Các công thức lượng giác

Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.. Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b Tức là: Tr

MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 10 & 11

1 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:

1.1 Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): a > b và b > c  a > c

1.2 Tính chất 2: a > b  a + c > b + c

Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng

chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho

Hệ quả (Quy tắc chuyển vế):

1.3 Tính chất 3:

a  b

a > b + c  a – c > b



c  d

 a  c  b  d

Nếu cộng các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều

1.4 Tính chất 4:

a > b  a.c > b.c nếu c > 0 hoặc a > b  c.c < b.c nếu c < 0

1.5 Tính chất 5:

a  b  0



c  d  0

 a.c  b.d

Nếu nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều

1.6 Tính chất 6:

a > b > 0  an

> bn

(n nguyển dương)

1.7 Tính chất 7:

a  b  0  n a  n

b

(n nguyên dương)

2 Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si):

a  b

Định lí: Nếu a  0 và b  0 thì  a.b

2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b

Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của

chúng

Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ

bẳng nhau

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện

tích lớn nhất

Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó

bằng nhau

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu

Ôn tập Toán THPT

3 Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:

 x  0 nếu x  0

 x  0

Từ định nghĩa suy ra: với mọi

a |x|  0

b |x|2 = x2

c x  |x| và -x  |x|

Định lí: Với mọi số thực a và b ta có:

|a + b|  |a| + |b| (1)

|a – b|  |a| + |b| (2)

|a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b  0

|a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b  0

4 Định lí Vi-et:

Nếu phương trình bậc 2: ax2 + bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x1 , x2 (a  0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó là:

Chú ý:

b

S = x1 + x2 = 

a

c

P = x1.x2 =

a

c

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = 1 và x2 =

a

c

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = -1 và x2 = 

a

Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của

phương trình: x2 – S.x + P = 0

5 Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước:

a Định nghĩa: Cho 2 điểm phân biệt A, B Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  

b Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  1 thì với điểm O bất kì ta có:

  

1  k

6 Trọng tâm tam giác:

a Điểm G là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi: GA  GB  GC  0    

   

b Nếu G là trọng tâm tam giác, thì với mọi điểm O ta có: 3OG  OA  OB  OC

7 Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác:

7.1 Định lí Cosin trong tam giác:

Định lí: Với mọi tam giác ABC, ta luôn có:

a2  b2  c2  2bc.cos A

b2  a2  c2  2ac.cos B

c2  b2  a2  2ba.cos C

7.2 Định lí sin trong tam giác:

Định lí: Trong tam giác ABC, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta có:

a sin A 

b sin B 

c sin C  2R

7.3 Công thức độ dài đường trung tuyến:

m2

 b  c

 a

a

m2  a  c

 b

b

m2  b  a

 c

c

8 Tỉ số lượng giác của một số góc cần nhớ:

Góc

6



4



3



2

2

3

3

4

5

2

2

2

3

2

2

2

1

2

2

2

1

2 – 2

2 –

3

2 -1

3 1 – 3 ||

Ôn tập Toán THPT

9 Công thức biến đổi tích thành tổng:

cos a.cos b  1 [cos(a  b)  cos(a  b)]

2

sin a.sin b  1 [cos(a  b)  cos(a  b)]

2

sin a.cos b  1 [sin(a  b)  sin(a  b)]

2

10 Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos a  cos b  2 cos a  b .cos a  b

cos a  cos b  2 sin a  b .sin a  b

sin a  sin b  2 sin a  b .cos a  b

sin a  sin b  2 cos a  b .sin a  b

11.Công thức nhân đôi:

cos 2a  cos2

a  sin2

a  2 cos2

a  1  1  2 sin2

a

sin 2a  2 sin a cos a

1  tg 2 a (a 



 k , a    k 

, k  Z)

12 Công thức nhân ba:

sin 3a  3sin a  4 sin3

a

cos 3a  4 cos3

a  3 cos a

13 Công thức hạ bậc:

cos2 a  cos 2a  1

2 sin 2

a  1  cos 2a

2

tg 2 a  1  cos 2a

1  cos 2a

sin3

a  3sin a  sin 3a

4 cos3

a  3 cos a  cos 3a

4

14 Công thức cộng:

sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b

Ngoài ra ta cũng có công thức sau với một số điều kiện:

tg (a  b) 





tg (a  b) 

tga  tgb

1  tga.tgb

tga  tgb

1  tga.tgb

(*)

(**)

(*) có điều kiện: a   k , b   k , a  b   k

(**) có điều kiện: a   k , b   k , a  b   k

15 M Công thức tính tga, cosa, sina theo t  tg a :

sin a 





cos a 

2

2t

1  t 2

1  t 2

1  t 2 tga  2t

1  t 2 , a 



2  k



Ôn tập Toán THPT



16 Công thức liên hệ giữa 2 góc bù nhau, phụ nhau, đối nhau và hơn kém nhau 1 góc

 hoặc  :

2

16.1 Hai góc bù nhau:

sin(   a)  sin a

cos(   a)   cos a

tg (  a)  tga

cotg (  a)  cotga

16.2 Hai góc phụ nhau:

sin(  a)  cos a

2 cos(  a)  sin a

2

tg (  a)  cotga

2

cotg (  a)  tga

2

16.3 Hai góc đối nhau:

sin(a)   sin a cos(a)  cos a

tg (a)  tga cotg (a)  cotga



16.4 Hai góc hơn kém nhau :

2

sin(a   )  cos a

2

cos(a   )   sin a

2

tg (a   )  tga

2

cotg (a   )  cotga

2

16.5 Hai góc hơn kém nhau  :

n

n

n

n

n

sin(a   )   sin a cos(a   )   cos a

tg (a   )  tga cotg

(a   )  cotga

16.6 Một số công thức đặc biệt:

sin x  cos x 





sin x  cos x 

2 sin( x   )

4

2 sin( x   )

4

17 Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp:

17.1 Hoán vị:

+ Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, được sắp xếp

theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần Số tất cả các hoán vị khác nhau của n phần tử ký hiệu là Pn

+ Công thức :

17.2 Chỉnh hợp:

Pn =1.2.3 n = n !

+ Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử ( 0  k  n ) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu là A k

+Công thức :

A k 



n!

 n  k  !

A k  n(n 1) (n  k  1)

A k 1  (n  k ) A k

A n  P

A0  1

 n!

A n1  A n  n!

(qui ước 0! = 1)

17.3 Tổ chợp:

+ Định nghĩa: Cho một tập hợp a gồm n phần tử (n nguyên dương) Một tổ hợp chập k

của n phần tử ( 0  k  n ) là một tập con của a gồm k phần tử Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là C k

Ôn tập Toán THPT

n

+ Công thức:

C k







n!

k !(n  k )!

C k  n(n 1) (n  k  1)

n

k !

+ Tính chất:

C k

 C n k

C 0  C n  1

C 0

 C1   C n  2n

17.4 Công thức Newton:

Tk là số hạng thứ k +1 của khai triển nhị thức (a + b)n

: T  C k n k a n k b k

n  2 2

m n m m n n

18 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian:

18.1 Trong mặt phẳng:

Cho các vec-tơ a( x1 , y1 ), b( x2 , y2 )

 

a.b  x1 x2  y1 y2



và các điểm A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) :

| a | x1  y1

d  AB 



 

( x2  x1 ) 2  ( y  y )2

cos(a, b)  x1 x2  y1 y2

x2 1  y2 1  x2 2  y2 2

 

a  b  x1 x2  y1 y2  0

18.2 Trong không gian:

Cho các vec-tơ a( x1 , y1 , z1 ), b( x2 , y2 , z2 )

 

a.b  x1 x2  y1 y2  z1 z2

và các điểm A(x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) :

| a | x1  y1  z1

d  AB 



 

( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( z2  z1 )

cos(a, b)  x1 x2  y1 y2  z1 z2

x2 1  y2 1  z 2 1 x2 2  y2 2  z2 2

 

a  b  x1 x2  y1 y2  z1 z2  0

19 Đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian:

19.1 Đường thẳng trong mặt phẳng:

a Khoảng cách:

+ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = 0

MH  | Ax0  By0  C |

A2

 B2

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Ax + By + C1 = 0 và Ax + By + C2 = 0

| C1  C2 |

A2  B2

b Vị trí tương đối 2 đường thẳng:

(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0

(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0

*(d1 )  (d2)    A1

A2 

B1

B2

*(d1 ) / /(d2 ) 





*(d1 )  (d2 ) 

A1

 B1

A2 B2

A1

 B1

A2 B2

 C1

C2

 C1

C2

*(d1 )  (d2 )  A1 A2  B1B2

c Góc giữa 2 đường thẳng:

(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0

(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0

  (d1 , d2 )

Ôn tập Toán THPT

cos  | A1 A2  B1 B2 |

A2

 B2 A2

 B2

d Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d 1 )và (d 2 ):

A1 x  B1 y  C1

  A2 x  B2 y  C2

A2

 B2 A2

 B2 (góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + )

e Phương trình chùm đường thẳng có tâm là giao của 2 đường thẳng (d 1 )và (d 2 ):

 ( A1 x  B1 y  C1 )   ( A2 x  B2 y  C2 )  0 với  2   2  0

19.2 Đường thẳng trong không gian:

Góc giữa 2 đường thẳng:



(d1) có vector chỉ phương u  (a1 , b1 , c1 )



(d2) có vector chỉ phương v  (a2 , b2 , c2 )

 là góc giữa (d1) và (d2)

cos  | a1a2  b1b2  c1c2 |

a2

 b2

 c2 a2

 b2

 c2

(d1 )  (d2 )  a1a2  b1b2  c1c2  0

20 Mặt phẳng:

a Khoảng cách từ điểm M(x 0 , y 0 ) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

MH  | Ax0  By0  Cz0  D |

A2

 B2  C 2

b Chùm mặt phẳng đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng:

(P) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

(Q) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 là phương trình mặt phẳng có dạng:

 ( A1 x  B1 y  C1 z  D1 )   ( A2 x  B2 y  C2 z  D2 )  0

21.Cấp số cộng:

+ Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của

số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai

n  N*,U n 1  U n  d

+ Tính chất của cấp số cộng :

STT Hàm số y Đạo hàm y’

2 u

u '

u 2

au.lna.u’

u

u.ln a

cos2 u

u '

U n1  U n  U n 2  U n1

U  U n  U n 2

n1

2

+ Số hạng tổng quát: U n  U1  d (n 1)

+ Tổng n số hạng đầu:

U  (a1  a n )n

n

2

U  2a1  d (n 1)

n

n

2

22 Cấp số nhân:

+ Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số

hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0

và khác 1 gọi là công bội

"n Є N*

, Un + 1 = Un.q

+ Tính chất :

U n1

 U n  2

U n

U n1 

U n1

U n U n 2 , U n > 0

+ Số hạng tổng quát :

Un = U1.qn - 1

n

S n  U1  U 2   U n  U1

1  q

+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1

1  q

CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM & TÍCH

PHÂN 12

I Đạo hàm:

1 Bảng các đạo hàm cơ bản:

Ôn tập Toán THPT

v

2x

2 x

1

x2

ex

ax

.lna

x

x ln a

cos2

x

sin2

x

2 Tính chất của đạo hàm:

a (u + v)’ = u’ + v’

b (u – v)’ = u’ – v’ c

(u.v)’ = u’.v + u.v’

d (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’

'

e  u   u '.v  v '.u

  v

II Nguyên hàm:

1 Bảng các nguyên hàm cơ bản:

  1  C (  1)







dx  e x

 C

ln a

6  sin xdx   cos x  C

7  cos xdx  sin x  C

x dx  tgx  C ( x  2  k )

9  sin1 2

2 Một số nguyên hàm khác:

* Hàm y =

(x   ) m (m  1) Hàm số có dạng :

u m = u'.u (m  1) với u = x-



Nguyên hàm là : a dx

( x   ) m

1

= a

(m 1)(x   ) m1 + C

* Hàm y = 2ax  b

ax2

 bx  c

t '

Đặt t = ax2

 bx  c  t' = 2ax + b

Hàm số có dạng :

t  Họ nguyên hàm của hàm số là : ln|t| + C = ln| ax

2

 bx  c | + C

 2ax  b

dx  ln | ax2

 bx  c | C

ax2

 bx  c

* Hàm y  1

ax2

 bx  c Ta có các trường hợp sau :

+ Mẫu số ax2  bx  c có 2 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 và giả sử x 1 < x 2 Ta có :

ax2

 bx  c = a( x  x1 )( x  x2 ) Ta có thể viết như sau :

1

dx = 1 = 1  (x  x1 )  ( x  x2 )  dx

 ax2

 bx  c  a(x  x )( x  x ) dx

a   ( x  x )(x  x )  x  x

1  1 1 

a( x2  x1 )  x  x1

dx

x  x2 

a( x2  x1 )

x  x2

 C

x  x1

Ôn tập Toán THPT





2



+ Mẫu số có nghiệm kép : ax2

 bx  c  a( x  m)2

1

dx 

 dx

 1 dx

 1 1

 C

 ax2

 bx  c  a(x  m)2

a  ( x  m)2

a x  m

+ Mẫu số không có nghiệm (vô nghiệm):

ax2

 bx  c  a( x  m)2  n

* ax2

 bx  c  a.u2

 n

Đặt u = ( x  m)2

Ta có :

 1

dx

au2

 n

Đặt u 



n tgt

a

* ax2

 bx  c  a.u2  n  1

dx

au2

 n

u 

 Nguyên hàm là :

n

ln a  C

n

3 Họ nguyên hàm của các hàm vô tỉ :

3.1 Hàm số có dạng : f ( x)  1 ;

x2  k 2

x2

 k 2

* Cách 1 : Đặt

x

x2  k 2 = -x + t  t = x +

x2  k 2  x

x2

 k 2

t dx

 dt = (1





x2

 k 2

)dx =

x2  k 2

dx =

x2

 k 2

 dx

x2

 k 2 t Do đó :  

x2

 k 2 t  ln | t | C  ln | x  x  k | C

1

*Cách 2: Biến đổi :  x  x2

 k 2

( Nhân tử và mẫu với x 



x2  k 2 )

x2

 k 2

x

 1

x2

 k 2 ( x  x2

 k 2 )

Ta có : f ( x)  x k ( Chia tử và mẫu cho x2

 k 2 )

( x  x2  k 2 )

 k 2 Suy ra :  (1 

 k 2

)dx



f ( x)dx 

t

Vậy nguyên hàm là :  f ( x)dx  ln | t | C  ln | x  x2  k 2 | C

3.2 Hàm số dạng : f (x) 



 

1

k 2

k 2

 u 2

2 2 (hoặc x  k cos t với x [0; ] )

1

dx 

 dx  k cos tdt 





k 2  x2  k 2

(1  sin t 2 ) =  k 

cos2

t) | cos t |

 

   cos t dt   dt  t  C

2 2

1

du

| cos t | cos t

Tương tự:  

k 2

3.3 Hàm số dạng : f (x)  x2

 k 2 ; f (u)  u2  k 2

Nguyên hàm là : 



x2

 k 2 dx 



k

x2

 k 2 

k

ln | x 







x2

 k 2 | C

Cách khác: đặt x  hoặc x  với t [0; ]

3.4 Hàm số dạng : f (x)  ax2

 bx  c

 Ta biến đổi về một trong hai dạng sau:

dụng theo mục 3

f ( x) 



u2

 k 2 hoặc f ( x) 



u2

 k 2 rồi áp

3.5 Hàm số dạng : f (x)  x2

 k 2 và f (u)  u2

 k 2

Đặt x  ktgt , u  ktgt với t [- ; ]  

2 2

3.6 Hàm số dạng : f ( x) 

x2  m2 hoặc f (u) 

u 2  m2

Phân tích thành : f ( x)  1

x2

 m2

3.7 Hàm số dạng : f (x)  1

x2  m2 hoặc f (u)  1

u 2  m2

+ Đặt x  mtgt , u  mtgt với t [- ; ]  

2 2

1





x2  m2

m2 (tg 2 t  1)

m

cos2 t dt 

 | cost |

 cos2 t

dx

Ôn tập Toán THPT

rang 16/18

| cost |

 cos2 t dx 

cost

 1  sin 2 t dt

xdx   )2

2

cost

+ Đặt tiếp : u  sin t  du = costdt .Do đó :

4 Các trường hợp tổng quát cần chú ý :

 1  sin 2

t  1  u 2 2 u  1

a Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với cosx : Đặt: t = sinx

b Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx : Đặt: t = cosx

c Trường hợp: f(x) là hàm chẵn đới với sinx và cosx :

R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx)

d Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx và cosx : Đặt: t = tgx

x

e.Trường hợp: f(x) chỉ chứa sinx hoặc cosx : Đặt t  tg

2

* Phương pháp chung:

A Dạng f(x) = sin 2n x.cos 2m x :

(a)  sin 2n 1  cos 2x

2 (b)  cos 2m 1  cos 2x

dx

(c)  s in 2n xcos 2m

xdx Thay cos2

x = 1 – sin2

x hoặc thay sin2

x = 1 – cos2

x rối chuyển về dạng (a) hoặc (b)

s in2n x  a

B Dạng : f ( x) 

cos2m

 b Đặt t = tgx

III Phương trình lượng giác

1 Phương trình cơ bản:

* sinx = sina x = a + k2π

hoặc x = π - a + k2π

* cosx = cosa x = ± a + k2π

* tgx = tg a x  a  kπ x  k 

* cotgx = cotga x = a + kπ (x  kπ)

2 Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx:

Các phương trình lượng giác

* asin2

x + bsinx.cosx + c.cos2

* asin3x + bsin2x.cosx + c.sinx.cos2x + dcos3x = 0 (2)

* asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x = 0 (3)

gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2, 3, 4 đối với sinx và cosx