Công thức lượng giác

Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Trang 1 I. HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác: OP OQ AT BT cos sin tan 'cot a a a a = = = = Nhận xét: · ,1cos1;1sin1 aaa "-££-££ · tana xác định khi kkZ , 2 p ap ¹+Î · cota xác định khi kkZ , ap ¹Î 2. Dấu của các giá trị lượng giác: Cung phần tư Giá trị lượng giác I II II IV sin a + + – – cos a + – – + tan a + – + – cot a + – + – 3. Hệ thức cơ bản: sin 2 a + cos 2 a = 1; tana.cota = 1 22 22 11 1tan;1cot cossin aa aa +=+= 4. Cung liên kết: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos()cos aa -= sin()sin paa -= sincos 2 p aa æö -= ç÷ èø sin()sin aa -=- cos()cos paa -=- cossin 2 p aa æö -= ç÷ èø tan()tan aa -=- tan()tan paa -=- tancot 2 p aa æö -= ç÷ èø cot()cot aa -=- cot()cot paa -=- cottan 2 p aa æö -= ç÷ èø CHƯƠNG 0 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC cosin O cotang sin tang p A M Q B T' a T Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 2 5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng: Cung hơn kém p Cung hơn kém 2 p sin()sin paa +=- sincos 2 p aa æö += ç÷ èø cos()cos paa +=- cossin 2 p aa æö +=- ç÷ èø tan()tan paa += tancot 2 p aa æö +=- ç÷ èø cot()cot paa += cottan 2 p aa æö +=- ç÷ èø 0 6 p 4 p 3 p 2 p 2 3 p 3 4 p p 3 2 p 2 p 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 - 2 2 - –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3 - –1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3 - –1 0 sin()sin.cossin.cos ababba +=+ sin()sin.cossin.cos ababba -=- cos()cos.cossin.sin ababab +=- cos()cos.cossin.sin ababab -=+ tantan tan() 1tan.tan ab ab ab + += - tantan tan() 1tan.tan ab ab ab - -= + Hệ quả: 1tan1tan tan,tan 41tan41tan papa aa aa æöæö +- +=-= ç÷ç÷ -+ èøèø Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Trang 3 III. CÔNG THỨC NHÂN 1. Công thức nhân đôi: sin22sin.cos aaa = 2222 cos2cossin2cos112sin aaaaa =-=-=- 2 2 2tancot1 tan2;cot2 2cot 1tan aa aa a a - == - 2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan 2 a : Đặt: tk tan(2) 2 a app =¹+ thì: t t 2 2 sin 1 a = + ; t t 2 2 1 cos 1 a - = + ; t t 2 2 tan 1 a = - IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Công thức biến đổi tổng thành tích: 2. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cos.coscos()cos() 2 1 sin.sincos()cos() 2 1 sin.cossin()sin() 2 ababab ababab ababab éù =-++ ëû éù = + ëû éù =-++ ëû coscos2cos.cos 22 abab ab +- += coscos2sin.sin 22 abab ab +- -=- sinsin2sin.cos 22 abab ab +- += sinsin2cos.sin 22 abab ab +- -= sin() tantan cos.cos ab ab ab + += sin() tantan cos.cos ab ab ab - -= sin() cotcot sin.sin ab ab ab + += ba ab ab sin() cotcot sin.sin - -= sincos2.sin2.cos 44 pp aaaa æöæö +=+=- ç÷ç÷ èøèø sincos2sin2cos 44 pp aaaa æöæö -=-=-+ ç÷ç÷ èøèø Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 2 2 2 1cos2 sin 2 1cos2 cos 2 1cos2 tan 1cos2 a a a a a a a - = + = - = + 3 3 3 2 sin33sin4sin cos34cos3cos 3tantan tan3 13tan aaa aaa aa a a =- =- - = - i s 11 Trn S Tựng Trang 4 Vn 1: TP XC NH, TP GI TR, TNH CHN L, CHU K sin yx = : Tp xỏc nh D = R; tp giỏ tr 1,1 T ộự =- ởỷ ; hm l, chu k 0 2 T = p . * y = sin(ax + b) cú chu k 0 2 T a = p * y = sin(f(x)) xỏc nh () fx xỏc nh. cos yx = : Tp xỏc nh D = R; Tp giỏ tr 1,1 T ộự =- ởỷ ; hm chn, chu k 0 2 T = p . * y = cos(ax + b) cú chu k 0 2 T a = p * y = cos(f(x)) xỏc nh () fx xỏc nh. tan yx = : Tp xỏc nh \, 2 DRkkZ ỡỹ =+ẻ ớý ợỵ p p ; tp giỏ tr T = R, hm l, chu k 0 T = p . * y = tan(ax + b) cú chu k 0 T a = p * y = tan(f(x)) xỏc nh () fx () 2 kkZ ạ+ẻ p p cot yx = : Tp xỏc nh { } \, DRkkZ =ẻ p ; tp giỏ tr T = R, hm l, chu k 0 T = p . * y = cot(ax + b) cú chu k 0 T a = p * y = cot(f(x)) xỏc nh ()() fxkkZ ạẻ p . * y = f 1 (x) cú chu k T 1 ; y = f 2 (x) cú chu k T 2 Thỡ hm s 12 ()() yfxfx = cú chu k T 0 l bi chung nh nht ca T 1 v T 2 . CHệễNG I HAỉM SO LệễẽNG GIAC PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAC I. HM S LNG GIC Trn S Tựng i s 11 Trang 5 Baứi 1. Tỡm tp xỏc nh v tp giỏ tr ca cỏc hm s sau: a) 2 sin 1 x y x ổử = ỗữ - ốứ b) sin yx = c) 2sin yx =- d) 2 1cos yx =- e) 1 sin1 y x = + f) tan 6 yx ổử =- ỗữ ốứ p g) cot 3 yx ổử =+ ỗữ ốứ p h) sin cos() x y x = - p i) y = 1 tan1 x - Baứi 2. Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s: a) y = 2sin1 4 x ổử ++ ỗữ ốứ p b) 2cos13 yx =+- c) sin yx = d) 2 4sin4sin3 yxx =-+ e) 2 cos2sin2 yxx =++ f) 42 sin2cos1 yxx =-+ g) y = sinx + cosx h) y = 3sin2cos2 xx - i) y = sin3cos3 xx ++ Baứi 3. Xột tớnh chn l ca hm s: a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx d) y = tanx + cotx e) y = sin 4 x f) y = sinx.cosx g) y = sintan sincot xx xx - + h) y = 3 3 cos1 sin x x + i) y = tan x Baứi 4. Tỡm chu k ca hm s: a) sin2 yx = b) cos 3 x y = c) 2 sin yx = d) sin2cos 2 x yx=+ e) tancot3 yxx =+ f) 32 cossin 57 xx y =- g) 2sin.cos3 yxx = h) 2 cos4 yx = i) y = tan(-3x + 1) HD: a) p b) 6 p c) p d) 4 p e) p f) 70 p g) p h) 4 p i) 3 p Vn 2: TH CA HM S LNG GIC 1) V th hm s lng giỏc: Tỡm tp xỏc nh D. Tỡm chu k T 0 ca hm s. Xỏc nh tớnh chn l (nu cn). Lp bng bin thiờn trờn mt on cú di bng chu k T 0 cú th chn: 0 0, xT ộự ẻ ởỷ hoc 00 , 22 TT x ộự ẻ- ờỳ ởỷ . V th trờn on cú di bng chu k. Ri suy ra phn th cũn li bng phộp tnh tin theo vect vkTi 0 = r r v bờn trỏi v phi song song vi trc honh Ox (vi i r l vộc t n v trờn trc Ox). i s 11 Trn S Tựng Trang 6 2) Mt s phộp bin i th: a) T th hm s y = f(x), suy ra th hm s y = f(x) + a bng cỏch tnh tin th y = f(x) lờn trờn trc honh a n v nu a > 0 v tnh tin xung phớa di trc honh a n v nu a < 0. b) T th y = f(x), suy ra th y = f(x) bng cỏch ly i xng th y = f(x) qua trc honh. c) th fxneỏufx yfx fxneỏufx (),()0 () (),()0 ỡ == ớ -< ợ c suy t th y = f(x) bng cỏch gi nguyờn phn th y = f(x) phớa trờn trc honh v ly i xng phn th y = f(x) nm phớa di trc honh qua trc honh. Vớ d 1: V th hm s y = f(x) = sinx. Tp xỏc nh: D = R. Tp giỏ tr: 1,1. ộự - ởỷ Chu k: T = 2 . Bng bin thiờn trờn on 0,2 ộự ởỷ p Tnh tin theo vộct 2. vki = rr p ta c th y = sinx. Nhn xột: th l mt hm s l nờn nhn gc ta O lm tõm i xng. Hm s ng bin trờn khong 0, 2 ổử ỗữ ốứ p v nghch bin trờn ,. 2 ổử ỗữ ốứ p p Vớ d 2: V th hm s y = f(x) = cosx. Tp xỏc nh: D = R. Tp giỏ tr: 1,1. ộự - ởỷ Chu k: T = 2 . Bng bin thiờn trờn on 0,2: ộự ởỷ p Tnh tin theo vộct 2. vki = rr p ta c th y = cosx. Nhn xột: th l mt hm s chn nờn nhn trc tung Oy lm trc i xng. 1 3 2 p - -p 2 p - 0 2 p 3 2 p p 2p 5 2 p y = sinx 1 y x 1 3 2 p - -p 2 p - 0 2 p 3 2 p p 2p 5 2 p y = cosx 1 y x x 0 2 p p 3 2 p 2 p y 1 0 1 0 0 x 0 2 p p 3 2 p 2 p y 0 1 0 1 1 Trn S Tựng i s 11 Trang 7 Hm s nghch bin trờn khong 0, 2 ổử ỗữ ốứ p v nghch bin trờn khong 3 ,. 2 ổử ỗữ ốứ p p Vớ d 3: V th hm s y = f(x) = tanx. Tp xỏc nh: D = R \, 2 kkZ ỡỹ +ẻ ớý ợỵ p p Tp giỏ tr: R. Gii hn: 2 lim x y đ =Ơ p : 2 xị= p l tim cn ng. Chu k: T = . Bng bin thiờn trờn , 22 ổử - ỗữ ốứ pp : Tnh tin theo vộct . vki = rr p ta c th y = tanx. Nhn xột: th l mt hm s l nờn nhn gc ta O lm tõm i xng. Hm s luụn ng bin trờn tp xỏc nh D. Vớ d 4: V th hm s y = f(x) = cotx. Tp xỏc nh: D = R { } \, kkZ ẻ p Tp giỏ tr: R. Gii hn: 0 lim,lim xxx yy đđ =+Ơ=-Ơ tim cn ng: x = 0, x = . Chu k: T = . Bng bin thiờn trờn on 0, ộự ởỷ p : Tnh tin theo vộct . vki = rr p ta c th y = cotx. Nhn xột: th l mt hm s l nờn nhn gc ta O lm tõm i xng. Hm s luụn gim trờn tp xỏc nh D. x 2 p - 0 2 p y 0 Ơ + Ơ x 0 2 p p y 0 + Ơ Ơ x y 3 2 p - p 2 p - O 2 p p 3 2 p 2 p 5 2 p y = tanx x y 2 -p 3 2 p - O 2 p - 2 p p 3 2 p y = cotx -p 2 p Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 8 Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx. – Vẽ đồ thị y = sinx. – Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox. Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = ½sinx½ sin,neáusin x0 sin -sin x,neáusin x < 0. x yx ì ³ == í î Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx. – Vẽ đồ thị y = cosx. – Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị 1cos yx =+ bằng cách tịnh tiến đồ thị cos yx = lên trục hoành 1 đơn vị. – Bảng biến thiên trên đoạn 0,2 éù ëû p : y x –2 3 2 p - 3 2 p 2 p 2 p p O -p 2 p - y = –sinx 1 –1 p 2 p - 3 2 p 2 p 2 p p O y = /sinx/ y 1 x x 0 2 p p 3 2 p 2 p y = cosx 1 0 –1 0 1 y = 1 + cosx 2 1 0 1 2 2 p - O y = 1 + cosx y x -p 2 p p 3 2 p y = cosx 2 1 –1 Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Trang 9 Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x. – y = sin2x có chu kỳ T = p – Bảng biến thiên trên đoạn 0,2 éù ëû p : Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x. – y = cos2x có chu kỳ T = p – Bảng biến thiên trên đoạn 0,2 éù ëû p : O y x 2 p 4 p 1 2 p 4 p y = cos2x –1 3 4 p 2 p - O y x p 4 p - 4 p 1 3 2 p 2 p 5 4 p y = sin 2x –1 x 2 - p 4 - p 0 2 p 2 p 2x -p 2 p - 0 2 p p y = sin2x 0 –1 0 1 0 x 2 p - 4 p - 0 4 p 2 p 2x -p 2 p - 0 2 p p y = cos2x –1 0 1 0 –1 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 10 Ví dụ 10: Vẽ đồ thị sin 4 yx æö =+ ç÷ èø p có chu kỳ T = 2 p . Ví dụ 11: Vẽ đồ thị cos 4 yx æö =- ç÷ èø p có chu kỳ T = 2 p . x – p 3 4 - p 2 p - 4 p - 0 4 p 2 p 3 4 p p x 4 p + 3 4 p - 2 p - 4 p - 0 4 p 2 p 3 2 p 0 5 4 p ysinx 4 p æö =+ ç÷ èø 2 2 - –1 2 2 - 0 2 2 1 2 2 0 2 2 - x – p 3 4 p - 2 p - 4 p - 0 4 p 2 p 3 4 p p x 4 p - 5 4 p - -p 3 4 p - 2 p - 4 p - 0 4 p 2 p 3 4 p ycosx 4 p æö =- ç÷ èø 2 2 - –1 2 2 - 0 2 2 1 2 2 0 2 2 - 3 2 p O y x -p 3 4 p - 2 p - 4 p - 4 p 2 p 3 4 p p 5 4 p 7 4 p y = sin x 4 p æö + ç÷ èø 1 2/2 2/2 - –1 . cottan 2 p aa æö -= ç÷ èø CHƯƠNG 0 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC cosin O cotang sin tang p A M Q B T' a T Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 2 5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung). 3 III. CÔNG THỨC NHÂN 1. Công thức nhân đôi: sin22sin.cos aaa = 2222 cos2cossin2cos112sin aaaaa =-=-=- 2 2 2tancot1 tan2;cot2 2cot 1tan aa aa a a - == - 2. Công thức biểu. t t 2 2 sin 1 a = + ; t t 2 2 1 cos 1 a - = + ; t t 2 2 tan 1 a = - IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Công thức biến đổi tổng thành tích: 2. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cos.coscos()cos() 2 1 sin.sincos()cos() 2 1 sin.cossin()sin() 2 ababab ababab ababab éù =-++ ëû éù =