Trong mục này ta sẽ khảo sát dưới vi phân xấp xỉ của hàm là tổng chập cực tiểu của một hàm với hàm toàn phương. Nhắc lại rằng, tổng chập cực tiểu của hai hàm f, g : X → R là hàm h: X →R được xác định bởi
h(x) := inf{f(y) +g(x−y); y ∈ X}, x ∈X,
và được ký hiệu bởi h= f⊕g. Bằng quy nạp, ta cũng có khái niệm tổng chập cực tiểu của m hàm: f1, f2,· · · , fm và được ký hiệu
m
⊕
i=1
fi = f1⊕f2 ⊕ · · · ⊕fm.
Ở đây, ta chỉ xét tổng chập cực tiểu của f với một hàm toàn phương dạng gα(x) = α∥x∥2. Lúc đó ta nhận được hàm
fα(x) := (f ⊕gα)(x) := inf{f(y) +α∥x−y∥2
; y ∈X}.
Một dãy (yi)⊆ X được gọi là dãy cực tiểu của fα(x) nếu lim
i→∞(f(yi) +α∥yi−x∥2) =fα(x).
Ta luôn giả thiết f bị chặn dưới trên X và α > 0.
Bổ đề 2.4. Giả sử f ∈ F. Lúc đó,
a) Nếu f lồi thì fα lồi.
b) Nếu f bị chặn dưới bởi c thì fα cũng bị chặn dưới bởi c. Hơn nữa,
30 2.5. Tổng chập cực tiểu của hàm toàn phương.
Chứng minh. Khẳng địnha. suy ra từ giải tích lồi (tổng chập cực tiểu của hai hàm lồi là lồi). Để chứng minh b ta chỉ cần chứng minh fα Lipschitz trên tập bị chặn S bất kỳ còn khẳng định fα ≥ c là tầm thường.
Trước hết ta chứng minhfα bị chặn trên trênS. Thật vậy, lấy y0 ∈X
ta cófα(x)≤ f(y0)+α∥x−y0∥2 mà hàm ở vế phải bị chặn trên trên S nên
fα cũng vậy. Ta đặt M := sup{fα(s)| s ∈S} và K := sup{∥s∥ |s ∈S}. Với mỗi s∈ S và ys ∈ X sao cho f(ys) +α∥ys−s∥2 < M + 1 ta phải có ∥ys−s∥ < (M + 1−c α )1 2 =:β ⇒ ∥ys∥< K +β.
Bây giờ lấy bất kỳ s, s′ ∈ S và giả sử (yn) là dãy cực tiểu của fα(s) ta có fα(s′)−fα(s)≤ f(yn) +α∥s′−yn∥2−f(yn)−α∥s−yn∥2 +ϵn; với (ϵn = f(yn) +α∥s−yn∥2 −fα(s)→0) nên fα(s′)−fα(s)≤ α⟨s′−s, s′+s−2yn⟩+ϵn ≤ α∥s′−s∥(4K + 2β) +ϵn. Cho n → ∞ ta được fα(s′)−fα(s) ≤ α∥s′ −s∥(4K + 2β), ∀s, s′ ∈ S.
Vậy fα Lipschitz trên S.
Định lý 2.9. Giả sử f ∈ F và hàm fα khả dưới vi phân xấp xỉ tại điểm
x ∈X. Lúc đó, tồn tại duy nhất y¯∈X thỏa mãn các điều kiện sau
a) Nếu (yi) là dãy cực tiểu của hàm fα thì yi →y¯;
b) Hàm f(y) +α∥y−x∥2 đạt cực tiểu duy nhất tại y¯;
c) Đạo hàm Fréchet fα′(x) tồn tại và
∂Pfα(x) ={fα′(x)} ={2α(x−y¯)};
d) 2α(x−y¯)∈∂Pf(¯y).
Chứng minh. Giả sử ξ ∈ ∂Pfα(x), tồn tại η >0, σ ≥0 sao cho
Lấy dãy cực tiểu (yn) bất kỳ của fα(x) ta có
ϵ2n := f(yn)+α∥x−yn∥2−fα(x)→ 0; fα(y)≤ f(yn)+α∥y−yn∥2
. (2.11) Thay (2.11) vào (2.10) ta nhận được
⟨ξ, y −x⟩ ≤ 2α⟨x−yn, y−x⟩+ϵ2n+ (α+σ)∥y−x∥2 ⇒ ⟨ξ −2α(x−yn), y−x⟩ ≤ ϵ2n+ (α+σ)∥y−x∥2 , ∀y ∈ B(x, η). Chọn y =x+ϵnv với v ∈ S(0, η) ta được ⟨ξ −2α(x−yn), v⟩ ≤ ϵn+ (α+σ)ϵn∥v∥2 , ∀v ∈S(0, η). Suy raξ−2α(x−yn)→0hay yn →y := x− 1 2αξ(⇒a). Vìf nửa liên tục dưới nên f(y) +α∥y −x∥2 = fα(x)(⇒ b). Do định nghĩa của y nên 0 ∈ ∂P(f(·) +α∥·−x∥2)(y) =∂Pf(y) + 2α(y−x)⇒ 2α(x−y)∈ ∂Pf(y)(⇒d). Cuối cùng fα(x)−fα(y)≥ α∥x−y∥2−α∥y−y∥2 = 2α⟨x−y, x−y⟩ −α∥x−y∥2 , suy ra −2α(x−y)∈ ∂P(−f)(x). Do Mệnh đề 2.6 ta suy ra c).
Định lý này cho ta một tính chất rất thú vị của hàm fα là tại mỗi điểm x ∈ X ta có, hoặc ∂Pfα(x) = ∅ hoặc fα khả vi Fréchet tại x và
∂Pfα(x) ={fα′(x)}.