) cũng là VTCP của mp () VTPT n =[ n , PQ ]=(1;13;5) Phương trình mặt phẳng () qua P nhận n làm VTPT là : 1(x – 3) –13(y –1 ) –5(z + 1) = 0 x –13y –5z +5 =0 Ví dụ 11: Viết phương trình mặt phẳng qua M(2;1;2) , song song trục y / Oy và vuông góc mp : 2x + y – 3z – 5 = 0 . Giải : + () trục y / Oy nhận j =(0; 1 ; 0 ) làm VTCP + () () => n = (2;1;3) làm VTCP + n = [ j , n ]= (3;0;2) phương trình mp () : 3x + 2z –10 = 0 Ví dụ 12: Viết phương trình mặt phẳng qua N(5;3;6) , vuông góc với 2 mp : 3x +2y – 5z –4= 0 và : x+2y z+11=0. Giải : + () () => n = (3;2;5) làm VTCP + () () => n = (1;2;1) làm VTCP Cao Đức Đệ + n = [ n , n ]= (8;8;8) phương trình mp () : 8(x5) +8(y3)+ 8(z+6) = 0 <=> x+y+z 2=0 Ví dụ 13: Lập phương trình mặt phẳng qua hai điểm M(2;3;4) ; N(3;1;6) và song song trục z / Oz Giải : vì () // trục z / Oz => k =(0;0;1) làm VTCP + MN = (5;2;2) cũng là VTCP + n = [ k , MN ] =(2;5;0) => phương trình mp () : 2x + 5y –11 = 0 Ví dụ 14: Lập phương trình mp qua M(1;3;2) và chứa trục z / Oz Giải: Cách 1: Mặt phẳng() chứa trục z / Oz phương trình có dạng A x + By = 0 () M(1;3;2) () => A – 3B = 0 ; chọn B = 1 ; A = 3 Phương trình mp () là : 3x + y = 0 Cách 2: Mp(α) chứa trục z’Oz => chứa điểm O và nhận k =(0;0;1) làm một VTCP n = [ k , OM ] =(3;1;0) => phương trình mặt phẳng (α) : 3(x1)+1(y+3) =0 <=> 3x+y = 0 Ví dụ 15: Lập phương trình mặt phẳng () các mặt phẳng mp(P) một khoảng bằng 3 , biết (P) : 2x y+2z 11=0 Giải : Vì d(();(P)) =3 => () //(P) => phương trình () : 2x y+2z +D=0 ( D≠ 11) + Chọn một điểm M (P) => M( 0;11;0) Ta có d(();(P)) =3 <=> d(M;()) =3 <=> 2 2 2 11 D 2 ( 1) 2 =3 <=> 11 D =9 <=> D 2 D 20 Vậy có hai mặt phẳng () : 2x y+2z 2=0 ; 2x y+2z 20=0 Cao Đức Đệ Ví dụ 16: Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;1) , B(0;1;3) và mặt phẳng (): 3x5y2z +3=0 . Lập phương trình mặt phẳng () song song với () và cách đều hai điểm A và B . Giải : Vì () //() => phương trình () có dạng : 3x5y2z +D=0 (D≠3) Mặt phẳng () cách đều hai điểm A, B => d(A; ()) = d(B; ()) <=> 2 2 2 11 D 3 ( 5) ( 2) = 2 2 2 1 D 3 ( 5) ( 2) <=> D 11 = D 1 <=>D=6 Vậy phương trình mặt phẳng () : 3x5y2z 6=0
Ngày đăng: 02/11/2014, 10:00
Xem thêm: phuong trinh mat phang CB
