Phân loại các nhóm p nhóm cấp p3 bằng cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của otto schreier

Trang |1 LỜI MỞ ĐẦU Bài tốn tìm phân loại tất nhóm có cấp cho trước tốn khó đến cịn tốn mở Để xây dựng nhóm trừu tượng bậc hữu hạn định từ hai nhóm A B , ta xây dựng thông qua số phương trình phần tử bất biến A , dạng phương trình phụ thuộc hồn tồn vào nhóm B Như ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier, luận văn “ Phân loại p-nhóm cấp p cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier” nhằm tìm hiểu cách phân loại nhóm khơng abel cấp p Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương, nội dung luận văn trình bày chương Phần đầu chương 1, trình bày lại số định nghĩa, khái niệm liên quan phục vụ cho nội dung chính, phần cịn lại xây dựng số định lý mở rộng nhóm Otto Schreier làm sở cho phần sau Bài chương II nêu số định nghĩa modulo M ma trận cột, modulo M ma trận, modulo M ma trận quy,…đồng thời áp dụng phần 1và sử dụng tính chất modulo M ma trận để trình bày nội dung định lý I (định lý Schreier) định lý II Bài nêu cách phân loại tổng quát nhóm A từ loại  p , B A từ loại  p , p , , p  dựa vào áp dụng để phân loại nhóm khơng Abel cấp p n n n Cuối cùng, cho phép em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo -Thạc sĩ Nguyễn Viết Đức, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hồn thành khố luận Nhân đây, xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, giảng viên Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm-Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi cho em hồn thành khóa học giúp đỡ em trình học tập thực khố luận KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UN THƠ-09ST Trang |2 Mặc dù thân cố gắng hướng dẫn tận tình thầy giáo hướng dẫn, lực thời gian hạn chế nên khố luận khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý tận tình q thầy bạn để khố luận hồn thiện KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST Trang |3 CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN §1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Nhóm Cho G tập khơng rỗng với phép tốn hai ngơi “.” (G,.) gọi nhóm chúng thoả tính chất sau: (i) Với x,y,z thuộc G  xy  z  x  yz  (ii) Tồn e thuộc G cho ex  xe  x,x  G (iii) Với x thuộc G tồn y thuộc G cho xy  yx  e Ta kí hiệu y x 1 Để cho gọn ta kí hiệu nhóm (G,.) G Nếu phép tốn hai ngơi nhóm G có tính giao hốn G gọi nhóm Abel 1.1.2 Nhóm Cho G nhóm, H tập khác rỗng G Nếu H với phép toán cảm sinh phép toán G lập thành nhóm H gọi nhóm nhóm G Ta kí hiệu H  G 1.1.3 Cấp nhóm Cho G nhóm Khi cấp nhóm G lực lượng G, kí hiệu G Nếu G hữu hạn G gọi nhóm hữu hạn Ngược lại G gọi nhóm vơ hạn 1.1.4 Nhóm chuẩn tắc Cho G nhóm H nhóm G H gọi nhóm chuẩn tắc G x  G,h  H xhx1  H KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST Trang |4 Ta kí hiệu H G Định lý 1: Nếu A nhóm chuẩn tắc nhóm X, thì: (i) Quy tắc cho tương ứng với cặp (xA,yA) lớp trái xyA ánh xạ từ X A X A  X A (ii) X A với phép tốn hai ngơi  xA, yA  xyA nhóm, gọi nhóm thương X A Định lý 2: Giả sử A nhóm nhóm X, điều kiện sau tương đương: a) A chuẩn tắc b) xA  Ax với x  X 1.1.5 p-nhóm Cho G nhóm (i) Nếu G nhóm cấp p n với n số tự nhiên, p số nguyên tố G gọi pnhóm (ii) Nếu H nhóm G H p-nhóm H gọi p-nhóm G (iii) Nếu G nhóm cấp m.p n  m, p   H nhóm cấp p n G H gọi p-nhóm Sylow G Tính chất p-nhóm:   i) Nếu G  G p-nhóm hữu hạn ,  G có cấp khác ii) Nếu H nhóm thực G H  NG (H) KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST Trang |5 iii) G nhóm có cấp pr , r  G có nhóm chuẩn tắc có cấp pr 1 1.1.6 Nhóm Xyclic Cho nhóm G= tập S gọi tập sinh G Nếu G có tập sinh hữu hạn {x1,x2,…,xn} G gọi nhóm hữu hạn sinh ta kí hiệu Ngược lại G gọi nhóm vơ hạn sinh Nhóm G gọi nhóm xyclic tồn phần tử a thuộc G cho G = 1.1.7 Nhóm giao hốn tử Cho G nhóm Với x, y  G , x 1y 1 xy gọi hốn tử x y hay nói ngắn gọn hoán tử Ký hiệu  x , y  để hốn tử Một nhóm G sinh tập tất hoán tử G gọi nhóm giao hốn tử ( hay nhóm dẫn xuất) G kí hiệu G ' Ta có G '  G, G  Tính chất: - G ' Là nhóm chuẩn tắc G - G nhóm, G ' nhóm giao hốn tử G G G ' Abel 1.1.8 Đồng cấu Định nghĩa: Cho hai nhóm  G,.  H ,. Một tương ứng: f : GH x f x gọi đồng cấu nhóm nếu: (i) f ánh xạ (ii) f  x, y   f  x  f  y  , x, y  G KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST Trang |6 Nếu H  G f tự đồng cấu Tính chất: f : G  H đồng cấu nhóm thì: (i) f 1G   1H (ii) f x 1  f  x      1 Một đồng cấu nhóm với f đơn ánh, toàn ánh hay song ánh gọi đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu 1.1.9 Đồng dƣ Cho a,b,m số nguyên, m  Nếu a  b chia hết cho m a gọi đồng dư với b modulo m , ký hiệu a  b mod m KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST Trang |7 §2 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ MỞ RỘNG NHĨM CỦA OTTO SCHREIER I MỞ RỘNG CỦA MỘT NHÓM THEO MỘT NHÓM BẤT KÌ Cho hai nhóm A B , tìm tất nhóm B nhận A làm nhóm chuẩn tắc cho B A  B Nói ngắn gọn tìm tất mở rộng B A theo B Tiến hành phân tích B Chọn ánh xạ: t : B  B B t  B   B t 1B   1B 1B đơn vị B Ta có: AB  BA (lớp kề B theo A ), BB  t  BB   AB ,B  A : BB  BBAB ,B Như AB BA thuộc BA ta có AB  BAB , E B  E với E  1B 1 (Trong AB  B AB A ) Bây giả sử tồn nhóm B , câu hỏi đặt phần tử AB , AB',B'' phải thoả mãn điều kiện để mối quan hệ AB  BAB B' B''  B' B''AB' B'' quan hệ A B xác định Ta có: B'AB'' A  B' B'' A' B'' A''  B' B''AB' B'' A' B'' A'' Xem phần tử BA cặp   B, A với B  B; A  A , từ   ta suy B',A'B'',A''  B' B'',AB',B'' A' B'' A'' KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST Trang |8 Đầu tiên xác định điều kiện để cặp B, A nhóm (i) Phần tử đơn vị: EB  EB ,EA  (ii) Tính chất kết hợp: A',A'',A''',B',B'',B''' cho trước : B,AE,E  B,A  II  B,A ;B,AB,A  B,AB,A;B,A  I  (iii) Phần tử nghịch đảo: A,B : B,AB ,A  E,E   Suy B  B 1 ; A  AB 1 1  III  AB1,B1 Phân tích (I): B, A ;B, AB, A  B, A B, A ;B, A    BBB, ABB ,B  AB ,B AB A  A  BBB, AB ,BB ABB AB ,B A B A B  ABB ,B  AB ,B AB A  A  AB ,BB ABB AB ,B AB A B 1 Phân tích (II): B, AE,E  B, A  B, AB ,E AE   B, A  2  AB ,E AE  A Từ   với A  E AB,E  E Do AE  A  3  4  Từ 1 cho B  E, B  B AB ,E AE A KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP  B  AB AE ,B AB TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST Trang |9 5  Từ  3   ta có  AA   AB AE ,A AB  B Cho A  A  E , từ  5  ta AE ,B  E Và  5    AA   AB AB  5 B  Áp dụng   ta AA A n  B  AB AB   Với A  A; A  A1 từ   ta có AB  Từ 1 suy ABB ,B ABB,B AB Thay A  B  E  B B không  B  6 1 A nB   A1  B  AB ,BB ABB AB ,B A A, B 1   B , B B : 7  AB1,B ABB ABB Thay vào 1  suy ra: ABB ,B ABB,B  AB ,BB AB ,B  8 Từ 1   cách sử dụng E B  E ta kết từ  3 đến   , đảo lại dễ dàng chứng minh từ  3 đến   kéo theo 1 ,  E B  E Như vậy, để tập B',A'B'',A''  B' B'',AB',B'' A' B'' A'' cặp B, A dựa vào quan hệ nhóm với đơn vị E,E điều kiện cần đủ phần tử AB , AB ,B thoả mãn công thức từ  3 đến   KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 10 Bây giả sử công thức từ B,EE,A  B,A  3 đến 8 thoả tức nhóm cặp B, A tạo từ phần tử B,E E, A Trong B nhóm B , A nhóm A Hơn E, AE, A  E, AA  IV  E, AB,E  B,EE, AB  V  B,EB,E  BB,EE, ABB  VI  Có thể suy điều ngược lại từ  IV  , V  , VI  ta có mối quan hệ nhóm sau: B,EE, AB,EE, A  B,EB,EE, ABE, A  BB,EE, AB ,B E, AB A  B' B,EE, AB ,B A' B A Nói cách khác cơng thức  IV  , V  , VI  thể cách xác định quan hệ nhóm Bây giả thiết E,A  A; B,E  B dẫn đến  IV  phải thành phần hợp thành A ta có: Định lý I: Khi phần tử AB , AB ,B điều kiện  AA B  AB AB A (AB )B  AB1,B ABB ABB KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP E  A a b  TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 24 Để số mũ, ví dụ z tăng lên đơn vị (với điều kiện z   nk ) giả định: E   B jy 1 Bix 1   E Bkz 1 ((Ai , j ) ) E   B jy 1 Bkz   Bk (Ak , j x 1 z 1 y   E B j Bk z 1 x 1   E Bk ((AkE,i  Bi ) Bk ((AiE,k  Bk ) Bi ) x 1 ) ) ((AEj ,i  Bi ) ) B jy 1   E Bk z 1 ) ((AEj ,k  Bk ) B jy 1   E B jy Bk ) )  E Bk  E Do đó: E   B jy 1 Bix 1   E Bkz 1 ((Ai , j ) x 1 ) z 1 (AkE,i  Bi ) Bk x 1 AiB,ki   E y   E B j x 1 (AiB,ki E   B jy 1 Bkz   Bk (Ak , j ) B y 1   E ) Aj ,kj   E Bk   Bkz ) E   B jy 1 Ak , j x 1 ((AEj ,i  Bi ) B jy 1   E Bk x 1 B y 1   E Bk   Bkz Bix ) AkE,i  Bi ((Aj ,kj ) )  E Bây cách giả định: B y 1   E Aj ,kj x 1 ((AEj ,i  Bi ) B jy 1   E Bk x 1 x 1 By B y 1   E E   Bix 1 ) AkE,i  Bi  (AkE,i  Bi ) j (Aj ,ij Đưa kết vào phương trình cuối ta  x, y,z  1 Bằng cách kết hợp kết trường hợp ) 7   B y 1   E Bix (Aj ,kj ) cho ba biến ni triệt tiêu, có được: Định lý III: Các mối quan hệ Bi1 ABi  ABi ; Bini  Ai ; Bi B j  B j Bi Ai , j i  j  Cùng mối quan hệ A luôn xác định mở rộng A với nhóm Abel từ sở ni  A thoả mãn quan hệ: KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 25  AA  Bi  ABi A Bi n i  A   A    A1 AA   ABi    i  i Bi A  Ai (ABi ) j  Ai, 1j (A j )Bi Ai , j B B ni 1  E Ai j  Ai AiB, ij B AiB, kj Ak , j Ak ,ij Aj ,i AjB,ki Ai ,k  E B i  a b c A i,j Aj ,i  E   d  e f j; j  k; k  i  Trong trường hợp hai mối quan hệ xác định  b   e  để kiểm tra phương trình bao gồm trường hợp ni bị triệt tiêu KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 26 CHƢƠNG 2: VIỆC MỞ RỘNG NHÓM VÀ PHÂN LOẠI CÁC p-NHĨM CẤP p3 §1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA I Một số định nghĩa Với số nguyên dương m, gọi Z m nhóm cộng số nguyên modulo m Cho mi với  i  r số nguyên dương  m1  m  Đặt: M         mr    Mod M ma trận cột Một phần tử Z m1 ,Z m2 , ,Z mr (viết theo dạng cột) gọi mod M ma trận cột   Mod M ma trận   Một mod M ma trận ma trận A  i , j  cột sr   mod M ma trận cột   Mod M ma trận quy Một mod M ma trận A  i , j  r r quy i , j m j   mod mi  KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 27   Như tập mod M ma trận quy với phép tốn cộng nhân tạo thành vành có đơn vị   Mod M ma trận đơn vị   Gọi E mod M ma trận đơn vị Khi đó: E  i , j  r r  i, j   mod mi  nÕu i  j  i, j   mod mi  nÕu i  j Ma trận thực quy A ma trận thực quy tồn ma trận quy    A cho AA  E mod M II Một số định lý Định lý I (định lý Schreier) Cho A  A1, A2 , , Ar Aip    Ai , Ak  m Bi  Cpni  Bi Bip  E ,  i  m ni B  B1  B2   Bn tích trực tiếp nhóm xyclic   B  B  Xét dãy khớp ngắn:  A  Chọn ánh xạ t : B  B , cho t  idB , t 1B   1B 1B đơn vị B KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 28 n ( Có thể chọn t   ti , ti : Bi  B với ti  Bix    ti  Bi   ,  i  n ) x i 1 Đặt Bi  ti  Bi  , định nghĩa nhóm mở rộng B X Y X Y sau: B  B1 , B , , B n , A A A  A , B pni  A Ai ,  B i , B j   Ai , j ,  A X , B i   A Bi X Trong đó: A1x1 A2x2 Aixr  A X  x1  x  X    mod M ma trận cột      xr      Ai , i, j , Bi mod M ma trận thực quy   E mod M ma trận đơn vị B mở rộng A theo B thoả điều kiện sau:   (a) Bini  E M , (b)  Bi  E  Ai   M  , (c) Bi B j  B j Bi M , (d) B (e)  Bk  E  i , j   Bi  E   j ,k   B j  E  k ,i   M  ,   j i, j,k  1,2, ,s; i  KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP        E  Ai  E  Bi   Bini 1 i , j M ; i , j   j ,i  M , j; j  k; k  i  TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 29 Định lý II: Cho B mở rộng A theo nhóm Abel với : B  B1 , B , , B n , A A X AY  A X Y , B pni  A Ai ,  B i , B j   Ai , j ,  A X , B i   A Bi X n A  A1 , A2 , , Ar Ai i    Ai , Ak  Khi A nhóm giao hốn tử B A có phần tử sinh  Bi , B j  ;  Ak , Bi      i, j  1,2, s; k  1,2, , r  §2 PHÂN LOẠI CÁC NHÓM P–NHÓM CẤP P3 Để phân loại nhóm khơng Abel dạng p3 tức A từ loại  p , B A từ loại  p, p ta tiến hành phân loại từ dạng tổng quát tức nhóm A từ loại  p , B A từ loại  p , p , , p  n n n s Nhóm A từ loại p , B A từ loại p n ,p n , ,p n  s Đặt: A  A Ap  pn B A  B1, B , , B s Bi  E,  B i , B j   KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP s pn TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 30 Xét dãy khớp ngắn:  A  B  B A  Định nghĩa nhóm B sau: pn  B  B1, B , , B s , A A p  E,  A, Bi   A, A X AY  A X Y , B i  Ai ,  B i , B j   A i , j   Trong đó:   i, j  ss mod M ma trận B mở rộng A theo B A B thoả điều kiện sau:   (a) Bip  E M n    B B  M (b)  Bi  E  i  M (c) Bi B j j i   (d)  Bj  E  i   E  Bi   Bin1   i, j M   (e)  i, j   j,i  M   (f)  Bk  E   i, j   Bi  E   j,k   B j  E   k,i  M  i, j,k  1, ,s,i  j, j  k,k  i  Định lý II nói khơng phải tất  i, j chia hết cho p, tức tồn  i, j   mod p Không tổng quát cho 1,2   mod p   1, Do B  B  nên  KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 1,2  TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 31   ,i 1 Do Bi B1 B  Bi  i  3, 4,  nên B , B với B3 , B ,… giao hốn với nhau, nhiên B B khơng giao hốn,  3,4   mod p  Tương tự cho  3,4  B3 , B với B , B6 ,… giao hoán Bằng cách tiếp tục trình này, cuối ta được: 1,2   3,4    t 1,2 t   i, j  Trong t xác định nhóm số lượng phần tử bất biến pn12 t Ta có 1, 2 , , 2t khơng đồng thời đồng dư với  mod p  Giả sử 1 , 2 không đồng thời đồng dư với  mod p  Ta xác định x1, x2 , y1, y2 để 1 x1  2 x2  1 mod p  1 y1  2 y2   mod p  x1 y2  x2 y1   mod p   x1 x2 y1 y2  Dựa vào B1 B  B1 ; B1 B  B ta có 1  1, 2  Trong nhân tử y xác định tuỳ ý để 1,2  Xét tương tự với cặp B2 k 1 , B2 k Giả sử 2 k 1, 2 k không đồng thời đồng dư  mod p  KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 32   1 Suy 3  1, 4  , dựa vào B B  B ; B1 B3  B3 suy 3  số khác không đổi Lặp lại q trình ta có: 1  1  1, 2   2t  Trường hợp s  2t : 2 t1  2 t1  2t 2   s    1 Ta có 1  2 t1  , B1 B t 1  B1 nên 1  Do ta có mở rộng nhóm đặc trưng sơ đồ: 1 0 2 t1 Trong hai nhóm khơng đẳng cấu Cụ thể ba nhóm là: + Với 1  1, i  0,  i  s ta có: pn pn  B  B1, B , , B s , A A p  E,  A, Bi   A, A X AY  A X Y , B1  A, B i  1,  B i , B j   A i , j + Với 2t 1  1, i  0, i  1,2, ,2t,2t  2, , s ta có: KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 33 pn pn  B  B1, B , , B s , A A p  E,  A, Bi   A, A X AY  A X Y , B t 1  1, B i  1,  B i , B j   A i , j + Với i  0,  i  s ta có: pn  B  B1, B , , B s , A A  E,  A, B i   A, A X AY  A X Y , B i  1,  B i , B j   A i , j p Trường hợp s  2t ta có hai nhóm: + Với 1  1, i  0,  i  2t ta có: pn pn  B  B1, B , , B s , A A p  E,  A, Bi   A, A X AY  A X Y , B1  A, B i  1,  B i , B j   A i , j + Với i  0,  i  2t ta có: pn  B  B1, B , , B s , A A p  E,  A, B i   A, A X AY  A X Y , B i  1,  B i , B j   A i , j Như chọn t phù hợp  t  1 ta có: - Đối với s lẻ ta có  s  1 loại - Đối với s chẵn ta có s  loại 2 Nhóm khơng Abel bậc p3 Ta có A từ loại  p , B A từ loại  p, p KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 34 Áp dụng phần cho trường hợp n  s  , chọn t  ta có hai nhóm + Với 1  1, 2  ta có: pn pn  B  B1, B A p  E,  A, B1   A,  A, B   A, A X AY  A X Y , B1  A, B  1,  B1, B   A i , j + Với 1  2  ta có: pn pn  B  B1, B , A A  E,  A, B1   A,  A, B   A, A X AY  A X Y , B1  B  1,  B1, B   A i , j p KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 35 KẾT LUẬN Trong khoá luận tìm hiểu trình bày vấn đề sau: Trình bày khái niệm nhóm Mở rộng nhóm theo nhóm Mở rộng nhóm theo tích trực tiếp Mở rộng nhóm với nhóm abel Một số định nghĩa modulo ma trận Các định lý Schreier Sử dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier để phân loại p-nhóm cấp p KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2004), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục [2] Otto Schreier, Über die Erweiterung von Gruppen, Monatshefte für Mathematik und Physik 1926, tập 34, số 1, trang 165-180 [3] Otto Schreier, Über die Erweiterung von Gruppen II, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 1925/1926, tập 4, số 1, trang 321-346 [4] Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 37 MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN §1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Nhóm 1.1.2 Nhóm 1.1.3 Cấp nhóm 1.1.4 Nhóm chuẩn tắc 1.1.5 p-nhóm 1.1.6 Nhóm Xyclic 1.1.7 Nhóm giao hốn tử 1.1.8 Đồng cấu 1.1.9 Đồng dư §2 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ MỞ RỘNG NHÓM CỦA OTTO SCHREIER I MỞ RỘNG CỦA MỘT NHÓM THEO MỘT NHÓM BẤT KÌ II MỞ RỘNG CỦA MỘT NHĨM THEO TÍCH TRỰC TIẾP 11 III MỞ RỘNG MỘT NHÓM VỚI CÁC NHÓM ABEL 18 CHƢƠNG 2: VIỆC MỞ RỘNG NHÓM VÀ PHÂN LOẠI CÁC p-NHÓM CẤP p3 26 §1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 26 I Một số định nghĩa 26 Mod M ma trận cột 26 Mod M ma trận 26 Mod M ma trận quy 26 Mod M ma trận đơn vị 27 Ma trận thực quy 27 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST T r a n g | 38 II Một số định lý 27 Định lý I (định lý Schreier) 27 Định lý II: 29 §2 PHÂN LOẠI CÁC p –NHÓM CẤP p3 29 Nhóm A từ loại p , B A từ loại p n ,p n , ,p n  29 s Nhóm khơng Abel bậc p3 33 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST ... §2 PHÂN LOẠI CÁC NHĨM P? ??NHĨM C? ?P P3 Để phân loại nhóm khơng Abel dạng p3 tức A từ loại  p? ?? , B A từ loại  p, p? ?? ta tiến hành phân loại từ dạng tổng quát tức nhóm A từ loại  p? ?? , B A từ loại. .. tích trực ti? ?p Mở rộng nhóm với nhóm abel Một số định nghĩa modulo ma trận Các định lý Schreier Sử dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier để phân loại p -nhóm c? ?p p KHỐ LUẬN TỐT NGHI? ?P TRƯƠNG... nhóm c? ?p p n với n số tự nhiên, p số nguyên tố G gọi pnhóm (ii) Nếu H nhóm G H p -nhóm H gọi p -nhóm G (iii) Nếu G nhóm c? ?p m .p n  m, p   H nhóm c? ?p p n G H gọi p -nhóm Sylow G Tính chất p -nhóm: