Sử dụng lý thuyết nửa nhóm nghiên cứu phương trình tiến hóa cấp 1

Phương pháp nửa nhóm cũng được ứng dụng với thành công lớn để cụ thể hóa các phương trình trong hệ động lực dân số hoặc trong lí thuyết vận tải.Nhóm nghiên cứu giải tích hàm AGFA ở Tuebi

Mục lục

1.1 Định nghĩa 5

1.2 Nửa nhóm liên tục đều của toán tử tuyến tính bị chặn 5

1.3 Nửa nhóm liên tục mạnh của toán tử tuyến tính bị chặn 8

1.4 Nửa nhóm của toán tử compact 11

1.5 Nửa nhóm giải tích 13

2 Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa 17 2.1 Đặt bài toán 17

2.2 Kiến thức chuẩn bị 18

2.3 Xây dựng nghiệm cơ bản 20

2.4 Tính duy nhất của nghiệm cơ bản 30

2.5 Nghiệm của bài toán Cauchy 34

2.6 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm 37

3 Bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic 40 3.1 Đặt bài toán 40

3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 41

3.3 Sự hội tụ của nghiệm khi t → ∞ 43

3.4 Tính trơn của nghiệm 46

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lí thuyết nửa nhóm trên không gian Banach bắt đầu xuất hiện từ nửa đầu thế

kỉ XX và có bước tiến quan trọng vào năm 1948 với định lí Hill- Yosida Sự ra đờicủa cuốn chuyên khảo Semigroup and funtional Analysis của E Hill và R.S Philip

đã đưa lí thuyết nửa nhóm lên một tầm cao mới Vào thập kỉ 70, 80 của thế kỉ XXvới sự cố gắng của nhiều trung tâm nghiên cứu và các trường đại học trên thế giới

lí thuyết nửa nhóm đã gần đạt đến trạng thái hoàn hảo

Nửa nhóm đã trở thành một công cụ quan trọng trong phương trình vi phân vàphương trình hàm vi phân trong cơ học lượng tử hoặc trong lí thuyết điều khiển

vô hạn chiều Phương pháp nửa nhóm cũng được ứng dụng với thành công lớn để

cụ thể hóa các phương trình trong hệ động lực dân số hoặc trong lí thuyết vận tải.Nhóm nghiên cứu giải tích hàm (AGFA) ở Tuebingen đứng đầu là GS Nagel đềxuất một triết lí là hầu hết các phương trình vi phân tuyến tính đều có thể đưa vềbài toán nửa nhóm một tham số bằng cách trọn không gian và toán tử thích hợp

Từ đó xây dựng nửa nhóm biểu diễn nghiệm của chúng Triết lí đó có tên khôngchính thức là ” Semigroup everywhere” Có thể kể ra rất nhiều các công trình mangtriết lí này Ví dụ như công trình của Nagel, N.T Huy, Piazzera, Schnaubelt về nửanhóm cho các phương trình hàm; Công trình của Engel, Nickel, Goldtein về nửanhóm cho các bài toán biên với điều kiện biên động; Công trình của Kuntman vàWeiss về nửa nhóm cho bài toán chính qui tối đại; Công trình của Lasiecka về nửanhóm cho bài toán điều khiển biên Việc xây dựng trực tiếp nửa nhóm biểu diễnnghiệm của phương trình cho phép áp dụng lí thuyết nửa nhóm để nghiên cứu trựctiếp tính chất nghiệm và dáng điệu tiệm cận của phưng trình tuyến tính Ôtônôm.Trong các công trình của Hill-Yosida, lí thuyết nửa nhóm đã được áp dụng đểnghiên cứu nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình du

dt + Au = f Trongtrường hợp toán tử A phụ thuộc vào t tức là A = A(t) ta có phương trình tiến hóa:

du

dt + A(t)u(t) = f (t)

Lí thuyết phương trình tiến hóa được phát triển bởi Kato, Tanabe, Sobolevski

và nhiều nhà toán học khác

Với mong muốn tìm hiểu về lí thuyết nửa nhóm và ứng dụng của nó trong một

lí thuyết cụ thể, tôi chọn nội dung: Sử dụng lí thuyết nửa nhóm nghiên cứuphương trình tiến hóa cấp một làm khóa luận tốt nghiệp đại học

2 Mục tiêu

Khóa luận cần đạt các mục tiêu sau:

- Trình bày các kết quả cơ bản về lí thuyết nửa nhóm và ứng dụng của lí thuyếtnửa nhóm vào nghiên cứu nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình tiếnhóa cấp một

- Sử dụng các kết quả đã biết nghiên cứu bài toán biên ban đầu thứ nhất đốivới phương trình parabolic trong trụ hữu hạn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về lí thuyết nửa nhóm

- Nghiên cứu về bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa cấp một

- Nghiên cứu nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trìnhparabolic

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu trong khóa luận là phương pháp nửa nhóm.Bên cạnh đó, tôi còn sử dụng các đánh giá chuẩn của toán tử và phương phápnăng lượng để chứng minh tính duy nhất nghiệm và tính chính qui, sự hội tụ củanghiệm

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu: : Lí thuyết nửa nhóm và phương trình tiến hóacấp một

* Phạm vi nghiên cứu: : Nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trìnhtiến hóa và bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic

Tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo- giảng viên khoa công nghệ đã chỉ bảo, đóng góp những ý kiến quí báu cho để khóa luận được hoànthiện hơn.

Toán-Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè những người đãluôn sát cánh bên tôi an ủi, động viên, đóng góp ý kiến cho khóa luận

Do trình độ còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót rấtmong nhận được ý kiến đóng góp của quí thầy cô và các bạn đọc để khóa luậnđược hoàn chỉnh hơn

Chân thành cảm ơn!

ii, S(s + t) = S(t)S(s) với mọi t, s > 0.

iii, Với mọi t ≥ 0, S(t) ∈ C0(X, X)

iv, Với mọi u ∈ X t 7−→ S(t)u ∈ C0((0, ∞) , X),

được gọi là một nửa nhóm liên tục trên X

1.2 Nửa nhóm liên tục đều của toán tử tuyến tính

bị chặn

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian Banach Một họ tham số T(t) (0 ≤ t < ∞)của toán tử tuyến tính bị chặn A từ X vào X là một nửa nhóm của toán tử tuyếntính bị chặn trên X nếu:

i, T (0) = I, I là ánh xạ đồng nhất trên X

ii, T (t + s) = T (s)T (t), với mọi t, s ≥ 0

Nửa nhóm của toán tử tuyến tính bị chặn T (t) là liên tục đều nếu

suy ra T (t) là một nửa nhóm liên tục đều của toán tử tuyến tính bị chặn trên

X và A là toán tử sinh cực tiểu

Nếu T (t) là nửa nhóm liên tục đều của toán tử bị chặn trên X, cố định ρ đủnhỏ thì kI − ρ−1

Nên cho h tiến dần về 0 ở (1.2) ta có h−1(T (h) − I) hội tụ của chuẩn Và dotính mạnh toán tử tuyến tính bị chặn (T (ρ) − I)(

ρ

R

0

T (s) ds)−1 nên nó là hàm sinhcực tiểu của T (t)

Từ định nghĩa 1.2.1 rõ ràng một nửa nhóm T (t) thì có duy nhất một hàm sinh.Nếu T (t) liên tục đều thì hàm sinh của nó là một toán tử tuyến tính bị chặn.Trong những tình huống khác mỗi toán tử tuyến tính bị chặn A là hàm sinh củanửa nhóm liên tụcT (t) Nửa nhóm đó có duy nhất không? Sau đây chúng ta sẽ đinghiên cứu

Định lí 1.2.2 Cho T (t) và S(t) là nửa nhóm liên tục đều của toán tử tuyến tính

≤ ε.

Với ε > 0 tùy ý, T (t) = S(t) với 0 ≤ t ≤ T ta đã hoàn thành chứng minh

Hệ quả 1.2.3 Nếu T (t) là nửa nhóm liên tục đều của toán tử bị chặn thì:

i, Tồn tại một hằng số ω ≥ 0 thỏa mãn kT (t)k ≤ e ωt

ii, Tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính bị chặn A sao cho T (t) = etA

iii, Toán tử tuyến tính A trong (ii) là toán tử sinh cực tiểu của T (t).

iv, t → T (t) là đạo hàm của chuẩn và

tử sinh cực tiểu của etA xác định bởi (1.1) và từ định lý 1.2.2 ta có T (t) = etA

1.3 Nửa nhóm liên tục mạnh của toán tử tuyến tính

ω = η−1log M ≥ 0 Cho t ≥ 0 ta có t = nη + δ với 0 ≤ δ < η và do nhờ tính chất nửanhóm ta có

x → T (t)Ax, khi h ↓ 0. (1.12)

Do đó, T (t)x ∈ D(A)và AT (t)x = T (t)Ax (1.12) kéo theo :

d+

đạo hàm phải của T (t)x là T (t)Ax

Để chứng minh (1.10) ta sẽ chứng tỏ rằng với t > 0 đạo hàm trái của T (t)xtồntại và bằngT (t)Ax

Hơn nữa, ta thấy cả hai số hạng ở vế bên phải bằng0, vìx ∈ D(A)và kT (t) − hk

bị chặn trên 0 ≤ h ≤ t và bởi tính liên tục mạnh của T (t) ta thu được chứng minhcủa (iii) Lấy tích phân từ s đến t ta thu được (iv)

Hệ quả 1.3.4 Nếu A là toán tử sinh cực tiểu của C 0 nửa nhóm T (t) và D(A)

miền xác định của A thì D(A) là trù mật trong X và A là toán tử tuyến tính đóng.Chứng minh

Theo phần (ii) của định lí 1.3.3 xt ∈ D(A)

với t > 0 và theo phần (i) của định lí 1.3.3 ta có xt → x với t ↓ 0 Do đó, bao đóngcủaD(A) bằng X Hiển nhiên A là toán tử tuyến tính

Chứng minh còn đúng nếu xn ∈ D(A), xn → x và Axn → y khi n → ∞ Từ phần(iv) của định lí 1.3.3 ta có:

Tích phân ở vế phải của (1.14) hội tụ đều đến T (s)y trong một khoảng bị chặn

Do đó cho n → ∞ ở (1.14) ta thu được

1.4 Nửa nhóm của toán tử compact

Định nghĩa 1.4.1 Một C0 nửa nhóm T(t) được gọi là compact với t > t0 nếu vớimọi t > t0, T (t) là một toán tử compact T (t) được gọi là compact nếu nó compactvới mọi t > 0

Định lí 1.4.1 Giả sử T (t) là một C0 nửa nhóm Nếu T (t) là compact với mọi

t > t0 thì T (t) liên tục trong toán tử tôpô đều với t > t0

Chứng minh

Giả sử kT (s)k ≤ M với 0 ≤ s ≤ 1, ε > 0 cho trước Nếu t > t0 thì tập hợp

Ut = {T (t)x : kxk ≤ 1} là tập compact do đó tồn tại x1, x2, , xN sao cho hình cầu

mở bán kính ε

2(M + 1) tâm T (t)xj, 1 ≤ j ≤ N phủ Ut Từ tính liên tục mạnh của

T (t) thì tồn tại 0 ≤ h0 ≤ 1 sao cho:

kT (t + h)xj− T (t)xjk < ε

2 với 0 ≤ h ≤ h0 và 1 ≤ j ≤ N (1.15)Giả sử x ∈ X, kxk ≤ 1thì có một chỉ số j, 1 ≤ j ≤ N (j phụ thuộc vào x) sao cho:

Định lí 1.4.2 Giả sử T (t) là một C 0 nửa nhóm và A là toán tử sinh cực tiểu của

T (t) Khi đó T (t) là nửa nhóm compact khi và chỉ khi T (t) liên tục trong toán tửtôpô đều với t > 0 và R(λ : A) là compact với λ ∈ ρ(A)

Chứng minh

Giả sử kT (t)k ≤ M.e ωt Nếu T (t) compact với t > 0 thì theo định lí 1.4.1 ta có

T (t) liên tục đều trong toán tử tôpô đều với t > 0 Do đó

khi ε → 0 do đó R(λ : A) là compact Đồng nhất giải thức

R(λ : A) − R(µ : A) = (µ − λ)R(λ : A)R(µ : A) với µ, λ ∈ ρ(A)

Giả sử rằng R(µ : A) là compact với λ ∈ ρ(A) và T (t) là liên tục trong toán tửtôpô đều với t > 0 suy ra (1.17) được thỏa mãn và:

Hệ quả 1.4.3 Cho T (t) là một C 0 nửa nhóm và A là toán tử sinh cực tiểu của

T (t) Thì R(λ : A) là compact với λ ∈ ρ(A) và T (t) liên tục trong toán tử tôpô đềuvới t > t0 thì T(t) compact với t > t0

Hệ quả 1.4.4 Giả sử T (t) là một nửa nhóm liên tục đều Khi đó T (t) là một nửanhóm compact nếu và chỉ nếu R(λ : A) là compact với mọi λ ∈ ρ(A)

Định lí 1.4.5 Cho T (t) là một C0 nửa nhóm có A là toán tử sinh cực tiểu Nếu

T (t) liên tục trong toán tử tôpô đều với t > 0 thì tồn tại một hàm

ψ : [0, ∞] → [0, ∞] sao cho

ρ(A) ⊃ {λ : λ = σ + iτ, |τ | ≥ ψ(|σ|)} (1.21)và

lim

|τ |→∞ kR(σ + iτ : A)k = 0 với mọi số thực σ.

Hệ quả 1.4.6 Cho T (t) là một C0 nửa nhóm với A là toán tử sinh cực tiểu Vớimọi −∞ < α ≤ β < +∞, giao của dải α ≤ Reλ ≤ β với σ(A) bao gồm một số hữuhạn các giá trị riêng của A

1.5 Nửa nhóm giải tích

Định nghĩa 1.5.1 Giả sử ∆ = {z : ϕ1 < argz < ϕ2, ϕ1 < 0 < ϕ2}, với z ∈ ∆ giả

sử T (z) là toán tử tuyến tính bị chặn Họ T (z), z ∈ ∆ là một nửa nhóm giải tíchtrong ∆ nếu:

i, z → T (z) giải tích trong ∆

ii, T(0)=I và lim

z→0 T (z)x = x với mọi x ∈ X, với z ∈ ∆.iii, T (z1+ z2) = T (z1)T (z2) với z1, z2 ∈ ∆

Một nửa nhóm T (t) được gọi là giải tích nếu nó giải tích trong hình quạt ∆

chứa trục số thực không âm

Định lí 1.5.1 Giả sử T(t) là mộtC0 nửa nhóm bị chặn đều với A là toán tử sinhcực tiểu của T(t) và 0 ∈ ρ(A) Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

i, T(t) có thể thác triển thành một nửa nhóm giải tích trong hình quạt ∆δ = {z : |argz| < δ} và kT (z)k bị chặn đều trong bất kì mọi hình quạt đóng ∆δ, δ0 < δ

của ∆δ

ii, Tồn tại một hằng số C sao cho với mọi σ > 0, τ 6= 0

hội tụ trong toán tử tôpô đều với |z − t|

t < 1 + δ, δ > 0 Nhưng miền này chứa điểmgốc như một điểm trong Do đó lim

Nếu A thỏa mãn (*) thì với λ > nΛ và x ∈ D(A) ta có:

VìD(A) trù mật trong X và AT (t)là đóng nên biểu thức trên đúng với mọi x ∈ X

Do đó tồn tại một hằng số C1 > 0 và ω1 > 0 sao cho

i, T(t) là giải tích trong hình quạt xung quanh trục số thực không âm

ii, Với mọi số phức ζ, |ζ| = 1, hằng số dương δ và K sao cho ζ ∈ ρ(T (t)) và

k(ζI − T (t))−1k ≤ K với 0 < t < δ

iii, Tồn tại số phức ζ,|ζ| = 1, hằng số dương K,δ sao chok(ζI −T (t))xk ≥ 1

K kxk

với mọi x ∈ X, 0 < t < δ

Hệ quả 1.5.5 Cho T (t) là một C 0 nửa nhóm Nếu lim sup

k[A(t) − A(τ )]A−1(s)k ≤ C|t − τ |α, 0 < α < 1 (2.3)

ở đây, các hằng số C, α không phụ thuộc vào t, s, τ

Ta có nhận xét sau:

Từ giả thiết (A2) suy ra với mỗiσ ∈ [0, T ],−A(σ)sinh ra một nửa nhóm giải tích

{T (t)}có e−tA(σ) = T (t) suy ra {e−tA(σ)} là nửa nhóm liên tục mạnh, A(σ)e−tA(σ) làtoán tử bị chặn với t > 0 và

ke−tA(σ))k ≤ C (2.4)và

kA(σ)e−tA(σ)k ≤ C

với mọi t > 0 và C là hằng số không phụ thuộc t, σ

Định nghĩa 2.1.1 Hàm giá trị toán tửU (t, τ ) (với giá trị trong không gian BanachB(X)) xác định và liên tục mạnh theo t, τ với 0 ≤ τ ≤ t ≤ T được gọi là một nghiệm

cơ bản của phương trình tiến hóa (2.1) nếu:

i, Đạo hàm ∂U (t, τ )

∂t tồn tại trong tôpô mạnh và thuộc B(X) với 0 ≤ τ ≤ t ≤ T

ii, Miền giá trị của U (t, τ ) nằm trong D(A)

iii,

∂U (t, τ )

∂t + A(t)U (t, τ ) = 0, với τ < t ≤ T, (2.6)và

Hàm f (t) được gọi là lên tục đều theo nghĩa Holder ( số mũ β) trong đoạn [0, T ]

nếukf (t) − f (τ )k ≤ |t − τ |β với mọi t, τ ∈ [0, T ], C, β là các hằng số dương và β ≤ 1.Định lí 2.1.2 Giả sử các giả thiết (A1)- (A3) được thõa mãn Khi đó với bất kì

u0∈ X và với bất kì hàm f (t) liên tục đều theo nghĩa Holder ( với số mũ β) trong

[0, T ] thì bài toán Cauchy (2.8) có nghiệm duy nhất u(t)

Hơn nữa, nghiệm đó được xác định bởi

Định nghĩa 2.2.1 Cho φ là một số bất kì thỏa mãn 0 < φ < π

2 và M là một hằng

số dương bất kì Một toán tử tuyến tính A trong không gian Banach X được gọi làthuộc kiểu (φ, M ) nếu:

i, A là toán tử đóng với miền xác định D(A) trù mật trong X

ii, Giải thức của A chứa hình quạt

(λ − ω) n n = 1, 2, với mọi λ > ω thì giải thức

R(λ : A) tồn tại với mọi λ thỏa mãn Reλ > ω và được xác định bởi

Định lí 2.2.6 Nếu A thuộc kiểu (φ, M ) thì -A sinh ra một nửa nhóm liên tụcmạnh {T (t)} thỏa mãn các tính chất:

i, T (t) có thể thác triển giải tích vào hình quạt

vi, Với x ∈ X, 0 < ε < φ, T (t) → x khi t → 0, t ∈ ∆φ−ε

Định lí 2.2.7 Giả sử A thuộc kiểu (φ, M ) Khi đó với bất kì số tự nhiên m ≥ 1

thì e−tAx thuộc miền xác định của Am với x ∈ X, t > 0 và

Khi đó với σ > 0 bất kì −(A − σI) thuộc kiểu (φ, M )

2.3 Xây dựng nghiệm cơ bản

Ta thấy nếu U (t, τ ) là một nghiệm cơ bản của phương trình tiến hóa (2.3) thì vớimỗi x ∈ X, hàm U (t, τ )x − e−(t−τ )A(τ )x phải thỏa mãn phương trình:

Nghiệm của (2.1) có thể xây dựng bởi chuỗi

Chứng minh

Với mỗi v ∈ X, hàm Φ(ξ) = e−(t−ξ)A(t)−ξA(s)v là hàm khả vi và

Φ0(ξ) = e−(t−ξ)A(t)[A(s) − A(t)]e−ξA(s)v.

Nếu v ∈ D(A) ta có thể viết

Φ0(ξ) = e−(t−ξ)A(t){[A(s) − A(t)]A−1(s)}e−ξA(s)(A(s)v),

I1= {

τ 2

Cho B là một toán tử tuyến tính đóng trong X và u(t) là một hàm liên tục từ

[0, T ] vào X sao cho u(t) ∈ D(B) và Bu(t) là liên tục với 0 ≤ t < T thỏa mãn tíchphân

Bổ đề 2.3.2 Cho τ, t, s, ξ, η ∈ [0, T ], ta có:

k[e−tA(τ ) − e−sA(τ )]A−1(ξ)k ≤ C|t − s|, (2.27)

kA(ξ)[e−tA(τ )− e−sA(τ )]A−1(τ )k ≤ C|t − s|

Bổ đề 2.3.3 Hàm A(t)e−τ A(s) là hàm lên tục trong tôpô đều (trong chuẩn củaB(X)) theo (t, s, τ) với 0 ≤ t ≤ T, ε ≤ τ ≤ T, 0 ≤ s ≤ T và ε là một hằng số dươngbất kì

Chứng minh

Nếu 0 ≤ t + ∆t ≤ T, ε ≤ τ + ∆τ ≤ T, 0 ≤ s + ∆s ≤ T thì:

A(t + ∆t)e−(τ +∆τ )(A(s+∆s))− A(t)e−τ A(s)

= [A(t + ∆t) − A(t)]A−1(s + ∆s)A(s + ∆s)e−(τ +∆τ )(A(s+∆s))

+ A(t)(e−(τ2 +∆τ )A(s+∆s) − e−τ2 A(s+∆s) )A−1(s + ∆s)A(s + ∆s)e−τ2 A(s+∆s)

+ A(t)e−τ A(s+∆s)− e−τ A(s).

Từ tính bị chặn của A−1(s) ta có hệ quả sau:

Hệ quả 2.3.4 Hàm giá trị toán tử[A(τ ) − A(t)]e−(t−τ )A(τ ); [A(τ ) − A(t)]e(t−τ )A(t);

e−(t−τ )A(τ ); e(t−τ )A(t) là hàm liên tục đều trong tôpô theo (t, τ ), ở đó 0 ≤ τ ≤ t − ε,

ε ≤ t ≤ T với bất kì ε > 0

Bổ đề 2.3.5 Với mỗi x ∈ X hàm A(t)e−tA(s)A−1(ξ)x liên tục theo t, s, τ, ξ với

t, s, τ, ξ ∈ [0, T ]

Chứng minh

A(t + ∆t)e−(τ +∆τ )(A(s+∆s))A−1(ξ + ∆ξ) − A(t)e−τ A(s)A−1(ξ)

= [A(t + ∆t) − A(t)]A−1(s + ∆s)A(s + ∆s)e−(τ +∆τ )A(s+∆s)A−1(ξ + ∆ξ)

+ A(t)e−(τ +∆τ )A(s+∆s)A−1(ξ)[A(ξ) − A(ξ + ∆ξ)]A−1(ξ + ∆ξ)

+ A(t)[e−(τ +∆τ )A(s+∆s)− e−(τ +∆τ )A(s)]A−1(ξ)

+ A(t)A−1(s)[e−(τ +∆τ )A(s)− e−τ A(s)]A(s)A−1(ξ)

≡ J1+ J2+ J3+ J4.

Từ (2.3), (2.24) ta có

kJ1k ≤ C|∆T |α, kJ2k ≤ C|∆ξ|α.

Từ bổ đề 2.2.3 ta cóΦ1(t, τ )là hàm liên tục đều theot, τ trong tôpô đều vớit−τ ≥ ε.

Sử dụng đối số cổ điển của xấp xỉ liên tiếp ta thu được phương trình tích phân(2.14) có một nghiệm duy nhất Φ(t, τ ), 0 ≤ τ ≤ t ≤ T liên tục đều trong tôpô đềutheo t, τ; 0 ≤ τ ≤ t − ε; ε ≤ t ≤ T với bất kì ε > 0 Hơn nữa

Bổ đề 2.3.7 Cho Φ(t, τ ), Ψ (t, τ ) là hàm với giá trị trong B(X) xác định với 0 ≤

τ < t ≤ T và liên tục theo t, τ với t − τ ≥ ε, ε > 0 bất kì

Trong chứng minh (2.34) ta sử dụng định lí Fubini va nhận xét rằng mọi hàm

Φ 1 (t, s)Φ(s, τ ) liên tục (với giá trị trong B(X) ) và chứng minh của định lí Fubini

về nghiệm cơ bản

Bổ đề 2.3.8 Với bất kì 0 < η ≤ α, 0 ≤ τ < t ≤ t + ∆t ≤ T ta có

kΦ(t + ∆t, τ ) − Φ(t, τ )k ≤ C(∆t)α−η|t − τ |η−1 (2.35)trong đó C là hằng số phụ thuộc vào η

Chứng minh

Từ (2.31) ta có

kΦ1(t + ∆t, τ ) − Φ1(t, τ )k ≤ C|t − τ |α−1, (2.36)lại có

Φ1(t + ∆t, τ ) − Φ1(t, τ ) = [A(t) − A(t + ∆)]e−(t+∆−τ )A(τ )

+ [A(τ ) − A(t)][e−(t+∆t−τ )A(τ )− e−(t−τ )A(τ )].

... class="text_page_counter">Trang 11

1. 4 Nửa nhóm tốn tử compact

Định nghĩa 1. 4 .1 Một C0 nửa nhóm T(t) gọi compact... A hàm sinh củanửa nhóm liên tụcT (t) Nửa nhóm có khơng? Sau đinghiên cứu

Định lí 1. 2.2 Cho T (t) S(t) nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến... etA xác định (1. 1) từ định lý 1. 2.2 ta có T (t) = etA

1. 3 Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính

ω = η? ?1< /sup>log