trường vào bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa
3.1 Ba bài toán dựng hình cổ điển
Ba bài toán dựng hình cổ điển là: dùng thước kẻ và compa để: (i) "chia 3 một góc" cho trước.
(ii) "gấp đôi một hình lập phương", tức là dựng một hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích một hình lập phương cho trước.
(iii) "cầu phương hình tròn", tức là dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình tròn cho trước.
Bài toán "chia 3 một góc" cho trước.
Bài toán này có thể được phát biểu như sau: Cho hai điểm A, B tùy ý trên đường tròn tâm O. Có thể dựng đường tròn C trên cung AB sao cho
[
AOC = AOB[
3 được không?.
Bài toán gấp đôi một hình lập phương
Ta cần dựng một hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích một hình lập phương cho trước. Giả sử r là độ dài cạnh hình lập phương cho trước. Khi đó dộ dài cạnh hình lập phương cần dựng là√3
2r. Vì vậy bài toán trên quy về bài toán: Cho trước hai điểm A, B. Hãy dựng điểm C trên đường thẳng AB sao cho AC = √3
Bài toán cầu phương hình tròn
Ta cần dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn cho trước. Giả sử r là bán kính của đường tròn cho trước. Khi đó cạnh hình vuông cần dựng có độ dài là √
πr. Vì vậy bài toán trên quy về bài toán: Cho hai điểm A, B. Hãy dựng điểm C trên đường thẳng AB sao cho
AC = √
πrAB.
Định nghĩa 3.1
Trong mặt phẳngR2, cho hai điểm P0(0,0), P1(1,0). Một điểm P ∈ R2
được gọi là dựng được bằng thước kẻ và compa nếu tồn tại dãy hữu hạn
P0, P1, . . . , Pn sao cho P = Pn và với mọi j ≥ 2, điểm Pj xác định từ Sj−1
= {P0, P1, . . . , Pj−1} bởi một trong ba "phép dựng" sau:
(i) Giao của hai đường thẳng phân biệt, trong đó mỗi đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của Sj−1.
(ii) Giao của một đường thẳng đi qua hai điểm của Sj−1 và một đường tròn có tâm tại một điểm của Sj−1 và có bán kính bằng khoảng cách giữa hai điểm trong Sj−1.
(iii) Giao của hai đường tròn phân biệt, trong đó mỗi đường tròn có tâm tại một điểm của Sj−1 và có bán kính bằng khoảng cách giữa hai điểm trong Sj−1.
Định nghĩa 3.2
Một đường thẳng gọi là dựng được nếu nó đi qua hai điểm dựng được. Một đoạn thẳng gọi là dựng được nếu hai điểm mút dựng được. Một đường tròn gọi là dựng được nếu có tâm là một điểm dựng được và có bán kính bằng khoảng cách giữa hai điểm dựng được.
Định nghĩa 3.3
Một số thựcx được gọi là dựng được bằng thước kẻ và compa nếu điểm
(x,0) ∈ R2 là dựng được. Rõ ràng, độ dài của một đoạn thẳng dựng được là một số thực dựng được.
Định nghĩa 3.4
Một góc β gọi là dựng được nếu cos β (tương đương sin β) là số thực dựng được.
Định lí 3.5
Cho P = (α, β) ∈ R2 là một điểm dựng được. Khi đó [Q(α, β) : Q] = 2r với r ∈ N.
Chứng minh
Cho P0, P1, . . . , Pn = P là một dãy hữu hạn như trong định nghĩa của điểm dựng được. Đặt K0 = K1 = Q và Kj = Kj−1(αj, βj) với 2 6 j 6 n
và Pj = (αj, βj).
Dễ thấy rằng các số thực αj, βj là nghiệm của một đa thức bậc 1 hoặc bậc 2 có hệ tử trong Kj−1 . Do đó [Kj, Kj−1] = 2t với t ∈ N. Suy ra:
[Kn : Q] = [Kn : Q(α, β)].[Q(α, β) : Q] = 2m
với m ∈ N. Do đó [Q(α, β) : Q] = 2r với r ∈ N. Hệ quả 3.6
Không thể chia ba góc π/3 bằng thước kẻ và compa. Chứng minh
Điểm(1/2,√
3/2) =(cos(π/3), sin(π/3)) là dựng được. Đặtu=cos(π/9),
v = sin(π/9). Chia ba góc π/3tương đương với việc điểm (u, v) dựng được. Ta có:
cos(π/3) = cos(3.π/9) = 4cos3(π/9)−3cos(π/9)
Hay1/2 = 4u3−3u. Suy ra 8u3−6u−1 = 0. Đa thức 8x3−6x−1 bất khả quy trên Q nên [Q(u) : Q] = 3. Từ định lí 3.5 suy ra (u, v) không dựng được. Nói cách khác không thể chia ba góc π/3 bằng thước kẻ và compa.
Ta có các kết quả sau: Hệ quả 3.7
Không thể dựng được điểm (√3
2,0). Nói cách khác không thể gấp đôi hình lập phương có cạnh bằng 1.
Hệ quả 3.8
Không thể dựng được điểm (√
π,0). Nói cách khác, không thể dựng được hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn có bán kính 1.