Các công thức lượng giác bạn cần nắm vững

Phương trình bậc nhất đối với một hàm... Ph ương trình lượng giác cơ bản:Ví dụ 1: Giải phương trình: a... Ví dụ 1: Giải phương trình sau:a... Giải các phương trình saua... Phương trình đ

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1:Các điều kiện biểu thức có nghĩa:

* A có nghĩa khi A ≥ 0

*

A

1

có nghĩa khi A ≠ 0

*

A

1

có nghĩa khi A > 0

Đặt biệt:

2 1

sinx= ⇔x= +k *sinx= 0 ⇔ x=kπ *

π

2 1

sinx= − ⇔x= − +k

* cosx= 1 ⇔x=k2 π * x= ⇔x=π +kπ

2 0

cos

* cosx= − 1 ⇔x= π +k2 π

*Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối

xứng Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm

tâm đối xứng.

2:Công thức của phương trình lượng giác cơ bản:





+

−

=

+

=

⇔

=

π α π

π α α

2

2 sin

sin

k x

k x

x





+

−

=

+

=

⇔

=

π π

π

2 arcsin

2 arcsin sin

k a x

k a x

a

không phải là giá trị đặt biệt)

*









+

−

=

+

=

⇔

360 180

360 sin

sin

k x

k x

x

β

β β

* = ⇔ ==−α++ π

π α α

2

2 cos

cos

k x

k x

x

* = ⇔ ==− ++ π

π

2 arccos

2 arccos cos

k a x

k a x

a

x ( với a ≤ 1 và a

không phải là giá trị đặt biệt)

*









+

−

=

+

=

⇔

0 0

0

360

360 cos

cos

k x

k x

x

β

β β

* tanx= tan α ⇔x= α +kπ

* tanx=a⇔x= arctana+kπ (với a không phải là

giá trị đặt biệt)

* tanx= tan β 0 ⇔x= β 0 +k180 0

10 Công thức nhân ba:

* cotx= cot α ⇔ x= α +kπ

* cotx=a⇔x=arccota+kπ (với a không phải là giá trị đặt biệt)

* cotx= cot β 0 ⇔x= β 0 +k180 0

3: Công thức lượng giác cơ bản:

* sin 2 α + cos 2 α = 1 *

α

2 cos

1 tan

1 + =

* α α 2 2 sin 1 cot 1 + = * tan α cot α = 1

4: Công thức đối:

* cos( − α ) = cos α *sin( − α ) = − sin α

* tan( − α ) = − tan α *cot( − α ) = − cot α 5: Công thức bù:

* sin( π − α ) = sin α *cos( π − α ) = − cos α

* tan( π − α ) = − tan α *cot( π − α ) = − cot α 6:Công thức phụ: * π α ) cos α 2 sin( − = * π α ) sin α 2 cos( − =

* π α ) cot α 2 tan( − = * π α ) tan α 2 cot( − = 7:Công thức hơn kém π : * sin( π + α ) = − sin α *cos( π + α ) = − cos α

* tan( π + α ) = tan α *cot( π + α ) = cot α 8:Công thức cộng:

* cos(a−b) = cosa cosb+ sina sinb

* cos(a+b) = cosa cosb− sina sinb

* sin(a−b) = sina cosb− cosa sinb

* sin(a+b) = sina cosb+ cosa sinb * b a b a b a tan tan 1 tan tan ) tan( − + = + * b a b a b a tan tan 1 tan tan ) tan( + − = − 9:Công thức nhân đôi:

*cos 2a=cos2a−sin2a =2cos2a−1

a

2

sin 2

1 −

* sin 2a= 2 sina cosa

*

α

α

tan 1

tan 2 2

tan

−

=

1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm

I Ph ương trình lượng giác cơ bản:

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a sin 2x= − s inx b sin 2x= 2cosx c cos3x= sinx d osx=-sin

2

x c

2 2

2 2 3

f sin4x 2sin os4x sin4x=2. 3 os4 sin 4 3 os4 sin 4 3

Ví dụ 3: Giải phương trình:

x

x x

x

cos

1 cos cos

tan 2

1 cos2x 0 − > ⇔ 2sin x 0 > ⇔ sin x 0 > ⇔ sinx 0 ≠ ⇔ ≠ π x k

pt ⇔ 2cos2x.sin x2 sin x = 2cos 2x −π4÷

Khi x ∈( )0; π thì sinx > 0 nên :

Ví dụ 6: Giải phương trình: 1 2(cos sin )

Điều kiện:sinx.cosx≠0 và cotx≠1

Phương trình đã cho tương đương với

1 2(cos sin )

sin cos 2 cos

1 cos sin 2 sin

II Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:

Phương trình dạng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác.Và a, b, c là các hệ số a≠0

Cách giải: Đặtë t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì t ≤ 1)

+ Giải phương trình at2 + bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện + Giải phương trình f(x) = t

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a sin 2 x+ 3cosx+ 2cos 2 x− 3cos 2x= 2 b 5sin 2x− 2cos 2x+ 3sinx= + 10 2cos 2x

sin 2 ) 1 cos 2 ( cos 1

=

−

− +

−

x

x x

−

⇔

π π

π

k x

k x x

x x

x

6

2 2

1 2 cos

1 2 cos 0

1 2 cos 3 2 cos

2 2

Đối chiếu với điều kiện ta được

Z k h k x

π

π π

2 4 5

2 4 4

sin 2

2 sin

k x

k x

c ĐK : x≠mπ

x

x x

sin

cos ) cos 1 ( 3 2 2 cos

cos 1

cos ) cos 1 ( 3 2 2 cos 3

0 2 cos cos

6 cos 1

cos 3 2 cos

2 ) 3

2 arccos(

2 3 3

2 cos

2

1 cos

k x

k x

2 sin 4

3 1 ) cos (sin

cos sin 3 ) cos (sin

) (cos sin

cos sin

2

2 2

2 2 2 3

2 2

3 2 3

2 6

− +

=

= +

= +

x

x x

x x x x

x

x x

x x

4

1 2 cos 4

1 arccos 2

1 3

1 2 cos

1 2 cos

k x

k x x

x

Ví dụ 3: Tìm các nghiệm trên khoảng (0; π) của phương trình :

π π

2 12

2 12 5 2

1

m x

m x

Ta có sin 33(sinx x−+cos3cos ) 4(sinx x=−3sinx x−+4sincos )(1 sin cos )3x x−−4cosx3x+3cosx x=

) 1 2 sin 2 )(

cos (sin

) 1 cos sin 4 )(

cos

x x

x

x x

cos sin

1 2

sin

2

3 cos

2 6

1 sinx

2 sinx 2 (VN)

2 6

6 6

Ví dụ 8 Giải phương trình: sin 2 cos 2 tan cot

3 2

Ta có: 2 sin 2x− sin 2x+ sinx+ cosx− 1 = 0 ⇔ 2 sin 2x− ( 2 cosx− 1 ) sinx+ cosx− 1 = 0

∆ = ( 2 cosx− 1 ) 2 − 8 (cosx− 1 ) = ( 2 cosx− 3 ) 2

Suy ra sinx= 0 , 5 hoặc sinx= cosx− 1

2 4

sin 1 cos

Vậy nghiệm của phương trình là x= 2kπ hoặc x π 2kπ

2

3 +

x

x x

Phương trình đã cho tương đương với: ( 2 ) 4

c 5sinx− = 2 3(1 −sinx).tan 2x d 8 8 17 2

16

x cos x+ = cos x

2 Tìm các nghiệm trên khoảng (0; 2 π) của phương trình :

Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b ≠ 0

+ Điều kiện phương trình có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

a 3 sin 2x c+ os2x= 2 b sinx − 3 cosx= − 2sin 3x

c cosx+ 3 sin 3x c= os3x+ 3 sinx d 3sin 2 x c− os 2x= 3 sinx cos + x

a 4 cos 3 2x+ 3 sin 6x= 2 cos 4x+ 3 cos 2x (1) b 8sinx 3 1

cosx sinx

= + (2)

c sin 2x− cos 2x− cosx− sinx= 0 (3) d 9 sinx+ 3 cosx− 3 sin 2x+ cos 2x= 8 (4)

2cos x+ cos 2x sinx+ = 0 (5) f 3 3

sin x cos x sinx cosx+ = − (6)

g 4(sin 4x cos x+ 4 ) + 3 sin 4x= 2 (7) h 3 (sin 3x− cosx) = cos 3x+ sinx (8)

1 4 cos 2 6 sin 3 6

⇔

3 6

2 sin 0 cos

0

Ta có (2)⇔ 4 sin 2xsinx= 3 sinx+ cosx⇔ 2 (cosx− cos 3x) = 3 sinx+ cosx

x x

x x

3 cos 3

cos sin

2

3 cos 2

1 cos 2 (

0 ) 1 )(cos 1 cos 2 ( ) 1 cos 2 ( sin

x

x x

x x

1 ) 4 sin(

2 2

0 3 sin 3 cos 0

) 3 sin 3 )(cos 3 cos 2

α α

α cos sin sin sin cos

10

3 sin

10

3 cos 10

sin 1 (

0 ) 1 2 sin cos 2 sin 2 )(

sin 1 (

0 1 ) cos 1 )(

sin 1 ( 2 ) sin 1 (

= + +

+

−

⇔

x x

x x

x x

x

[2 (sin cos ) (sin cos ) ] 0 )

sin 1





= +

=

−

⇔

= + +

+

−

⇔

0 cos sin

0 sin 1 0 ) 2 cos )(sin

cos )(sin

sin 1 (

x x

x x

x x x

x

f Ta cĩ (6) ⇔ (sinx+ cosx)( 1 − sinxcosx) = sinx− cosx

x x

x x

x x x

x cos sin cos (sin cos ) sin cos

⇔

0 ) cos sin sin

2 ( cos 0

) cos (sin

cos sin cos

0 ) 2 sin 2 cos 3 ( cos 0

) 2 sin 2

1 2

2 cos 1 2 (

0 cos =

4

1 4

3 ) 4 cos 1 ( 4

1 1 2 sin 2

1 1 cos

Nên (7)

2

1 4

sin 2

3 4 cos 2

1 2 4 sin 3 4 cos

2

1 3 cos 2

1 3 sin 2

3 cos

3 sin

3 cos 3 sin

os4x+ 3 sin 4 os2x+ 3 sin 2 0

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :

1) Giải phương trình : 3 sin 3x− 3 cos 9x= 2 cos 3x+ 4 sin 3 3x

3) Giải phương trình : sin 2x+ 2sinx− = 1 4sin xcosx cos x2 + 2 − 2sin cos 2x x

4) Giải phương trình : sinx+ 4cosx− sin 2x+ 2cos 2x= 1

5) Giải phương trình : 2sin 3x− cos 2x cosx+ = 0

6) Giải phương trình : 3 3

sin x cos x sinx cosx− = +

7) Giải phương trình : 8(sin 6x+ cos 6 x)− 3 3 sin 4x= 2

8) Giải phương trình : 3 (cos 3x+ sinx) = sin 3x− cosx

IV Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung:

1) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:

*Phương trình có dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0 (1)

* Cách giải 2: (Đưa về PT bậc hai đối với tanx )

Xét hai trường hợp :

atan2x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0

⇔ (a + d)tan2x + btanx + c + d = 0

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a cos2x - 3sin2x = 1 + sin2x (1) b 4sin2x – 3sinxcosx + ( 3 4 + )cos2x = 4 (2)

c 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 (3) d cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3 (4)

Giải

a (1) ⇔(cos 2 x− sin 2 x)− 3 sin 2x= 1 ⇔ cos 2x− 3 sin 2x= 1

cos3

3 2 cos 2

1 2 sin 2

3 2 cos 2

5 ) 2 cos 1

(

7 2 sin 5 2 cos

1 t anx 3tan + + x= 3(1 tan + x) ⇔ tanx= ⇔ = 2 x arctan 2 +kπ

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

1) Giải phương trình : 3sin2x - 5 3sinxcosx – 6cos2x = 0

2) Giải phương trình : sin2x +(1 + 3)sin cosx x+ 3cos x2 = 0

3) Giải phương trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1

4) Giải phương trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0

2) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc cao theo sin và côsin cùng một cung:

Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau: + Một biểu thức theo sinx hoặc cosx cĩ bậc k cĩ thể biến đổi thành một biểu thức theo sinx và cosx cĩ bậc k + 2n nhờ đẳng thức : sin 2 x+ cos 2 x= 1.(k,n∈N)

Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx.(sin 2 x+ cos 2 x) = sin 3x+ sinxcos 2 x (bậc 3)

Hoặc sinx = sinx.(sin 2 x+ cos 2 x) 2 = sin 5 x+ 2 sin 3xcos 2 x+ sinxcos 4 x (bậc 5)

“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, k

+Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không (nếu đúng ghi nhận kết quả)

x x

-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t

-Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x

Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin)

( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi Đòihỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán như cách 1 Sau đây là một số ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình: tanx= sinxcosx− cos 2 x (1)

Giải cách 1:

+ĐK: x≠ π +mπ

+(1) ⇔ sinx= sinxcos 2 x− cos 3 x (*) (đẳng cấp bậc 3)

+cosx = 0 không nghiệm đúng PT (vì ± 1 = 0 ; vô lý)

+cosx ≠0, chia hai vế (*) cho cos3x được :

4 1

tan 1 1

1 tan ) tan 1

tan 1

tan 0 cos sin

Ví dụ 2: Giải phương trình: cos 3x= sinx+ cosx (2) (đẳng cấp bậc 3)

Giải cách 1:

+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)

+ cosx ≠0, chia hai vế (2) cho cos3x được :1 = tanx( 1 + tan 2 x) + ( 1 + tanx)

π

k x x

t t

⇔ sinx(sin 2x+ 2 ) = 0 ⇔ sinx= 0 ⇔ x=kπ

Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 sin 3x− 2 cos 3x+ sin 2 xcosx+ 2 cosx= 0 (3)

(đẳng cấp bậc 3)

Giải cách 1:

+ cosx = 0 khơng nghiệm đúng (3)

+ cosx ≠0, chia hai vế (3) cho cos3x được :

0 ) 3 ( 3 0 3 3 ) tan 1 ( 2 tan 2 tan

π

k x

k x x

x t

t

3 3

tan

0 tan 3

0

Giải cách 2:

(3) ⇔( 3 sin 3 x+ sin 2 xcosx)+ 2 cosx( 1 − cos 2 x) = 0

⇔ sin 2 x( 3 sinx+ cosx) + 2 cosxsin 2 x= 0 ⇔ sin 2 x( 3 sinx+ 3 cosx)= 0

=

⇔

π π

π π

k x

k x x

k x x

x

x

3 3

tan 0

cos 3 sin

0 sin

Ví d ụ 4 : Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)Giải cách 1:

+ cosx = 0 thì sinx = ± 1 khơng nghiệm đúng ptrình Vậy cosx ≠ 0

+ Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:

t2 − 4t+ 3 = 0 ⇔t = 1 ∨t = 3

Giải cách 2:

(4) ⇔ ( 3 cos 4 x− 3 sin 2 xcos 2 x) − (sin 2xcos 2 x− sin 4 x) = 0

0 ) sin (cos

sin ) sin (cos

0 2 cos 0

) sin cos

3 ( 2

x

x x

x x

Ví dụ 5: Giải phương trình : sin 6x+ cos 6 x= cos 2 2x− sinxcosx (5)

Giải cách 1:

Nếu biến đổi : sin 6 x+ cos 6 x= (sin 2x+ cos 2 x)(sin 4 x+ cos 4 x− sin 2 xcos 2 x)=

= sin 4 x+ cos 4 x− sin 2 xcos 2 x

Và biến đổi : cos 2 2x= (cos 2 x− sin 2x) 2 = cos 4 x+ sin 4 x− 2 sin 2 xcos 2 x

Thì PT (5) ⇔ sin 2 xcos 2 x+ sinxcosx= 0 (*)

Khi đĩ PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản

+ Nếu từ PT: sin 6 x+ cos 6 x= (cos 2 x− sin 2 x) 2 − sinxcosx (đẳng cấp bậc 6)

Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )







= + + + +

=

⇔

= + + + +

) 1 5 ( 0 1 2

0 0

4 5

t t t t

t t

t t t

⇔

t

t t

t t

t t

PT (5.2) đặt ẩn phụ

t t

u = +1 thì được PT bậc hai u2 +u=0⇔u=0∨u= −1.Trở lại với ẩn t thì các PT này vơ nghiệm

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Cĩ thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở

phân PT đưa về PT bậc nhất theo sin và cơsin cùng một cung như :

1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3)

3) Giải phương trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)

sin x cos x sinx cosx− = + (đẳng cấp bậc 3) 5) Giải phương trình : 8(sin 6x+ cos 6 x)− 3 3 sin 4x= 2 (đẳng cấp bậc 6)

6) Giải phương trình : 3 (cos 3x+ sinx) = sin 3x− cosx (đẳng cấp bậc 3)

7) Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx3 + 3 = − (đẳng cấp bậc 3) 8) Giải phương trình : 4(sin 4x cos x+ 4 ) + 3 sin 4x= 2 (đẳng cấp bậc 4) 9) Giải phương trình : 3 (sin 3x− cosx) = cos 3x+ sinx (đẳng cấp bậc 3)

16

x cos x+ = cos x (đẳng cấp bậc 8) 11) Giải phương trình : sin 6x cos x+ 6 = 2cos x2 − 1 (đẳng cấp bậc 6)

V Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và cơssin cùng một cung:

1) Phương trình chứa tổng và tích (cịn gọi là phương trình đối xứng theo sin và cơsin)

Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c ∈R)(1)

4 sin

sin cos

sin 2 1

2

(1) 0 2 2 0 ( 1 1 )

2

1 2 − + = ⇔ 2 + + − = +

Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t0 ≤ 2

Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = 2 1

0 −

2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)

Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c ∈R)(2)

4 sin

sin 2

x x x

Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t0 ≤ 2

Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- 2

(2)

Ví dụ 3: Giải phương trình sin 3x+ sin 2 x+ 2 cosx− 2 = 0 (3)

Ví dụ 4: Giải phương trình sin 2 xcosx+ 12 (sinx− cosx+ sin 2x) − sinxcos 2 x= 12(4)

Ví dụ 5: Giải phương trình sin 2 x− sinxcosx+ cosx+ 2 sin 2x(sinx− 1 ) = 1 (5)

Ví dụ 6: Giải phương trình (sinxcosx− 1 ) cos 2x+ cosx− sinx= 0 (6)

− +

=

−

⇔

) 1 ( 0 12 2 sin ) cos (sin

12

) 1 ( 0 cos sin

b x

x x

a x

(1b) t (t x x)

t

t t

13

1 0

13 12

−

−

= +

⇔

) 2 ( 0 7 2 sin 3 ) sin (cos 8

) 2 ( 0 cos sin

b x

x x

a x

2

2 0

4 8

t

t t

1 cos sin cos sin

1 cos

π

π

k x

k x x

x x x

12 cos sin

0 cos sin

0 12 ) cos (sin

12 cos sin cos sin

x x

x x

x x

x x

x x x x

Ví dụ 5: (5) ⇔(sin 2 x− 1)− (sinxcosx− cosx) + 2 sin 2x(sinx− 1 ) = 0

−

=

⇔

= + +

−

− +

−

⇔

0 1 2 sin 2 cos sin

1 sin

0 1 2 sin 2 cos sin

1 sin

0 ) 1 (sin 2 sin 2 1 sin cos 1 sin 1 sin

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x

Ví dụ 6: (6) ⇔(sinxcosx− 1) (cos 2 x− sin 2 x)+(cosx− sinx)= 0

⇔(sinxcosx− 1)(cosx− sinx)(cosx+ sinx) (+ cosx− sinx) = 0

⇔ (cosx− sinx)[ (sinxcosx− 1)(cosx+ sinx)+ 1 ]= 0







= + +

) 6 ( 0 sin cos

b x

x x

x

a x

2 sin

3) cos 3 x+ cos 2 x+ 2 sinx− 2 = 0 4) (3 + sinx) (3 + sin 2 x)= 8 ( 2 − cosx)

5) cos 2x( 1 + sinxcosx) + cosx+ sinx= 0 6) sin 3 x− 3 sin 2 x− 6 cosx+ 6 = 0

VI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

1 Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.

Ví dụ 1 Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).

Giải

Phương trình (1) tương đương với: 1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos8

(3) 2 2 cos (4 cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0

2cos 2cos cos3 2sin 2sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2

cos x 0 cos x cos x sinx 1 sinx cosx 0 cos x sinx 0

6 sinx

2 6

2 os6 os4 3(2 cos 1) 2sin cos 3

4cos5 cos 2 3 os 3 2sin cos 3

cos 0

2 2

2cos5x -sinx - 3cosx=0 sinx cos 2 cos5 sinx 3 cos 2 cos5

2 2

sinx cos cos5

2 2

Khi đó PT ⇔ −(1 sin 2x) (cosx− = 1) 2 1 sin( + x) (sinx+ cosx)

⇔ +(1 sinx) (1 cos + x+ sinx+ sin cosx x) = 0

⇔ +(1 sinx) (1 cos + x) (1 sin + x) = 0 sin 1

x x

= −



⇔  = − (thoả mãn điều kiện)

2 2

2 4 cos 2 sin 2 cos sin

2 sin

x cos 2

x sin 2 2

x cos 2

x sin x sin 0 1 x sin 2

x cos 2

x sin 2 2

x sin 2 1 2

1 sin

tan 1

2 cos + 2 −

≠

1tan

02sin0

cossin

02sin

x

x x

x x x

x x

cossinsin

sincos

cos.2cossin

sin

−+

x x x

x

x x

cossinsin

cossincos

sin

sin

−+

−

=

−

⇔

⇔ cosx−sinx =sinx(1−sin2x)

⇔ (cosx−sinx)(sinxcosx−sin2 x−1)=0

Ví dụ 13 Giải phương trình: sin 3x− 3sin 2x− cos 2x+ 3sinx+ 3cosx− = 2 0.

Giải:

Ta có : sin 3x− 3sin 2x− cos 2x+ 3sinx+ 3cosx− = 2 0

(sin 3x sin ) 2sinx x 3sin 2x (cos 2x 2 3cos ) 0x

2 2sin 2 cosx x 2sinx 6.sin.cosx (2cos x 3cosx 1) 0

2 (2sin 1)(2cos 3cos 1) 0 cos 1

1 cos

2 6

;

x