Sử dụng lý thuyết nửa nhóm nghiên cứu phương trình tiến hóa cấp 1

Mục lục Mở đầu Lí thuyết nửa nhóm 1.1 Định nghĩa 1.2 Nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn 1.3 Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính bị chặn 1.4 Nửa nhóm tốn tử compact 11 1.5 Nửa nhóm giải tích 13 Bài tốn Cauchy phương trình tiến hóa 17 2.1 Đặt tốn 17 2.2 Kiến thức chuẩn bị 18 2.3 Xây dựng nghiệm 20 2.4 Tính nghiệm 30 2.5 Nghiệm toán Cauchy 34 2.6 Dáng điệu tiệm cận nghiệm 37 Bài toán biên ban đầu thứ phương trình parabolic 40 3.1 Đặt tốn 40 3.2 Sự tồn nghiệm 41 3.3 Sự hội tụ nghiệm t → ∞ 43 3.4 Tính trơn nghiệm 46 Tài liệu tham khảo 51 Mở đầu Lý chọn đề tài Lí thuyết nửa nhóm khơng gian Banach bắt đầu xuất từ nửa đầu kỉ XX có bước tiến quan trọng vào năm 1948 với định lí Hill- Yosida Sự đời chuyên khảo Semigroup and funtional Analysis E Hill R.S Philip đưa lí thuyết nửa nhóm lên tầm cao Vào thập kỉ 70, 80 kỉ XX với cố gắng nhiều trung tâm nghiên cứu trường đại học giới lí thuyết nửa nhóm gần đạt đến trạng thái hồn hảo Nửa nhóm trở thành cơng cụ quan trọng phương trình vi phân phương trình hàm vi phân học lượng tử lí thuyết điều khiển vơ hạn chiều Phương pháp nửa nhóm ứng dụng với thành cơng lớn để cụ thể hóa phương trình hệ động lực dân số lí thuyết vận tải Nhóm nghiên cứu giải tích hàm (AGFA) Tuebingen đứng đầu GS Nagel đề xuất triết lí hầu hết phương trình vi phân tuyến tính đưa tốn nửa nhóm tham số cách trọn khơng gian tốn tử thích hợp Từ xây dựng nửa nhóm biểu diễn nghiệm chúng Triết lí có tên khơng thức ” Semigroup everywhere” Có thể kể nhiều cơng trình mang triết lí Ví dụ cơng trình Nagel, N.T Huy, Piazzera, Schnaubelt nửa nhóm cho phương trình hàm; Cơng trình Engel, Nickel, Goldtein nửa nhóm cho toán biên với điều kiện biên động; Cơng trình Kuntman Weiss nửa nhóm cho tốn qui tối đại; Cơng trình Lasiecka nửa nhóm cho tốn điều khiển biên Việc xây dựng trực tiếp nửa nhóm biểu diễn nghiệm phương trình cho phép áp dụng lí thuyết nửa nhóm để nghiên cứu trực tiếp tính chất nghiệm dáng điệu tiệm cận phưng trình tuyến tính Ơtơnơm Trong cơng trình Hill-Yosida, lí thuyết nửa nhóm áp dụng để nghiên cứu nghiệm toán Cauchy phương trình du + Au = f Trong dt trường hợp toán tử A phụ thuộc vào t tức A = A(t) ta có phương trình tiến hóa: du + A(t)u(t) = f (t) dt Lí thuyết phương trình tiến hóa phát triển Kato, Tanabe, Sobolevski nhiều nhà toán học khác Với mong muốn tìm hiểu lí thuyết nửa nhóm ứng dụng lí thuyết cụ thể, tơi chọn nội dung: Sử dụng lí thuyết nửa nhóm nghiên cứu phương trình tiến hóa cấp làm khóa luận tốt nghiệp đại học Mục tiêu Khóa luận cần đạt mục tiêu sau: - Trình bày kết lí thuyết nửa nhóm ứng dụng lí thuyết nửa nhóm vào nghiên cứu nghiệm tốn Cauchy phương trình tiến hóa cấp - Sử dụng kết biết nghiên cứu toán biên ban đầu thứ phương trình parabolic trụ hữu hạn Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức lí thuyết nửa nhóm - Nghiên cứu tốn Cauchy phương trình tiến hóa cấp - Nghiên cứu nghiệm tốn biên ban đầu thứ phương trình parabolic Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu khóa luận phương pháp nửa nhóm Bên cạnh đó, tơi cịn sử dụng đánh giá chuẩn toán tử phương pháp lượng để chứng minh tính nghiệm tính qui, hội tụ nghiệm Đối tượng phạm vi nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu: : Lí thuyết nửa nhóm phương trình tiến hóa cấp * Phạm vi nghiên cứu: : Nghiệm toán Cauchy phương trình tiến hóa tốn biên ban đầu thứ phương trình parabolic Lời cảm ơn Trong q trình hồn thành khóa luận, ngồi cố gắng thân, tơi cịn nhận giúp đỡ thầy cô giáo, bạn bè gia đình Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến cô giáo- ThS Đặng Thị Phương Thanh giảng viên khoa Tốn -cơng nghệ ln giúp đỡ, bảo tận tình cho tơi mặt kiến thức, cung cấp tài liệu hay, rèn luyện tác phong nghiên cứu khoa học Tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo- giảng viên khoa Tốncơng nghệ bảo, đóng góp ý kiến q báu cho để khóa luận hồn thiện Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè người sát cánh bên an ủi, động viên, đóng góp ý kiến cho khóa luận Do trình độ cịn hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc để khóa luận hoàn chỉnh Chân thành cảm ơn! Chương Lí thuyết nửa nhóm 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Mêtric đủ , họ ánh xạ S(t), t ≥ từ X vào X thỏa mãn : i, S(0) = I ii, S(s + t) = S(t)S(s) với t, s > iii, Với t ≥ 0, S(t) ∈ C (X, X) iv, Với u ∈ X t −→ S(t)u ∈ C ((0, ∞) , X), gọi nửa nhóm liên tục X 1.2 Nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian Banach Một họ tham số T(t) (0 ≤ t < ∞) tốn tử tuyến tính bị chặn A từ X vào X nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn X nếu: i, T (0) = I , I ánh xạ đồng X ii, T (t + s) = T (s)T (t), với t, s ≥ Nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn T (t) liên tục lim T (t) − I = t↓0 Một toán tử A xác định bởi: D(A) = x ∈ X : lim t↓0 T (t)x − x tnti t Ax = lim t↓0 d+ T (t)x T (t)x − x = t dt với x ∈ D(A) t=0 gọi toán tử sinh cực tiểu nửa nhóm T (t) D(A) gọi miền xác định A Định lí 1.2.1 Tốn tử tuyến tính A tốn tử sinh cực tiểu nửa nhóm liên tục A tốn tử tuyến tính bị chặn Chứng minh A tốn tử tuyến tính bị chặn X , xét tập hợp ∞ T (x) = e tA = i=0 (tA)n n! (1.1) Vế phải (1.1) hội tụ với t ≥ xác định với t Đánh giá cho chuỗi lũy thừa: T(t) − I) ≤ t A εt A T (t) − I − A ≤ A T (t) − I t suy T (t) nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn X A toán tử sinh cực tiểu Nếu T (t) nửa nhóm liên tục tốn tử bị chặn X , cố định ρ đủ ρ nhỏ I − ρ−1 ρ T (s) ds < Từ suy ρ−1 ρ T (s) ds khả nghịch T (s) ds khả nghịch Do: ρ h−1 (T (h)−I) ρ T (s) ds = h−1 ( ρ+h ρ T (s+h) ds− T (s) ds) = T (s) ds − h−1 T (s) ds)−1 T (s) ds)( T (s) ds− T (s) ds) ρ h ρ h ρ ρ+h h−1 (T (h) − I) = (h−1 h−1 ( (1.2) Nên cho h tiến dần (1.2) ta có h−1 (T (h) − I) hội tụ chuẩn Và ρ tính mạnh tốn tử tuyến tính bị chặn (T (ρ) − I)( T (s) ds)−1 nên hàm sinh cực tiểu T (t) Từ định nghĩa 1.2.1 rõ ràng nửa nhóm T (t) có hàm sinh Nếu T (t) liên tục hàm sinh tốn tử tuyến tính bị chặn Trong tình khác tốn tử tuyến tính bị chặn A hàm sinh nửa nhóm liên tục T (t) Nửa nhóm có khơng? Sau nghiên cứu Định lí 1.2.2 Cho T (t) S(t) nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn Nếu lim t↓0 T (t) − I S(t) − I = A = lim t t t↓0 (1.3) T (t) = S(t) với t ≥ Chứng minh Cho T > 0, S(t) = T (t) với ≤ t ≤ T Cố định T > 0, ánh xạ t → T (t) t → S(t) liên tục nên có số C cho T (t) S(s) ≤ C với ≤ s, t ≤ T Với ε > từ (1.3) , tồn δ > cho h−1 T (h) − S(h) < ε TC Với ≤ t ≤ T chọn n ≥ thỏa mãn với ≤ h ≤ δ t < δ Từ tính chất nửa nhóm (1.4) n ta có : t t T (t) − S(t) = T (n ) − S(n ) n n n−1 ≤ k=0 n−1 ≤ k=0 ≤ Cn kt t (k + 1)t t ) T ((n − k) )S( ) − T ((n − k − 1) )S( n n n n t T ((n − k − 1) ) n t t T ( ) − S( ) n n S( kt ) n ε t TC n ≤ ε Với ε > tùy ý, T (t) = S(t) với ≤ t ≤ T ta hoàn thành chứng minh Hệ 1.2.3 Nếu T (t) nửa nhóm liên tục tốn tử bị chặn thì: i, Tồn số ω ≥ thỏa mãn T (t) ≤ eωt ii, Tồn tốn tử tuyến tính bị chặn A cho T (t) = etA (1.4) iii, Toán tử tuyến tính A (ii) tốn tử sinh cực tiểu T (t) iv, t → T (t) đạo hàm chuẩn dT (t) = AT (t) = T (t)A dt (1.5) Chứng minh Các khẳng định hệ 1.2.3 suy từ (ii) Ta chứng minh (ii) ý phần tử sinh cực tiểu T (t) toán tử bị chặn A A phần tử sinh cực tiểu etA xác định (1.1) từ định lý 1.2.2 ta có T (t) = etA 1.3 Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.3.1 Một nửa nhóm T (t), ≤ t < ∞, toán tử tuyến tính bị chặn X gọi nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính bị chặn lim T (t)x = x với x ∈ X t↓0 (1.6) Một nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính bị chặn X gọi C0 nửa nhóm Định lí 1.3.1 Giả sử T (t) C0 nửa nhóm Khi tồn số ω ≥ M ≥ cho T (t) ≤ M eωt với ≤ t < ∞ (1.7) Chứng minh Đầu tiên ta giả sử có η > cho T (t) bị chặn với ≤ t ≤ η Nếu giả sử sai có dãy {tn } thỏa mãn tn ≥ 0, lim tn = T (tn ) ≥ n n→∞ Từ định lí tính bị chặn có phần tử x ∈ X , T (tn )x không bị chặn, trái lại với (1.6) Do đó, T (x) ≤ M với ≤ t ≤ η , T (0) = 1, M ≥ Với ω = η −1 log M ≥ Cho t ≥ ta có t = nη + δ với ≤ δ < η nhờ tính chất nửa nhóm ta có n T (t) = T (δ)T (η) ≤M n+1 t ≤ M M η = M eωt ( ) Hệ 1.3.2 Nếu T (t) C0 nửa nhóm với x ∈ X , t → T (t)x hàm liên tục từ R+ vào X Chứng minh Với t, h ≥ tính liên tục t → T (t)x suy từ: T (t + h)x − T (t)x ≤ T (t) T (h)x − x ≤ M eωt T (h)x − x với t ≥ h ≥ ta có T (t − h)x − T (t)x ≤ T (t − h) x − T (h)x ≤ M eωt x − T (h)x Định lí 1.3.3 Giả sử T (t) C0 nửa nhóm A toán tử sinh cực tiểu T (t) thì: i, Với x ∈ X , t+h lim h→0 h (1.8) T (s)x ds = T (t)x t t ii, Với x ∈ X , T (s) ds ∈ D(A) t T (s)x ds = T (t)x − x A (1.9) iii, Với x ∈ D(A), T (t)x ∈ D(A) d T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax dt (1.10) iv, Với x ∈ D(A), t T (t)x − T (s)x = t T (τ )Ax dτ = s (1.11) AT (τ )x dτ s Chứng minh Phần (i) suy trực tiếp từ tính liên tục t → T (t)x ta chứng minh (ii) Với x ∈ X h > thì: t T (h) − I h t T (s)x ds = h t+h T (s + h)x − T (s)x ds = h t h T (s)x ds − h T (s)x ds cho h ↓ vế phải tiến đến T (t)x − x, ta chứng minh xong (ii) Ta chứng minh (iii) Giả sử x ∈ D(A) h > ta có: T (h) − I T (h) − I T (t)x = T (t) x → T (t)Ax, h ↓ h h (1.12) Do đó, T (t)x ∈ D(A) AT (t)x = T (t)Ax (1.12) kéo theo : d+ T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax, dt (1.13) đạo hàm phải T (t)x T (t)Ax Để chứng minh (1.10) ta chứng tỏ với t > đạo hàm trái T (t)x tồn T (t)Ax Từ lim h↓0 = lim T (t − h) h↓0 T (t)x − T (t − h)x − T (t)Ax h T (h)x − x − Ax + lim T (t − h)Ax − T (t)Ax , h h↓0 Hơn nữa, ta thấy hai số hạng vế bên phải , x ∈ D(A) T (t) − h bị chặn ≤ h ≤ t tính liên tục mạnh T (t) ta thu chứng minh (iii) Lấy tích phân từ s đến t ta thu (iv) Hệ 1.3.4 Nếu A toán tử sinh cực tiểu C0 nửa nhóm T (t) D(A) miền xác định A D(A) trù mật X A toán tử tuyến tính đóng Chứng minh Với x ∈ X , đặt xt = t t Theo phần (ii) định lí 1.3.3 xt ∈ D(A) T (s)x ds với t > theo phần (i) định lí 1.3.3 ta có xt → x với t ↓ Do đó, bao đóng D(A) X Hiển nhiên A tốn tử tuyến tính Chứng minh xn ∈ D(A), xn → x Axn → y n → ∞ Từ phần (iv) định lí 1.3.3 ta có: t T (t)xn − xn = T (s)Axn ds (1.14) Tích phân vế phải (1.14) hội tụ đến T (s)y khoảng bị chặn Do cho n → ∞ (1.14) ta thu t T (t)x − x = T (s)y ds Chia (1.14) cho t > cho t ↓ Sử dụng phần (i) định lí 1.3.3 ta có x ∈ D(A) Ax = y Định lí 1.3.5 Giả sử T (t) S(t) C0 nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn với tốn tử sinh cực tiểu tương ứng A B Nếu A = B T (t) = S(t) với t ≥ 10 | ≤ Ce−δt A(τ )e−tA(τ (2.73) C, δ số dương độc lập theo t, τ Đặt sup{ [A(t) − A(τ )]A−1 (s) : t > τ ≤ µ, < s < ∞} = η(µ) (2.74) Do giả thiết η(µ) → µ → 0, nên từ (2.74) ta có α [A(t) − A(τ )]A−1 (s) ≤ C η(µ)(t − τ ) với µ ≤ τ < t < ∞, < s < ∞ (2.75) Từ (2.73) (2.74) suy α η(µ) |t − τ |−1+ e−δ(t−τ ) , K số ||Φ1 (t, τ )|| ≤ K (2.76) Do ||Φk (t, τ )|| ≤ (K η(µ))k |t − τ |−1+ kα Γ( α )k Γ( kα ) e−δ(t−τ ) (2.77) Vậy với < η < θ ta có ||Φ(t, τ )|| ≤ C η(µ) 1− α |t − τ | e−θ(t−τ ) (t > τ ≥ µ) (2.78) (C số chung không phụ thuộc vào µ) Từ bổ đề 2.3.8 (2.72), (2.73), (2.74), (2.75) ta có α η(µ)(t − s) e−θ(t−τ ) ||Φ(t + ∆t, τ ) − Φ(t, τ )|| ≤ C (2.79) Từ định lí 2.1.2 ta có bất đẳng thức e−τ A(t) − e−τ A(s) ≤C α η(µ)(t − s) e−θτ (t > s ≥ µ) (2.80) Từ bổ đề chứng minh Hệ 2.6.2 Cho < θ < δ , t > τ ≥ µ ≥ ||U (t, τ )|| ≤ Ce−θ(t−τ ) , (2.81) ||A(t)U (t, τ )|| ≤ C(t − τ )−1 e−θ(t−τ ) (2.82) Định lí 2.6.3 Cho giả thiết (B1) − (B3) cho u(t) nghiệm phương trình (2.70) Khi đó, tồn phần tử u(∞) ∈ X cho A(∞)u(∞) = f (∞) du dt ||u(t) − u(∞)|| → 0, 38 → t → ∞ Chứng minh Ta viết t u(t) = U (t, τ )u(τ ) + U (t, s)f (s) ds = U (t, τ )u(τ ) + w(t) τ Từ chứng minh định lí 2.1.2 ta có: t dw = f (t) − dt A(t)U (t, s)[f (s) − f (t)] ds t A(t)[U (t, s) − e−(t−s)A(t) ] ds]f (t) + [I − e−(t−τ )A(t) ]f (t) +[ (2.83) Từ giả thiết (B3) f (s) − f (t) ≤ δ(µ) t, s ≥ µ (trong δ(µ) → µ → 0) suy β f (s) − f (t) ≤ Cδ(µ)|t − s| t, s ≥ µ Kết hợp với (2.82) ta Nếu τ ≥ µ t t A(t)U (t, s)[f (s) − f (t)] ds ≤ C η(µ) β τ e−θ(t−s) |t − s|1− ds = C η(µ) (2.84) Từ (2.71) sup f (t) ≤ ∞ ta có t>0 t A(t)U (t, s)[f (s) − f (t) ds f (t) ≤ C η(µ) dw nhỏ tùy ý t đủ lớn Mặt dt du khác, đạo hàm U (t, τ )u(τ ) thỏa mãn tính chất nên → t → ∞ dt Từ (2.69) suy −A(t)u(t) + f (t) → t → Từ f (t) → f (∞) suy Kết hợp với (2.72), (2.83), (2.84) ta thấy A(∞)u(t) = [A(∞)A−1 (t)]A(t)u(t) → f (∞) Vậy u(t) = A−1 (∞)A(∞)u(t) → A−1 (∞)f (∞) Đặt A−1 (∞)f (∞) = u(∞), ta điều phải chứng minh 39 Chương Bài toán biên ban đầu thứ phương trình parabolic 3.1 Đặt tốn Cho Ω miền bị chặn Rn với biên trơn < p < ∞ Giả sử toán tử vi phân cấp 2m aα (x, t)Dα A(x, t, D) = |α|≤2m thỏa mãn điều kiện: C1, Với t ∈ [0, T ], toán tử A(x, t, D) eliptic mạnh Ω , tức tồn số C > cho (−1)m Re{ aα (x, t)ξ α } ≥ C|ξ|2m |α|=2m với x ∈ Ω , ≤ t ≤ T ξ ∈ Rn C2, Các hệ số aα (x, t) hàm trơn biến x Ω với ≤ t ≤ T thỏa mãn |aα (x, t) − aα (x, s)| ≤ C1 |t − s|β với C1 số dương ≤ β < 1, x ∈ Ω, ≤ s, t ≤ T |α| ≤ 2m Trong hình trụ QT = Ω × [0, T ], xét tốn biên ban đầu thứ sau: ut + A(x, t, D)u = f (u, t) (3.1) QT Dα u(x, t) = 0, |α| ≤ m − ∂Ω × [0, T ] 40 (3.2) u(x, 0) = u0 (x) Ω (3.3) Trong u0 (x) ∈ Lp (Ω); f (x, t) ∈ Lp (QT ) hàm cho Với họ toán tử {A(x, t, D)}t∈[0,T ] Lp (Ω), < p < ∞ ta xác định sau: m,p D(Ap (t)) = D = W 2m,p (Ω) ∩ W◦ (Ω) Ap (t)u = A(x, t, D)u với u ∈ D Xét toán Cauchy liên kết du + Ap (t)u = f, dt (3.4) u(0) = Mỗi nghiệm cổ điển u toán Cauchy (3.4) gọi nghiệm suy rộng toán (3.1)-(3.3) 3.2 Sự tồn nghiệm Kết mục định lí tồn nghiệm toán (3.1)-(3.3) giả thiết (C1), (C2) tính liên tục Holder hàm f Trước tiên ta chứng minh: Bổ đề 3.2.1 Với giả thiết (C1), (C2), tồn hẳng số k ≥ cho họ toán tử {Ap (t) + kI}t∈[0,T ] thỏa mãn điều kiện (A1)- (A3) mục (2.1) Chứng minh Từ định nghĩa toán tử Ap (t) ta thấy với số thực k miền xác định tốn tử Ap (t) + kI thỏa mãn: D(Ap (t) + kI) = D(Ap (t)) = D khơng phụ thuộc vào t Do đó, với cách chọn k ≥ họ {Ap (t) + kI}t∈[0,T ] thỏa mãn điều kiện (A1) 2m,p Vì A tốn tử eliptic mạnh cấp 2m miền Ω u ∈ W 2m,p (Ω) ∩ W◦ (Ω) nên tồn số C cho u 2m,p ≤ C( Ap (t)u o,p + u 41 o,p ), với u ∈ D Từ ước lượng tiên nghiệm ta suy u ≤ o,p M (λI + Ap (t)u) |λ| o,p với u ∈ D, λ thỏa mãn Reλ ≥ |λ| ≥ R, R = const ≥ Chọn k > R ta được: u o,p ≤ M1 (λI + (Ap (t) + kI))u |λ| + k o,p ≤ M (λI + (Ap (t) + kI))u |λ| + o,p Mặt khác, với Reλ ≥ ≤ t ≤ T tốn tử λI + (Ap (t) + kI) tồn ánh Do đó, bất đẳng thức trở thành R(λ; Ap (t) + kI)u ≤ o,p M u + |λ| o,p với u ∈ Lp (Ω) λ thỏa mãn Reλ ≤ Hơn nữa, cố định k > R ta có họ {Ap (t) + kI}t∈[0,T ] thỏa mãn điều kiện (A2) Cuối cùng, cho u ∈ Lp (Ω) w = (Ap (t) + kI)−1 u ta có w ∈ D (Ap (t) + kI)w − (Ap (s) + kI)w o,p (aα (x, t) − aα (x, s))Dα u = o,p |α|≤2m ≤ C1 |t − s|β Dα w o,p |α|≤2m ≤ C2 |t − s|α w 2m,p Từ bất đẳng thức u o,p ≤ M1 λI + Ap (t)u λ R(λ; Ap (t) + kI)u o,p ≤ o,p , M u |λ| + o,p suy w 2m,p ≤ C( Ap (τ )(Ap (τ ) + kI)−1 u ≤ C(1 + kM + M ) u o,p ) + C (Ap (τ ) + kI)−1 u o,p o,p Do ((Ap (t) + kI) − (Ap (s) + kI))(Ap (τ ) + kI)−1 u o,p ≤ C3 |t − s|β u o,p Với u ∈ Lp (Ω) họ {Ap (t) + kI}t∈[0,T ] thỏa mãn điều kiện (A3) Từ bổ đề 3.2.1 định lí 2.1.2 suy 42 Định lí 3.2.2 Cho họ A(x, t, D), ≤ t ≤ T thỏa mãn điều kiện (C1)-(C2) cho f (x, t) ∈ Lp (Ω) với ≤ t ≤ T thỏa mãn p |f (x, t) − f (x, s)| dx p ≤ C|t − s|γ Ω với số C > 0, ≤ γ < Khi với u0 (x) ∈ Lp (Ω) tốn (2.1)-(2.3) có nghiệm suy rộng Chứng minh Dễ thấy hàm f thỏa mãn điều kiện (2.6) với số thực k, hàm e−kt f thỏa mãn (2.6) Từ bổ đề ta suy tồn k ≥ cho họ {Ap (t) + kI}t∈[0,T ] thỏa mãn điều kiện (A1)-(A3) Ta chọn cố định số k Cho u0 (x) ∈ Lp (Ω) từ định lí 2.1.2 suy toán Cauchy dv + (Ap (t) + kI)v = e−ktf dt (∗) v(0) = có nghiệm v Dễ thấy hàm u = ekt v nghiệm toán du + Ap (t)u = f (t) dt (∗∗) u(0) = u0 tức u nghiệm suy rộng tốn (2.1)-(2.3) Vì u nghiệm (**) v = e−kt u nghiệm (*) nên nghiệm u (**) Do đó, tốn biên ban đầu thứ (2.1)-(2.3) có nghiệm suy rộng Định lí chứng minh 3.3 Sự hội tụ nghiệm t → ∞ Giả sử u(x, t) nghiệm suy rộng toán (2.1)-(2.3) Trong mục ta nghiên cứu dáng điệu nghiệm u(x, t) t → +∞ Giả thiết: D1, Toán tử Lu ≡ ∂u ∂u + A(x, t, D) ≡ + ∂t ∂t aα (x, t)Dα u |α|≤2m toán tử eliptic mạnh Ω với t ∈ (0, ∞) ( với số eliptic) D2, Các hệ số aα (x, t) liên tục Q∞ , |aα (x, t) − aα (x, t )| ≤ C|t − t |β , 43 < β ≤ với x ∈ Ω, t ≥ ; C, β số D3, R(λ, A(t)) ≤ C Reλ ≤ 0, với t ≥ |λ| + Ở A(t) xem tốn tử Lp (Ω) với miền xác định W 2m,p (Ω) ∩ < p < ∞ m,p W◦ (Ω), D4, sup |aα (x, t) − aα (x, ∞)| → t → ∞ x Dα Đặt A(x, ∞) = |α|≤2m Từ định lí 2.6.3 ta nhận được định lí sau: Định lí 3.3.1 Nếu |f (x, t) − f (x, s)|p dx ≤ C|t − s|pβ , với (0 < t, s < ∞) (3.5) |f (x, t) − f (x, ∞)|p dx → t → ∞ (3.6) Ω Ω |u(x, t) − u(x, ∞)|p → Ω t → ∞ Ở u(x, ∞) nghiệm toán dừng A(x, ∞)u = f (x, ∞) Chứng minh Để áp dụng định lí 2.6.3 ta kiểm tra điều kiện (B1), (B2), (B3) * kiểm tra điều kiện (B3) Từ Lu toán tử eliptic mạnh Ω với t ∈ (0, ∞) nên ta có (−1)m Re{ aα (x, t)ξ α } ≥ C|ξ|2m |α|=2m với t ≥ 0, x ∈ Ω, ξ ∈ Rn Cho t → ∞ ta (−1)m Re{ aα (x, ∞)ξ α } ≥ C|ξ|2m |α|=2m với x ∈ Ω ξ ∈ Rn 44 Suy phương trình A(x, ∞)u = f (x, ∞) có nghiệm u(x, ∞) Từ (2.9), (2.10) định nghĩa chuẩn Lp ta thấy điều kiện (B3) thỏa mãn * Kiểm tra điều kiện (B2) Từ (D4) suy với f ∈ Lp (Ω) bất kì, ta có: [A(x, t) − A(x, ∞)]A−1 (x, 0)f p Lp p Lp α = [A(x, t) − A(x, ∞)]u(x, 0)f p Lp (aα (x, t) − aα (x, ∞))D u = |α|≤2m |aα (x, t) − aα (x, ∞)|p (Dα u)p dx = Ω |α|≤2m p W 2m,p ≤ sup |aα (x, t) − aα (x, ∞)|p u α x mà u W 2m,p ≤C f Lp nên [A(x, t) − A(x, ∞)]A−1 (x, 0)f Lp ≤ C sup α|aα (x, t) − aα (x, ∞)| f x Lp Từ điều kiện (D4) suy [A(x, t) − A(x, ∞)]A−1 (x, 0) → t → ∞ * Kiểm tra điều kiện (B1) (a) Điều kiện (A1) hiển nhiên từ cách xác định A(t) (b) Điều kiện (A2) thỏa mãn nhờ giả thiết (D3) (c) Điều kiện (A3) ta có: [A(x, t) − A(x, τ )]A−1 (x, s)f p Lp = [A(x, t) − A(x, τ )]u p Lp (aα (x, t) − aα (x, τ ))Dα u = p Lp |α|≤2m |aα (x, t) − aα (x, τ )|p (Dα u)p dx = Ω |α|≤2m ≤ sup |aα (x, t) − aα (x, τ )|p u x α ≤ C|t − τ |pβ u p W 2m,p với < β ≤ Mà u W 2m,p ≤C f Lp nên (A(x, t) − A(x, τ ))A−1 (x, s) ≤ C|t − τ |β Do (A3) thỏa mãn (d) ta cịn phải kiểm tra sup A(x, t)A−1 (x, s) < ∞ 0