Các công thức lượng giác bạn cần nắm vững

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình - 0983499890 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1:Các điều kiện biểu thức có nghĩa: * A có nghĩa khi 0A ≥ . * A 1 có nghĩa khi 0A ≠ . * A 1 có nghĩa khi 0A > Đặt biệt: * π π 2 2 1sin kxx +=⇔= * π kxx =⇔= 0sin * π π 2 2 1sin kxx +−=⇔−= * π 21cos kxx =⇔= * π π kxx +=⇔= 2 0cos * ππ 21cos kxx +=⇔−= . *Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng. 2:Công thức của phương trình lượng giác cơ bản: *    +−= += ⇔= παπ πα α 2 2 sinsin kx kx x *    +−= += ⇔= ππ π 2arcsin 2arcsin sin kax kax ax ( với 1≤a và a không phải là giá trị đặt biệt) *     +−= += ⇔= 000 00 0 360180 360 sinsin kx kx x β β β *    +−= += ⇔= πα πα α 2 2 coscos kx kx x *    +−= += ⇔= π π 2arccos 2arccos cos kax kax ax ( với 1≤a và a không phải là giá trị đặt biệt) *     +−= += ⇔= 00 00 0 360 360 coscos kx kx x β β β * παα kxx +=⇔= tantan * π kaxax +=⇔= arctantan (với a không phải là giá trị đặt biệt) * 000 180tantan kxx +=⇔= ββ 10. Công thức nhân ba: * παα kxx +=⇔= cotcot * π kaarcxax +=⇔= cotcot (với a không phải là giá trị đặt biệt) * 000 180cotcot kxx +=⇔= ββ 3: Công thức lượng giác cơ bản: * 1cossin 22 =+ αα * α α 2 2 cos 1 tan1 =+ * α α 2 2 sin 1 cot1 =+ * 1cot.tan = αα 4: Công thức đối: * αα cos)cos( =− * αα sin)sin( −=− * αα tan)tan( −=− * αα cot)cot( −=− 5: Công thức bù: * ααπ sin)sin( =− * ααπ cos)cos( −=− * ααπ tan)tan( −=− * ααπ cot)cot( −=− 6:Công thức phụ: * αα π cos) 2 sin( =− * αα π sin) 2 cos( =− * αα π cot) 2 tan( =− * αα π tan) 2 cot( =− 7:Công thức hơn kém : π * ααπ sin)sin( −=+ * ααπ cos)cos( −=+ * ααπ tan)tan( =+ * ααπ cot)cot( =+ 8:Công thức cộng: * bababa sin.sincos.cos)cos( +=− * bababa sin.sincos.cos)cos( −=+ * bababa sin.coscos.sin)sin( −=− * bababa sin.coscos.sin)sin( +=+ * ba ba ba tan.tan1 tantan )tan( − + =+ * ba ba ba tan.tan1 tantan )tan( + − =− 9:Công thức nhân đôi: * 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1a a a a= − = − a 2 sin21−= . * aaa cos.sin22sin = * α α α 2 tan1 tan2 2tan − = 1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm Chuyên đề phương trình lượng giác 1 LTĐH Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình - 0983499890 I. Ph ương trình lượng giác cơ bản: Ví dụ 1: Giải phương trình: a. sin 2 sinxx = − b. sin 2 2cosx x = c. os3 sinxc x = d. osx=-sin 2 x c e. 2 3 2 4 x sin = f. sin4x 2sin . os4x 3 c π = g. 3 os 4 2 x c = − Giải: a. 2 2 2 sin 2 sinx sin2x=sin(-x) 3 2 2 2 x x k x k x x x k x k π π π π π π  = − + =   = − ⇔ ⇔ ⇔   = + +  = +  b. ( ) 2cos 0 2sin .cos 2cos 0 2cos sinx 1 0 sinx 1 0 x pt x x x x =  ⇔ − = ⇔ − = ⇔  − =  cos 0 2 sinx 1 2 2 2 x k x x k x k π π π π π π  = +  =  ⇔ ⇔ ⇔ = +   =   = +   c. 3 2 4 2 2 2 os3 sinx cos3 os 2 3 2 2 2 2 2 x x k x k c x x c x x x k x k π π π π π π π π π   = − + = +     = ⇔ = − ⇔ ⇔    ÷     = − + + = − +     8 2 4 x k x k π π π π  = +  ⇔   = − +   d. 2 2 osx=-sin osx sin osx cos 2 2 2 2 2 x x k x x x c c c x x k π π π π π  = + +      ⇔ = − ⇔ = + ⇔   ÷  ÷      = − − +   2 4 2 2 2 4 3 2 3 3 2 x x k k x x k k π π π π π π π π  = + = +    ⇔ ⇔   = − +  = − +    e. 2 3 1 cos 3 1 2 2 2cos 3 2cos 1 cos cos os 2 4 2 4 2 3 x x sin x x x x c π − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = 2 2 3 2 2 3 x k x k π π π π  = +  ⇔   = − +   Chuyên đề phương trình lượng giác 2 LTĐH Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình - 0983499890 f. 3 sin 4 sin4x 2sin . os4x sin4x=2. . os4 sin 4 3 os4 3 3 2 os4 x c c x x c x c x π = ⇔ ⇔ = ⇔ = tan 4 3 tan 4 tan 4 3 3 12 4 x x x k x k π π π π π ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + g. 5 10 2 8 3 5 4 6 3 os os os 5 10 4 2 4 6 2 8 4 6 3 x k x k x x c c c x k x k π π π π π π π π π   = + = +   = − ⇔ = ⇔ ⇔     = − + = − +     Ví dụ 2: Giải phương trình 3 3 sin .sin 3 os .cos3 1 8 tan .tan 6 3 x x c x x x x π π + = −     − +  ÷  ÷     Giải: Điều kiện: 6 2 k x π π ≠ + Ta có tan .tan tan .cot tan .cot 1 6 3 6 6 6 6 x x x x x x π π π π π π             − + = − − = − − − = −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷             Phương trình tương đương với: 3 3 sin .sin 3 os .cos3 1 1 8 x x c x x+ ⇔ = − − 3 3 2 2 1 1 sin .sin 3 os .cos3 sin .sinx.sin 3 os .cos . os3 8 8 x x c x x x x c x x c x⇔ + = ⇔ + = ( ) 1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1 . . 2 2 2 2 8 1 2 os2 os2 . os4 2 c x c x c x c x c x c x c x c x c x − − + + ⇔ + = ⇔ − = 3 1 1 os os2 8 2 c x c x⇔ = ⇔ = ( ) ai 6 , 6 x k lo k Z x k π π π π  = +  ⇔ ∈   = − +   . Vậy : 6 x k π π = − + Chuyên đề phương trình lượng giác 3 LTĐH Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình - 0983499890 Ví dụ 3: Giải phương trình: x xx xx 2 32 2 cos 1coscos tan2cos −+ =− Giải: Điều kiện: cosx ≠ 0 2 2 2 cos 1 cos2 tan 1 cos (1 tan ) 2cos cos -1 0 1 cos 2 2 ( ) 2 2 ( ) 3 x pt x x x x x x x x k n x k n π π π =   ⇔ − = + − + ⇔ − = ⇔  = −  =   ⇔  = ± +   Ví dụ 4: Tìm các nghiệm trên ( ) 0;2 π của phương trình : sin 3x sin x sin 2x cos2x 1 cos2x − = + − Giải: ĐK : 2 2 1 cos2x 0 2sin x 0 sin x 0 sinx 0 x− > ⇔ > ⇔ > ⇔ ≠ ⇔ ≠ πk pt 2cos2x.sin x 2cos 2x 4 2 sin x π   ⇔ = −  ÷   Khi ( ) x 0;∈ π thì sinx > 0 nên : (1) 2⇔ cos2x = 2 cos 2x 4 π   −  ÷   x 16 2 π π ⇔ = + k Do ( ) x 0;∈ π nên 9 x hay x 16 16 π π = = Khi ( ) x ;2∈ π π thì sinx < 0 nên : (1) 2⇔ − π cos2x = 2 cos 2x 4 π   −  ÷   ( ) cos -2x = cos 2x- 4 π   ⇔ π  ÷   5 x 16 2 π π ⇔ = + k Do ( ) x ;2∈ π π nên 21 29 x hay x 16 16 π π = = Ví dụ 5: Giải phương trình : 5 2 2 os sin 1 12 c x x π   − =  ÷   Giải: Chuyên đề phương trình lượng giác 4 LTĐH Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình - 0983499890 5 2 2 os sin 1 12 c x x π   − =  ÷   5 5 2 sin 2 sin 1 12 12 x π π     ⇔ − + =  ÷       5 5 1 5 5 sin 2 sin sin sin 2 sin sin 12 12 4 12 4 12 2 2cos sin sin 3 12 12 x x π π π π π π π π π     ⇔ − + = = ⇔ − = − =  ÷  ÷         = − = −  ÷  ÷     ( ) 5 2 2 5 6 12 12 sin 2 sin 5 13 3 12 12 2 2 12 12 4 x k x k x k x k x k π π π π π π π π π π π π   = + − = − +       ⇔ − = − ⇔ ⇔ ∈    ÷  ÷       − = + = +     ¢ Ví dụ 6: Giải phương trình: 1 2(cos sin ) tan cot 2 cot 1 x x x x x − = + − Giải: Điều kiện:sinx.cosx ≠ 0 và cotx ≠ 1 Phương trình đã cho tương đương với 1 2(cos sin ) sin cos 2 cos 1 cos sin 2 sin x x x x x x x x − = + − 1 2(cos sinx) 1 2 sinx sin 2 sin os2 cos cos sinx cos cos sin 2 sinx cos sin 2 sinx 0 ( ) sin 2 2 sinx 0 2sin cos 2 sinx 0 2 cos 2 x x x c x x x x x x x x loai x x x x − ⇔ = ⇔ = + − =   ⇔ − = ⇔ − = ⇔  =   ⇒ cosx = 2 2 ⇒ x = 2 4 k π π ± + Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x = 2 4 k π π − + II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác: Phương trình dạng : a.f 2 (x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác. Và a, b, c là các hệ số a ≠ 0. Cách giải: Đặtë t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì 1t ≤ ) + Giải phương trình at 2 + bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện. + Giải phương trình f(x) = t. Chun đề phương trình lượng giác 5 LTĐH Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình - 0983499890 Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a. 2 2 sin 3cos 2cos 3cos 2 2x x x x+ + − = b. 2 2 5sin 2cos 3sin 10 2cos2x x x x− + = + c. os3 .cos 1c x x = Giải: a. pt 2 2 2 1 os 3cos 2cos 3(2cos 1) 2c x x x x⇔ − + + − − = 2 cos 1 5cos 3cos 2 0 2 cos 5 x x x x =   ⇔ − − = ⇔  = −  2 2 arccos 2 5 2 arccos 2 5 x k x k x k π π π   =     ⇔ = − +   ÷       = − − +   ÷    b. 2 2 2 5sin 2(1 sin ) 3sin 10 2(1 2sin )pt x x x x⇔ − − + = + − 2 sinx 1 11sin 3sin 14 11 sinx ( ) 4 x x VN =   ⇔ + − ⇔  = −  2 2 x k π π ⇔ = + c. ( ) 2 1 os4 os2 1 os4 os2 2 2cos 2 1 os2 2 2 pt c x c x c x c x x c x⇔ + = ⇔ + = ⇔ − + = 2 os2 1 2cos 2 os2 3 0 os2 1 2 2 3 os2 ( ) 2 c x x c x c x x k c x VN x k π π =   ⇔ + − = ⇔ ⇔ = ⇔ =  = −  ⇔ = Ví dụ 2. Giaûi các phương trình sau: a. 2 2cos4 6 s 1 3cos2 0 cos x co x x x + + + = (1) b. 1 cos1 sin2)1cos2(cos1 = − −+− x xxx (2) c. 2 3 2 3(1 ).cotcosx cosx x− = − − (3) d. 6 6 2 sin 2 1x cos x cos x+ = − (4) Giải: a. Đk π π mx +≠ 2 . Ta có (1) ( ) 02cos312cos1(312cos22 2 =++++−⇔ xxx       +±= = ⇔     = = ⇔=+−⇔ π π π kx k x x x xx 6 2 2 1 2cos 12cos 012cos32cos2 2 Đối chiếu với điều kiện ta được Chuyên đề phương trình lượng giác 6 LTĐH Giỏo Viờn: Nguyn Anh Tun Trng THPT Nguyn Thỏi Bỡnh - 0983499890 Zkhkxhx +== ,; 6 ; . b. K : 21cos mxx Ta cú: (2) 0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21 22 == xxxxxx 2 2 sin 2sin 2 sin 2 0 2 sin 2 ( ) x x x x VN = = = += += == 2 4 5 2 4 4 sin 2 2 sin kx kx x ( Tha iu kin) c. K : mx Ta cú (3) = x x xx 2 2 sin cos )cos1(322cos3 = x x xx 2 2 cos1 cos )cos1(322cos3 02coscos6 cos1 cos3 2cos3 2 2 =+ + = xx x x x += += = = 2) 3 2 arccos( 2 3 3 2 cos 2 1 cos kx kx x x (Tha K) d. Ta cú: ( ) 4 1 2cos 4 3 2sin 4 3 1)cos(sincossin3)cos(sin )(cossincossin 2 22222322 32 3 266 += ==++= =+=+ x xxxxxxx xxxx Khi ú: (4) 012cos42cos32cos 4 1 2cos 4 3 22 =+=+ xxxx += = = = 2 3 1 arccos 2 1 3 1 2cos 12cos kx kx x x Vớ d 3: Tỡm caực nghieọm treõn khoaỷng ( ) 0; cuỷa phửụng trỡnh : sin 3 cos3 7 4 cos2 2sin 2 1 x x cosx x x = ữ (5) Gii: Chuyờn phng trỡnh lng giỏc 7 LTH Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình - 0983499890 ĐK : sinx        +≠ +≠ ⇔≠ π π π π 2 12 2 12 5 2 1 mx mx Ta có 3 3 sin 3 cos3 3sin 4sin 4cos 3cos 3(sin cos ) 4(sin cos )(1 sin cos ) x x x x x x x x x x x x − = − − + = + − + − )12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin −+=−+= xxxxxxx xx x xx cossin 12sin2 3cos3sin += − − ⇒ Ta có (5) )sin21(4sin72cos4)coscos(sin7 2 xxxxxx −−=⇔−=−+⇔ 2 sin 3 ( ) 2sin 7sin 3 0 1 sin 2 x VN x x x =   ⇔ − + = ⇔  =  2 1 6 sin 5 2 2 6 x k x x k π π π π  = +  ⇔ = ⇔   = +   *Chọn nghiệm thuộc khoảng ( ) π ;0 ta được hai nghiệm của phương trình là: 6 5 ; 6 ππ == xx Ví dụ 4: Giải phöông trình : cos 2 5sin 3 0 (*)x x+ − = . Giải: (*) 2 1 2sin 5sin 3 0x x⇔ − + − = 2 2sin 5sin 2 0x x⇔ − + = 1 sinx 2 sinx 2 ( )VN  =  ⇔  =  2 1 6 sin 5 2 2 6 x k x x k π π π π  = +  ⇔ = ⇔   = +   Ví dụ 5. Giải phương trình 2 17 sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( ) 2 2 12 x x x x π π + + = + + Giải: 1 3 os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0 os2 sin 2 5 os( ) 3 0 6 2 2 6 π π ⇔ − + + + = ⇔ − + + + =pt c x x c x c x x c x os(2 ) 5 os( ) 3 0 3 6 c x c x π π ⇔ + + + + = 2 2 os ( ) 5 os( ) 2 0 6 6 c x c x π π ⇔ + + + + = Chuyên đề phương trình lượng giác 8 LTĐH Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình - 0983499890 1 os( ) 2 6 2 2 5 2 os( ) 2 ( ) 6 6 π π π π π π   + = − = +   ⇔ ⇔     = − + + = −     c x x k x k c x VN Ví dụ 6. Giải phöông trình 4 4 4 sin 2 os 2 os 4 tan( ).tan( ) 4 4 x c x c x x x π π + = − + . Giải: Điều kiện: , 4 2 x l l Z π π ≠ + ∈ Ta có : tan( ) tan( ) tan( )cot( ) 1 4 4 4 4 x x x x π π π π − + = − − = 4 4 2 2 1 1 1 sin 2 os 2 1 sin 4 os 4 2 2 2 x c x x c x + = − = + 2 4 2 2 os 4 1 2cos 4 os 4 1 0 1 os 4 ( ) 2 c x pt x c x c x VN  =  ⇔ − − = ⇔  = −   2 2 1 os 4 0 sin 4 0 sin 4 0 4 4 c x x x x k x k π π ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là , 2 x k k Z π = ∈ Ví dụ 7. Giải phöông trình 2 2 2 3 sin x sin x sin x 3 3 2 π π −     + + + =  ÷  ÷     Giải: Pt ⇔ 2 2 1 cos 2x 1 cos 2x 3 sin x 3 3 2 2 2 π π     − + − −  ÷  ÷ −     + = ⇔ 2 2 1 sin x cos 2x cos 2x 0 3 3 π π     − + + + − =  ÷  ÷     ⇔ 1 1 sin x 2cos 2x 0 2   − + − =  ÷   ⇔ 1 – cos2x – sinx = 0 ⇔ 2sin 2 x – sinx = 0 ⇔ sin x 0 1 sin x 2 =    =  ⇔ x k x k2 6 5 x k2 6   = π  π  = + π   π  = + π  (k ∈ Z) Chuyên đề phương trình lượng giác 9 LTĐH Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình - 0983499890 Ví dụ 8. Giải phương trình: sin 2 cos 2 tan cot cos sin x x x x x x + = − (1) Giải: Điều kiện: cos 0 sin 2 0 sinx 0 2 x x x k π ≠  ⇔ ≠ ⇔ ≠  ≠  (1) xsin xcos xcos xsin xcosxsin xsinx2sinxcosx2cos −= + ⇔ ( ) 2 2 2 2 cos 2 sin cos cos sin os sin cos sin cos x x x x x x c x x x x x − − ⇔ = ⇔ = − 2 2 ( ) cos 1 2cos cos 1 0 2 1 2 ( ) cos 3 2 x k l x x x x k n x π π π π = + = −     ⇔ + − = ⇔ ⇔   = ± + = −   Ví dụ 9. Giải phương trình : 01cossin2sinsin2 2 =−++− xxxx Giải: Ta có: 01cossin)1cos2(sin201cossin2sinsin2 22 =−+−−⇔=−++− xxxxxxxx . 22 )3cos2()1(cos8)1cos2( −=−−−=∆ xxx . Suy ra 5,0sin =x hoặc 1cossin −= xx . Với 5,0sin =x ta có π π kx 2 6 += hoặc π π kx 2 6 5 += Với 1cossin −= xx ta có       −=−=       −⇔−=− 4 sin 2 2 4 sin1cossin ππ xxx Vậy nghiệm của phương trình là π kx 2 = hoặc π π kx 2 2 3 += Ví dụ 10. Giải phương trình: 2cos5 .cos3 sin cos8 x x x x+ = Giải: PT ⇔ cos2x + cos8x + sinx = cos8x ⇔ 1- 2sin 2 x + sinx = 0 ⇔ sinx = 1 hoặc 1 sin 2 x = − ⇔ 7 2 ; 2 ; 2 ,( ) 2 6 6 x k x k x k k Z π π π π π π = + = − + = + ∈ Ví dụ 11. Giải phương trình: 2 3 4 2sin 2 2 3 2(cot 1) sin 2 cos x x x x + + − = + . Giải: Đk: 2 x k π ≠ Chuyên đề phương trình lượng giác 10 LTĐH [...]... = − 4 + nπ , ( n ∈ ¢ )  π 2 ( Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = − + nπ ; x = kπ , n k, ∈ ¢ ) 4 Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức Chun đề phương trình lượng giác 32 LTĐH Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình 0983499890 Ví dụ 1 Giải phương trình: π |sin Điều kiện: x ≥ 0 Do |... Giải các phương trình sau : π  1) 2 sin 2 x(sin x + cos x − 1) + 2 cos x −  = 2 2) sin 4 x − cos 4 x + sin 4 x = sin x − cos x 3) cos 3 x + cos 2 x + 2 sin x − 2 = 0 5) cos 2 x(1 + sin x cos x) + cos x + sin x = 0 4) ( 3 + sin x ) ( 3 + sin 2 x ) = 8(2 − cos x) 6) sin 3 x − 3 sin 2 x − 6 cos x + 6 = 0  4 1 2 VI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC 1 Phương pháp 1: Dùng các cơng thức lượng giác. .. cùng một cung như sau: Chun đề phương trình lượng giác 16 LTĐH Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình 0983499890 “ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, k ∈N ” Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2) (Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật tốn, nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai) +Bước 1: Xét cosx = 0... PT đa thức bậc n theo t -Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và cơsin) ( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng khơng định hướng được kết quả biến đổi Đòi hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Khơng có thuật tốn như cách 1 Sau đây là một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x = sin x cos x − cos 2 x (1) Giải cách... thì được PT bậc hai u 2 + u = 0 ⇔ u = 0 ∨ u = −1 t Trở lại với ẩn t thì các PT này vơ nghiệm + Với t = 0 ⇔ tan x = 0 ⇔ x = kπ Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên: x= π kπ + kπ cũng là nghiệm PT Kết hợp nghiệm thì được x = Phù hợp với mọi 2 2 cách giải BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Có thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân PT đưa về PT bậc nhất theo sin và... theo sin và côsin cùng một cung: *Phương trình có dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0 (1) *Cách giải 1: (Dùng cơng thức hạ bậc và cơng thức nhân đơi đưa về PT bậc nhất theo sin2x và cos2x ) 1 − cos 2 x b 1 + cos 2 x + sin 2 x + c +d =0 2 2 2 ⇔ b sin 2 x + (c − a) cos 2 x = −(2d + a + c) (1) ⇔ a * Cách giải 2: (Đưa về PT bậc hai đối với tanx ) Xét hai trường hợp : π + Nếu x = 2 + kπ ; k ∈ Z có... sin x + cos x (2) (đẳng cấp bậc 3) Giải cách 1: + cosx = 0 khơng nghiệm đúng (2) + cosx ≠ 0, chia hai vế (2) cho cos3x được : 1 = tan x(1 + tan 2 x) + (1 + tan x) ⇔ t (t 2 + t + 1) = 0 ⇔ t = 0 ⇔ tan x = 0 ⇔ x = kπ (với t = tanx ) Giải cách 2: (2) ⇔ cos x(cos 2 x − 1) = sin x ⇔ cos x sin 2 x + sin x = 0 ⇔ sin x(sin x cos x + 1) = 0 Chun đề phương trình lượng giác 17 LTĐH Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường... = 0 ⇔ tan x = 0 ⇔ x = k π 21.Giải phương trình lượng giác: 2 ( cos x − sin x ) 1 = tan x + cot 2 x cot x − 1 cos x.sin 2 x.sin x ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0  cot x ≠ 1  Giải Điều kiện:  1 Từ (1) ta có: sin x cos 2 x + cos x sin 2 x ⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x = 2 ( cos x − sin x ) cos x.sin 2 x ⇔ = 2 sin x cos x cos x −1 sin x Chun đề phương trình lượng giác 36 LTĐH ... theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản + Nếu từ PT: sin 6 x + cos 6 x = (cos 2 x − sin 2 x) 2 − sin x cos x (đẳng cấp bậc 6) Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx ) Chun đề phương trình lượng giác 18 LTĐH Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình 0983499890 t = 0 t 5 + t 4 + 2t 3 + t 2 + t = 0 ⇔  4 3 2 t + t + 2t + t + 1 =... : asinx a 2 + b2 + - Đặt cosα = b cos x a2 + b2 a a +b sin( x + α ) = sin β 2 = 2 c a2 + b2 ⇒ sin α = Chun đề phương trình lượng giác b a +b 2 11 2 và đặt sin β = LTĐH c a + b2 2 ta có phương trình: Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình 0983499890 Ví dụ 1 Giải các phương trình sau a 3 sin 2 x + cos2 x = 2 b s inx − 3 cos x = −2sin 3 x c cos x + 3 sin 3 x = cos3 x + 3 sin x d 3sin . kxx +=⇔= ββ 10. Công thức nhân ba: * παα kxx +=⇔= cotcot * π kaarcxax +=⇔= cotcot (với a không phải là giá trị đặt biệt) * 000 180cotcot kxx +=⇔= ββ 3: Công thức lượng giác cơ bản: * 1cossin 22 =+ αα . trình bậc hai đối với một hàm số lương giác: Phương trình dạng : a.f 2 (x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác. Và a, b, c là các hệ số a ≠ 0. Cách giải: Đặtë t = f(x) ( nếu f(x). Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình - 0983499890 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 :Các điều kiện biểu thức có nghĩa: * A có nghĩa khi 0A ≥ . * A 1 có nghĩa khi 0A ≠ . * A 1