Định lý 2.10 (Nguyên lý tối ưu Stegall). Cho f ∈ F và S ⊆ X là tập đóng, bị chặn sao cho S∩domf ̸= ∅ và inf
S f > −∞. Lúc đó, tồn tại một tập trù mật các x∈ X sao cho hàm
h(y) =f(y)− ⟨x, y⟩ nhận một giá trị cực tiểu duy nhất trên S.
Thật ra định lý này tương đương với một khẳng định nhẹ hơn rằng: Tồn tại một dãy (xk)⊆ X, hội tụ về 0, sao cho các hàm f(y)− ⟨xk, y⟩ có duy nhất một điểm cực tiểu trên S.
Định lý 2.11 (Nguyên lý tối ưu Borwein-Preiss). Cho f ∈ F thỏa mãn
inf
S f >−∞.Giả sử ϵ > 0và x0 ∈X sao cho f(x0)< inf
S f+ϵ. Lúc đó, với mọi λ > 0, tồn tại các điểm z ∈ B(x0, λ), y ∈ B(z, λ) với f(y) ≤ f(x0)
sao cho hàm
g(x) = f(x) + ϵ
λ2∥x−z∥2
nhận x=y làm điểm cực tiểu duy nhất.
Bài tập 2.11. Cho f, x0, ϵ như trong Định lý 2.11, hơn nữa f khả vi Fréchet. Chứng minh rằng tồn tại y ∈B(x0,2√
ϵ) sao cho ∥f′(y)∥ ≤2√ ϵ
và f(y) ≤ f(x0). Từ đó suy ra tồn tại dãy cực tiểu (yi) của f sao cho
∥f′(yi)∥ →0.
2.7 Khảo sát hàm khoảng cách.
Trong mục này ta luôn giả thiết S là tập con đóng khác rỗng trong
X và dS là hàm khoảng cách đến tập S.
Bài tập 2.12. Cho hàm f(x) ≥ 0, chứng minh nếu ξ ∈ ∂Pf(x0) thì
2f(x0)ξ ∈∂P(f2)(x0).
Định lý 2.12. Giả sử x ̸∈ S và ξ ∈ ∂PdS(x). Lúc đó tồn tại duy nhất
a) Nếu (si)⊆ S là dãy cực tiểu của hàm s 7→ ∥x−s∥ thì si →s¯;
b) projS(x) ={s¯};
c) Đạo hàm Fréchet d′S(x) tồn tại và
∂P dS(x) = {d′S(x)} = { x−s¯ ∥x−s¯∥ } ; d) d′S(x)∈NP S(¯s). Chứng minh. Đặt f = δS thì f1(x) = inf{δS(s) +∥x −s∥2 | s ∈ X} = d2S(x). Nếu ξ ∈ ∂PdS(x) thì 2 dS(x)ξ ∈ ∂Pd2S(x) = ∂Pf1(x). Theo Định lý 2.9 tồn tại duy nhất s∈ S sao chodS(x) = ∥x−s∥và mọi dãy cực tiểu (sn) của dS(x) đều hội tụ về s (⇒a), b)).
Cũng theo Định lý 2.9 tồn tại đạo hàm(d2S)′(x) = 2(x−s) = 2 dS(x)ξ. Suy raξ = x−s
∥x−s∥. Vìξ ∈∂P dS(x)lấy tùy ý nên∂PdS(x) =
{ x−s ∥x−s∥ } . Lại chú ý rằng với t > 0 và v ∈ X ta có ∥x+tv−s∥2− ∥x−s∥2 ∥x+tv−s∥+∥x−s∥ ≥ dS(x+tv)−dS(x)≥t⟨ x−s ∥x−s∥, v⟩ −σt2∥v∥2.
Chia hai vế cho t và cho t→ 0 ta nhận được dS(x+tv)−dS(x)
t − ⟨ x−s
∥x−s∥, v⟩ → 0, đều theo v ∈ B′(0; 1).
Vậy tồn tại đạo hàm Frechet d′S(x) = x−s
∥x−s∥ ⇒ c), d).
Hệ quả 2.3.
a) Tập hợp {x∈ X | projS(x) đơn tử } là trù mật trong X.
b) Tập hợp {s∈ ∂S | NSP(s)̸= {0}} là trù mật trong ∂S.
Chứng minh. Kết hợp Định lý 2.11 và Định lý 2.12 ta lập tức nhận được a). Để chứng minh b) ta lấy tùy ý s ∈ ∂S và ϵ > 0. Lúc đó tồn tại
x∈ B(s;2ϵ)∩(X\S)sao cho projS(x) là đơn tử: projS(x) = {s′}. Lúc đó
s′ ∈∂S ∩B(s;ϵ) và NP