các công thức lượng giác

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Các kiến thức lượng giác cơ bản : Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản : • 2 2 sin cos 1 α α + = • sin tan cos α α α = ( với 2 k π α π ∀ ≠ + ,k ∈ Z ) • cos cot sin α α α = ( với x k π ∀ ≠ ,k ∈ Z ) • 2 2 1 tan 1 cos α α + = ( với 2 k π α π ∀ ≠ + ,k ∈ Z ) • 2 2 1 cot 1 sin α α + = ( với x k π ∀ ≠ ,k ∈ Z ) • tan cot 1 α α = ( với 2 k π α ∀ ≠ ,k ∈ Z ) Cung hơn kém k2π và kπ : • ( ) sin 2 sinx k x π + = • ( ) cos 2 cosx k x π + = • ( ) tan tanx k x π + = • ( ) cot cotx k x π + = Cung đối : • ( ) sin sinx x− = − • ( ) cos cosx x − = • ( ) tan tanx x− = − • ( ) cot cotx x− = − Cung bù : • ( ) sin sinx x π − = • ( ) cos cosx x π − = − • ( ) tan tanx x π − = − • ( ) cot cotx x π − = − Cung phụ : • sin cos 2 x x π   − =  ÷   1 • cos sin 2 x x π   − =  ÷   • tan cot 2 x x π   − =  ÷   • cot tan 2 x x π   − =  ÷   Cung hơn kém π/2 : • sin cos 2 x x π   + =  ÷   • cos sin 2 x x π   + = −  ÷   • tan cot 2 x x π   + = −  ÷   • cot tan 2 x x π   + = −  ÷   Cung hơn kém π : • ( ) sin sinx x π + = − • ( ) cos cosx x π + = − • ( ) tan tanx x π + = • ( ) cot cotx x π + = Công thức cộng : • ( ) ( ) sin sin cos sin cos ,x y x y y x x y ± = ± ∀ ∈ ¡ • ( ) ( ) cos cos cos sin sin ,x y x y x y x y± = ∀ ∈m ¡ • ( ) tan tan tan , , 1 tan tan 2 x y x y x y x y k x y π π ±   ± = ∀ ± ≠ +  ÷   m • ( ) ( ) cot cot 1 cot , , cot cot x y x y x y x y k y x π ± = ∀ ± ≠ ± m Công thức nhân đôi : • sin 2 2sin cosx x x= • 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinx x x x x = − = − = − • 2 2tan 2 tan 2 ,2 1 tan cot tan 2 x x x x k x x x π π   = = ∀ ≠ +  ÷ − −   • ( ) 2 cot 1 cot tan cot 2 ,2 2cot 2 x x x x x x k x π − − = = ∀ ≠ 2 Công thức chia đôi : • 1 cos sin 2 2 x x− = ± • 1 cos cos 2 2 x x + = ± • 1 cos 1 cos tan 2 1 cos sin x x x x x − − = ± = + Công thức nhân ba : • 3 sin3 3sin 4sinx x x = − • 3 cos3 4cos 3cosx x x = − • 3 2 3tan tan tan3 ,3 1 3tan 2 x x x x x k x π π −   = ∀ ≠ +  ÷ −   • ( ) 3 2 cot 3cot cot3 ,3 3cot 1 x x x x x k x π − = ∀ ≠ − Công thức hạ bậc : • ( ) 2 1 sin 1 cos2 2 x x = − • ( ) 2 1 cos 1 cos2 2 x x = + • 2 1 cos2 tan 1 cos2 2 x x x k x π π −   = ∀ ≠ +  ÷ +   • ( ) 2 1 cos2 cot 1 sin 2 x x x k x π + = ∀ ≠ − • 3 3sin sin3 sin 4 x x x − = • 3 3cos cos3 cos 4 x x x + = Công thức theo tan 2 x t = : • 2 2 sin 1 t x t = + • 2 2 1 cos 1 t x t − = + • 2 2 tan , 1 2 2 t x x x k t π π   = ∀ ≠ +  ÷ −   Công thức biến đổi tích thành tổng : 3 • ( ) ( ) ( ) 1 sin cos sin sin 2 x y x y x y x y = + + − >     • ( ) ( ) ( ) 1 cos sin sin cos 2 y x x y y x y x = + − − >     • ( ) ( ) 1 cos cos cos cos 2 x y x y x y = + + −     • ( ) ( ) 1 sin sin cos cos 2 x y x y x y = − + − −     Công thức biến đổi tổng thành tích : • sin sin 2sin cos 2 2 x y x y x y + − + = • cos cos 2cos cos 2 2 x y x y x y + − + = • sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y + − − = • cos cos 2sin sin 2 2 x y x y x y + − − = − • ( ) sin tan tan , cos cos 2 x y x y x y k x y π π ±   ± = ∀ ≠ +  ÷   • ( ) ( ) sin cot cot , sin sin y x x y x y k x y π ± ± = ∀ ≠ Các kết quả thường dùng : • sin cos 2sin 2 cos 4 4 x x x x π π     + = + = −  ÷  ÷     • sin cos 2sin 2 cos 4 4 x x x x π π     − = − = − +  ÷  ÷     • tan cot 2cot 2 2 x x x x k π   + = − ∀ ≠  ÷   • 2 tan cot sin 2 2 x x x k x π   − = ∀ ≠  ÷   • 4 4 3 1 sin cos cos4 4 4 x x x + = + • 6 6 5 3 sin cos cos4 8 8 x x x + = + • 2 1 sin 2cos 4 2 x x π   + = −  ÷   • 2 1 sin 2sin 4 2 x x π   − = −  ÷   4 • 2 cos 4 1 tan cos x x x π   −  ÷   + = • 2 sin 4 1 tan cos x x x π   −  ÷   − = Các hằng đẳng thức trong tam giác : • sin sin sin 4cos cos cos 2 2 2 A B C A B C + + = • cos cos cos 1 4sin sin sin 2 2 2 A B C A B C + + = + • tan tan tan tan tan tanA B C A B C + + = • cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A + + = • 2 2 2 cos cos cos 1 2cos cos cosA B C A B C + + = − • 2 2 2 sin sin sin 2 2cos cos cosA B C A B C + + = + • sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sinA B C A B C+ + = • cos2 cos2 cos2 1 4cos cos cosA B C A B C + + = − − • cot cot cot cot cot cot 2 2 2 2 2 2 A B C A B C + + = • tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A + + = II. Điều kiện đối với một phương trình lượng giác : Cũng giống như khi giải các phương trình khác, việc đặt điều kiện khi giải phương trình lượng giác rất quan trọng. Ngoài các điều kiện thông thường đối với mẫu số, các biểu thức trong căn của các căn bậc chẵn có mặt trong phương trình, riêng đối với phương trình lượng giác cần lưu tâm đặc biệt đến các diều kiện sau : • Để tan x có nghĩa, điều kiện là ( ) 2 x k k π π ≠ + ∈ ¢ • Để cot x có nghĩa, điều kiện là ( ) x k k π ≠ ∈ ¢ Lược đồ chung để giải các phương trình lượng giác, cũng giống như khi giải các phương trình khác thường được tiến hành như sau : • Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. • Giải phương trình bằng các lược đồ quen thuộc tương ứng. • So sánh nghiệm tìm được với điều kiện đã đặt ra để loại bỏ đi các nghiệm ngoại lai. Một số chú ý : • Đối với các họ nghiệm theo tan và cot, nếu một vế của phương trình không chứa ẩn thì ta không cần đặt điều kiện. • Để làm mất dấu trừ trước các hàm số lượng giác, ta dùng các cung đối cho hàm sin, tan và cot, dùng cung bù cho hàm cos. III. Xác định số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác : 5 Các bài toán liên quan đến số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác nảy sinh trong các trường hợp sau đây : • Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong một miền cụ thể cho trước nào đó của biến. • Giải một số phương trình lượng giác dạng đặc biệt. Thông thường đối với các bài toán dạng xác định số k ta thường tiến hành như sau : • Giải phương trình lượng giác như bình thường. • Với nghiệm tìm được, để xác định số k tương ứng ta phải giải một bất phương trình đơn giản: Tìm nghiệm nguyên k thỏa mãn một bất phương trình. • Thay giá trị k tìm được vào công thức nghiệm sẽ suy ra các nghiệm cần tìm. Nhìn chung, việc xác định cụ thể các giá trị của tham số k nguyên trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác xuất hiện trong nhiều bài toán giải phương trình lượng giác. Nếu để ý thì dưới hình thức này hay hình thức khác thực chất đó là giải phương trình lượng giác có kèm theo một diều kiện phụ nào đó. Việc xác định các giá trị của tham số k qui về việc tìm nghiệm nguyên của một bất phương trình cụ thể nào đó. IV. Các phương trình lượng giác thường gặp : Các họ nghiệm cơ bản : • ( ) ( ) 2 sin sin 1 2 n u v k u v u v n n u v k π π π π = +  = ⇔ ⇔ = − + ∀ ∈  = − +  ¢ • ( ) 2 cos cos 2 u v k u v k u v k π π = +  = ⇔ ∀ ∈  = − +  ¢ • ( ) tan tan , 2 v l u v k l u v k π π π  ≠ +  = ⇔ ∀ ∈   = +  ¢ • ( ) cot cot , v l u v k l u v k π π ≠  = ⇔ ∀ ∈  = +  ¢ Các họ nghiệm đặc biệt : • ( ) sin 0u u k k π = ⇔ = ∀ ∈¢ • ( ) sin 1 2 2 u u k k π π = ⇔ = + ∀ ∈ ¢ • ( ) sin 1 2 2 u u k k π π = − ⇔ = − + ∀ ∈ ¢ • ( ) cos 0 2 u u k k π π = ⇔ = + ∀ ∈ ¢ • ( ) cos 1 2u u k k π = ⇔ = ∀ ∈¢ • ( ) cos 1 2u u k k π π = − ⇔ = + ∀ ∈¢ • ( ) tan 0u u k k π = ⇔ = ∀ ∈¢ • ( ) tan 1 4 u u k k π π = ⇔ = + ∀ ∈ ¢ 6 • ( ) tan 1 4 u u k k π π = − ⇔ = − + ∀ ∈ ¢ • ( ) cot 0 2 u u k k π π = ⇔ = + ∀ ∈ ¢ • ( ) cot 1 4 u u k k π π = ⇔ = + ∀ ∈ ¢ • ( ) cot 1 4 u u k k π π = − ⇔ = − + ∈ ¢ 1. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác của u : Có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) sin 1 sin 0 cos 2 cos 0 ; 0 tan 0 tan 3 cot 0 cot 4 b u a a u b b u a u b a a a u b b u a a u b b u a − = + = − = + = ≠ → + = − = + = − = Đối với các phương trình (1) và (2) cần có thêm điều kiện 1 b a − ≤ Chọn α sao cho [ ] [ ] sin ; ; 2 2 cos ; 0; tan ; ; 2 2 cot ; 0; b a b a b a b a π π α α α α π π π α α α α π − −   = ∈     − = ∈ − −   = ∈     − = ∈ ⇒ đưa về các họ nghiệm cơ bản để giải. 2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác của u : Có dạng: 2 2 2 2 sin sin 0 cos cos 0 ; 0 tan tan 0 cot tan 0 a u b u c a u b u c a a u b u c a u b u c + + = + + = ≠ + + = + + = . Đặt sin 1 cos tan cot u t t u t u t u t =  ≤  =  = = ⇒ Phương trình bậc hai at 2 + bt + c = 0 Giải phương trình tìm t (xét điều kiện nếu có) ⇒ các họ nghiệm cơ bản, giải tìm x 3. Các dạng khác : Dạng của phương trình Phương pháp giải Dạng 1 : Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với f(x),trong đó f(x) là một biểu thức lượng giác Đặt ẩn phụ t = f(x). 7 nào đó. Cách 1 : Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b + Cách 2 : • Tìm nghiệm thỏa cos 0 2 x = . • Với cos 0 2 x ≠ thì đặt tan 2 x t = ta có: 2 2 sin 1 t x t = + ; 2 2 1 cos 1 t x t − = + .Đưa phương trình đã cho thành phương trình bậc hai theo ẩn t. Dạng 3 : Phương trình đối xứng với sin x và cos x : • ( ) sin cos sin cos 0a x x b x x c+ + + = • ( ) sin cos sin cos 0a x x b x x c − + + = Đặt sin cos 2sin 2; 2 4 t x x x π     = ± = ± ∈ −  ÷     thì 2 1 sin cos 2 t x x   − = ±  ÷   Dạng 4 : Phương trình thuần bậc hai đối với sin x và cos x : 2 2 sin sin cos cos 0a x b x x c x + + = Cách 1 : • Tìm nghiệm thỏa cos 0x = . • Với cos 0x ≠ thì chia hai vế của phương trình cho 2 cos x dể đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai theo ẩn tan x . Cách 2 : • Tìm nghiệm thỏa sin 0x = • Với sin 0x ≠ thì chia hai vế của phương trình cho 2 sin x dể đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai theo ẩn cot x . Dạng 5 : Phương trình thuần bậc ba đối với sin x và cos x : 3 3 2 2 sin cos sin cos sin cosa x b x c x x d x x + + + + sin cos 0e x f x + + = Cách giải tương tự như phương trình thuần nhất bậc hai nhưng chia hai vế cho 3 cos x hoặc 3 sin x và chú ý áp dụng các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản. HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC Bảng giá trị lượng giác đặt biệt: 8 α ( ) 0 0 0 ( ) 0 30 6 π ( ) 0 45 4 π ( ) 0 60 3 π ( ) 0 90 2 π ( ) 0 2 120 3 π ( ) 0 3 135 4 π ( ) 0 5 150 6 π ( ) 0 180 π sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos α 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 tan α 0 1 3 1 3 P - 3 -1 - 1 3 0 cot α P 3 1 1 3 0 - 1 3 -1 - 3 P  Hệ thức lượng cơ bản: 1) 2 2 sin cos 1 α α + = 4) 2 2 1 1 tan cos α + = 2) sin tan cos α α α = , 2 k k Z π α π   ≠ + ∈  ÷   5) 2 2 1 1 cot sin α α + = 3) cos cot sin α α α = ( ) ,k k Z α π ≠ ∈ 6) tan .cot 1 α α =  Các cung có liên quan đặt biệt: 1) Hai cung đối nhau: àv α α − sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot α α α α α α α α − = − − = − = − − = − 2) Hai cung bù nhau: àv π α α − 2)Hai cung bù nhau: àv π α α − ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tan tan cot cot π α α π α α π α α π α α − = − = − − = − − = − 3) Hai cung hơn kém nhau : àv π π α α + ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tan tan cot cot π α α π α α π α α π α α + = − + = − + = + = 4) Hai cung phụ nhau: à 2 v π α α − sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 π α α π α α π α α π α α   − =  ÷     − =  ÷     − =  ÷     − =  ÷   Công thức cộng: 9 ( ) sin( ) sin .cos sin .cos cos( ) cos .cos sin .sin tan tan tan 1 tan .tan a b a b b a a b a b a b a b a b a b ± = ± ± = ± ± = m m 10 [...]... dấu cùng) dấu cùng) Chú ý: Các công thức này quan trọng khi áp dụng giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân sin 2a = 2sina.cosa cos 2a = cos 2a - sin 2a = 2cos 2a − 1 = 1 − sin 2 a IV Công thức nhân ba   V sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a cos3a = 4cos a - 3cosa 3 Công thức hạ bâc ( ba sin trừ bốn sỉn) (bốn cổ trừ ba cô) Chú ý: Các công thức này quan trọng khi áp dụng giải các bài toán về nguyên hàm... t |≤ 2 1− t 2 = c ⇔ bt 2 − 2at + 2c − b = 0 2  Phương trình lượng giác giải theo hằng đẳng thức: a 3 ± b3 = ( a ± b ) ( a 2 mab + b 2 ) a 4 − b4 = ( a 2 + b2 ) ( a 2 − b2 ) a 6 ± b 6 = ( a 2 ± b 2 ) ( a 4 ma 2b 2 + b 4 ) a 8 + b8 = ( a 4 + b 4 ) − 2a 4 b 4 2 18 PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản 1 Công thức:  u = v + k2π 1/ sin u = sin v ⇔   u = π - v + k2π ... 2 2 Đặt t=sinx - cosx dk: | t |≤ 2 1− t 2 = c ⇔ bt 2 − 2at + 2c − b = 0 2  Phương trình lượng giác giải theo hằng đẳng thức: a 3 ± b3 = ( a ± b ) ( a 2 mab + b 2 ) a 4 − b4 = ( a 2 + b2 ) ( a 2 − b2 ) a 6 ± b 6 = ( a 2 ± b 2 ) ( a 4 ma 2b 2 + b 4 ) a 8 + b8 = ( a 4 + b 4 ) − 2a 4 b 4 2 12 I Các công thức lượng giác cơ bản  sin 2 a + cos 2a = 1 sin a π , a ≠ + k π, k ∈ ¢ cosa 2 cosa , a ≠ k π, k ∈... 1  sin 2a = (1 − cos2a), 2 1 cos 2 2a = (1 + cos4a) 2 1 sin 2 2a = (1 − cos4a) 2 x thức tính sina, cosa theo t=tan 2 2t sin x = 1 + t2 1 - t2 cos x =  1 + t2 2t tan x = 1 - t2  cos 2a = (1 + cos2a), VI Công Chú ý: Các công thức này quan trọng khi áp dụng giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân VII Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cosa.cos b = [ cos(a +b)+cos(a-b) ] (cos nhân cos bằng... b =  1 [ sin(a + b)+sin(a-b)] 2 cộng)  (sin nhân cos bằng 1 sin cộng cộng sin 2 trừ) VIII Giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt Góc- cung 00 300 450 600 900 0 1 2 2 2 3 2 1 1 3 2 2 2 1 2 0 0 3 3 1 3 ∞ ∞ 3 1 3 3 0 π 6 0 HSLG sin cos tan cot π 4 π 3 π 2 HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC Bảng giá trị lượng giác đặt biệt: α 0 ( 00 ) π ( 300 ) 6 π ( 450 ) 4 π ( 600 ) 3 π ( 900 ) 2 2π ( 1200 ) 3 3π ( 1350 ) 4... 2 , a ≠ k π, k ∈ ¢ sin a Chú ý: Các công thức này quan trọng khi áp dụng giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân  tan a = II Công thức cộng     cos(a + b)=cosa.cosb - sina.sinb cos(a-b)=cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b)=sina.cosb + cosa.sinb sin(a - b)=sina.cosb - cosa.sinb (cos thì cos (cos thì cos (sin thì sin (sin thì sin cos cos cos cos III Công thức nhân đôi  sin sin cos cos sin... cot α 2  π  cot  − α ÷ = tan α 2  Công thức cộng: 15 sin(a ± b) = sin a.cos b ± sin b.cos a cos(a ± b) = cos a.cos b msin a.sin b tan a ± tan b tan ( a ± b ) = 1 mtan a.tan b 16 Công thức nhân đôi, nhân ba: s in2α = 2sin α cos α cos 2 α − sin 2 α  cos 2α =  2 cos 2 α − 1 1 − 2sin 2 α  s in3α = 3sin α − 4sin 3 α cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α  Công thức hạ bậc: sin 2 α = 1 − cos 2α 2 cos 2... a.cos b  Cách giải phương trình lượng giác:  x = α + k 2π sin x = sin α ⇔   x = π − α + k 2π  x = α + k 2π cos x = cos α ⇔   x = −α + k 2π  Các trường hợp đạc biệt: sin x = 0 ⇔ x = kπ −π sin x = −1 ⇔ x = + k 2π 2 π sin x = 1 ⇔ x = + k 2π 2 π cos x = 0 ⇔ x = + kπ 2 cos x = 1 ⇔ x = k 2π cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π tan x = tan α ⇔ x = α + kπ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ π 2 π 2 α  Công thức tính... Công thức nhân đôi, nhân ba: s in2α = 2sin α cos α cos 2 α − sin 2 α  cos 2α =  2 cos 2 α − 1 1 − 2sin 2 α  s in3α = 3sin α − 4sin 3 α cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α  Công thức hạ bậc: sin 2 α = 1 − cos 2α 2 cos 2 α = t an2α = t an3α = 1 + cos 2α 2 1  cos ( a + b ) + cos(a − b)   2 1 sin a.cos b = [ sin( a + b) + sin( a − b) ] 2 cos a.cos b =  Công thức biến đổi tổng thành... tan 2 α =  Công thức biến đổi tích thành tổng: 2 tan α 1 − tan 2 α 1 − cos 2α 1 + cos 2α  1    − 2 cos ( a + b ) − cos(a − b)  sin a.sin b =   1  cos ( a − b ) − cos(a + b)   2    a+b  a −b  sin a + sin b = 2sin  ÷.cos  ÷  2   2   a+b  a −b  sin a − sin b = 2 cos  ÷.sin  ÷  2   2  sin ( a − b ) tan a − tan b = cos a.cos b  Cách giải phương trình lượng giác:  x = . CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Các kiến thức lượng giác cơ bản : Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản : • 2 2 sin cos 1 α α + = • sin tan cos α α α = . ba cô). V. Công thức hạ bâc. 13 Chú ý: Các công thức này quan trọng khi áp dụng giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân Chú ý: Các công thức này quan trọng khi áp dụng giải các bài toán. trước các hàm số lượng giác, ta dùng các cung đối cho hàm sin, tan và cot, dùng cung bù cho hàm cos. III. Xác định số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác : 5 Các bài toán liên