Dưới đây ta sẽ xét việc dùng hàm khoảng cách như một hàm phạt trong bài toán cực tiểu có ràng buộc:
(PS) : inf
s∈Sf(s).
Mệnh đề 2.13. Giả sử f là hàm Lipschitz, với hằng số K > 0, trên tập
mở U chứa S. Lúc đó
a) Nếu s là nghiệm của bài toán (PS) thì nó cũng là nghiệm của bài toán (PK U ) : inf x∈U ( f(x) +KdS(x)) .
b)Ngược lại, nếus là nghiệm của bài toán (PL
U), với L > K, thì s∈ S
và cũng là nghiệm của bài toán (PS).
Kết quả sau đây sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa một khái niệm hình học, là nón pháp tuyến xấp xỉ, và khái niệm giải tích, là dưới vi phân xấp xỉ.
Định lý 2.14. Cho s∈ S. Lúc đó
NSP(s) = {
tξ | t ≥0; ξ ∈ ∂P dS(s)}
.
Chứng minh. Nếu ξ ∈∂P dS(s) thì dS(x)−dS(s)≥ ⟨ξ, x−s⟩ −σ∥x−s∥2
với mọi x ∈ X. Suy ra ⟨ξ, x − s⟩ ≤ σ∥x − s∥2 với mọi x ∈ S. Vậy
ξ ∈ NSP(s) và tξ ∈ NSP(s) với mọi t ≥ 0. Ngược lại, nếu ξ′ ∈ NSP(s) thì −⟨ξ′, x − s⟩+ σ∥x − s∥2 ≥ 0 với mọi x ∈ S. Tức là hàm h(x) =
−⟨ξ′, x − s⟩ + σ∥x − s∥2 nhận s là điểm cực tiểu trên S. Do đó, với
L > ∥ξ∥, hàm h(x) +LdS(x) nhận s làm một điểm cực tiểu địa phương. Suy ra 0 ∈ ∂P(h+LdS)(s) = h′(s) +L∂P dS(s) = −ξ′ +L∂PdS(s). Vậy
ξ′ =Lξ với ξ ∈ ∂P dS(s).
2.8 Trường hợp hàm Lipschitz.
Hàm f được gọi là Lipschitz với hằng số K trên tập M nếu |f(y)− f(x)| ≤K∥y−x∥, với mọi x, y ∈ M, f được gọi là Lipschitz địa phương
trên M nếu với mọi x ∈ M, tồn tại lân cận U của x sao cho f Lipschitz, với một hằng số K(x) nào đó, trên U ∩M. Định lý dưới đây là một kết quả quan trọng trong giải tích lồi.
Định lý 2.15. Cho tập lồi, mở U ⊆ X vàf : U →R là một hàm lồi. Nếu
f bị chặn trên trong một hình cầu nào đó B(¯x, r)⊆ U, thì f Lipschitz địa phương trên U.
Hệ quả 2.4. Mọi hàm lồi f trên tập lồi, mở U ⊆ Rn đều Lipschitz địa phương.
Bài tập 2.13. Cho M > 0, ϵ > 0. Xây dựng hàm φ ∈ C2 : [0,3ϵ) →
[0,+∞)sao choφ(t) =M tvới mọit∈[0,2ϵ];φ′(t)≥Mvới mọit∈[2ϵ,3ϵ)
và lim
t→3ϵφ(t) = +∞.
Định lý 2.16. Cho U ⊆ X là tập lồi mở và f ∈ F(U). Lúc đó, f
Lipschitz trên U với hằng số K > 0khi và chỉ khi ∥ξ∥ ≤K với mọi x∈ U
và ξ ∈ ∂Pf(x).
Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ Bài tập 2.10.
Đặt V = {x ∈ U | f(x) < ∞}. Lấy x0 ∈ V ∩ U tồn tại ϵ > 0 sao cho f bị chặn dưới trên B(x0; 4ϵ) ⊆ U. Lấy tùy ý M > K và giả sử φ là hàm như trong Bài tập 2.13. Với mỗi y ∈ B(x0;ϵ) ta xét hàm
g(z) = f(z) + φ(∥z −y∥) với z ∈ W = B(y; 3ϵ) ⊆ U. Lúc đó g ∈ F, bị chặn dưới trên W và bằng +∞ trên S(y; 3ϵ). Theo Định lý 2.10 tồn tại
ξ ∈ X sao cho ∥ξ∥ < M−K và hàm h(z) = f(z) +φ(∥z−y∥)− ⟨ξ, z⟩đạt cực tiểu duy nhất trênB(y; 3ϵ)tạiu. Rõ ràng, u∈ B(y; 3ϵ)và0∈ ∂Ph(u). Nếuu̸= ythìφ(∥·−y∥)khả vi tạiunênξe=ξ−φ′(∥u−y∥)∥uu−−yy∥ ∈ ∂Pf(u). Nhưng ∥ξe∥> K, vô lý. Vậy u =y, tức là
f(y)− ⟨ξ, y⟩ =h(y)≤ f(z) +φ(∥z−y∥)− ⟨ξ, z⟩; ∀z ∈ B(y; 3ϵ).
Vậy
36 2.8. Trường hợp hàm Lipschitz.
Điều này đúng với mọi y, z ∈ B(x0;ϵ)vàM > K nênf Lipschitz với hằng số K trên B(x0;ϵ).
Như vậy ta đã chứng minh được rằng, với mọi x0 ∈ V ∩U tồn tại
ϵ >0 sao cho B(x0;ϵ) ⊆ V ∩U ⊆ V ∩U. Vậy V vừa đóng vừa mở trong
U nên V = U (do U lồi nên liên thông). Theo chứng minh trên, với mọi
x0 ∈ U tồn tại B(x0;ϵ) ⊆ U để f Lipschitz trên B(x0;ϵ) với hằng số K. Do U lồi ta suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.5. Cho U ⊆ X là tập lồi, mở và f ∈ F(U). Lúc đó, f là hàm hằng trên U khi và chỉ khi ∂Pf(x)⊆ {0}, với mọi x∈ U.
Bài tập 2.14.
a) Chỉ ra rằng Hệ quả 2.5 không còn đúng nếuU không lồi.
b) Chứng minh nếuU mở (không nhất thiết lồi) thì một hàmf ∈ F(U)
là Lipschitz địa phương trên U khi và chỉ khi ∂Pf(x) bị chặn địa phương trên U.
c)Chứng minh nếuSlồi, compact, thì từ giả thiếtfLipschitz địa phương trên S cũng kéo theo f Lipschitz trênS.
[1] J.-P. Aubin, H. Frankowska,Set-Valued Analysis, Birkh¨auser, Boston, 1990.
[2] Ha¨ım Brezis, Giải tích hàm - Lý thuyết và ứng dụng, (N.H. Nghĩa,
N.T. Long dịch), Nxb ĐHQG Tp. HCM, 2002.
[3] H. Cartan, Differential Calculus, Hermann, Paris, 1971.
[4] F.H. Clarke,Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, Philaden-
phia, PA, 1990.
[5] F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R.J. Stern, P.R. Wolensk,Nonsmooth Anl- ysis and Control theory, Springer, 1998.
[6] H.T. Phùng, Cơ sở giải tích lồi, Đại học Huế, 2010.
[7] R.T. Rockafellar, Convex analysis, Princeton University Press, 1970.
[8] R.T. Rockafellar, R.J-B. Wets, Variational Analysis, Springer-Verlag,