các công thức lượng giác

Điều kiện đối với một phương trình lượng giác : Cũng giống như khi giải các phương trình khác, việc đặt điều kiện khi giải phương trình lượng giác rất quan trọng.. Ngoài các điều kiện th

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC

I Các kiến thức lượng giác cơ bản :

Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản :

• sin2α + cos2α = 1

• tan sin

cos

α α

• sin(x y± ) =sin cosx y±sin cosy x(∀x y, ∈¡ )

• cos(x y± ) =cos cosx ymsin sinx y(∀x y, ∈¡ )

Công thức nhân đôi :

• sin 2x=2sin cosx x

• cos 2 x = cos2x − sin2x = 2cos2x − = − 1 1 2sin2x

• sin 3 x = 3sin x − 4sin3x

• cos3 x = 4cos3x − 3cos x

•

3 2

1cos

1

t x

Công thức biến đổi tổng thành tích :

• 1 tan 2 cos 4

cos

x x

Các hằng đẳng thức trong tam giác :

• sin sin sin 4cos cos cos

• tan A + tan B + tan C = tan tan tan A B C

• cot cot A B + cot cot B C + cot cot C A = 1

• cos2 A + cos2B + cos2C = − 1 2cos cos cos A B C

• sin2 A + sin2B + sin2C = + 2 2cos cos cos A B C

• sin 2A+sin 2B+sin 2C =4sin sin sinA B C

• cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = − − 1 4cos cos cos A B C

• cot cot cot cot cot cot

II Điều kiện đối với một phương trình lượng giác :

Cũng giống như khi giải các phương trình khác, việc đặt điều kiện khi giải phương trình lượng giác rất quan trọng Ngoài các điều kiện thông thường đối với mẫu số, các biểu thức trong căn của các căn bậc chẵn có mặt trong phương trình, riêng đối với phương trình lượng giác cần lưu tâm đặc biệt đến các diều kiện sau :

• Để tan x có nghĩa, điều kiện là x≠ +π2 kπ(k∈ )

¢

• Để cot x có nghĩa, điều kiện là x k≠ π(k∈¢)

Lược đồ chung để giải các phương trình lượng giác, cũng giống như khi giải các phương trình khác thường được tiến hành như sau :

• Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa

• Giải phương trình bằng các lược đồ quen thuộc tương ứng

• So sánh nghiệm tìm được với điều kiện đã đặt ra để loại bỏ đi các nghiệm ngoại lai

Các bài toán liên quan đến số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác nảy sinh trong các trường hợp sau đây :

• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong một miền cụ thể cho trước nào đó của biến

• Giải một số phương trình lượng giác dạng đặc biệt

Thông thường đối với các bài toán dạng xác định số k ta thường tiến hành như sau :

• Giải phương trình lượng giác như bình thường

• Với nghiệm tìm được, để xác định số k tương ứng ta phải giải một bất phương trình đơn giản: Tìm nghiệm nguyên k thỏa mãn một bất phương trình

• Thay giá trị k tìm được vào công thức nghiệm sẽ suy ra các nghiệm cần tìm

Nhìn chung, việc xác định cụ thể các giá trị của tham số k nguyên trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác xuất hiện trong nhiều bài toán giải phương trình lượng giác Nếu để ý thì dưới hình thức này hay hình thức khác thực chất đó là giải phương trình lượng giác có kèm theo một diều kiện phụ nào đó

Việc xác định các giá trị của tham số k qui về việc tìm nghiệm nguyên của một bất phương trình cụ thể nào đó

IV Các phương trình lượng giác thường gặp :

b u a

−

=

=+ =

⇒ đưa về các họ nghiệm cơ bản để giải

2 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác của u :

Có dạng:

2 2 2 2

tancot

Dạng 1 : Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối

với f(x),trong đó f(x) là một biểu thức lượng giác Đặt ẩn phụ t = f(x)

t x

t

=+ ;

2 2

1cos

1

t x

t

−

=+ .Đưa

phương trình đã cho thành phương trình bậc hai theo ẩn t

Dạng 3 : Phương trình đối xứng với sin x và

cos x :

• a(sinx+cosx)+bsin cosx x c+ =0

• a(sinx−cosx) +bsin cosx x c+ =0

• Tìm nghiệm thỏa cosx=0

• Với cosx≠ 0 thì chia hai vế của phương trình cho cos x2 dể đưa phương trình đã cho về dạng phương

trình bậc hai theo ẩn tan x

Cách 2 :

• Tìm nghiệm thỏa sinx=0

• Với sinx≠0 thì chia hai vế của phương trình cho sin x2 dể đưa phương trình đã cho về dạng phương

trình bậc hai theo ẩn cot x

Dạng 5 : Phương trình thuần bậc ba đối với

HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC

Bảng giá trị lượng giác đặt biệt:

1506

π π(1800)

2

22

3

2

22

α

= (α ≠k k Zπ, ∈ ) 6) tan cotα α =1

 Các cung có liên quan đặt biệt:

1) Hai cung đối nhau: −α αvà

2) Hai cung bù nhau: π α α− và

2)Hai cung bù nhau:π α α− và

sin( ) sin cos sin cos

cos( ) cos cos sin sin

tan tantan

Công thức nhân đôi, nhân ba:

sin2α =2sin cosα α

2 2 2 2

cos sincos 2 2cos 1

α

−

=+

 Công thức biến đổi tích thành tổng:

2

a b= a b+ + a b−

 Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos cos

2π

2

2sin

1

t t

α =+

2 2

1cos

1

t t

α = −

2tan

1

t t

α =

−

 Phương trình vế trái đối xứng với sinx và cosx:

*a(sinx+cosx)+bsin cosx x c= Đặt t=sinx +cosx dk: | |t ≤ 2

 cos(a + b)=cos cosa b -sin sina b (cos thì cos cos sin sin dấu trái).

 cos( - )=cos cosa b a b +sin sina b (cos thì cos cos sin sin dấu trái).

 sin(a + b)=sin cosa b + c aos sinb (sin thì sin cos cos sin dấu cùng).

 sin(a - b)=sin cosa b - c aos sinb (sin thì sin cos cos sin dấu cùng).

III Công thức nhân đôi.

 sin 2a =2sin cosa a.

2 2 2 2

a

IV Công thức nhân ba.

 sin 3a=3sina−4sin3a ( ba sin trừ bốn sỉn).

Chú ý: Các công thức này

quan trọng khi áp dụng giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân

Chú ý: Các công thức này

quan trọng khi áp dụng giải các bài toán về nguyên hàm và

2 2 2

2

2t

x =

1 + t 1- t

c x =

1 + t 2t

x = 1- t

VII Công thức biến đổi tích thành tổng.

 os cos =1[ os( + )+cos( - ) ]

2

2 cos cộng cộng cos trừ)

 sin sin =1[ os( )-cos( ) ]

2 c

2 cos trừ trừ cos cộng)

 sin cos =1[sin( )+sin( - ) ]

2

2 sin cộng cộng sin trừ )

VIII Giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt.

2

22

Chú ý: Các công thức này

quan trọng khi áp dụng giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân

2

22

3

2

22

α

= (α ≠k k Zπ, ∈ ) 6) tan cotα α =1

 Các cung có liên quan đặt biệt:

1) Hai cung đối nhau: −α αvà

2) Hai cung bù nhau: π α α− và

2)Hai cung bù nhau:π α α− và

sin( ) sin cos sin cos

cos( ) cos cos sin sin

tan tantan

Công thức nhân đôi, nhân ba:

sin2α =2sin cosα α

2 2 2 2

cos sincos 2 2cos 1

α

−

=+

 Công thức biến đổi tích thành tổng:

2

a b= a b+ + a b−

 Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos cos

2π

2

2sin

1

t t

α =+

2 2

1cos

1

t t

α = −

2tan

1

t t

α =

−

 Phương trình vế trái đối xứng với sinx và cosx:

*a(sinx+cosx)+bsin cosx x c= Đặt t=sinx +cosx dk: | |t ≤ 2

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản.

1 Công thức:

u = v + k21/ sin sin

u = - v + k2

u = v + k2

2 / osu=cosv

u = -v + k23/ tan tan u = v + kcot cot u = v + k

x = k2x = 0 + k2

2

x = - + k22

2x = - + k2 x = 3

1/ sin sinx+c=0

2 / os osx+c=03/ tan tan +c=0

2 2

1/ sin 2 2sin2x+1=0 sin 2 2sin2x+1=0 sin2x=1 x ,

sinx=1 x 2 ,sin 3sinx+2=0 sin 3.sinx+2=0

sinx=2 (vo nghiem)

2 2

2 2

1/ tan 2 2 tan 2x+1=0 tan 2 2 tan 2x+1=0 tan2x=1 x x

tanx=1 x

tanx= 3 x= +k

3

Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sin cà cos có dạng: asinx+bcosx=c.

Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

 Điều kiện có nghiệm: a2+ ≥b2 c2.

 Chia hai vế phương trình cho 2 2

a c

b

αα

(hoặc ngược lại).

 Pt trở thành: sinx.cos +cosx.sin = 2c 2 sin(x+ )= 2c 2

1sin( +2x)=

1sin12 cos os12 sin

1sin(12x- )=

3 2sin(12x- )=sin

22cosx- 2 0 cosx=

22

24osx=cos

2

5 osx=2cos x-1+32cos x-5cosx+2=0

2 cosx -5cosx+2=0cosx=2 (loai)

1cosx=

2osx=cos

3

2 ,3

sin5sinx-2=3 (1 sinx)

os x3sin5sinx-2= (1 sinx)

c x x x

6sinx=-2 (vo nghiem)

52

k k





∈

π

c c c

3

23

t anx=tan(- )

42

c x

os3x=4cos 3 osxos2x=2cos 1

cos x-3cosx-4 2cos 1 3 osx-4=0

4cos 3 osx-8cos 4 3 osx-4=0

os 1 sin 1 sinx 1 sinx

sinx+cosx=01+2cosx=0sinx=-cosx

1cosx=-

2

t anx=-1cosx=-cos

2cosx=cos( - )=cos

223