Các công thức lượng giác

Ô n t ậ p Toán T H PT t r an g 1 / 1 8 M ỘT S Ố CÔNG T H ỨC T OÁN H Ọ C L Ớ P 10 & 11 1. C á c tí nh c h ấ t c ơ b ả n c ủ a b ấ t đ ẳ n g t h ứ c : 1.1. Tí nh c h ấ t 1 ( t í nh c h ấ t b ắ c c ầ u ): a > b v à b > c  a > c 1.2. Tí nh c h ấ t 2 : a > b  a + c > b + c T ứ c l à : N ế u c ộ ng 2 v ế c ủ a b ắ t đ ẳ ng t h ứ c v ớ i cùng m ộ t s ố t a đ ượ c b ấ t đ ẳ ng t h ứ c cùng ch i ề u v à t ươ ng đ ươ ng v ớ i b ấ t đ ẳ ng t h ứ c đ ã cho. H ệ q u ả ( Qu y t ắ c c hu y ể n v ế ): 1.3 Tí nh c h ấ t 3 :  a  b a > b + c  a – c > b    c  d  a  c  b  d N ế u c ộ ng c á c v ế t ươ ng ứ ng c ủ a 2 b ấ t đ ẳ ng t h ứ c cùng ch i ề u t a đ ượ c m ộ t b ấ t đ ẳ ng t h ứ c cùng ch i ề u. C hú ý: K H Ô N G có qu y t ắ c tr ừ h a i v ế c ủ a 2 b ấ t đ ẳ ng t h ứ c cùng ch i ề u. 1.4 Tí nh c h ấ t 4 : a > b  a .c > b.c n ế u c > 0 ho ặ c a > b  c.c < b.c n ế u c < 0 1.5 Tí nh c h ấ t 5 :  a  b  0    c  d  0  a.c  b.d N ế u nh â n c á c v ế t ươ ng ứ ng c ủ a 2 b ấ t đ ẳ ng t h ứ c cùng ch i ề u t a đ ượ c m ộ t b ấ t đ ẳ ng t h ứ c cùng ch i ề u. C hú ý: K H Ô N G có qu y t ắ c ch i a h a i v ế c ủ a 2 b ấ t đ ẳ ng t h ứ c cùng ch i ề u. 1.6 Tí nh c h ấ t 6 : a > b > 0  a n > b n ( n ngu y ể n d ươ ng ) 1.7 Tí nh c h ấ t 7 : a  b  0  n a  n b ( n ngu y ê n d ươ ng ) 2. B ấ t đ ẳ n g t h ứ c C au c hy (C ô - s i): a  b Đ ị nh lí: N ế u a  0 v à b  0 t h ì  a.b 2 . Đ ẳ ng t h ứ c x ả y r a k h i v à ch ỉ k h i : a = b T ứ c l à : Tr ung b ì nh c ộ ng c ủ a 2 s ố k hông â m l ớ n h ơ n ho ặ c b ằ ng tr ung b ì nh nh â n c ủ a chúng. H ệ q u ả 1 : N ế u 2 s ố d ươ ng có t ổ ng k hông đ ổ i t h ì tí ch c ủ a chùng l ớ n nh ấ t k h i 2 s ố đõ b ẳ ng nh a u. Ý n g h ĩa h ì nh h ọ c : Tr ong t ấ t c ả c á c h ì nh ch ữ nh ậ t có cùng chu v i , h ì nh v uông có d i ệ n tí ch l ớ n nh ấ t . H ệ q u ả 2 : N ế u 2 s ố d ươ ng có tí ch k hông đ ổ i t h ì t ổ ng c ủ a chùng nh ỏ nh ấ t k h i 2 s ố đó b ằ ng nh a u. Ý n g h ĩa h ì nh h ọ c : Tr ong t ấ t c ả c á c h ì nh ch ữ nh ậ t có cùng d i ệ n tí ch h ì nh v uông có chu v i nh ỏ nh ấ t . Ô n t ậ p Toán T H PT t r an g 2 / 1 8 3. B ấ t đ ẳ n g t h ứ c c h ứ a g i á t r ị t r ị t uy ệ t đ ố i:  x  0 n ế u x  0 x    n ế u x < 0   x  0 T ừ đ ị nh ngh ĩ a s u y r a : v ớ i m ọ i a . |x |  0 b. |x | 2 = x 2 c. x  | x | v à -x  | x | x  R t a có : Đ ị nh lí: V ớ i m ọ i s ố t h ự c a v à b t a có : |a + b |  |a| + | b | ( 1 ) |a – b |  |a| + |b | ( 2 ) |a + b | = |a| + | b | k h i v à ch ỉ k h i a .b  0 |a – b | = |a| + | b | k h i v à ch ỉ k h i a .b  0 4. Đ ị nh lí V i- e t: N ế u ph ươ ng trì nh b ậ c 2 : a x 2 + b x + c = 0 ( * ) có 2 ngh i ệ m x 1 , x 2 ( a  0 ) t h ì t ổ ng v à tí ch 2 ngh i ệ m đó l à : Chú ý : b S = x 1 + x 2 =  a c P = x 1 . x 2 = a c + N ế u a + b + c = 0 t h ì ph ươ ng trì nh ( * ) có nh i ệ m x 1 = 1 v à x 2 = a c + N ế u a – b + c = 0 t h ì ph ươ ng trì nh ( * ) có nh i ệ m x 1 = - 1 v à x 2 =   a H ệ q u ả : N ế u 2 s ố u, v có t ổ ng S = u + v v à tí ch P = u. v t h ì chúng l à ngh i ệ m c ủ a ph ươ ng trì nh : x 2 – S . x + P = 0 5. C h i a đ o ạ n t h ẳ n g t h e o t ỉ l ệ c h o t r ư ớ c : a. Đ ị nh n g h ĩa : C ho 2 đi ể m ph â n b i ệ t A , B . T a nó i đi ể m M ch i a đo ạ n t h ẳ ng A B t h e o t ỉ s ố k      n ế u M A  k MB b . Đ ị nh lí: N ế u đi ể m M ch i a đo ạ n t h ẳ ng A B t h e o t ỉ s ố k  1 t h ì v ớ i đi ể m O b ấ t kì t a có :         O M  OA  k OB 1  k 6. T rọ n g t â m t a m g i á c : a . Đ i ể m G l à tr ọ ng t â m t a m g i á c k h i v à ch ỉ k h i :         GA  GB  GC  0 Ô n t ậ p Toán T H PT t r an g 3 / 1 8          b. N ế u G l à tr ọ ng t â m t a m g i á c, t h ì v ớ i m ọ i đi ể m O t a có : 3 OG  OA  OB  OC 7. C á c H ệ T h ứ c L ư ợ n g T r o n g T a m Gi á c : 7.1. Đ ị nh lí C o s i n t r o n g t a m g i á c : Đ ị nh lí: V ớ i m ọ i t a m g i á c A B C , t a l uôn có : a 2  b 2  c 2  2b c . co s A b 2  a 2  c 2  2a c . co s B c 2  b 2  a 2  2ba. co s C 7.2. Đ ị nh lí s i n t r o n g t a m g i á c : Đ ị nh lí: Tr ong t a m g i á c A B C , v ớ i R l à b á n kí nh đ ườ ng tr òn ngo ạ i t i ế p t a có : a si n A  b s i n B  c si n C  2 R 7.3. C ô n g t h ứ c đ ộ d à i đ ư ờ n g t r un g t u y ế n : 2 2 2 m 2  b  c  a a 2 4 2 2 2 m 2  a  c  b b 2 4 2 2 2 m 2  b  a  c c 2 4 8. T ỉ s ố l ư ợ n g g i á c c ủ a m ộ t s ố gó c c ầ n nh ớ : 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 G óc 0   6   4   3   2 2   3 3   4 5   6  s i n 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 co s 1 3 2 2 2 1 2 0 – 1 2 – 2 2 – 3 2 - 1 t g 0 1 3 1 3 || – 3 1 1 – 3 0 co t g || 3 1 1 3 0 1 – 3 1 – 3 || Ô n t ậ p Toán T H PT t r an g 4 / 1 8 9. C ô n g t h ứ c b i ế n đ ổ i tí c h t hành t ổ n g : c o s a. c o s b  1 [ c o s ( a  b )  c o s ( a  b ) ] 2 s i n a. s i n b  1 [ c o s ( a  b )  c o s ( a  b ) ] 2 s i n a. c o s b  1 [ s i n ( a  b )  s i n ( a  b ) ] 2 10. C ô n g t h ứ c b i ế n đ ổ i t ổ n g t hành tí c h : co s a  c o s b  2 co s a  b . c o s a  b 2 2 co s a  c o s b   2 sin a  b . s i n a  b 2 2 s i n a  s i n b  2 sin a  b . c o s a  b 2 2 s i n a  s i n b  2 c o s a  b .sin a  b 2 2 11. C ô n g t h ứ c nhân đ ô i: c os 2a  c os 2 a  s i n 2 a  2 c os 2 a  1  1  2 s i n 2 a s i n 2a  2 s i n a c os a t g 2a   2 t ga 1  t g 2 a ( a    k  , a    k  , k  Z ) 2 2 2 12. C ô n g t h ứ c nhân ba : s i n 3a  3 s i n a  4 s i n 3 a co s 3a  4 co s 3 a  3 co s a 13. C ô n g t h ứ c h ạ b ậ c : Ô n t ậ p Toán T H PT t r an g 5 / 1 8 c o s 2 a  c os 2a  1 2 s i n 2 a  1  c os 2a 2 t g 2 a  1  c os 2a 1  c os 2a s i n 3 a  3 s i n a  s i n 3a 4 c o s 3 a  3 c os a  c os 3a 4 14. C ô n g t h ứ c c ộ n g : s i n ( a  b )  s i n a c o s b  c o s a s i n b s i n ( a  b )  s i n a c o s b  c o s a s i n b c o s ( a  b )  c o s a c o s b  s i n a s i n b c o s ( a  b )  c o s a c o s b  s i n a s i n b N go à i r a t a cũng có công t h ứ c sa u v ớ i m ộ t s ố đi ề u k i ệ n : t g ( a  b )     t g ( a  b )   t ga  t gb 1  t ga. t gb t ga  t gb 1  t ga. t gb ( * ) ( ** )     ( * ) có đi ề u k i ệ n : a   k  , b   k  , a  b   k   2 2 2     ( ** ) có đi ề u k i ệ n : a   k  , b   k  , a  b   k   2 2 2 15. M C ô n g t h ứ c tí nh tg a, c o s a, s i na t h e o t  t g a : si n a     co s a   2 2 t 1  t 2 1  t 2 1  t 2 t ga   2 t 1  t 2 , a    2  k    Ô n t ậ p Toán T H PT t r an g 6 / 1 8  16. C ô n g t h ứ c li ê n h ệ g i ữ a 2 gó c bù nhau, ph ụ nhau, đ ố i nhau và h ơ n k é m nhau 1 gó c  h o ặ c  : 2 16.1. H a i gó c b ù nhau : s i n (   a )  s i n a co s (   a )   co s a t g (   a )   t ga co t g (   a )   co t ga 16.2. H a i gó c p h ụ nhau : s i n(   a )  c os a 2 c os (   a )  s i n a 2 t g (   a )  c ot ga 2 c ot g (   a )  t ga 2 16.3. H a i gó c đ ố i nhau : s i n(  a )   s i n a c os ( a )  c os a t g ( a )  t ga c ot g ( a )   c ot ga   16.4 H a i gó c h ơ n k é m nhau : 2 s i n( a   )  c os a 2 c os ( a   )   s i n a 2 t g ( a   )  t ga 2 c ot g ( a   )   c ot ga 2 16.5 H a i gó c h ơ n k é m nhau  : Ô n t ậ p Toán T H PT t r an g 7 / 1 8 n n n n n n n n n n n s i n ( a   )   s i n a c o s ( a   )   c o s a t g ( a   )  t ga c o t g ( a   )  c o t ga 16.6. M ộ t s ố c ô n g t h ứ c đ ặ c b i ệ t : s i n x  c os x    s i n x  c os x  2 s i n( x   ) 4 2 s i n( x   ) 4 17. T ổ h ợ p, h o án v ị , c h ỉ nh h ợ p : 17.1. H o án v ị : + Đ ị nh n g h ĩ a : M ộ t ho á n v ị c ủ a n ph ầ n t ử l à m ộ t b ộ g ồ m n ph ầ n t ử đó, đ ượ c s ắ p x ế p t h e o m ộ t t h ứ t ự nh ấ t đ ị nh, m ỗ i ph ầ n t ử có m ặ t đúng m ộ t l ầ n. S ố t ấ t c ả c á c ho á n v ị k h á c nh a u c ủ a n ph ầ n t ử ký h i ệ u l à P n + C ô n g t h ứ c : 17.2 Ch ỉ nh h ợ p : P n = 1.2.3 n = n ! + Đ ị nh n g h ĩa : M ộ t ch ỉ nh h ợ p ch ậ p k c ủ a n ph ầ n t ử ( 0  k  n ) l à m ộ t b ộ s ắ p t h ứ t ự g ồ m k ph ầ n t ử l ấ y r a t ừ n ph ầ n t ử đ ã cho. s ố t ấ t c ả c á c ch ỉ nh h ợ p ch ậ p k c ủ a n ph ầ n t ử ký h i ệ u l à A k + C ô n g t h ứ c : A k    n !  n  k  ! A k  n ( n  1 ) ( n  k  1 ) A k  1  ( n  k ) A k A n  P A 0  1  n ! A n  1  A n  n ! ( qu i ướ c 0 ! = 1 ) 17.3 T ổ c h ợ p : + Đ ị nh n g h ĩa : C ho m ộ t t ậ p h ợ p a g ồ m n ph ầ n t ử ( n ngu y ê n d ươ ng ) . M ộ t t ổ h ợ p ch ậ p k c ủ a n ph ầ n t ử ( 0  k  n ) l à m ộ t t ậ p con c ủ a a g ồ m k ph ầ n t ử . S ố t ấ t c ả c á c t ổ h ợ p ch ậ p k c ủ a n ph ầ n t ử ký h i ệ u l à C k Ô n t ậ p Toán T H PT t r an g 8 / 1 8 n n n n n n n n C  C  C 2 1 + C ô n g t h ứ c : C k     n ! k ! ( n  k ) ! C k  n ( n  1 ) ( n  k  1 ) n k ! + Tí nh c h ấ t : C k  C n  k C 0  C n  1 C 0  C 1   C n  2 n k k  1 k  1 n n n  1 17.4. C ô n g t h ứ c N e w to n : T k l à s ố h ạ ng t h ứ k + 1 c ủ a k h a i tr i ể n nh ị t h ứ c ( a + b ) n : T  C k a n  k b k k n ( ) n 0 n 1 n  1 2 n  2 2 m n  m m n n a  b  C n a  C n a b  C n a b   C n a b   C n b 18. Ph ư ơ n g pháp t ọ a đ ộ t r o n g m ặ t ph ẳ n g và k h ô n g g i an : 18.1 Tr o n g m ặ t p h ẳ n g :    C ho c á c v e c -t ơ a ( x 1 , y 1 ) , b ( x 2 , y 2 )    a.b  x 1 x 2  y 1 y 2   v à c á c đi ể m A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) : 2 2 | a |  x 1  y 1 d  AB       ( x 2  x 1 ) 2  ( y  y ) 2 co s ( a, b )   x 1 x 2  y 1 y 2 x 2  y 2   x 2  y 2 1 1 2 2    a  b  x 1 x 2  y 1 y 2  0 18.2 Tr o n g kh ô n g g i an :    C ho c á c v e c -t ơ a ( x 1 , y 1 , z 1 ) , b ( x 2 , y 2 , z 2 )    a.b  x 1 x 2  y 1 y 2  z 1 z 2 v à c á c đi ể m A ( x 1 , y 1 , z 1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) : Ô n t ậ p Toán T H PT t r an g 9 / 1 8   2 2 2 | a |  x 1  y 1  z 1 2 2 2 d  AB       ( x 2  x 1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 ) co s ( a, b )   x 1 x 2  y 1 y 2  z 1 z 2 x 2  y 2  z 2 x 2  y 2  z 2 1 1 1 2 2 2    a  b  x 1 x 2  y 1 y 2  z 1 z 2  0 19. Đ ư ờ n g t h ẳ n g t r o n g m ặ t ph ẳ n g và t r o n g k h ô n g g i an : 19.1 Đ ư ờ n g t h ẳ n g t r o n g m ặ t p h ẳ n g : a. Kh o ả n g c á c h : + K ho ả ng c á ch t ừ đi ể m M (x 0 , y 0 ) đ ế n đ ươ ng t h ẳ ng ( d ) : A x + By + C = 0 MH  | A x 0  B y 0  C | A 2  B 2 + K ho ả ng c á ch g i ữ a h a i đ ườ ng t h ẳ ng s ong s ong : A x + By + C 1 = 0 v à A x + By + C 2 = 0 | C 1  C 2 | A 2  B 2 b . V ị t rí t ư ơ n g đ ố i 2 đ ư ờ n g t h ẳ n g : ( d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ( d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 * ( d 1 )  ( d 2 )    A 1 A 2  B 1 B 2 * ( d 1 ) / /( d 2 )    * ( d 1 )  ( d 2 )  A 1  B 1 A 2 B 2 A 1  B 1 A 2 B 2  C 1 C 2  C 1 C 2 * ( d 1 )  ( d 2 )  A 1 A 2  B 1 B 2 c . G ó c g i ữ a 2 đ ư ờ n g t h ẳ n g : ( d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ( d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0   ( d 1 , d 2 ) Ô n t ậ p Toán T H PT t r an g 10 / 1 8 c os    | A 1 A 2  B 1 B 2 | A 2  B 2 A 2  B 2 1 1 2 2 d . Ph ư ơ n g t rì nh đ ư ờ n g p hân g i á c c ủ a gó c t ạ o b ở i 2 đ ư ờ n g t h ẳ n g ( d 1 ) v à ( d 2 ): A 1 x  B 1 y  C 1   A 2 x  B 2 y  C 2 A 2  B 2 A 2  B 2 ( góc nh ọ n l ấ y d ấ u – , góc t ù l ấ y d ấ u + ) 1 1 2 2 e . Ph ư ơ n g t rì nh c hù m đ ư ờ n g t h ẳ n g c ó t â m l à g i a o c ủ a 2 đ ư ờ n g t h ẳ n g ( d 1 ) v à ( d 2 ):  ( A 1 x  B 1 y  C 1 )   ( A 2 x  B 2 y  C 2 )  0 v ớ i  2   2  0 19.2 Đư ờ ng t h ẳ ng t r ong không g i an : G óc g i ữ a 2 đ ườ ng t h ẳ ng :   ( d 1 ) có v e c t o r ch ỉ ph ươ ng u  ( a 1 , b 1 , c 1 )   ( d 2 ) có v e c t o r ch ỉ ph ươ ng v  ( a 2 , b 2 , c 2 )  l à góc g i ữ a ( d 1 ) v à ( d 2 ) c os    | a 1 a 2  b 1 b 2  c 1 c 2 | a 2  b 2  c 2 a 2  b 2  c 2 1 1 1 2 2 2 ( d 1 )  ( d 2 )  a 1 a 2  b 1 b 2  c 1 c 2  0 20. M ặ t ph ẳ n g : a. Kh o ả n g c á c h t ừ đi ể m M ( x 0 , y 0 ) đ ế n m ặ t p h ẳ n g ( P ): A x + By + C z + D = 0 l à : MH  | A x 0  B y 0  C z 0  D | A 2  B 2  C 2 b . Chù m m ặ t p h ẳ n g đi q ua g i a o t u y ế n c ủ a 2 m ặ t p h ẳ n g : ( P ) : A 1 x  B 1 y  C 1 z  D 1  0 ( Q ) : A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0 l à ph ươ ng trì nh m ặ t ph ẳ ng có d ạ ng :  ( A 1 x  B 1 y  C 1 z  D 1 )   ( A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2 )  0 21. C ấ p s ố c ộ n g : + Đ ị nh n g h ĩa : C ấ p s ố c ộ ng l à m ộ t d ã y s ố tr ong đó, k ể t ừ s ố h ạ ng t h ứ h a i đ ề u l à t ổ ng c ủ a s ố h ạ ng đ ứ ng ng a y tr ướ c nó v ớ i m ộ t s ố k hông đ ổ i k h á c 0 g ọ i l à công sa i .  n  N * , U n  1  U n  d + Tí nh c h ấ t c ủ a c ấ p s ố c ộ n g : [...]... s in 2n x  a Đặt t = tgx cos 2m  b B Dạng : f ( x)   III Phương trình lượng giác 1 Phương trình cơ bản: * sinx = sina x = a + k2π hoặc x = π - a + k2π * cosx = cosa x = ± a + k2π * tgx = tg a x  a  kπ x  k  * cotgx = cotga x = a + kπ (x  kπ) 2 Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx: Các phương trình lượng giác * asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0 (1) 3 2 2 3 * asin x + bsin x.cosx +... Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) Giải phương trình (1) bằng cách đặt : sinx + cosx = t , | t | 2 Đưa (1) về phương trình bt 2  2at  (b  2c)  0 (a, b, c là hằng số) Giải phương trình (2) với | t | 2 5 Hệ phương trình lượng giác: 1) Hệ phương trình lượng giác một ẩn Chẳng hạn có hệ phương trình : sin x  1  cos  x  0 Có hai phương pháp giải : * Phương... 0 và khác 1 gọi là công bội "n Є N*, Un + 1 = Un.q + Tính chất : U n1 U n  2  Un U n1 U n1  U n U n 2 , Un > 0 + Số hạng tổng quát : Un = U1.qn - 1 + Tổng n số hạng đầu tiên: S n  U1  U 2   U n  U1 1 qn 1 q + Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 S n  U1  U 2   U n  U1 1 q I Đạo hàm: 1 Bảng các đạo hàm cơ bản: STT Hàm số y Đạo hàm y’ Hàm số y 1 CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM &... 1   n a u  a 2 au  n 1  1 2 au 2  n dx Nguyên hàm là : u  1 ln a2 n a n a C u n a 3 Họ nguyên hàm của các hàm vô tỉ : 1 3.1 Hàm số có dạng : f ( x)  * Cách 1 : Đặt ; f ( x)  x2  k 2 x 2  k 2 = -x + t  t = x )dx =  dt = (1  2 x  k2  dx dt   2 Do đó : t x  k2 *Cách 2: Biến đổi :  1 x2  k 2 x 2 x2  k 2 Ta có : f ( x)  x k 2 2 dx x2  k 2  dx =  x2  k 2 x2  k... phương trình (1), (2), (3) theo thứ tự cho cos2x, cos3x, cos4x đưa phương trình đã cho về phương trình mới và ta dễ dàng giải các phương trình này 3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: * sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2  0 phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 - c2  0 Có ba cách giải loại phương trình này : - Giả sử a  0 b c (1)  sin x  cos x   0 (2) a a Đặt : tg  b a (2)  sin x  tg cos... mục 3 3.5 Hàm số dạng : f (x)  x 2  k 2 và f (u)  u 2  k 2   Đặt x  ktgt , u  ktgt với t [- ; ] 2 2 1 1 f (u)  2 2 hoặc x m u  m2 1 1 1  Phân tích thành : f ( x)  2 rồi áp dụng theo công thức đã học 2 = xm xm x m 3.6 Hàm số dạng : f ( x)  3.7 Hàm số dạng : f (x)  + Đặt x  mtgt   1 2 1 2 x m 2 hoặc f (u)  1 2 u  m2   , u  mtgt với t [- ; ]  dx   2 2  | cost |... giải một phương trình của hệ rồi thế nghiệm tìm được vào phương trình còn lại * Phương pháp tìm nghiệm chung, giải tìm nghiệm của mỗi phương trình trong hệ, sau đó tìm nghiệm chung 2) Hệ phương trình lượng giác hai ẩn Chẳng hạn có hệ phương trình :   x   y    3 sin x  sin y  1 Phương pháp chung là đưa nó về hệ phương trình đại số hai ẩn, hoặc đa về phương trình tổng tích rang 19/18 ... 1  2 sin x 2 Tính chất của đạo hàm: a (u + v)’ = u’ + v’ b (u – v)’ = u’ – v’ c (u.v)’ = u’.v + u.v’ d (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’ u   ' u '.v  v '.u e    v2 v II Nguyên hàm: 1 Bảng các nguyên hàm cơ bản: STT 1 2 rang 12/18 Hàm số & Nguyên hàm  dx  x  C   x dx  x 1 C  1 (  1) Ôn tập Toán THPT dx dx  ln | x | C ( x  0) x x x  e dx  e  C  3 4 ax  C (0  a  1)... 2 2 1 Tương tự:   2 2 du = t  C k u Vì t [ 3.3 Hàm số dạng : f (x)  x 2  k 2 ; f (u)  u 2  k 2   x k2 Nguyên hàm là :  x  k dx  x 2  k 2  ln | x  x 2  k 2 | C 2 2    k k Cách khác: đặt x  hoặc x  với t [0; ] sin t cost 2 2 2 3.4 Hàm số dạng : f (x)  ax 2  bx  c    Ta biến đổi về một trong hai dạng sau: f ( x)  u 2  k 2 hoặc f ( x)  u 2  k 2 rồi áp dụng... bx  c  t' = 2ax + b ax 2  bx  c t'  Họ nguyên hàm của hàm số là : ln|t| + C = ln| ax 2  bx  c | + C Hàm số có dạng : t 2ax  b  2 dx  ln | ax 2  bx  c | C ax  bx  c * Hàm y = 1 Ta có các trường hợp sau : ax  bx  c + Mẫu số ax 2  bx  c có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và giả sử x1 < x2 Ta có : ax 2  bx  c = a( x  x1 )( x  x2 ) Ta có thể viết như sau : 1 1  (x  x1 )  ( x  x2 . Ô n t ậ p Toán T H PT t r an g 1 / 1 8 M ỘT S Ố CÔNG T H ỨC T OÁN H Ọ C L Ớ P 10 & 11 1. C á c tí nh c h ấ t c ơ b ả n . b )  c o s a c o s b  s i n a s i n b N go à i r a t a cũng có công t h ứ c sa u v ớ i m ộ t s ố đi ề u k i ệ n : t g ( a  b )     t g . đ ứ ng ng a y tr ướ c nó v ớ i m ộ t s ố k hông đ ổ i k h á c 0 g ọ i l à công sa i .  n  N * , U n  1  U n  d + Tí nh c h ấ t c ủ a c ấ p s ố