Giải Tích không trơn (nonsmooth analysis)

GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN Huỳnh Thế Phùng Đại học Khoa học, Đại học Huế Huế - 2010 Mục lục Chương 1 Gradient suy rộng trong không gian Banach 2 1.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Quan hệ với các khái niệm đạo hàm. . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Các phép tính trên Gradient suy rộng. . . . . . . . . . . . 9 1.4 Hàm chính quy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Nón tiếp xúc và Nón pháp tuyến. . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Trường hợp hữu hạn chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2 Phép tính Xấp xỉ Trong Không gian Hilbert 19 2.1 Pháp tuyến xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Dưới gradient xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Đặc trưng của dưới gradient xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Định lý trù mật. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Tổng chập cực tiểu của hàm toàn phương. . . . . . . . . . 29 2.6 Các nguyên lý tối ưu hóa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7 Khảo sát hàm khoảng cách. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.8 Trường hợp hàm Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chương 1 Gradient suy rộng Trong không gian Banach Trong chương này ta luôn giả thiết X là không gian Banach trên trường số thực và f : X → R là hàm Lipschitz địa phương. Ta sẽ mở rộng các khái niệm vi phân cho hàm Lipschitz, theo đó nhiều khái niệm hình học cũng như các điều kiện cực trị cho bài toán tối ưu cũng được thiết lập. 1.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản. Giả sử f là hàm Lipschitz trong một lân cận của x ∈ X với hằng số K (lúc đó, để đơn giản ta sẽ nói f Lipschitz gần x). Với mỗi v ∈ X, ta gọi đạo hàm theo hướng suy rộng của f tại x theo hướng v là giới hạn sau f 0 (x; v) := lim sup y→x, t↓0 f(y + tv) −f(y) t . (1.1) Do tính Lipschitz của f, giới hạn này luôn luôn tồn tại. Mệnh đề dưới đây cho ta một số tính chất khác của đạo hàm này. Mệnh đề 1.1. Với hàm f và điểm x được cho như trên, ta có a) Hàm f 0 (x; ·) hữu hạn, lồi, thuần nhất dương trên X. Hơn nữa, |f 0 (x; v)| ≤ K∥v∥; ∀v ∈ X . Chương 1. Gradient suy rộng trong không gian Banach 3 b) Hàm hai biến f 0 (·; ·) là nửa liên tục trên tại (x, v) còn hàm một biến f 0 (x; ·) Lipschitz với chính hằng số K trên X. c) f 0 (x; −v) = (−f) 0 (x; v); ∀v ∈ X. Chứng minh. Để chứng minh a) ta chỉ cần kiểm chứng f 0 (x; ·) dưới cộng tính, các khẳng định khác là tầm thường. Thật vậy, f 0 (x; v 1 + v 2 ) = lim sup y→x, t↓0 f(y + tv 1 + tv 2 ) −f(y) t = lim sup y→x, t↓0 f(y + tv 1 + tv 2 ) −f(y + tv 1 ) + f(y + tv 1 ) −f(y) t ≤ lim sup z→x, t↓0 f(z + tv 2 ) −f(z) t +lim sup y→x, t↓0 f(y + tv 1 ) −f(y) t = f 0 (x; v 1 )+f 0 (x; v 2 ). b) Cho dãy (x k , v k ) và điểm (x, v). Với mỗi k chọn y k ∈ B(x k ; 1 k ) và 1 k > t k > 0 sao cho f 0 (x k ; v k ) < f(y k + t k v k ) −f(y k ) t k + 1 k (1.2) ≤ f(y k + t k v) −f(y k ) t k + 1 k + K∥v k − v∥. (1.3) Nếu x k → x thì y k → x, nếu hơn nữa, v k → v, thì cho k → ∞ ta nhận được lim sup k→∞ f 0 (x k ; v k ) ≤ f 0 (x; v). Trong (1.3) nếu x k = x và v k = v ′ với mọi k, thì khi cho k → ∞ ta nhận được f 0 (x; v ′ ) ≤ f 0 (x; v) + K∥v ′ − v∥, với mọi v, v ′ . Suy ra f 0 (x; ·) Lipschitz. c) suy ra từ định nghĩa. Bài tập 1.1. Cho f và g là hai hàm Lipschitz gần x. Chứng minh (f + g) 0 (x; v) ≤ f 0 (x; v) + g 0 (x; v); ∀v ∈ X. 4 1.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản. Trước khi đi đến định nghĩa dưới gradient suy rộng (một khái niệm mở rộng của dưới vi phân) của hàm f, ta cần nhắc lại một số kết quả liên quan đến hàm tựa. Nhắc lại rằng, với tập C ⊆ X cho trước, ta gọi hàm tựa σ C là hàm được xác định bởi σ C (x ∗ ) = sup x∈C ⟨x ∗ , x⟩; x ∗ ∈ X ∗ . Tương tự, hàm tựa của một tập D ⊆ X ∗ lại được xác định trên X, tức là σ D (x) = sup x ∗ ∈D ⟨x ∗ , x⟩; x ∈ X. Mệnh đề sau là một kết quả từ giải tích lồi. Mệnh đề 1.2 ([6]). a) Với ∅ ̸= D ⊆ X ∗ , σ D lồi, thuần nhất dương, nửa liên tục dưới. b) Nếu D lồi và đóng yếu* thì ξ ∈ D ⇔ σ D (x) ≥ ⟨ξ, x⟩; ∀x ∈ X. c) Cho D 1 , D 2 ⊆ X ∗ lồi, đóng yếu*. Lúc đó D 1 ⊆ D 2 ⇔ σ D 1 (x) ≤ σ D 2 (x); ∀x ∈ X. d) Nếu p : X → R là một hàm lồi, thuần nhất dương và bị chặn trên hình cầu đơn vị, thì tồn tại duy nhất một tập D ⊆ X ∗ lồi, khác rỗng, compact yếu* sao cho σ D = p. Từ Mệnh đề 1.1 ta có g(v) = f 0 (x; v) là một hàm lồi, thuần nhất dương, Lipschitz trên X. Ta ký hiệu ∂ C f(x) là dưới vi phân (theo nghĩa giải tích lồi) của hàm g tại điểm 0 và gọi là dưới gradient suy rộng (hay còn gọi là dưới vi phân theo nghĩa Clarke) của f tại x. Vì g là hàm thuần nhất dương ta có: ∂ C f(x) = ∂g(0) = {x ∗ ∈ X ∗ | ⟨x ∗ , v⟩ ≤ f 0 (x; v), ∀v ∈ X}. (1.4) Từ tính chất của dưới vi phân hàm lồi ta nhận được các tính chất tương ứng của dưới vi phân Clarke. Cụ thể: Chương 1. Gradient suy rộng trong không gian Banach 5 Mệnh đề 1.3. a) ∂ C f(x) khác rỗng, lồi, compact yếu* và ∥x ∗ ∥ ≤ K với mọi x ∗ ∈ ∂ C f(x). b) f 0 (x; v) = max{⟨v, x ∗ ⟩ | x ∗ ∈ ∂ C f(x)}. Nói cách khác, f 0 (x; ·) là hàm tựa của tập lồi, compact yếu* ∂ C f(x). Chứng minh. Vì g lồi, thuần nhất dương, Lipschitz nên ∂ C f(x) = ∂g(0) khác rỗng, lồi, compact yếu* và f 0 (x; v) = g(v) = g ′ (0; v) = max{⟨v, x ∗ ⟩ | x ∗ ∈ ∂ C f(x)}, ∀v ∈ X. Mặt khác, với mọi x ∗ ∈ ∂ C f(x) ta có ⟨v, x ∗ ⟩ ≤ f 0 (x; v) ≤ K∥v∥, ∀v ∈ X, nên ∥x ∗ ∥ ≤ K. Bài tập 1.2. a) Cho f : R n → R khả vi liên tục trên một lân cận U của x. Chứng minh f Lipschitz địa phương tại x, f 0 (x; v) = ⟨f ′ (x), v⟩ với mọi v ∈ X và ∂ C f(x ) = {f ′ (x)}. b) Giả sử f(x) = min{x, 0}, x ∈ R. Chứng minh f 0 (0; v) = max{0, v}. Tính ∂ C f(0). c) Xác định f 0 (0; ·) và ∂ C f(0) khi f : R n → R: f(x) = ∥x∥ 2 . d) Chứng minh nếu f nhận cực trị địa phương tại x thì 0 ∈ ∂ C f(x ). Nhắc lại rằng, một ánh xạ đa trị F : X → Y giữa các không gian metric được gọi là đóng nếu đồ thị của nó: gr F := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F(x)} là tập đóng trong X × Y , F được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ X nếu với mọi tập mở V ⊇ F (x), tồn tại δ > 0 sao cho ∀y ∈ B X (x, δ), F (y) ⊆ V. 6 1.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản. Nếu F (x) là tập compact, thì F nửa liên tục trên tại x nếu và chỉ nếu, với mọi ϵ > 0, tồn tại δ > 0 sao cho ∀y ∈ B(x; δ), F (y) ⊆ B Y (F (x); ϵ) := {z ∈ Y | d(z; F (x)) < ϵ}. F được gọi là nửa liên tục trên (u.s.c.) nếu nó nửa liên tục trên tại mọi điểm x ∈ dom F := {u ∈ X | F(u) ̸= ∅}. Ta có kết quả quen thuộc sau trong lý thuyết ánh xạ đa trị: Mệnh đề 1.4 ([1], Proposition 1.4.8). a) Nếu F u.s.c., dom F đóng và F (x) đóng với mọi x, thì F đóng; b) Nếu Y compact và F đóng, thì F u.s.c. Mệnh đề 1.5. a) Nếu (x n ) ⊆ X và x ∗ n ∈ ∂ C f(x n ), x n → x, x ∗ n w ∗ → x ∗ , thì x ∗ ∈ ∂ C f(x). b) Nếu dim X < ∞, thì ∂ C f(·) là nửa liên tục trên tại x. Chứng minh. Để chứng minh a) ta sử dụng bất đẳng thức ⟨v, x ∗ n ⟩ ≤ f 0 (x n ; v), ∀v ∈ X, ∀n ∈ N, và cho n → ∞, để ý rằng f 0 nửa liên tục trên, ta nhận được: ⟨v, x ∗ ⟩ ≤ f 0 (x; v), ∀v ∈ X. Nghĩa là x ∗ ∈ ∂ C f(x). Khi dim X < ∞ thì X ∗ cũng vậy, và tôpô yếu* trên X ∗ trùng với tôpô chuẩn. Từ a) suy ra ∂ C f là ánh xạ đóng. Lại vì ∂ C f nhận giá trị trong tập compact B ′ X ∗ (0; K) nên, theo Mệnh đề 1.4, ∂ C f là u.s.c. Bài tập 1.3. a) Kiểm chứng tính nửa liên tục trên của ∂ C f tại 0 đối với các hàm f được cho trong Bài tập 1.2.b, c. b) Giả sử x ∗ n ∈ ∂ C f(x n ) + ϵ n B ∗ với x n → x, ϵ n ↓ 0 và x ∗ n w ∗ → x ∗ . Chứng minh x ∗ ∈ ∂ C f(x). Chương 1. Gradient suy rộng trong không gian Banach 7 1.2 Quan hệ với các khái niệm đạo hàm. Cho X, Y là các không gian định chuẩn, x ∈ X, F : X → Y . Toán tử F ′ G (x) ∈ L(X, Y ) được gọi là đạo hàm Gâteaux của F tại x nếu lim t→0+  F (x + tv) −F (x) t − F ′ G (x)(v)  = 0, ∀v ∈ X. (1.5) Rõ ràng sự hội tụ trong (1.5) là đều theo v trong một tập hữu hạn bất kỳ. Nếu thay chữ hữu hạn ở trên bởi chữ compact ta có khái niệm đạo hàm Hadamard (và ký hiệu bởi F ′ H (x)), bởi chữ bị chặn ta có khái niệm đạo hàm Fréchet (và ký hiệu bởi F ′ (x)). Như vậy, F ′ (x) là đạo hàm Fréchet của F tại x nếu ∀r > 0, ∀ϵ > 0, ∃δ > 0: ∀v ∈ B(0; r), ∀t ∈ (0, δ ):     F (x + tv) −F (x) t − F ′ (x)(v)     < ϵ. Hay, một cách tương đương: lim x→x 0 F (y) −F (x) −F ′ (x)(y − x) ∥y − x∥ = 0. Nếu đạo hàm (Gâteaux hoặc Fréchet) tồn tại trong một lân cận của x và ánh xạ đạo hàm (F ′ G hoặc F ′ ) liên tục tại x thì F được gọi là khả vi liên tục tại x. F được gọi là khả vi Hadamard chặt tại x nếu tồn tại F ′ S (x) ∈ L(X, Y ) sao cho lim y→x t→0+  F (y + tv) − F(y) t − F ′ S (x)(v)  = 0, ∀v ∈ X, và sự hội tụ là đều với mọi v nằm trong một tập compact bất kỳ. Mệnh đề 1.6. Cho F : U ⊆ X → Y , với U là một lân cận của x và ξ ∈ L(X, Y ). Lúc đó hai điều sau tương đương: a) F khả vi Hadamard chặt tại x và F ′ S (x) = ξ; b) F Lipschitz gần x và, với mỗi v ∈ X, ta có lim y→x t→0+ F (y + tv) − F(y) t = ξ(v). 8 1.2. Quan hệ với các khái niệm đạo hàm. Hệ quả 1.1. Nếu F khả vi liên tục tại x, thì F khả vi chặt tại x và Lipschitz gần x. Mệnh đề 1.7 ([3], Theorem 2.2.1). Cho X, Y, Z là các không gian định chuẩn, x 0 ∈ X và F : X → Y , G : Y → Z. Khi đó nếu F khả vi Fréchet tại x 0 và G khả vi Fréchet tại F (x 0 ) thì G ◦ F khả vi Fréchet tại x 0 và (G ◦F ) ′ (x 0 ) = G ′ (F (x 0 )) ◦F ′ (x 0 ). Giả sử U ⊆ X là một tập mở và f : U ⊆ X → R là một hàm có đạo hàm Fréchet f ′ liên tục trên U. Nếu đến phiên nó, f ′ : U → X ∗ là một ánh xạ có đạo hàm Fréchet trên U thì đạo hàm của f ′ , kí hiệu f ′′ , được gọi là đạo hàm cấp 2 của f và f được gọi là khả vi đến cấp 2. Chú ý rằng lúc này f ′ (x) ∈ X ∗ và f ′′ (x) ∈ L(X, X ∗ ) với x ∈ U. Ta kí hiệu C 1 (U) và C 2 (U) lần lượt là họ các hàm khả vi liên tục đến cấp 1 (tức là f ′ liên tục) và cấp 2 (tức là f ′′ liên tục) trên U và, để đơn giản, ta sẽ viết C 1 và C 2 thay cho C 1 (X) và C 2 (X). Từ nay, khi nhắc đến đạo hàm (t.ư. khả vi) mà không nói gì thêm thì ta ngầm hiểu đó là đạo hàm (t.ư. khả vi) Fréchet. Mệnh đề 1.8. Nếu f Lipschitz gần x và tồn tại f ′ G (x), thì f ′ G (x) ∈ ∂ C f(x). Mệnh đề 1.9. Nếu f khả vi chặt tại x thì f Lipschitz gần x và ∂ C f(x) = {f ′ (x)}. Ngược lại, nếu f Lipschitz gần x và ∂ C f(x) = {ξ}, thì f khả vi chặt tại x và f ′ S (x) = ξ. Mệnh đề 1.10. Cho f lồi trên tập lồi, mở U ⊆ X và Lipschitz gần x ∈ U. Lúc đó, ∂ C f(x) = ∂f(x) và f ′ (x; v) = f 0 (x; v) với mọi v ∈ X. Chứng minh. Do f 0 ((x; v) ≥ f ′ (x; v) ta sẽ chứng minh f 0 (x; v) ≤ f ′ (x; v). Thật vậy nếu ngược lại thì tồn tại ε > 0 và t 0 > 0 sao cho f(x + t 0 v) −f(x) t 0 + ε < f 0 (x; v). (1.6) Chương 1. Gradient suy rộng trong không gian Banach 9 Giả sử x n → x và t n → 0+ là các dãy sao cho f 0 (x; v) = lim n→∞ f(x n + t n v) −f(x n ) t n . (1.7) Với n đủ lớn ta có t 0 > t n > 0 mà f lồi nên f(x n + t n v) −f(x n ) t n ≤ f(x n + t 0 v) −f(x n ) t 0 . (1.8) Cho n → ∞, từ (1.7) và (1.8) ta nhận được f 0 (x; v) ≤ f(x + t 0 v) −f(x) t 0 , mâu thuẫn với (1.6). Vậy f ′ (x; ·) = f 0 (x; ·). Mệnh đề đã được chứng minh. 1.3 Các phép tính trên Gradient suy rộng. Mệnh đề 1.11. Với mọi λ ∈ R ta có ∂ C (λf)(x) = λ∂ C f(x). (1.9) Chứng minh. Trường hợp λ = 0 là hiển nhiên, vì cả hai vế đều bằng {0}. Nếu λ > 0 thì dễ thấy (λf) 0 (x; v) = λf 0 (x; v). Nhưng (λf) 0 (x; ·) là hàm tựa của ∂ C (λf)(x) còn λf 0 (x; ·) là hàm tựa của λ∂ C f(x). Vậy, theo Mệnh đề 1.2, (1.9) đúng. Với λ = −1, ta có (−f) 0 (x; v) = f 0 (x; −v). Mặt khác, (−f) 0 (x; ·) là hàm tựa của ∂ C (−f)(x) còn f 0 (x; −v) = max x ∗ ∈∂ C f(x) ⟨−v, x ∗ ⟩ = max x ∗ ∈−∂ C f(x) ⟨v, x ∗ ⟩, là hàm tựa của −∂ C f(x) nên, cũng theo Mệnh đề 1.2, ∂ C (−f)(x) = −∂ C f(x). Cuối cùng, nếu λ < 0 thì ∂ C (λf)(x) = |λ|∂ C (−f)(x) = λ∂ C f(x). Mệnh đề 1.12. Cho f và g Lipschitz trong một lân cận của x. Lúc đó: ∂ C (f + g)(x) ⊆ ∂ C f(x) + ∂ C g(x). [...]... C3 Bài tập 1.16 Cho S ⊆ Rn , s ∈ ∂S và Ω là tập có độ đo không Chứng minh: NS (s) = co{ lim λi (xi − si ) | λi ≥ 0; xi ∈ Ω ∪ S; xi → s; projS (xi ) = {si }} / i→∞ Bài tập 1.17 Dùng Bài tập 1.16 để giải lại các Bài tập 1.12 và 1.13 Chương 2 Phép tính Xấp xỉ Trong Không gian Hilbert 2.1 Pháp tuyến xấp xỉ Trong chương này ta luôn giả thiết X là không gian Hilbert thực Cho S là một tập con khác rỗng của... g : Rn → R chính qui tại F (x) và mỗi γ ∈ ∂ C (x)) đều không âm Lúc đó, hàm f := g ◦ F chính qui tại x và g(F ∂ C (x) = co∗ {∂ C F (·)⟩(x) | γ ∈ ∂ C (x))} f ⟨γ, g(F Bài tập 1.7 a) Cho f : Rn → R không giảm theo biến đầu tiên và ξ ∈ ∂ C (x) Chứng f minh ξ1 ≥ 0 b) Chứng minh rằng nếu f và g trong Bài tập 1.5 là chính quy tại x và f (x), g(x) đều không âm thì ở đó dấu đẳng thức xảy ra Bài tập 1.8 a) Cho... 0} Vì vậy từ giải tích lồi ta có a) Khẳng định b) được suy ra từ a) Định lý 1.23 Cho f Lipschitz gần x Lúc đó, a) Tepi f (x, f (x)) = epi f 0 (x; ·) b) x∗ ∈ ∂ C (x) ⇔ (x∗ , −1) ∈ Nepi f (x, f (x)) f Chứng minh Đặt S = epi f , s = (x, f (x)) (v, γ) ∈ TS (s) khi và chỉ khi S ∀(yi , βi ) → s, ∀ti → 0+, ∃(vi , γi ) → (v, γ) : (yi + ti vi , βi + ti γi ) ∈ S Chương 1 Gradient suy rộng trong không gian Banach... Lipschitz gần x ∈ Rn Lúc đó, nếu Ω là tập có độ đo không bất kỳ trong Rn và Ωf là tập các điểm tại đó f không khả vi Fréchet, ta có ∂ C (x) = co{lim ∇f (xi ) | xi → x; xi ∈ Ω ∪ Ωf } f / 18 1.6 Trường hợp hữu hạn chiều Ta xét hai hàm sau trên R:  x2 sin 1 nếu x ̸= 0, x f (x) = ; 0 nếu x = 0 g(x) =  x sin 1 nếu x ̸= 0, 0 nếu x = 0 x Chú ý rằng hàm g không Lipschitz gần 0 Hệ quả 1.2 Với các giả thiết... tại x thì chính quy tại đó; b) Nếu f lồi, liên tục tại x thì chính quy tại đó; c) Một tổ hợp tuyến tính không âm các hàm chính quy tại x cũng là một hàm chính quy tại x; ′ ′ d) Nếu f chính quy tại x và tồn tại fG (x) thì ∂ C (x) = {fG (x)} f Bài tập 1.6 a) Tìm một hàm f : R → R chính qui, không lồi, không khả vi chặt b) Chứng minh nếu f và g chính qui tại x thì f + g cũng vậy Hơn nữa, ∂ C + g)(x) = ∂... C 1 và f ′ (0) = 0 Tuy vậy, ∂P f (0) = ∅ Điều 3 này là do f ̸∈ C 2 Như vậy ∂P f không thực sự là một mở rộng của khái niệm đạo hàm, vì ngay cả những hàm thuộc lớp C 1 cũng có thể không khả dưới vi phân Có lẽ đây là nhược điểm cơ bản của khái niệm này vì dưới vi phân hàm lồi và dưới vi phân Clarke cho hàm Lipschitz cũng không mắc nhược điểm đó Hệ quả 2.2 Giả sử f ∈ F Lúc đó, a) Nếu f đạt cực tiểu địa... giản trong trường hợp hữu hạn chiều, nhưng lại rất phức tạp trong trường hợp vô hạn chiều Điều đó là do một hàm nửa liên tục dưới trên một tập đóng, bị chặn (trong không gian vô hạn chiều) không nhất thiết tồn tại điểm cực tiểu, thậm chí không bị chặn dưới Tuy nhiên, những kết quả ngay dưới đây cho thấy, với những nhiễu (tuyến tính hay toàn phương) nhỏ tùy ý, một hàm nửa liên tục dưới sẽ đạt được cực... − f (x)| ≤ K∥y − x∥, với mọi x, y ∈ M , f được gọi là Lipschitz địa phương Chương 2 Phép tính Xấp xỉ Trong Không gian Hilbert 35 trên M nếu với mọi x ∈ M , tồn tại lân cận U của x sao cho f Lipschitz, với một hằng số K(x) nào đó, trên U ∩ M Định lý dưới đây là một kết quả quan trọng trong giải tích lồi Định lý 2.15 Cho tập lồi, mở U ⊆ X và f : U → R là một hàm lồi Nếu f bị chặn trên trong một hình... Định lý 1.15 Cho f Lipschitz địa phương trên một tập lồi mở U ⊆ X Lúc đó, f lồi khi và chỉ khi ∂ C đơn điệu trên U f 12 1.3 Các phép tính trên Gradient suy rộng Chứng minh Điều kiện cần là kết quả của giải tích lồi Để chứng minh điều kiện đủ ta chỉ cần chứng minh với mọi x, y ∈ U hàm g xác định bởi (1.10) là lồi trên [0, 1] Lấy tùy ý 0 ≤ t1 < t2 < t3 ≤ 1, theo Định lý 1.14 tồn tại u ∈ (t1 , t2 ), v ∈... + ξ2 = 0, hay ξ2 = −ξ1 Thay vào các bất đẳng thức trên, với y = x + tv, ta nhận được σ2 t2 ∥v∥2 ≥ f (x + tv) − f (x) − ⟨ξ1 , tv⟩ ≥ −σ1 t2 ∥v∥2 Suy ra ξ1 là đạo hàm Frechet của f tại x b) Suy ra từ giải tích lồi và a) Mệnh đề 2.7 Giả sử f ∈ F, x ∈ X, g ∈ C 2 (B(x, δ)) với δ > 0 Khi đó ξ ∈ ∂P (f + g)(x) ⇔ ξ − g ′ (x) ∈ ∂P f (x) Chứng minh ξ−g ′ (x) ∈ ∂P f (x) ⇒ ξ ∈ g ′ (x)+∂P f (x) = ∂P g(x)+∂P f (x) . GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN Huỳnh Thế Phùng Đại học Khoa học, Đại học Huế Huế - 2010 Mục lục Chương 1 Gradient suy rộng trong không gian Banach 2 1.1 Định nghĩa và. . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chương 1 Gradient suy rộng Trong không gian Banach Trong chương này ta luôn giả thiết X là không gian Banach trên trường số thực và f : X → R là hàm Lipschitz. xác định trên X, tức là σ D (x) = sup x ∗ ∈D ⟨x ∗ , x⟩; x ∈ X. Mệnh đề sau là một kết quả từ giải tích lồi. Mệnh đề 1.2 ([6]). a) Với ∅ ̸= D ⊆ X ∗ , σ D lồi, thuần nhất dương, nửa liên tục dưới. b)