giải tích tuyến tính

Chơng III Giải tích tuyến tính trong không gian định chuẩn Đ12: Không gian định chuẩn Ta tiếp tục xét loại không gian tuyến tính có khoảng cách( và loại khoảng cách này phù hợp theo một nghĩa nào đó với các phép toán tuyến tính) nhng lần này ở một độ tổng quát hơn: Chuẩn không đợc định nghĩa dựa vào tích vô hớng mà đợc địn nghĩa trực tiếp: 1. Chuẩn và không gian định chuẩn: Định nghĩa 1: ánh xạ từ không gian tuyến tính N vào tập hợp R + biến gọi hàm định chuẩn( trên N) nếu nó thoả mản các điều kiện sau 1, x = 0 ki vf chỉ khi x = 0 2, x= x; 3; x +y x+y Trong trờng hợp N nó hoàn toàn định chuẩn với mỗi x thì x thì n đợc gọi là chuẩn hay độ lớn của x. Nếu chuẩn xác định của tích vô hớng thì nó đựơc gọi là chuẩn Enclicle Bổ đề: Điều kiện cần và đủ để không gian định chuẩn thực n là không gian Enclicle là: Với mọi xm y N đều có: x +y 2 x - y 2 =2( x 2 +y 2 ) (1) Chứng minh: Giả sử E là không gian Enclicle. Khi đó vế trái của (1) hằng y,yy,x2x,xy,yy,x2x,xyx,yxyx,yx 1 ++++=+++ Do đó bằng vế phải, tức là (1) đúng đảo lại, giả sử có(1). Khi đó ta đặt ( ) 22 yxyx 4 1 y,x += Khi đó hiển nhiên <0,0> = 0. Ngợc lại, giả sử < x,x> = 0 nên x = k. nh vậy điều kiện ở định nghĩa vô hớng thoả mản: Tiếp theo, hiển nhiên < x, y> = < y, x>. Bây giờ ta xét biểu thức sau: f(x, y, z) = 4[ < x+ y,z > - x , z -y, z . ta có f(x, y, z) = x + y + z 2 - x + y - z 2 - x +z 2 + x -z 2 - x +z 2 - y +z 2 + y - z 2 (2) Từ (1) ta có: x + z + y 2 + x + z - y 2 = 2(x + z 2 + y 2 ) Hay x + z + y 2 =2(x + z 2 + y 2 ) - x + z + y 2 (3) Và x + z + y 2 = x - z - y 2 = 2(x + z 2 + y 2 ) Hay: x - z + y 2 = 2(x + z 2 + y 2 )- x - z - y 2 (4) Thế (3),(4) vào 2 ta đợc: F(x, y, z) = 2(x + z 2 + y 2 - x - z + y 2 2(x - z 2 + y 2 ) + x - z + y 2 - x + z 2 + x - z 2 - y + z 2 + x - z 2 Hay: f(x, y, z) = x + z 2 - x y + z 2 - x - z 2 + x - z - y 2 - x + z 2 + y - z 2 Cộng (2) với (3) rồi chia đôi, ta có: F(x,y,z) = 1/2(x y + z 2 + x y + z 2 - y + z 2 + y - z 2 = x 2 + y + z 2 - x 2 - y - z 2 - y + z 2 + y - z 2 từ đó suy ra z,yz,xz,yx +=+ . Tức là điều kiện 2 cực định nghĩa tích vô hớng thoả mản: Tiếp theo, với mỗi cặp x, y, sét g(t) = y,xtty,x ta có: G(0) = 0,x = ( ) 0xx 4 1 22 = tức là y,x0y0,x = Tiếp theo: G(-1) = y,x + y,x = 0 Hay y,x)1(y)1(,x 2 = do đó với moi n nguyên ta có: y,xny,xny .y,x)yy()1(,xny,x ==+=+== Với lấy tuỳ thuộc dấu của n Lại có( với p, q nguyên và q 0 y,x q p y y 1 ,xy q p y q 1 xpy q p ,x === Và do tính liên tục ta có: y,y,x = với moi x N và R. Từ đó suy ra N là không gian Enclile bổ đề đã đợc chứng mính. Sau đây là vài ví dụ tiêu biểu về không gian định chuẩn phi Enclile 1. Trong không gian / R, đặt tơng ứng với mỗi = ( a 1 ,a n ) một số không âm thanh a 1 = max i = 1 n a 1 , ta có một ta có một chuẩn và khi đó / R n trở thành không gian định chuẩn( phi Enclile 2. Trong không gian C [a,b] các hàm liên tục trên [ a,b] đặt )x(fmaxf ]b,a[ 1 ơ = Ta cũng biến C [a,b] thành không gian định chuẩn. Không gian này thờng không phải không gian Enclile. Thật vậy với f, y C [a,b] Trong đó f(x) = x, y(x) = 1 x thì f(x) + y(x) = 1, f(x) y(x) = 2x -1 nên 211yfyf 22 =+=++ Và ( ) ( ) 4112yf2 22 =+=+ Nên không thoả mản (1) 3. Không gian banach: Định nghĩa 2: Không gian định chuẩn đầy đủ( nh trờng hợp riêng của không gian metric) đợc gọi là không gian Banach Tên gọi này đợc đặt để ghi công nhà toán học ba lan S. Banach, nền móng cho giải tích hiện đại. Định lý 1: Bao đầy đủ của không gian định chuẩn N( không đầy đủ) là không gian Banach và là không gian con tuyến của B Chứng minh: giả sử N là không gian định chuẩn. Khi đó đơng nhiên bạn đầy đủ. Vấn đề chính là ở chỗ ta phải chứng minh rằng cũng là không gian định chuẩn( vì sự mở rộng thành bao đầy đủ là thủ tục thuần tuý Metric, và ta phải chỉ ra rằng sự mở rộng quan hên giữa chuẩn và các phép tính đại số) Trớc hết, ta chứng tỏ B cũng xcó thể coi là không gian tuyến tính. Cần nhớ rằng mỗi phần tử của b đều là giới hạn của một day điểm thuộc N. Với a = limx n , b = limy n , (x n , y n , N), để chứng tỏ rằng dãy { x n ,+ y n } cùng hội tụ. T ý hiệu giới hạn cuả dãy này là a + b và gọi đó tổng của a và b. Tiếp theo dãy {x n } cũng hội tụ v à giới hạn của nó là a. Nh vậy, các phép tính đã đựơc mở rộng sang B. Ta chứng minh rằngkhi đó B vẫn là không gian tuyến tính chẳng hạn trong B có phần tử 0 đã có sẵn trong n. Thật vậy, với t cách là phần tử của B, ta coi D = lim0 n , với 0 n = 0 N. khi đo a + 0 = lim(x n + 0 n ) = lim a, . Các điều kiện khác đổi mới không gian tuyến tính cũng đựoc kiẻm tra đơn giản nh vậy. Còng việc n là không gian tuyến tính cảu b là hiển nhiên. Tiếp theo, khi chứng minh định lý về bao đầy đủ của không gian metric, thực chất t 1 đã đặt d (a,b) = lim d(x n , y n ) ở đây ta có: d(a,b) = limx n y n do đó d(a, 0) = lim x n . Vì vậy, để mở rộng chuẩn từ N toàn bộ ta chỉ việc lấy a = d(a, 0) = limx n Khi đó ánh xạ biến mọi a B thành a thoả mản mọi điêù kiện chuẩn,Từ đó suy ra (đpcm) Cũng dể thấy ràng bao đầy đủ của không gian Enclidcc là không gian Hitbôit Một ví dụ về không gian Banach vô hạn chiều là không gian C [a,b] với chuẩn f= max [a, b] f(x). Thật vậy, giả sử f n là dãy cơ bản trong C [a, b] . Khi đó với mọi > 0 đều tồn tại n 0 sao cho khi m, n 0 thì f m - f m < hay max [a,b] f m (x) f n (x) Vì vậy với mỗi x thì dãy số { f n (x)} hội tụ. Ký hiệu giới hạn của f n (x) là f(x). Do sự hội tụ này là điều nên hàm giới hạn f cũng liên tục. Tức là f C [a,b]. Hiển nhiên f n f theo chuẩn trong C [a,b] . Vậy C [a, b] có tính đầy đủ, tức là C [a,b] (với chuẩn nh trên) là không gian Banach Bài tập: chứng minh rằng trong không gian định chuẩn vô hạn chiều, các hình cầu đều không hoàn toàn bị chặn. Đ13: Phiếm hàm tuyến tính liên tục ở bài 2, ta đã nhận xét các phiếm hàm tuyến tính nói chung nh trờng hợp đặc biệt của ánh phán xạ tuyến tính. Khi đa ra khái niệm giới hạn hoặc khái niệm về tính đóng mở vào không gian, mới quan tâm chủ yếu của ta sẽ tập trung vào các ánh xạ liên tục, mà ở đây là phiếm hàm tuyến tính liên tục(PHTTLT) 1. Điều kiện để phấn đấu hàm tuyến tính là liên tục: Trớc hết, ta nhận xét rằng để một phiếm hàm tuyến tính là liên tục, chỉ cần nó liên tuịc tại 0. thật vậy giả sử f là phiếm hàm tuyến tính trên không gian định chuẩn f và liên tục tại 0. Lấy ra bất kỳ thuộc N và là số dơng tuỳ ý.Ki đó sẽ tồn tại > 0 sao cho khi x < f(x) < (do f liên tục tại 0). Do đó, nếu x - a < thì f(x - a) < hay là f(x ) f( a) < , tức là f liên tục tại a (đpcm). Định lý 1: Điều kiên cần và đủ để phiếm hàm tuyến tính f liên tục là: f bị chặn trên một hình cầu B nào đó với tuyến tính tức là tồn tại m > 0 sao cho với mọi x B đều có f(x) M Chứng minh rằng: giả sử f liên tục. Khi đó với = 1 sẽ tồn tại sao cho khi X B (0,) thì f(x) < , Tức là f bị chặn trên B (0, ) Ngợc lai: giả sử f bị chặ trên hình cầu B (0, R). Khi đó tồn tại M 0 sao cho với mọi x B (0,R) ta có M)x(f Do tính tuyến còn nên từ đây suy ra rằng khi x B (0; n R ) thì n M )x(f Tức là nếu x n 0 thì f(x n ) 0 và do đó liên tục ( mọi nơi), (đpcm) Nhận xét: Cũng dể nhận thấy rằng tính liên tục tại 0 tơng đơng với tính liên tục tại 1 thời điểm tuỳ ý cho trớc và tính bị chặn trên một hình cầu với toàn ở D tơng đơng với tính bịo chặn trên mỗi hình cầu tuỳ ý( tâm và bán kính đều tuỳ ý) Ta xét một số vị dụ về phiếu hàm tuyến tính không liên tục. Trong C [0,1] xét dãy f n (x) = x n . ta có giới hạn là hàm đồng nhất bằng 0 ( nếu xét tính vô hớng 0 1n2 1 dxxy,f 1 0 n2 + == Tức là f n có giới hạn là hàm tính đồng nhất bằng 0 ( Nếu xét tích vô hớng = 1 0 )dx)x(y)x(fy,f Tuy nhiên với mọi phiếm hàm tuyến tính )1(f)f( = thì 1)f( n = không có giới hạn là 0)1()( == 2 .Chuẩn của phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian liên hợp: Nếu f là phiếm hàm tuyên tính liên tục trên không gian định chuẩn N thì tập hợp A các số )x(f với x thuộc hình cầu đơn vị B (0, 1), tức là 1x , là tập hợp bị chặn. Ta gọi Sup A là chuẩn của PHTTLT f và ký hiệu là f Nh vậy f 1ũp sup = = )x(f x )x(f sub)x(fsubf 0x 1x = === Bài tâp: Chứng minh rằng f là loại inf imn cảu tạp hợp các số C sao cho : xC)x(f Với mọi x N Tiếp theo, xét tâp hợp N gồm mọi PHTTLT trên không gian định chuẩn N. Trên N ta định nghĩa phép cộng và phép nhân PHTTLT với một số thực hoặc phía) nh sau: (f+ ( ) += )x(x)x)( ( )( ) ( ) xf.xf = Khi đó N * sao trở thành không gian tuyến tính. Dễ thấy rằng hàm biến khác thành f là hàm định chuẩn. Vì vậy,(N * , . ) là hàm luôn định chuẩn. Ta gọi nó là hàm không gian liên hợp của N. Định lý 2: ( N * , . ) luôn đầy đủ. Chứng minh: Cho { f n } là dãy cơ bản trong N * . Khi đó với mọi > 0 đều tồn tại n 0 sao cho khi m,n n 0 thì < nm ff do đó. x.x.ff)x(f)x(f nmnm < nh vậy, với mọi x N thì dã { f n (x) } đều hội tụ. Đặt lim f n (x) = f(x). khi đó ( ) ( ) ( ) )y(fxf)]y(f)x(flim[yxflimyxf nnn +=+=+=+ Do đó, f là ánh xạ tuyến tính . Tiếp theo, do x.)x(f)x(f nm < suy ra x.)x(f)x(f n < B (0;1) cũng bị chặn trên B (0;1) hay f cũng là PTTTLT, tức là f N * . ngoài ra, từu (2) lại suy ra ( với x = 1) f - f n Với n n 0 . Do đó f n f n trong N * . Vì vậy N * là đầy đủ (đpcm). Định lý 3: Nếu N là không gian định chuẩn (không đầy đủ) và N là bao đầy đủ của nó thì N * và * N là đẳng cự (hay coi nh trùng nhau). Chứng minh: Lấy f N * , tức là f xác định trên N. Vì mỗi phần tử x N đều là giới hạn của một dãy điểm trong N nên có thể thác triển f lên toàn bộ N sao cho f vẫn là liên tục bằng cách đặt f(x) = limf(x n ) (nếu x n N và x n x). Rõ ràng f vẫn là phiếm hàm tuyến tính (liên tục). Vì vậy coi nh f N * . Ngợc lại, nếu f N 8 thì rõ ràng phiếm hàm thu hẹp của f lên N vẫn là phiếm hàm tuyến tính liên tục. Từ đó suy ra hai tập hợp N và * N coi nh trùng nhau. Vì việc thác triển hay thu hẹp không ảnh hởng đến chuẩn, nên N và * N , với t cách không gian định chuẩn là một không gian liên hợp của không gian Banach B nói chung không đẳng cự với B. Điều này xảy ra ngay cả trong trờng hợp hữu hạn chiều. Để chứng tỏ điều đó, ta hãy xét không gian R n với chuẩn sau: với x = (x 1 , x n ) thì: i ni xx , .1 max = = (3) Vì mỗi phiếm hàm tuyến tính f R n* đều có thể cho bởi công thức dạng: f(x) = a 1 x 1 + a n x n (4) Phiếm hàm f có thể đồng nhất với phần tử a = (a 1 a n ), Nh vậy về mặt tập hợp, có thể coi nh R n* cũng là R n . Tuy nhiên, về mặt khoảng cách (hay chuẩn) thì ta không thể coi hai không gian này là một. Thật vậy, theo định nghĩa, ta có: ( ) = = = = == == n i n i i x n i xx axaxaxff 1 1 11 1 1 11 11 maxmaxmax Mặt khác, nếu lấy x = (x 1 , x n ) với x i bằng 1 nếu a i 0 và x i bằng -1 nếu a i < 0 thì ( ) == === n i i n i i aax 11 1 fnnêxfvà Tức là qfq qaq. Do đó R n* R n . Nhận xét: Có một sự liên quan hết sức thú vị giữa chuẩn trong R n và trong R n* nh sau: với x = (x 1 , x n ) R n và f R n* xác định bởi bộ (a 1 , a n ) thì: 1. Nếu = == n i ii i afthixx 1 max (nh đã thấy) 2. Nếu i n i i afthixx max 1 == = 3. Nếu 1 1 1 11 =+ = = == q afthixx q n i q i n i i p 1 với Đặc biệt, với P = 2 thì q = 2 (và cả hai chuẩn đều là chuẩn Euclide). Trong trờng hợp này coi nh R n* = R n . Bạn đọc hãy tự chứng minh các khẳng định 2 và 3 3. Định lý về thác triển phiếm hàm tuyến tính và hệ quả. Trớc hết, ta nên ra khái niệm phiếm hàm lồi bởi định nghĩa sau. Định nghĩa 1: ánh xạ P từ không gian tuyến tính L vào R + đợc gọi là phiếm hàm lồi, nếu: 1. P(x+y) P(x) + P(y) (x,y L) 2. P( x) P(x) (x L, R (hoặc C) Định nghĩa 2: Ta nói phiếm hàm tuyến tính f trên L quy thuận theo phiếm hàm lồi P (cũng trên L) nếu với mọi x L đều có f(x) P(x). Định lý 4: Cho P là phiếm hàm lồi trên L và f 0 là phiếm hàm tuyến tính trên không gian con L 0 của L. Giả sử trên L 0 thì f 0 quy thuận theo P. Khi đó, tồn tại phiêm hàm tuyến tính f trên L sao cho: 1. f(x) = f 0 (x) với mọi x L 0 ) 2. f quy thuận theo P trên toàn bộ L. (Phiếm hàm f thoả mãn điều kiện 1, gọi là thác triển của f 0 lên L và có thể vẫn ký hiệu là f o ) Ta công nhận định lý này Phần chứng minh có thể tìm trong hầu hết các giáo trình về giải tích hàm (hay giải tích hiện đại). Bây giờ ta áp dụng định lý cho trờng hợp L là không gian định chuẩn. Xét trờng hợp f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian con L 0 . Khi đó f có một chuẩn trên L 0 là qfq và có ta có f(x) f 0 . x với mọi x L 0 . Theo định lý trên thì f có thể thác triển lên toàn bộ L sao cho: qf(x)q qf 0 q . qxq (5) Với mọi x L. Nhng khi đó, trên B(0,1) trong L, f vẫn bị chặn và chuẩn của f trên cả L vẫn là qf q = qfq 0 vẫn là qf q = qfq 0 . Nói cách khác, ta có thể thác triển f sao cho nó là PHTTLT trên toàn bộ L, đồng thời giữ nguyên chuẩn nh cũ: Hệ quả. Nếu L là không gian định chuẩn thì L * có đủ nhiều phần tử, nghĩa là: với mọi x 1 , x 2 L (x 1 x 2 ) đều có f L * sao cho f(x 1 ) f(x 2 ). Chứng minh: Chỉ cần chứng tỏ nếu x 0 0 thì tồn tại f L * sao cho f(x 0 ) 0. Thật vậy, trên L 0 = { x 0 R} (hoặc L 0 = { x 0 C) lấy f( x 0 ) = . Khi đó f PHTTLT trên L 0 thác triển f lên toàn bộ L sao cho f giữ nguyên chuẩn. Khi đó f L * lại có f(x 0 ) = 1 0 nên hệ quả đã đợc chứng minh. Bài tập: 1. Tìm chuẩn của PHTT 0 xf trên { } RxL = 00 (khi L là không gian tuyến tính thực). 2. chứng minh rằng mọi phiếm hàm tuyến tính trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều liên tục. Đ14. Không gian liên hợp của không gian Hilbert Ta quay lại trờng hợp đặc biệt: Xét các PHTTLT trên không gian Euclide nói chung và không gian Hilbert nói riêng. Một trong những kết quả quan trọng và thú vị sẽ là: không gian liên hợp của không gian Hilbert có thể coi là chính nó. 1. Bổ đề về tính đóng của nhân Bổ đề: Phiếm hàm tuyến tính f trên không gian Hilbert H là liên tục khi và chỉ khi Kerf là tập hợp đóng. Chứng minh: Giả sử f liên tục lấy {x n } trong Kerf và giả sử x n a. Ta phải chứng tỏ a Kerf. Thật vậy, ta có: f(a) = 0 hay a Kerf. Ngợc lại: Giả sử Kerf đóng ta cần chứng tỏ f liên tục tại O. Xét dãy x n hội tụ tới 0. Vì Kertf đóng nên tồn tại h Kerf. Khi đó, mỗi x n biểu thị duy nhất dới dạng x n = n h + y n với y n Kerf. Vì 2222 . nnn yhx += nên suy ra 00 n yvà n . Mặt khác, f(x n ) = n f(h) + f(y n ) = n f(h) nên f(x n ) 0, tức là f liên tục tại 0 (đpcm). 2. Không gian liên hợp của không gian Hilbert Trớc hết, ta chứng minh định lý sau. Định lý 1: Mỗi phiếm hàm tuyến tính f liên tục trên không gian Hilbert H đều đợc xác định bởi một phần tử duy nhất a H theo nghĩa sau: với mọi x H đều có: f(x) = <a, x>(1) Chứng minh: Xét trờng hợp H là không gian hilbert thực. Với f là phiếm hàm đồng nhất bằng 0, ta thấy a = 0, khi đó có (1), Dễ thấy không có phơng án chọn a khác. Với f không đồng nhất bằng 0 thì đặt F = Kerf (đây là không gian con đóng) va lấy b F sao cho qbq = 1. Khi đó, mỗi x H đều biểu thị duy nhất dới dạng: x = b + y, với R và y F, do đó: f(x) = f(b) + f(y) = f(b) (2) Lấy a = kb, ta sẽ có: <a,x> =<kb, b + y> =k <b,b> + k<b,y> = k (3) Nh vậy, muốn có (1) chỉ việc lấy k = f(b) ( 0) hay là a = f(b).b Cách lấy a này là duy nhất. Thật vậy, giả sử <a,x> = <a,x> (với mọi x H). Khi đó <a-a,x> = 0 nên a a trực giao với mọi x H. Suy ra a a = 0 hay a = a (đpcm) Chú ý: đối với trờng hợp H là không gian Hilbert phức, chỉ việc lấy k = f(b) hay a = f(b).b (vì thay cho hệ thức (3), ta có <a,x> = k<b,b> + k<b,y> = k) Nhận xét: Với mỗi a H, bằng cách đặt: f a (x) = <a, x>. ta đợc một PHTTLT f a trên H. Định lý 1 cho thấy tập hợp các PHTTLT fa (a H) vừa vặn trùng với H * . Tiếp theo, ta có định lý sau: Định lý 2: H * đẳng cực với H. Chứng minh: Xét ánh xạ F : H H * biến mỗi a H thành fa xác định nh công thức (4). Rõ ràng F là song ánh. Tiếp theo ( ) ( ) )()()()( )()(,, ,)()( xbFaFxff xfxfxbxa xbaxfxbaF ba ba ba +=+= +=+= +==+ + Suy ra: F( a + b) = F(a) + F(b) Vậy F là đẳng cấu (tuyến tính). Ta còn phải chứng tỏ qaq = qfaq Thật vậy, ta có (với a 0) axaxaxff xx a x a === === .sup,sup)(sup 111 Mặt khác, với a a x = thì axa = , nên afaxa a x == = nnê,sup 1 Từ đó suy ra đpcm. 3. Không gian liên hợp của không gian Euclide (không đầy đủ) Cho E là không gian Euclide, H là bao đầy đủ của E, tức là H là không gian Hilbert. Theo định lý 3 ở bài 13 thì E * và H * là đẳng cự hay coi nh trùng nhau. Mặt khác, H * = H nên ta có E * = H hay E * = E. Nh vậy, không gian liên hợp của không gian Euclide trùng với bao đầy đủ của nó. Đ15. Toán tử tuyến tính liên tục Cũng nh đối với phiếm hàm tuyến tính, khi đụng chạm đến các vấn đề về ánh xạ tuyến tính trong không gian định chuẩn, mối quan tâm của ta hớng chủ yếu vào các ánh xạ liên tục, hay toán tử liên tục. Trong phần này, các toán tử tuyến tính liên tục (đôi khi đợc gọi ngắn gọi là toán tử) đợc ký hiệu bởi các chữ cái A, B và ảnh của phần tử x qua toán tử A đ ợc ký hiệu nh tích: A x . 1. Tính liên tục và tính bị chặn Tính liên tục của toán tử A từ không gian định chuẩn L. vào không gian định chuẩn M đợc coi nh trờng hợp riêng của khái niệm về tính liên tục áp dụng cho ánh xạ nói chung. Tuy nhiên khi nói đến tính bị chặn của toán tử tuyến tính, ta không ngụ ý tập hợp {Ax x L} là bị chặn. Cụ thể, ta nói toán tử A bị chặn nếu ảnh của mọi tập hợp bị chặn đều là tập hợp bị chặn. Điều này tơng đơng với yêu cầu của ảnh của hình cầu đơn vị B(0,1) là bị chặn. Vẫn nh trờng hợp đặc biệt là phiếm hàm tuyến tính, toán tử tuyến tính là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn (Bạn đọc tự chứng minh)! Cũng dễ kiểm tra rằng tổ hợp tuyến tính của hai toán tử liên tục từ L vào M cũng liên tục, và tích hai toán tử liên tục (theo nghĩa tác dụng liên tiếp) cũng là toán tử liên tục. Sau đây ta xét vài ví dụ về toán tử liên tục và không liên tục Ví dụ 1: Xét không gian C [a,b] với tích vô hớng <f,g> = b a dxxgxf )()( xét toán tử A từ C [a,b] vào C [a,b]. Xác định bởi hàm liên tục hai biến C [a,b]x[a,b] nh sau: Nếu f C [a,b] thì ảnh của nó là hàm g = Af sao cho: ( ) == b a dyyfyxxAfxg )(),()()( Ta sẽ chứng tỏ A là toán tử liên tục, tức là nếu qf n q 0 thì qg n q = qAf n q 0. Thật vậy, với [ ] [ ] ( ) yxM baxba ,max ,, = , ta có: ( ) )1())()(.()( )(),()(, 22 2 2 2 2 2 dyyfabMdxdyyfM dxdyyfyxdxxAfAfAfAf b a n b a n b a b a n b a b a nnnn = === Vì 1)(,)( 2 2 = xeefdyyf n b a n với Trên [a,b] nên: 22 2 .)( efdyyf b a n Do đó, )(0)( 2 nKhidyyf b a n Vì vậy, từ (1) suy ra qAf n q 0 (đpcm) Ví dụ 2: Xét tập hợp: E mọi dãy số thực vô hạn nhng trong đó chỉ có một số hữu hạn các phần tử khác 0, tức là các dãy có dạng: a = (a 1 , a n ) Trong đó tồn tại n 0 sao cho khi n n 0 thì a n = 0. Trong E cũng xét tích vô hớng nh trong l 2 (có thể coi E) là không gian con tuyến tính của l 2 ) Xét toán tử A từ E và E nh sau: nếu a = (a 1 , a 2 a n ) thì Aa = (a 1 , 2a 2 na n ) Rõ ràng A là toán tử tuyến tính. Xét dãy {x (n) } trong đó x (n) = (0, 0, n 1 , 0 ) Với n 1 ở vị trí thứ n. Ta có: 0 1 )( = n x n . Trong khi đó vì Ax (n) = (0,0,1,0 ) nên 1 )( = n Ax (không tiến đến 0) vì vậy A không liên tục. 2. Chuẩn của toán tử Nếu A là toán tử (bị chặn) thì tập hợp các giá trị qAxq, với qx 1q là bị chặn. Vì vậy tập hợp các giá trị qAxq với qx 1q cũng bị chặn. Ta đặt: AAxup 1ũp = = (2) Và gọi A là chuẩn của A. Dẽ thấy x Ax upA 0x = nên: x.AAx (3) Từ đó suy ra: ( ) ( ) xBABxAxBxAxxBA ++++ Do đó với x 0 thì: ( ) BA x xBA + + suy ra BABA ++ (4) Ngoài ra: A.kkA = (5) [...]... với mọi x L và f L* Khi đó, một vài tính chất đã nêu của toán tử liên hợp vẫn đợc giữ nguyên Tuy nhiên, ta sẽ không quan tâm đến trờng hợp tổng quát này * * Đ16 Toán tử khả nghịch Thuật ngữ Toán tử khả nghịch là một cách nói khác của thuật ngữ ánh xạ đẳng cấu ( tuyến tính) Nh ta biết, nếu f là ánh xạ đẳng cấu từ không gian tuyến tính L vào không gian tuyến tính M thì ánh xạ ngợc f-1 củng là ánh... f(M,N) có thể coi nh không gian tuyến tính định chuẩn b Nếu N đầy d thì f(M,N) đầy đủ Nhận xét: nếu A L( M, N )vàB L( N, P ) thì BA Ê( M P ) và BA A B 3 Vành toán tử: Bây giờ ta quan tâm đến không gian Ê(M, N) và ký hiệu lại là Ê( M ) Ngoài 2 phép toán tính tuyến trong Ê( M ), Còn có một phép toán nhan hao toán tử với nhau Dễ chứng minh rằng phép nhân này có các tính chất sau: 1, A(BC) = (AB) C... không giao toán, nhng có một đơn vị là toán tử đồng nhất E( Ex = x) 4 Phép liên hợp: ở đây ta nêu ra khái niệm toán tử liên hợp của một toán tử tuyến tính Trớc hết ta xét trờng hợp toán tử trong kông gian Encliede Định nghĩa: Cho A và A là 2 toán tử( tuyến tính và liên tục) Trong không gian Enclide E ta nói A là ký toán tử liên hợp của A, nếu mọi a, y E đều có x, Ay = A' xy Toán tử liên hợp của A thờng...Tiếp theo, do: (BA )(x ) Nên: = B ( Ax ) B Ax B A x (6) BA B A 2 Không gian các toán tử: Xét tập hợp L( M, N) gồm mọi toán tử tuyến tính liên tục (TTTTLT) từ không gian định chuẩn M vào không gian định chuẩn N Tập hợp này cũng là không gian tuyến tính với phép cộng và phép nhân với một số xác định nh sau: (A+B) x = Ax + Bx; ( A ) x = ( Ax ) Tiếp theo định nghĩa chuẩn của toán tử A nh... ra: Với mỗi x thì dãy { Anx } đều có giới hạn trong N Xét ánh xạ A M N biến đổi mỗi x thành lim Anx Ta có A(x + y ) = lim A n (x + y ) = lim A n x + lim A n y = Ax + Ay Do đó A cũng là toán tử tuyến tính Tính liên tục của A cũng gần nhau nh hiển nhiên Vì vậy, mọi dãy cơ bản trong Ê( M,N) đều có giới hạn Suy ra Ê(M,N) đầy đủ Bài tập: Cho M là tập hợp tuỳ ý, N là không gian định chuẩn Ký hiệu ( M,... đẳng cấu ở đây, ta sẽ quan tâm đến trờng hợp L và M là hai không gian định chuẩn và f là đẳng cấu liên tục Toán tử f-1 còn gọi là toán tử ngợc ( hay nghịch đảo) của f 1 Tính liên tục của toán tử ngợc L Định lý 1: Nếu A là toán tử (tuyến tính) khả nghịch và liên tục từ không gian Banach M vào không gian Banach N thì A-1 củng liên tục Nói cách khác, nếu Al( M,N) thì A-1 l( N, M ) Định lý này gọi là định... x, A * y A ** y =0 Từ đây ta suy ra: Ay = A** = y với mọi y E, hay A** = A(đpcm) 2, (A+B)* = A* + b* _ 3, (KA)* = k A* 4, I* =I( i là toán tử đơn vị hay toán tử đồng nhất) Bạn đọc tự chứng minh các tính chất2,3,4 5, (AB)* =B* A* Thật vậy, ta có x, (AB )y = (AB ) x, y Mặt khác: x, (AB )y = x, (B ) = A x, By = B (A x ), y = (B A )x, y * * * * * * * Từ đó suy ra: (AB )* x, y ( )x, y (8) Do (8) đúng... ta nói toán tử tự liên hợp hay toán tử Hermite Trong không gian Rn, mỗi toán tử đợc thẻ hiện bởi ma trận, nếu y = Ax với x x= 1 x n y vày = 1 y n thì: n y 1 = a 1 ; x ; ( i = 1,2,n) y =1 Còn tích vô hớng n x, y = x i y i i =1 Chính alf xty theo ngôn ngữ nhân ma trận( Trong đó x là ma trận dong: Xt = (x1, x2,xn) khi đó nếu A* thể hiện bởi ma trận (a1j) thì đẳng thức A = A có dạng , , t *... hiện bởi ma trận chuyển vin của ma trận cuả A Toán tử đối xứng liên hợp thể hiện bởi ma trận đối xứng Bài tập: Xác đinh dạng của ma trận phép liên hợp đối với các toán tử trong Cn phép liên hợp có các tính chất sau: 1, (A*)* =A Thật vậy theo định nghĩa thì: x, Ay = A x, y (6) Với mọi x,y E Thế A * vào chỗ của A trong(6), khi đó A* thay đổi bởi A** = (A*)* * x, A * y = A ** x, y (với mọi x,y E) Nhng... chuẩn hội tụ tới 1 k= 1 Vì a liên tục nên Ax = Ax1 + Ax2 + + Axk + Y1++yk = y, tức là Mặt khác ta có: 1 x k x k 3n 0 y 2 k 1 1 2 k 1 k = 3n 0 y ; Tức là có (1) Từ đó suy ra A-1 liên tục( đpcm) 2 Tính mở của tập hợp các toán tử khả nghịch Định lý 2: tập hợp các toán tử khả nghịch từ không gian banach M vào không gian Banach là mở trong L(M,N) Chứng minh: Ta sẽ chứng minh rằng A khả nghịch và b . Chơng III Giải tích tuyến tính trong không gian định chuẩn Đ12: Không gian định chuẩn Ta tiếp tục xét loại không gian tuyến tính có khoảng cách(. Đ13: Phiếm hàm tuyến tính liên tục ở bài 2, ta đã nhận xét các phiếm hàm tuyến tính nói chung nh trờng hợp đặc biệt của ánh phán xạ tuyến tính. Khi đa ra