Định nghĩa 2.37
Cho K là một mở rộng đại số của trường F. Khi đó, ta nói rằng K là một mở rộng chuẩn tắc của trường F (hoặc chuẩn tắc trên F) nếu mọi đa thức bất khả quy trong F[x] có một nghiệm trong K thì nó chẻ ra trên K.
Nhận xét
Trường K là một mở rộng chuẩn tắc của trường F nếu và chỉ nếu đa thức tối tiểu của mỗi phần tử của K chẻ ra trên K.
Định lí 2.38
Giả sử K là một mở rộng của trường F. Khi đó K là một trường phân rã của một đa thức f(x) trên F nếu và chỉ nếu K là một mở rộng bậc hữu hạn và chuẩn tắc của F.
Chứng minh
Giả sử K là một trường phân rã của đa thức f(x) trên F. Khi đó f(x)
chẻ ra trên K và K = F(w1, w2, . . . , wn) với w1, w2, . . . , wn là các nghiệm của f(x). Theo định lí 2.19, K là một mở rộng đại số bậc hữu hạn của F. Giả sử p(x) là một đa thức bất khả quy trên F nhận u ∈ K làm nghiệm. Để chứng minh K là một mở rộng chuẩn tắc của F, ta cần chứng minh
p(x) chẻ ra trên K. Ta có thể xem p(x) ∈ K[x]. Giả sử L là trường phân rã của p(x) trên K. Khi đó ta có một tháp trường F ⊂ K ⊂L. Để chứng minh p(x) chẻ ra trên K, ta cần chứng minh mọi nghiệm của p(x) trong L
đều thuộc K.
Thật vậy, giả sử v ∈ L là một nghiệm của p(x). Khi đó tồn tại một đẳng cấu σ : F(u) −→ F(v) sao cho: σ(u) = v và σ(c) = c với ∀c ∈ F bởi hệ quả 2.11. Xét K(v) ⊂ L, ta có:
K(v) = F(w1, w2, . . . , wn)(v) =F(w1, w2, . . . , wn, v) = F(v)(w1, w2, . . . , wn)
Dễ dàng nhận thấy K(v) cũng là trường phân rã của f(x) trên F(v). Vì u ∈ K và K là trường phân rã của f(x) trên F nên K cũng là trường phân rã của f(x) trên F(u). Do đó σ được mở rộng thành một đẳng cấu
τ : K −→ K(v) sao cho τ(u) = v và τ(c) = c với mọi c ∈ F. Ta có
[K : F] = [K(v) : F]. Xét tháp các trường F ⊂ K ⊂ K(v). Theo định lí 2.13,[K(v) : F] = [K(v) : K][K : F]. Suy ra [K(v) : K] = 1hayK(v) =K
và do đó v ∈ K. Vậy K là một mở rộng bậc hữu hạn và chuẩn tắc của F. Ngược lại, giả sử K là một mở rộng bậc hữu hạn và chuẩn tắc của F. Do K là một mở rộng bậc hữu hạn của F nên K là mở rộng đại số và hữu hạn sinh của F, tức là K = F(u1, u2, . . . , un), trong đó ui(i = 1,2, . . . , n)
là các phần tử đại số trên F. Gọi pi(x) là đa thức tối tiểu của ui trên F. Bởi K là một mở rộng chuẩn tắc của F nên các pi(x)(i = 1,2, . . . , n) chẻ ra trên K và do đó đa thức f(x) = p1(x).p2(x). . . . .pn(x) chẻ ra trên K. Dou1, u2, . . . , un đều là nghiệm của f(x) nên trường phân rã củaf(x) trên
F phải chứa K. Mặt khác, f(x) chẻ ra trên K nên K chứa trường phân rã của f(x) trên F. Vậy K là trường phân rã của f(x) trên F.
Ví dụ
Trường Q(√
2,√
3) là một mở rộng chuẩn tắc của trường các số hữu tỉ
Q vì nó là trường phân rã của đa thức (x2 −2)(x3 −3) trên Q. Hệ quả 2.39
Cho một tháp các trường F ⊂ E ⊂ K. Khi đó nếu K là một mở rộng bậc hữu hạn và chuẩn tắc của F thì K là một mở rộng bậc hữu hạn của
E.
Định lí 2.40
Giả sử E là một mở rộng bậc hữu hạn của trường F. Khi đó tồn tại một mở rộng K của E sao cho:
(i) K là một mở rộng chuẩn tắc bậc hữu hạn của F.
(ii) Nếu có một tháp các trường F ⊂ E ⊂ L ⊂ K và đồng thời L là một mở rộng chuẩn tắc của F thì L = K.
Bài tập chương 2 Bài 1
Xác định bậc của các mở rộng trường sau: a) Q ⊂ A = {a+b√ 2| a, b ∈ Q} b) Q⊂ B = {a+b√ α | a, b ∈ Q} với α ∈ N c) Q ⊂ A= {a+ bi | a, b ∈ Q} Bài 2 Chứng minh rằngQ(√ 3) = {a+b√ 3| a, b ∈ Q}và Q(√ 5) = {a+b√ 5 |
a, b ∈ Q} đều là các mở rộng bậc 2 của Q nhưng không đẳng cấu với nhau. Bài 3
a) Chứng minh rằng mọi mở rộng bậc 2 trênQ đều đẳng cấu vớiQ(√
d)
với d ∈ Z là một số không chính phương.
b) Chứng minh rằng mọi mở rộng bậc 2 trên R đều đẳng cấu với C. Bài 4
Chứng minh rằng mọi mở rộng đại số của R đều đẳng cấu với R hoặc với C.
Bài 5
rộng M ⊂ F(x) với M chứa F như một trường con thực sự. Chứng minh rằng M ⊂ F(x) là một mở rộng đại số.
Bài 6
Cho F ⊂ K là một mở rộng đại số và f ∈ K[x] là một đa thức khác 0. Chứng minh rằng tồn tại g ∈ F[x] khác 0 sao cho f là ước của g.
Bài 7
Cho E : F là một mở rộng đại số. Chứng minh rằng E là bao đóng đại số của F nếu mọi đa thức f ∈ F[x] có bậc lớn hơn 0 đều phân rã trong E.
Bài 8
Cho K : F là một mở rộng hữu hạn với F là một trường vô hạn. Chứng minh rằng K : F là mở rộng đơn khi và chỉ khi K chỉ có hữu hạn các trường con chứa F.
Bài 9
Xây dựng trường phân rã của các đa thức x3+ 2x+ 1và x3+x2+x+ 2
trên Z3. Chúng có đẳng cấu với nhau không? Bài 10
a) Cho F là trường có đặc số p và a ∈ F. Chứng minh rằng nếu đa thức xp −x−a khả quy trong F[x] thì phân rã trong F.
b) Với mọi số nguyên tố p, chứng minh rằng đa thức xp− x− 1 bất khả quy trên Q.
Bài 11
Cho F là trường có đặc số 0, chof, g ∈ F[x] và d = (f, g). Chứng minh rằng tập nghiệm của f và h = f /d là trùng nhau.
Bài 12
Cho F là trường có đặc số p và a ∈ F không có căn bậc p trong F. Chứng minh rằng f = xp−a bất khả quy trên F.
Bài 13
Chứng minh rằng trường các số phức C không có mở rộng hữu hạn thực sự nào.
Bài 14
Cho Q(u) là mở rộng bậc 3 trên Q, sinh ra bởi một nghiệm u của đa thức x3 − 2x + 2. Hãy tìm bậc của mở rộng Q(w) trên Q, trong đó
Bài 15
Giả sử ξ là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, chứng minh rằng
Q(ξ) là một trường phân rã của đa thức xn−1. Bài 16
Chứng minh rằng bậc của trường phân rã của một đa thức bậc n thì không vượt quá n!.
Bài 17