Tính trơn của nghiệm - Bài toán biên ban đầu thứ n- 123docz.net

3 Bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic

3.4 Tính trơn của nghiệm

Giả sử −∞ ≤ a < b ≤ +∞, và cho không gian Banach X. Chúng ta kí hiệu Cm((a, b);X) là không gian các hàm u(t) từ khoảng a < t < b vào X thỏa mãn có đạo hàm liên tục đến cấp m. Ta đưa vào một chuẩn:

kukWm((a,b);X) ={ m X j=0 b Z a ku(j)(t)k2dt}12. (3.7) Kí hiệuWm((a, b);X) là tập tất cả các phần tử củaCm((a, b);X)có chuẩn hữu hạn. Các đạo hàm mạnh, với giá trị trong X được xác định rõ ràng.

Bổ đề 3.4.1. Nếu u ∈ Wj((a, b);Wj(Q)) thì u ∈ Wj(Ω), trong đó Q = Ω×(a, b); chính xác hơn là tồn tại một hàm U(x, t) thuộc u∈Wj(Ω) sao cho với hầu hết t nó bằng u(t), như một phần tử của Wj(Ω).

Chứng minh

Đặt Y = Wj((a, b);Wj(Ω)). Cho {em} là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert Wj(Ω). Khi đó với hầu hết t∈(a, b) ta có:

u(t) =

m=1

và chuỗi đó hội tụ theo chuẩn của Wj(Ω). Đạo hàm mạnh Dju(t) (1 ≤ i ≤ j) tồn tại với hầu hết t,

Ditu(t) = ∞

m=1

wm,i(t)em, (wm,i(t) = (Dtiw(t), em)Ωj)

Nếu u∈ Cj((a, b);Wj(Ω)) thì wm,i(t) =Ditum(t). Với mỗi u∈ Y thì quan hệ này vẫn giữ nguyên nếu Ditum(t) là đạo hàm mạnh.

Thật vậy: Nếu Wv ∈Cj((a, b);Wj(Ω)) và kWv−uk →0 khi v → ∞ thì với Φ(t)∈C0∞(a, b) bất kì, ta có Z wm,i(t)Φ(t)dt = lim v→∞(DitWvemΦ)γ = (−1)i lim v→∞(Wv, emDitΦ)γ = (−1)t Z um(t)DtiΦ(t)dt V yDtiu(t) = ∞ X m=1 [Dtium(t)u]em trong Wj(Ω), (0≤i≤j) (3.8) ta có kết luận ∞>kuk2γ = j X i=1 b Z a (kDitu(t)kuj(Ω))2dt= ∞ X m=1 j X i=0 b Z a |Dtium(t)|2dt (3.9) Cho M < N <∞ và xây dựng hàm UM N(x, t) = N X m=M um(t)em(x). Dễ thấy UM N(x, t)∈Wj(Q) và kUM N(x, t)kQj ≤ kUM N(x, t)kγ →0 khi M → ∞. Do đó tồn tại hàm U(x, t)∈Wj(Q) sao cho

kUtN(x, t)−U(x, t)kQj → khi N → ∞ Bởi định lí Fubini và bổ đề Fatou, với hầu hết t∈(a, b)

lim inf

N→∞

Từ đó với hầu hết t∈(a, b) ta cũng có

|UtN(x, t)−U(x, t)|2dx→0 khi N → ∞. Chứng tỏ rằng với hầu hết t, U(x, t) =u(x, t) hầu khắp.

Giả thiết :

(D1) L là toán tử eliptic mạnh đều (với cùng hằng số eliptic) trong QT và tất cả các hệ số của nó thuộcC∞(QT). Biên ∂Ω thuộc lớp C∞.

(D2) Với mọi t∈[0, T], hạch của A(t) là hàm không.

Trong phần cuối của định lí về tính khả vi được chứng minh với giả thiết (D2) là không cần thiết.

Định lí 3.4.2. Cho các giả thiết (C1), (C2) và giả sử f là hàm cố định trong Wp(Ω)

thì ánh xạ t →A−1(t)f từ đoạn [0, T] đến W2m+p(Ω) có đạo hàm liên tục mọi cấp.

Chứng minh Với bất kì hàm w(x, t) kí hiệu wh(x, t) = w(x, t+h)−w(x, t) h với t∈[0, T], t+h∈[0, T]. Đặt u(x, t) = (A−1(t)f)(x). Dễ thấy uh∈W2m(Ω)∩W0m(Ω) và Auh=Fh trong Ω, trong đó Fh(x, t) =−Xahx(x, t)Dαu(x, t+h). Ta có kết quả sau: Nếu hạch của A thỏa mãn N(A) = 0 thì

kukΩ2m,p≤C|Au|Ω0,p với mọi u∈W2m,p(Ω;{Bj}).

Do đó, kuhk2m+p bị chặn không phụ thuộc vào h. Suy ra

ku(., t+h)−u(., t)k2m+p ≤C|h| (3.10) với u(., t) là hàm giá trị của nó tại mỗi x là u(x, t). Từ (3.8) chỉ ra rằng, ánh xạ t → A−1(t) liên tục từ đoạn [0, T] đến W2m+p(Ω). Ta thấy, nếu v = ∂u

∂t tồn tại thì phải thỏa mãn A(t)v =Fb trong Ω. (3.11) Trong đó b F(x, t) =−X[∂aα(x, t)/∂t]Dαu(x, t).

Chú ý rằng Fb(., t)∈Wp(Ω) với mỗi [0, T] ta được (3.9) có nghiệm duy nhất v(., t). Từ (3.8) chỉ ra kFh(., t)−Fb(., t)kp→0 khi h →0 theo kết quả trên ta có

kuh(., t)−v(., t)k2m+p→0 khi t→0.

Điều đó chứng tỏ ánh xạ t→A−1(t)f, từ [0, T] vào W2m+p(Ω) khả vi theo t.

Bây giờ, tiếp tục như trên chúng ta chứng tỏ rằng các r(., t) liên tục theo t như một hàm với giá trị trong W2m+p(Ω). Do đó ∂v(., t)/∂t tồn tại có nghĩa là ánh xạ t→A−1(t)f khả vi liên tục tới cấp 2. Cứ tiếp tục như vậy định lí được chứng minh. Hệ quả 3.4.3. Với 0≤t≤T, j = 1,2... ta có bất đẳng thức sau

kDitA−1(t)k2m+p ≤Cjkfkp (Cj là hằng số ).

Ta có kết quả sau : cho các giả thiết của định lí 3.4.2 và K là một số nguyên không âm bất kì, thì ánh xạ f(t) → A−1(t)f(t) là ánh xạ tuyến tính liên tục từ Wk((0, T), Wp(Ω)) đến Wk((0, T), W2m+p(Ω)).

Định lí 3.4.4. Cho giả thiết (D1) và cho f(x, t) ∈ C∞(QT). Khi đó nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy

dt +A(t)u=f(t) (3.12)

u(0) = 0 (3.13)

thuộc C∞(Ω×(0, T)).

Chứng minh

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử giả thiết (D2) vẫn được giữ nguyên, nói cách khác ta thực hiện một phép biến đổi v =e−ktu với k thỏa mãn A(t) +kI có hạch bằng không. Từ (3.12) suy ra, với bất kì ε >0 ,

u(t) = A−1(t)(f(t)−u0(t)) (ε≤t ≤T) (3.14) Điều đó chứng tỏ rằng, với bất kì số nguyênk ≥0, f ∈Wk([0, T], W0(Ω)).

Từ định lí 9.2 (xem[2] trang 137) ta có u0 ∈Wk([ε, T], W0(Ω)). Sử dụng kết quả trên vào vế phải của (3.12) ta được u∈Wk([ε, T], W2m(Ω)).

Lại có f ∈Wk−1([0, T], W2m(Ω)) và u0 ∈Wk−1([ε, T], W2m(Ω)) suy ra u∈Wk−i([ε, T], W2m+2mi(Ω)).

Từ k, i là tùy ý ta có u ∈ Hj([0, T], Hj(Ω)) với mọi số nguyên j ≥ 0. Theo bổ đề 3.4.1, u∈Wj(Ω×[0, T]).

Từ hệ quả của định lí 11.1 mục I.11 (xem [2] trang 30) ta có định lí được chứng minh.

Hệ quả 3.4.5. Cho L là toán tử eliptic mạnh đều trong QT và giả thiết rằng các hệ số aα(x, t) thuộc Ck(QT) và f ∈Wk−1+2m(i+1)(QT). Trong đó

i= 1 + [(p+n/2 + 1)/2m], k = 2m+p+i+ [(n+ 1)/2]

và p là một số nguyên không âm. Cũng giả thiết rằng ∂Ω thuộc lớp C2m(i+1). Khi đó u∈C2m+p(Ω×[ε, T]) với ε >0 bất kì.

Bây giờ chúng ta đi nghiên cứu tính khả vi tại t=0.

Định lí 3.4.6. Cho giả thiết (D1) và chof(x, t)∈C∞(Ω×[−1, T]) và f(x, t)≡0 với

−1≤t ≤0. Khi đó nghiệm duy nhất của bài toán (3.12), (3.13) thuộcC∞(Ω×[0, T]).

Chứng minh

Chúng ta sẽ chứng minh với bất kì p≥0, u∈C2m+p(QT).

Mở rộng các hệ số của L vàoΩ×[−1,0] sao cho L là eliptic mạnh đều và các hệ số của nó thuộc Ck(Ω×[−1, T]) với k thỏa mãn hệ quả của định lí 3.4.4.

Cho w là nghiệm duy nhất của bài toán dw

dt +A(t)w =f(t) (−1< t < T) w(−1) = 0.

Bởi tính duy nhất nghiệm nên w(t)≡0 với −1< t <0, do đó w(0) = 0.

Do tính duy nhất nghiệm nên lại có w(t) = u(t) với 0< t≤T. Theo hệ quả định lí 3.4.4 đối với w ta có khẳng định u∈C2m+p(QT).

Hệ quả 3.4.7. Cho L là toán tử eliptic mạnh đều trong QT và giả thiết rằng

aα∈Ck(QT), f ∈Wk−1+2m(i+1)(Ω×[−1, T]), trong đó i= 1 + [(p+n/2 + 1)/2m]. Nếu

k= 2m+p+i+ [(n+ 1)/2] và f(x, t)≡0 với −1< t <0, ∂Ω∈C2m(i+1), thì ta có

Kết luận

Nội dung chủ yếu của khóa luận là sử dụng phương pháp nửa nhóm để nghiên cứu phương trình tiến hóa và áp dụng một số kết quả nhận được để xét bài toán biên đối với phương trình parabolic. Khóa luận đã hoàn thành mục tiêu đề ra cụ thể như sau:

* Trình bày các kết quả cơ bản về lí thuyết nửa nhóm và ứng dụng của lí thuyết nửa nhóm nghiên cứu nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa cấp một.

* Phát biểu và chứng minh các định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình tiến hóa, bài toán Cauchy và bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic trong trụ hữu hạn.

* Sự hội tụ của nghiệm khi t→ ∞.

Do còn những hạn chế nên khóa luận mới chỉ xét tính trơn của nghiệm trong không gian L2(Ω) và định lí về tính trơn của nghiệm chưa phải là định lí tốt nhất. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quí thầy cô để khóa luận được hoàn thiện hơn.

Tài liệu tham khảo

[1] Cung Thế Anh (2012),Cơ sở lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội.

[2] L.C.Evan (1998),Partial Differential Equations, AMS.

[3] S. Agmon, A. Doulis and L. Nirenberrg, Estimates near the boundary for solution of eliptic patical differential equations satisfying general boundary conditions I, II ,Comm. Pure Appl. Math. 12(1959), 623- 727, and 17(1964), 35- 92.

[4] A. Pazy (1983),Semigroup of Linear Operrator and its Applications to Partial Differential Equations, Springer- Velarg.