Các công thức cần nhớ 1.. Các công thức có liên quan đặc biệt a.
Trang 1Ch-ơng I: Hàm số l-ợng giác
A Các công thức cần nhớ
1 Công thức cơ bản
1 sin x1 1 cos x1
sin( + k2) = sin; cos( + k2) = cos;
tan( +k) = tan; cot( + k) = cot
* Hàm số ysinx có:
TXĐ:DR; TGT: 1;1; Tuần hoàn với chu kì: T 2 là hàm số lẻ
* Hàm số ycosx có:
TXĐ: D R; TGT: 1;1; Tuần hoàn với chu kì: T 2 ; là hàm số chẵn
* Hàm số ytanx có:
TXĐ:
2
\ ; TGT: R Tuần hoàn với chu kì: T ; là hàm số lẻ
* Hàm số ycosx có:
TXĐ: DR\k;k; TGT:R; Tuần hoàn với chu kì: T ; là hàm số lẻ
2 Các hằng đẳng thức l-ợng giác cơ bản
sin cos 1 tan cot 1 2
2
1
1 tan
2 2
1
1 cot
3 Các công thức có liên quan đặc biệt
a Cung đối nhau
b Cung bù nhau
sin( - ) = sin cos( - ) = - cos
tan( - ) = - tan cot( - ) = - cot
c Cung phụ nhau
2
cos 2 sin
2
cot 2 tan
d Cung hơn kém
sin sin cos cos
tan tan cot cot
e Cung hơn kém
2
2
cos 2 sin
2
cot 2 tan
3 Công thức cộng
cos a b cos cosa bsin sina b
cos a b cos cosa bsin sina b
Trang 2
sin a b sin cosa bcos sina b
sin a b sin cosa bcos sina b
4 Công thức nhân đôi
sin 2x2sin cosx x
cos 2xcos xsin x2cos x 1 1 2sin x
2
2 tan tan 2
1 tan
x x
x
5 Công thức hạ bậc
2 1 cos 2
sin
2
x
x
cos
2
x
x
6 Công thức nhân ba
3
sin 3x3sinx4sin x
3
2
3 tan tan tan 3
1 3 tan
x x x
x
7 Công thức biến đổi tích thành tổng
1 cos cos cos cos
2
x y xy xy
1 sin sin cos cos
2
x y xy xy
1 sin cos sin sin
2
x y xy xy
8 Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2 cos cos
x y x y
tan tan
cos cos
x y
x y
cos cos 2sin sin
x y x y
tan tan
cos cos
x y
x y
sin sin 2sin cos
x y x y
sin sin
x y
x co y
x y
sin sin 2 cos sin
x y x y
sin sin
y x
x co y
x y
9 Công thức rút gọn: asin x + bcos x
a x b x a b x a b x
a x b x a b x a b x
Đặc biệt:
x x x x
sin cos 2 sin 2 cos
x x x x
Mở rộng:
2 cot tan
sin 2
x
cotxtanx2cot 2x
10 Công thức tình sin ; cos; tan theo tan
2
Trang 3Đặt tan
2
t
ta có:
2
2 sin
1
t t
2 2
1 cos
1
t t
2 tan
1
t t
B phần bài tập
I Hàm số l-ợng giác:
Các dạng bài tập cơ bản
1 Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số l-ợng giác
* Ph-ơng pháp giải: Sử dụng tính chất:
- Các hàm số ysin ,x ycosx xác định với mọi xR
- Hàm số: ytanx xác định với mọi x k ;k
2
- Hàm số: ycotx xác định với mọi xk;k
Ví dụ: Tìm TXĐ của hàm số: 1
sin
4
y
x
Lời giải:
x x k x k k
4
D k k
Ví dụ 2: Tìm TXĐ của hàm số: sin cos
cot 1
y
x
Lời giải:
cot 1
4
x k
x k
k
4
D x x k xk k
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
2 cos 1
y
x
x
y 3) sin 2
2
x y
x
4) ycot 2x 5) cos 21
1
y
x
6) y cosx1
cos 1
x y
x
1 sin
y
x
9) y sinx2
sin
x
2 cos 1
y
x
12) tan2
x
y
13) sin 2
2
x y
x
14) ycot 2x 15) y cosx1
16) 1 sin
cos 3
x y
x
sin
x y
x
sin cos
x y
x
19)
2 tan 5
3
y x
sin
y
x
sin
x y
x
Trang 425) y 2 cos3 x 26) cot
3
y x
2 1
x y
x
2 tan 3
5
y x
1 cot 2
3
y x
sin cos
y
sin cos
y
cos cos 3
y
1 cos
x y
x
35) y sin 2x1 36) y tan 2.cosx
37) 2 cos
1 sin
x y
x
1 cot
3 tan 3
4
x y
x
39) 1 tan 4
x y
x
x
x
1
2 sin
tan 1
x
1 tan 2
3 cot 1
x y
x
2.Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y f x :
Định nghĩa: Cho hàm sốy f x có TXD là: D
* Hàm số f x chẵn
f x
(D là tập đối xứng)
f -x
* Hàm số f x lẻ
f x
(D là tập đối xứng)
f -x
* Ph-ơng pháp giải:
B-ớc 1: Tìm TXĐ D của hàm số
Nếu D không là tập đối xứng thì ta kết luận ngay hàm số y f x không chẵn, không
lẻ
Nếu D là tập đối xứng ta thực hiện tiếp b-ớc 2:
B-ớc 2: Với mọi xD, nếu
Nếu f x f x thì hàm số y f x là hàm chẵn
Nếu f x f x thì hàm số y f x là hàm lẻ
Nếu f x f x thì hàm số y f x là hàm không chẵn, không lẻ
L-u ý tính chất:
* xR;sin(x)sinx
* xR;cos(x)cosx
* x R k ,k ;tan( x) tanx
2
* xR\k,k;cot(x)cotx
Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số: ysin 3x
Lời giải:
TXĐ: DR là tập đối xứng xRxR
Ta có: f x sin 3 x sin3x sin 3x f x
Vậy hàm số là hàm số lẻ
Trang 5Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
1) ysin 2x 2) ycos 3x 3) ytan 2x
4) y xsinx 5) y 1 cos x 6) y x sinx
7) y = cos5x; 8) y = tanx + 2sinx; 9) sin 3x
y
x
10) y = sinx + cosx 11) tan
sin
x y
x
12)ysin 2x 13)yxcos 2x 14)ycos cotx x 15)ysin 3x
16)y xsinx 17)y x sinx 18)ytan 2x
19) ytan 2xsin 3x 20) ysin 2xcosx 21) 1 cos sin(3 2 )
2
cos sin tan
25) y = tanx + cotx 26) y = xsinx 27) y = sin|x|
28) y = |sinx| 29) y = x – 2sinx 30) y cos 2x2
x
31) y tan2x1 32) cos 2 sin
4
y x x
3
2 cos 2
3
y x
34) cos 22 cot
tan
x
x
cos tan
y x x 36) 3
1 sin
y x
3 Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Ph-ơng pháp: Dựa vào TGT của các hàm số l-ợng giác
Chú ý: * Hàm số ysin ,x ycosx có TGT là: 1;1
* Hàm số ytan ,x ycotx có TGT là: R
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y 3 1 cos x
Lời giải:
Ta có 1 cosx 1 0 1 cosx 2 0 1 cos x 2 0 1 cosx 2
3 3 1 cos x 3 2
Vậy Maxy3 đạt đ-ợc cosx 1 x k2 , k
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1) y 3 2 sinx 2) cos cos
3
y x x
2
cos 2cos 2
4) y 2cosx1 5) y 2 sinx a) y = 2sinx + 1 6) y = 1 – 3cos2x
3
y x
8) y sin 5x 2 8
9) y3 sinx2 10) y = 5 – 2|cosx| 11) 22 4
sin 3
y
x
3
y x x
13) y = sin2xcos2x 14) sin2 3cos 2 5
2
y x x 15) ycos2 x2cos 2x
16) y 5 2sin 2 xcos2x 17) y 1 sin 2 x 2 18) 3sin 1
6
y x