Lý thuyết mở rộng trường

Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May Mục lục Mục lục 1 Mở đầu 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Vành và vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Lý thuyết mở rộng trường 18 2.1. Mở rộng trường. Bậc của mở rộng trường . . . . . . . . . 18 2.2. Mở rộng đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Mở rộng hữu hạn và mở rộng đại số . . . . . . . . . . . . 23 2.4. Trường phân rã của một đa thức. Đa thức tách được. . . . 29 2.5. Mở rộng chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Chương 3. Ứng dụng của lý thuyết mở rộng trường vào bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa 39 3.1. Ba bài toán dựng hình cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2. Điều kiện cần và đủ để đa giác đều p cạnh dựng được bằng thước kẻ và compa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết mở rộng trường là một trong những lý thuyết cơ bản của đại số, lý thuyết này bao gồm: mở rộng đơn, mở rộng đại số, mở rộng bậc hữu hạn, mở rộng chuẩn tắc có một tầm quan trọng đặc biệt, chẳng hạn như: mở rộng bậc hữu hạn, mở rộng chuẩn tắc và mở rộng tách được là cơ sở của mở rộng Galois Trong thực tế giải toán, có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến mở rộng trường, chẳng hạn khi xét trong trường số thực R, phương trình x 2 + 1 = 0 không có nghiệm trong R và cần mở rộng trường số thực R. Hay đối với một phương trình đại số bậc n trên trường K, có thể xây dựng một trường chứa đủ n nghiệm của nó hay không? Điều này dẫn tới mở rộng trường K bằng cách "ghép thêm" vào nó những nghiệm đang xét Cũng như nhiều lý thuyết khác, khi nắm được các kiến thức về mở rộng trường thì vấn đề đặt ra là cần phải khai thác và vận dụng nó vào bài tập như thế nào. Do đó để người học có thể hiểu và tự nghiên cứu đến những lý thuyết cao hơn và ứng dụng kiến thức về mở rộng trường vào giải bài tập tôi nhận thấy cần nghiên cứu một cách có hệ thống, khoa học về phần kiến thức này. Mặt khác, kiến thức về mở rộng trường còn là tiền đề cho các bạn sinh viên ngành Toán khai thác vấn đề trong từng phần kiến thức, sử dụng các công cụ mới của đại số tính toán. Với mong muốn: Đề tài sẽ là một tài liệu giúp cho các bạn sinh viên củng cố kiến thức về cấu trúc đại số, nắm được kiến thức về mở rộng trường để từ đó ứng dụng vào bài tập và có thể tiếp cận những lý thuyết cao hơn và có ứng dụng sâu sắc hơn, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Lý thuyết mở rộng trường” 2. Mục tiêu của khóa luận - Mục tiêu khoa học công nghệ: Tổng hợp một cách có hệ thống các kiến thức về mở rộng trường bao gồm: định nghĩa, tính chất, ví dụ minh 2 Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May hoạ và các định lý, mệnh đề. Hệ thống các dạng bài tập vận dụng kiến thức mở rộng trường. - Sản phẩm khoa học công nghệ: Đề tài là tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu nội dung kiến thức về lý thuyết mở rộng trường và ứng dụng của nó vào bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan đến kiến thức về mở rộng trường, cụ thể như mở rộng đơn, mở rộng hữu hạn, mở rộng đại số. . . - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình rút ra được kinh nghiệm để giải một số bài toán liên quan đến mở rộng trường, xác định được khi nào một điểm, một đoạn thẳng hay một đa giác có thể dựng được bằng thước kẻ và compa. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của đề tài. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Lý thuyết mở rộng trường. - Phạm vi: Dùng kiến thức đại số đại cương và đại số tuyến tính để nghiên cứu về lý thuyết mở rộng trường cũng như ứng dụng của nó vào bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa. 6. Bố cục của khóa luận Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm 3 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1. Nhóm 1.2. Vành và vành đa thức 1.3. Trường Chương 2: Lý thuyết mở rộng trường 2.1. Mở rộng trường. Bậc của mở rộng trường 2.2. Mở rộng đơn 3 Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May 2.3. Mở rộng hữu hạn và mở rộng đại số 2.4. Trường phân rã của một đa thức. Đa thức tách được 2.5. Mở rộng chuẩn tắc Bài tập chương 2 Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết mở rộng trường vào bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa 3.1. Ba bài toán dựng hình cổ điển 3.2. Điều kiện cần và đủ để đa giác đều p cạnh dựng được bằng thước kẻ và compa Bài tập chương 3 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1 Tập hợp G cùng phép toán hai ngôi, kí hiệu bởi dấu ".", được gọi là một nhóm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) (a + b) + c = a + (b + c), với ∀a, b, c ∈ G (tính chất kết hợp). (ii) Có một phần tử 0 ∈ G sao cho a + 0 = a + 0 = a, với ∀a ∈ G. (iii) Với mỗi a ∈ G, tồn tại một phần tử kí hiệu bởi −a ∈ G sao cho: a + (−a) = 0 = (−a) + a Trong trường hợp này G là một nhóm cộng. Định nghĩa 1.2 Tập hợp G cùng với phép nhân được gọi là một nhóm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (a.b).c = a.(b.c), với ∀a, b, c ∈ G (tính chất kết hợp). (ii) Có một phần tử e ∈ G sao cho: a.e = a = e.a với ∀a ∈ G. (iii) Với mỗi a ∈ G, tồn tại một phần tử kí hiệu bởi a −1 ∈ G sao cho a.a −1 = e = a −1 .a. Định nghĩa 1.3. Giả sử G là một nhóm. Tập hợp con H của G được gọi là một nhóm con của G nếu H cũng là một nhóm đối với phép toán đã cho trong G. 5 Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May Định lí 1.4 Một bộ phận A của nhóm X là một nhóm con của X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A. (ii) e ∈ A, với e là phần tử trung lập của X. (iii) Với mọi x ∈ A, x −1 ∈ A. Hệ quả 1.5 Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một nhóm X. Các điều kiện sau là tương đương: (i) A là một nhóm con của X. (ii) Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A và x −1 ∈ A . (iii) Với mọi x, y ∈ A, xy −1 ∈ A. Định lí 1.6 Giao của một họ bất kì những nhóm con của một nhóm X là một nhóm con của X Chứng minh Xét một họ bất kì (A α ) α∈I những nhóm con của X và gọi A là giao của chúng. Ta có A = φ vì e ∈ A α , với mọi α ∈ I (e là phần tử trung lập của X), do đó e ∈ A. Ta lấy hai phần tử x, y ∈ A. Vì x, y ∈ A nên x, y ∈ A α với mọi α ∈ I. Vì các A α là những nhóm con của X nên xy −1 ∈ A α với mọi α ∈ I, suy ra xy −1 ∈ A Vậy A là nhóm con của X (Theo hệ quả 1.5). Mệnh đề 1.7 Giả sử G là một nhóm, H là một nhóm con của G. Trên G xác định quan hệ ” ∼ ” như sau: Với a, b ∈ G: a ∼ b ⇔ a −1 b ∈ H Thế thì ” ∼ ” là một quan hệ tương đương. Ta nói rằng đó là quan hệ tương đương xác định bởi nhóm con H. Tập hợp aH = {b ∈ G | a −1 b ∈ H} được gọi là một lớp kề trái của H trong G. 6 Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May Tương tự tập Ha = {b ∈ G | ba −1 ∈ H} được gọi là một lớp kề phải của H trong G. Định nghĩa 1.8 Giả sử G là một nhóm nhân. Tập hợp A = {a m | m ∈ Z} là một nhóm con của G. Nó được gọi là nhóm xyclic sinh bởi a và được kí hiệu bởi < a >. Nếu G là một nhóm cộng thì A = {ma | m ∈ Z} được gọi là nhóm xyclic sinh bởi a. Ví dụ Nhóm cộng Z các số nguyên là nhóm xyclic sinh bởi số 1. Mọi tập con A = {ma | m ∈ Z}, với a là số nguyên, đều là nhóm xyclic của nhóm cộng Z. Định nghĩa 1.9 Nhóm con H được gọi là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G nếu aH = Ha, ∀a ∈ G hay với mọi a ∈ G, mọi h ∈ H, ta có: aha −1 ∈ H. Ví dụ (i) Bản thân nhóm G và nhóm con {e} chỉ gồm một phần tử đơn vị của G là những nhóm con chuẩn tắc tầm thường của G. (ii) Mọi nhóm con của nhóm aben A đều là nhóm con chuẩn tắc của nhóm A. Định nghĩa 1.10 Số phần tử của một nhóm hữu hạn được gọi là cấp của nhóm đó. Số phần tử của nhóm xyclic sinh bởi phần tử a được gọi là cấp của phần tử a. Định lí 1.11 (Định lí Lagrange) Giả sử G là một nhóm hữu hạn, H là một nhóm con của G. Thế thì cấp của G chia hết cho cấp của H. 7 Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May Mệnh đề và định nghĩa nhóm thương 1.12 Giả sử H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Ta kí hiệu lớp kề aH bởi a và tập hợp các lớp kề bởi G. Trên tập G xác định phép toán như sau: a.b = ab với ∀a, b ∈ G. Khi đó G là một nhóm, được gọi là nhóm thương của nhóm G trên nhóm con chuẩn tắc H và còn được kí hiệu bởi G/H. Hệ quả 1.13 Nếu cấp của nhóm G bằng m và cấp của nhóm con chuẩn tắc H bằng n thì nhóm thương G/H có cấp bằng m n . Định nghĩa 1.14 Giả sử G và G  là hai nhóm. Ánh xạ f : G −→ G  được gọi là một đồng cấu nhóm nếu f(ab) = f(a).f(b), với ∀a, b ∈ G. f(G) được gọi là ảnh của G qua f hay ảnh của f và được kí hiệu Imf. f −1 (e  ) = {a ∈ G | f(a) = e  }, trong đó e  là đơn vị của G  , được gọi là hạt nhân của f, kí hiệu Kerf. Ví dụ (i) Giả sử A là một nhóm con của nhóm X. Đơn ánh chính tắc: A −→ X a −→ a là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc. (ii) Ánh xạ đồng nhất của một nhóm X là một đồng cấu, gọi là tự đẳng cấu đồng nhất của X. (ii) Xét ánh xạ từ nhóm nhân các số thực dương R + đến nhóm cộng các số thực R: log : R + −→ R, x −→ logx trong đó logx là logarit cơ số 10 của x. Vì log(xy) = logx + logy nên log là một đồng cấu. Đồng cấu này còn là một song ánh nên là một đẳng cấu. Mệnh đề 1.15 Giả sử G và G  là hai nhóm. Ánh xạ f : G −→ G  là một đồng cấu nhóm. Khi đó: 8 Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May i) Nếu A là một nhóm con của G thì f(A) là một nhóm con của G  . ii) Nếu B là một nhóm con chuẩn tắc của G  thì f −1 (B) là một nhóm con chuẩn tắc của G. Định lí về đồng cấu 1.16 Giả sử f : G −→ G  là một đồng cấu nhóm, p : G −→ G/Kerf là phép chiếu chính tắc. Khi đó: (i) Tồn tại duy nhất một đơn cấu f : G/Kerf −→ G  sao cho fp = f f : G/Kerf ∼ = Imf. (ii) Đồng cấu f là một đơn cấu và Imf = f(X). Chứng minh (i) Đặt Kerf = A và cho tương ứng với mỗi phần tử xA của X/A phần tử f(x) của Y . Quy tắc cho tương ứng như vậy là một ánh xạ. Thật vậy, giả sử xA = x 1 A, thế thì ta có x −1 x 1 ∈ A nhứng A là hạt nhân của f nên f(x −1 x 1 ) = f(x −1 )f(x 1 ) = f(x) −1 f(x) = e Y , tức là f(x) = f(x 1 ). Ta đặt f : X/A −→ Y xA −→ f(xA) = f(x) Ta chứng minh f là một đồng cấu. Ta có, với xA và yA là hai phần tử tùy ý của X/A f(xA.yA) = f(xyA) = f(xy) Nhưng f là một đồng cấu nên f(xy) = f(x).f(y), do đó: f(xA.yA) = f(x).f(y) = f(xA).f(yA) (định nghĩa của f). Vậy ta có f là một đồng cấu. Từ đẳng thức f(xA) = f(x) với mọi x ∈ X, ta có thể viết f(x) = f(xA) = f(p(x)) = fp(x) với mọi x ∈ X. Vậy f = fp. Giả sử có một đồng cấu ϕ : X/A −→ Y sao cho f = ϕ.p. Vậy với mọi xA ∈ X/A ta có ϕ(xA) = ϕ(p(x)) = ϕ.p(x) = f(x) = f(xA) do đó ϕ = f. 9 Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May (ii) Giả sử xA ∈ X/A sao cho f(xA) = e Y . Theo định nghĩa của f, f(xA) = f(x). Vậy f(x) = e Y . Do đó x ∈ A = eA, tức là xA = eA. Ta suy ra Kerf = {eA}. Vậy f là một đơn cấu. Vì p là toàn cấu và f = fp nên ta suy ra Imf = Imf = f(x). 1.2 Vành và vành đa thức 1.2.1 Vành Định nghĩa 1.17 Tập hợp X được gọi là một vành nếu trên X có hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Với phép cộng X là một nhóm Abel. (ii) Với phép nhân X là một nửa nhóm. (iii) Phép cộng và phép nhân liên hệ với nhau bởi luật phân phối, tức là: a(b + c) = ab + ac; (b + c)a = ba + ca với ∀a, b ∈ X. Nếu phép nhân giao hoán thì X được gọi là vành giao hoán. Nếu phép nhân có đơn vị thì X là vành đơn vị. Định lí 1.18 Cho X là một vành. Với ∀x, y, z ∈ X, ta có: (i) x(y −z) = xy −xz, (y −z)x = yx − zx. (ii) 0x = x0 = 0. (iii) x(−y) = (−x)y = −xy, (−x)(−y) = xy. Định nghĩa 1.19 Tập A được gọi là một vành con của vành X nếu A là một vành đối với hai phép toán đã cho trong X. Nếu vành X có đơn vị và vành con A cũng có đơn vị thì đơn vị của A phải là đơn vị của X. Định lí 1.20 Giả sử A là một tập con của vành X. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) A là một vành con của X 10 . khảo 47 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết mở rộng trường là một trong những lý thuyết cơ bản của đại số, lý thuyết này bao gồm: mở rộng đơn, mở rộng đại số, mở rộng bậc hữu hạn, mở rộng chuẩn. thuyết mở rộng trường 2.1. Mở rộng trường. Bậc của mở rộng trường 2.2. Mở rộng đơn 3 Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May 2.3. Mở rộng hữu hạn và mở rộng đại số 2.4. Trường phân rã của một đa thức 10 1.3. Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Lý thuyết mở rộng trường 18 2.1. Mở rộng trường. Bậc của mở rộng trường . . . . . . . . . 18 2.2. Mở rộng đơn