Trang 1 Chương 3 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 3.1 Tích phân bất định . 3.1.1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định : 1. Nguyên hàm : a) Định nghĩa : F(x) là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b) ⇔ F(x) = f(x) , ∀x ∈ (a,b) b) Định Lý 1 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên (a,b) đều có nguyên hàm trên khoảng đó c) Định Lý 2 : • Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a,b) thì F(x) + C ( C : hằng số) cũng là nguyên hàm của f(x). • Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a,b) đều có dạng F(x) + C 2. Tích phân bất định : a) Định nghĩa : Dạng tổng quát của nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b), kí hiệu là ∫ dxxf )( , được gọi là tích phân bất định của hàm f(x) trên khoảng đó. ∫ dxxf )( = F(x) +C b) Tính chất cơ bản : • ∫ ∫ ∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ • ∫∫ = dxxfkdxxkf )()( (k : hằng số ) 3. Bảng tích phân : (1) Codx = ∫ (7) Cxxdx +−= ∫ cossin (2) Cxdx += ∫ 1 (8) Cxxdx += ∫ sincos (3) C x dxx + + = + ∫ 1 1 α α α (9) Ctgx x dx += ∫ 2 cos (4) Cx x dx += ∫ ln (10) Cgx x dx +−= ∫ cot sin 2 (5) C a a dxa x x += ∫ ln (11) Cx x dx += − ∫ arcsin 1 2 (6) Cedxe xx += ∫ (12) Carctgx x dx += + ∫ 2 1 Trang 2 Ví Dụ : a) Tính I = dx x x x ) 1 54 cos3( 2 + −+ ∫ b) I = dx x x xxx ) 11 1)(( 2 32 ∫ ++++ c) I = dxx ∫ + 3 )1( 3.1.2 Các phương pháp tính tích phân : 1. Phương pháp đổi biến số : ∫ dxxf )( = ∫ duug )( = G [u(x)] + C Ví Dụ 1 : I = ∫ xdxx cossin 4 Ví Dụ 2 : I = ∫ x x dx 3 ln Ví Dụ 3 : I = ∫ tgxdx Ví Dụ 4 : ∫ + = 22 x a dx I Ví Dụ 5 : ∫ − = 22 xa dx I 2. Phương pháp tích phân từng phần : ∫ udv = uv - ∫ vdu Ví Dụ 1 : I = ∫ dxxe x Ví Dụ 2 : I = ∫ xdxx ln 2 Ví Dụ 3 : I = ∫ xdxe x sin Ghi chú : n ∫ ∫ ∫ axdxxPaxdxxPdxexP ax cos)(,sin)(,)( o ∫ ∫ ∫ arctgxdxxPxdxxPxdxxP )(,arcsin)(,ln)( Ví Dụ : I = ∫ ∫ =+ xarctgxdxIxdxx ,3sin)12( Trang 3 3.1.3 Tích phân một số hàm đặc biệt : 1. Tích phân hàm hữu tỉ : f(x) = )( )( xQ xP • f(x) là phân thức thật sự nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) • Lúc nào ta cũng có thể đưa hàm hữu tỉ về dạng một đa thức cộng với một phân thức thật sự bằng cách chia đa thức. • Ví Dụ 1 : I = ∫ + − 44 2 x x dx • Ví Dụ 2 : I = ∫ + + 42 2 x x dx • Ví Dụ 3 : I = ∫ + − 64 2 x x dx • Ví Dụ 4 : I = dx x x x ∫ + + + 52 23 2 2. Tích phân hàm lượng giác : a) Dạng ∫ dxxxR )sin,(cos trong đó R(u,v) là biểu thức hữu tỉ theo cosx,sinx Phương pháp chung : Đặt t = 2 x tg 2 1 2 t dt dx + =⇒ Khi đó : sin x = 2 1 2 t t + , cosx = 22 2 1 2 , 1 1 t t tgx t t − = + − Ví Dụ : I = ∫ +1sin x dx b) Dạng ∫ ∫ ∫ bxdxaxbxdxaxbxdxax sincos,sinsin,coscos Biến đổi tích thành tổng : Nhớ công thức : cos∝cos β = [] )cos()cos( 2 1 βαβα −++ sin∝sin β = [] )cos()cos( 2 1 βαβα −−+− sin∝cos β = [] )sin()sin( 2 1 βαβα −++ Ví Dụ : I = ∫ ∫ = xdxxIxdxx 7cos4cos,3cossin c) Dạng ∫∫ xdxxdx nn cos,sin Phương pháp : • n lẻ : Đặt t = cosx hoặc sin x • n chẵn : Dùng công thức hạ bậc Trang 4 cos 2 x = 2 2cos1 sin, 2 2cos1 2 x x x − = + Ví Dụ : I = ∫ xdx 5 sin I = ∫ xdx 4 cos 3. Tích phân hàm vô tỉ : Dạng : a) dxxaxR ),( 22 ∫ − Đặt x = asint b) dxxaxR ),( 22 ∫ + Đặt x = atgt c) dxaxxR ),( 22 ∫ − Đặt x = t a cos Ví Dụ : I = dx x xa ∫ − 22 I = dxxx ∫ ++− 54 2 3.2 Tích phân xác định : 3.2.1 Khái niệm về tích phân xác định : 1. Định nghĩa : Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b] . • Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm : x o = a <x 1 < x 2 <… <x n =b • Trên mỗi đoạn nhỏ [x i-1 ,x i ] ta chọn điểm ξ i tùy ý • Lập tổng tích phân In = ))(( 1 1 − = − ∑ ii n i i xxf ξ • Nếu n d I 0 lim → tồn tại không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và các cách chọn điểm ξ i thì nó được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a,b] Ký hiệu I = n b a d Idxxf ∫ → = 0 lim)( ( d =max (x i -x i-1 ) với 1 ≤ i ≤ n ) Ghi chú : • Hàm số có tích phân xác định trên đoạn [a,b] thì gọi là khả tích trên đoạn [a,b] • I n : tổng tích phân của f(x) trên đoạn [a,b] • [a,b] : đoạn lấy tích phân ; a: cận dưới, b: cận trên • ∫ b a : dấu tích phân xác định, f(x) : hàm số dưới dấu tích phân. • Quy ước : Cho f(x) xác định tại a, ta có 0)( = ∫ a b dxxf Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b] và a < b , ta có : ∫ a b dxxf )( = - ∫ b a dxxf )( Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân và đoạn lấy tích phân chứ không phụ thuộc vào ký hiệu biến số tích phân ∫∫∫ == b a b a b a duufdttfdxxf )()()( Trang 5 2. Các tính chất : (1) ∫∫∫ ±=± b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ (2) ∫∫ = b a b a dxxfkdxxkf )()( ( k : hằng số ) (3) ∫∫∫ += b c c a b a dxxfdxxfdxxf )()()( với c [ ] ba, ∈ (4) abdx b a −= ∫ (5) Nếu f(x) ≤ g(x) , ∀x ∈ [a,b] thì ∫ b a dxxf )( ≤ ∫ b a dxxg )( (6) Nếu m ≤ f(x) ≤ M , ∀x ∈ [a,b] thì : m(b-a) ≤ ∫ b a dxxf )( ≤ M(b-a) 3. Định lý cơ bản ( Newton-Leibnitz ): Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì : )()()( aFbFdxxf b a −= ∫ Ví Dụ : a) I = ∫ − 2 1 2 dxx b) I = ∫ 4 6 2 cos π π x dx c) I = dxx ∫ − 2 0 1 d) I = dx x x e ∫ 1 2 ln 3.2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định : 1. Phương pháp đổi biến số : ∫ b a dxxf )( = ∫ )( )( )( b a duug ϕ ϕ với u = ϕ(x) Ví Dụ 1 : Tính I = dx x x ∫ + 3 1 1 Ví Dụ 2 : Tính I = ∫ − e xx dx 1 2 ln1 2. Phương pháp tích phân từng phần : ∫∫ −= b a b a b a vduuvudv ][ Ví Dụ 1 : Tính I = ∫ − 1 0 dxxe x Ví Dụ 2 : Tính I = ∫ 3 0 xarctgxdx 3.2.3 Ứng dụng tích phân xác định : 1. Tính diện tích hình phẳng : Trang 6 S = ∫ − b a dxxgxf )()( Ví Dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : a. y = 4x – x 2 và trục Ox . b. y = - x và y = 2x – x 2 . 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay : V = ∫ b a dxy 2 π Ví Dụ : Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường : a. y = 2 2 x , x = 0 , x = 2 và trục Ox . b. y = sinx , x = 0 , x = 2 π và trục Ox