Bài viết này trình bày một phương pháp đơn giản mới để phân tích tuyến tính phản ứng của cọc đơn với mặt cắt ngang hình chữ nhật theo tải trọng thẳng đứng trong đất lớp. Các thuộc tính của mỗi lớp đất được giả định là không đổi, nhưng có thể khác nhau từ lớp đến lớp.
PHÂN TÍCH TUYẾN TÍNH C C TIẾT DIỆN CH NHẬT CH U T I TR NG Đ NG TRONG NỀN ĐẤT NHIỀU ỚP NGUYỄN VĂN VIÊN* NGHIÊM MẠNH HIẾN** TRỊNH VIỆT CƢỜNG*** Linear analysis of rectangular pile under vertical load in layered soil Abstract: This paper presents a new simple method for analyzing linear response of single pile with rectangular cross section under vertical load in layered soils The properties of each soil layer are assumed to be constant, but can vary from layer to layer The method is based on energy principles and variational approach proposed by Vallabhan and Mustafa (1996) with explicit solution by using finite element method in pile displacement approximation The solutions provide vertical displacement along the pile, vertical displacement of soil as a function of the radial distance at any depth, and equivalent stiffness of pile-soil system Effectiveness of the proposed method is verified by comparing its results to analytical solutions and 3D finite element analyses Keywords: Finite element method; Piles; Energy principle; vertical load GIỚI THIỆU * Phân tích tuyến tính cọc đơn dƣới tác dụng tải trọng đứng đƣợc sử dụng xác định độ cứng hệ cọc-nền đất tƣơng tác đất-nền móng-kết cấu Phân tích phi tuyến đồng thời dựa phân tích tuyến tính Đã có nhiều tác giả nghiên cứu giải toán cọc chiu tải trọng đứng theo phƣơng pháp giải tích phƣơng pháp số Đất đƣợc giả thiết đồng với đặc trƣng đàn hồi biến đổi tuyến tính theo độ sâu, nhiều lớp Poulos Davis (1968, 1980) [17][18] phân tích chuyển vị cọc đơn chịu tải trọng đứng đất đàn hồi lý tƣởng với phƣơng trình Mindlin (1936) [10] Butterfield Banerjee (1971) [3] giải đƣợc xác tốn cọc đơn chịu tải trọng đứng đàn hồi tuyến tính đẳng hƣớng dựa lời giải * ** *** 54 Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng, 81 Trần Cung, Cầu Giấy, Hà Nội Email: nguyenvienhau@gmail.com Khoa Xây dựng, trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng Mindlin tải trọng tập trung đàn hổi lý tƣởng Lời giải chuyển vị cọc Gibson (Gibson 1967) [6] mơ đun đàn hồi trƣợt biến đổi tuyến tính với độ sâu đƣợc đề xuất nhiều tác giả Randolph vả Wroth (1978) [20] đề xuất biểu thức hệ số theo lời giải xấp xỉ đƣợc sử dụng rộng rãi thực tế tính tốn Poulos (1979) [16] trình bày số lời giải áp dụng cho phân tích đất ba lớp Rajapakse (1990) [19] trình bày lời giải cho tốn đàn hồi dựa phƣơng pháp biến phân kết hợp với tích phân biên Guo Randolph (1997) [8] dựa nghiên cứu Randolph Wroth (1978) [20] kể đến ảnh hƣởng không đồng đến mối quan hệ hệ số đặc trƣng đàn hồi đất Guo (2000) [7] phát triển lời giải gần Guo vả Randolph (1997) [8] để kể đến điều kiện mô đun đàn hồi trƣợt khác không mặt Lời giải đƣợc biểu diễn theo hàm Bessel bậc số thực Lee cơng (1987) [14] trình bày lời giải ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 gần cọc chịu tải trọng đứng nhiều lớp Lee (1991) [11] sử dụng phƣơng pháp truyền tải trọng với hệ số đề xuất by Randolph Wroth (1978) [20] phân tích cọc đơn nhóm cọc đất nhiều lớp Lee Small (1991) [12] đề xuất lời giải tuyến tính cọc đứng hữu hạn lớp đất theo phƣơng pháp phân lớp Cọc đƣợc mơ hình phần tử chiều hai điểm nút Ứng xử liên tục nhiều lớp chịu lực tƣơng tác phần tử cọc tác dụng vị trí tiếp xúc cọc đất đƣợc tính tốn theo phƣơng pháp lớp hữu hạn Ai Yue (2009) [1] trình bày phân tích tuyến tính cọc đơn đất nhiều lớp sử dụng biến đổi Hankel phƣơng pháp sai phân hữu hạn để xác định chuyển vị cọc đất Lời giải đƣợc so sánh với lời giải Poulos Davis (1980) [18], Randolph Wroth (1978) [20] đất đồng nhất, Poulos Davis (1980) [18], Lee Small (1991) [12], Chin cộng (1990) [4], Guo cộng (1987) [9] đất hai lớp Ai Cheng (2013) [1] trình bày phƣơng pháp phần tử biên phân tích tĩnh cọc đơn chịu tải trọng đứng nhiều lớp theo phƣơng pháp giải tích Vallabhan Mustafa (1996) [25] đề xuất phƣơng pháp tính tốn gần cọc khoan nhồi đất hai lớp mũi cọc đặt bề mặt lớp đất thứ hai Phƣơng pháp dựa nguyên lý lƣợng với giả thiết trƣờng chuyển vị Phƣơng trình cân thu đƣợc từ tối thiểu hàm hay biến phân Lee Xiao (1999) [13], Seo Prezzi (2006) [22], Fidel (2014) [5] phát triển phƣơng pháp tính tốn Vallabhan Mustafa (1996) [25] đề xuất đất nhiều lớp Lee Xiao (1999) [13] xây dựng mối quan hệ chuyển vị đứng nội lực cọc số tích phân xác định việc đƣa vào điều kiện biên Phƣơng pháp giải lặp đƣợc sử dụng để xác định chuyển vị nội lực cọc Kết tính tốn Poulos (1979) [20] đất ba lớp đƣợc sử dụng để kiểm chứng với kết tính tốn theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn với độ mảnh cọc hệ số ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 độ cứng khác Seo Prezzi (2006) [22], Basu cộng (2008) [2] Seo cộng (2009) [23] trình bày lời giải phƣơng trình vi phân số tích phân xác định đƣợc cách sử dụng luật Cramer biểu thức tính lặp Salgado cộng (2013) [21] sử dụng nguyên lý biến phân để phân tích chuyển vị cọc đơn tiết diện tròn nhiều lớp có kể đến chuyển vị theo phƣơng đứng theo phƣơng ngang Cọc tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng gần đƣợc nghiên cứu Basu cộng (2008) [2] Seo cộng (2009) [23] dựa nguyên lý lƣợng biến phân Hàm suy giảm chuyển vị theo phƣơng cạnh cọc đƣợc giả thiết khác Lời giải xác định đƣợc biểu thức hệ số đất xung quanh thân cọc Quy trình tính tốn đƣợc tác giả đề xuất phức tạp Sử dụng số phƣơng pháp nhƣ phân tích cọc chịu tải trọng đứng gặp số khó khăn áp dụng thực tế phức tạp việc giải phƣơng trình vi phân quy trình tính tốn Đơn giản xác hai điều kiện quan trọng để phƣơng pháp tính đƣợc áp dụng rộng rãi thực tế Trong báo này, tác giả trình bày phƣơng pháp đơn giản kết hợp giải tích phƣơng pháp số phân tích cọc đơn tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng nhiều lớp (Nghiem, 2009) [15] Phƣơng trình cân dựa phƣơng pháp đề xuất Vallabhan Mustafa (1996) [25] phƣơng pháp phần tử hữu hạn Sự khác phƣơng pháp Vallabhan Mustafa (1996) [25], Lee Xiao (1999) [13], Seo Prezzi (2006) [22], Basu cộng (2008) [2], Seo cộng (2009) [23] phƣơng pháp đề xuất là: 1) biểu thức độ cứng tƣơng đƣơng cọc 2) quy trình tính tốn MƠ HÌNH TÍNH TỐN Xét cọc tiết diện chữ nhật có chiều dài L p với kích thƣớc cọc a b nhƣ trình bày hình Cọc chịu tác dụng tải trọng P đặt trọng tâm tiết diện, đất có n lớp nằm ngang Cọc xuyên qua m lớp đất mũi cọc đƣợc đặt vào đáy lớp đất thứ m Do có n m lớp đất nằm dƣới mũi cọc Chỉ số i đƣợc sử 55 dụng để mô tả đặc trƣng lớp đất thứ i bao gồm mô đun đàn hồi, Ei , hệ số Poisson, i , mô đun đàn hồi trƣợt, Gi Theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn, cọc đƣợc mô hình hóa thành nhiều phần tử nhƣ hình Phần tử cọc thứ j có chiều dài L j nằm lớp đất thứ i Hệ tọa độ trụ đƣợc sử dụng tính tốn với gốc tọa độ đặt trọng tâm tiết diện đỉnh cọc trục z có chiều dƣơng hƣớng từ xuống dƣới Phần tử cọc đất xung quanh đƣợc giả thiết đẳng hƣớng, tuyến tính chuyển vị vị trí tiếp xúc cọc đất liên tục w z chuyển vị theo phƣơng đứng cọc độ sâu z ; r hàm không thứ nguyên mô tả suy giảm chuyển vị cọc theo phƣơng bán kính kể từ tâm cọc Giả thiết r r rp r r với rp bán kính cọc Với giả thiết nhƣ trên, quan hệ biến dạng chuyển vị cọc đƣợc xác định nhƣ sau: u r r u r ur u r r r r u z dw z r z z dz u u u r r rz r r r d r u u w r z r z dr r z u z u r z (2) Mối quan hệ ứng suất biến dạng đất đƣợc viết dƣới dạng tổng quát theo định luật Hooke nhƣ sau: 0 r r 2G G 0 z 2G 0 z 0 G 0 r r rz 0 0 G rz 0 0 G z z Hình 1: Hệ cọc-đất QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ-ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG Giả thiết trƣờng chuyển vị quan trọng phƣơng pháp lƣợng Vallabhan Mustafa (1996) [25] Dƣới tác dụng tải trọng đứng, biến dạng theo phƣơng tiếp tuyến nhỏ so với biến dạng theo phƣơng đứng nên bỏ qua Salgado cộng (2013) [21] đề xuất phƣơng pháp kể đến biến dạng theo phƣơng bán kính, nhiên phức tạp nên biến dạng đƣợc bỏ qua Do chuyển vị cọc theo phƣơng bán kính giảm dần khoảng cách theo phƣơng bán kính tăng lên nên trƣờng chuyển vị đất đƣợc xấp xỉ theo biểu thức sau: (1) uz r , z w z r 56 (3) G số Lamé đất PHƢƠNG TRÌNH C N BẰNG Hàm hệ cọc-đất đƣợc định nghĩa tổng lƣợng nội lực ngoại lực j j N dw j 1 E j A dz kl kl 2a 2b 2 r drdz j 1 j 1 0 dz N L L (4) Pwk , z z0 E j mơ đun đàn hồi phần tử cọc thứ j , j m E j E p , j m E j Ei ; A diện tích tiết diện cọc; w j ,1 w j ,2 tƣơng ứng chuyển vị nút đầu nút cuối phần tử cọc thứ j ; P wk , z z tƣơng ứng tải trọng chuyển vị z z0 Năng lƣợng biến dạng đƣợc xác định theo biểu thức: 2 dw j 1 d kl kl i 2Gi G wj 2 dr dz (5) ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 kl kl ten xơ ứng suất biến dạng Thế biểu thức (5) vào biểu thức (4), tích phân , biến dạng đƣợc xác định nhƣ sau: z tọa độ địa phƣơng j đƣợc tính theo biểu thức: kj j (13) tj L j dw j E j A dz j 1 dz N Lj N dw d i 2Gi j Gi w j rdrdz dr j 1 dz rp Pwk , z z0 (6) rp a b bán kính tƣơng đƣơng cọc tiết diện chữ nhật Phƣơng trình cân hệ cọc thu đƣợc từ việc tối thiểu hay biến phân bậc phải không ( ) Phƣơng trình vi phân sau phần tử cọc thu đƣợc từ việc lấy biến phân theo biến w j : d 2wj E j A 2 i 2Gi rdr dz rp d 2 Gi rdr w j rp dr Hình 2: Phần tử Tối thiểu hàm cách lấy biến phân hàm theo biến , phƣơng trình vi phân cân đất xung quanh cọc thu đƣợc là: d 2 (7) dr dz k j wj (8) d k j 2 Gi rdr dr rp j 1 (10) XẤP XỈ CHUYỂN VỊ Theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn, chuyển vị đứng phần tử cọc đƣợc xấp xỉ chuyển vị hai đầu cọc (hình 2): wj N j ,1wj ,1 N j ,2 wj ,2 (11) w j ,1 w j ,2 tƣơng ứng chuyển vị đứng cọc nút đầu nút cuối phần tử cọc thứ j ; N j ,1 N j ,2 hàm dạng Các hàm dạng đƣợc xác định nhƣ sau: cosh j z sinh j L j cosh j L j sinh j z sinh j z sinh j L j ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 (16) j 1 rp sinh j L d (9) j i N N j ,2 Lj G w dz c t j E j A 2 i 2Gi rdr N j ,1 (15) N k j t j hệ số cắt nén đƣợc xác định theo: (14) d c tj d 2 r dr đó: Phƣơng trình (7) đƣợc viết gọn lại là: d wj Lj dw j dz dz i 2Gi (17) Dựa biểu thức xấp xỉ chuyển vị theo biểu thức (11), giá trị c d đƣợc tính tốn nhƣ sau: Lj N c G N i j 1 dz N j ,1w j ,1 N j ,2 w j ,2 4 Gi L j j j 1 4 w j ,1w j ,2 sinh L j j j sinh 4L j j w j,1w j,2 cosh L j j w2j ,1 w2j ,2 2 L j j sinh L j j Lj N d dN j ,1 2G i i j 1 dz w j ,1 dN j ,2 dz 2G sinh L 4L i j 1 i j j j j w j ,1w j ,2 cosh L j j (19) j 4 w j ,1w j ,2 sinh L j j w j ,2 dz N (12) (18) w2j ,1 w2j ,2 L j j sinh L j j 57 Phƣơng trình vi phân (14) có dạng phƣơng trình vi phân Bessel cải tiến lời giải cho phƣơng trình vi phân là: c1I0 r c2 K0 r (20) I hàm Bessel cải tiến dạng bậc không, K hàm Bessel cải tiến dạng hai bậc không Áp dụng điều kiện biên r rp , r vào biểu thức (20), lời giải cho phƣơng trình (14) là: K0 r (21) K0 rp Hệ số theo biểu thức (9) (10) đƣợc viết nhƣ sau: d k j 2 Gi rdr dr rp thứ j đƣợc viết nhƣ sau: K j u j F j Phƣơng trình (26) đƣợc viết lại dƣới dạng ma trận là: w j ,1 Pj ,1 K j w K w (27) j ,2 j 1 j ,2 Pj ,1 tải trọng đặt đỉnh phần tử cọc; K j 1 độ cứng tƣơng đƣơng phần tử cọc ( j 1) Giải phƣơng trình (27), chuyển vị đứng nút đầu nút cuối phần tử cọc là: Pj ,1 w j ,1 Kj w j ,2 K rp K rp K rp K 02 rp (22) Kj rp i 2Gi rp2 K 02 rp (23) K12 rp K 02 rp Giải toán Thế biểu thức (10) biểu thức (7) thu đƣợc biểu thức nhƣ sau: d2 w j ,1 wj ,1 N N j ,2 kij N j ,1 N j ,2 j ,1 dz w j ,2 wj ,2 (24) Tích phân biểu thức (24) theo phƣơng pháp Galerkin lý thuyết Green (Smith Griffiths, 2004) [24] thu đƣợc biểu thức ma trận độ cứng phần tử cọc nhƣ sau: t j j cosh j L j K j 1 sinh j L j w j ,1 (29) K j độ cứng tƣơng đƣơng phần tử cọc thứ j biểu thức (28) có dạng nhƣ sau: t j E j A 2 i 2Gi rdr tij t j j Gi rp2 Ej A (26) t j j cosh j L j sinh j L j t j j (30) sinh j L j t j j cosh j L j K j 1 sinh j L j Xét phần tử cọc cuối ngàm nút thứ 2, độ cứng tƣơng đƣơng phần tử đƣợc xác định theo biểu thức sau với K N 1 : KN t N N cosh N LN sinh N LN (31) cosh j L j sinh j L j sinh j L j K j t j j (25) cosh L j j sinh j L j sinh j L j K j ma trận độ cứng phần tử cọc thứ j Nếu tải trọng P đặt đỉnh cọc, quy trình tính tốn đơn giản sau đƣợc sử dụng để xác định độ cứng tƣơng đƣơng hệ cọc nền, chuyển vị nội lực cọc (Hình 3) Phƣơng trình cân phần tử cọc 58 Hình 3: Quy trình tính tốn tải trọng đặt đỉnh cọc Lặp lại q trình tính tốn độ cứng tƣơng đƣơng phần tử cọc từ N đến 1, độ cứng tƣơng đƣơng toàn hệ cọc độ ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 cứng tƣơng đƣơng phần tử cọc thứ Chuyển vị đỉnh cọc đƣợc tính tốn nhƣ sau: P wZ 0 w1,1 (32) K1 Vì chuyển vị nút thứ hai phần tử thứ j chuyển vị nút thứ phần tử thứ ( j 1) nên chuyển vị đƣợc tính tốn từ phần tử thứ đến phần tử thứ N theo biểu thức (31) Nội lực phần tử đƣợc tính tốn đồng thời với chuyển vị theo biểu thức sau: Pj ,1 w j ,1K j (33) Nếu tải trọng P đặt mũi cọc nhƣ trƣờng hợp thí nghiệm nén tĩnh O-Cell, điểm nhƣ trƣờng hợp tƣơng tác cọc nhóm đất phía phía dƣới điểm đặt tải đƣợc tính tốn riêng rẽ VÍ DỤ TÍNH TỐN Để kiểm tra mức độ xác phƣơng pháp tính tốn, số phân tích sau đƣợc thực để so sánh với kết phân tích theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn ba chiều Cọc Barrette tiết diện chữ nhật đồng có kích thƣớc a b 2.8m 1.0m , chiều dài 30m, mô đun đàn hồi 30GPa Đất đồng có mơ đun đàn hồi 30MPa, hệ số Poisson 0,3 Cọc chịu tải trọng 1000kN đặt đỉnh cọc Mơ hình tính tốn bao gồm mơ hình phần tử hữu hạn ba chiều sử dụng phần mềm SSI3D, mô hình theo lý thuyết đề xuất cho cọc chữ nhật 2,8mx1,0m, cọc tròn đƣờng kính 2,4m có chu vi tƣơng đƣơng, cọc tròn đƣờng kính 2,23m có diện tích tiết diện tƣơng đƣơng với tiết diện chữ nhật Kết tính tốn trình bày hình với sai số chuyển vị đỉnh cọc tính tốn theo phƣơng pháp đề xuất so với tính tốn theo phần tử hữu hạn ba chiều 25 Cọc tròn chu vi diện tích tiết diện có chuyển vị xấp xỉ với chuyển vị cọc chữ nhật Cọc Barrette tƣơng tự nhƣ nhƣng nằm có lớp đất từ xuống bao gồm lớp thứ nhất: chiều dày 5m, mô đun đàn hồi 30GPa; lớp thứ hai: chiều dày 10m, mô đun đàn hồi 60GPa; lớp thứ ba: đáy lớp sâu mũi cọc, mơ đun đàn hồi 90GPa Các lớp đất có hệ số Poisson 0,3 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 Hình 4: Chuyển vị cọc tiết diện chữ nhật đồng Kết tính tốn chuyển vị cho cọc chữ nhật ba lớp trình bày hình Tƣơng tự nhƣ đất lớp, sai số chuyển vị đỉnh cọc tính tốn theo phƣơng pháp đề xuất so với phân tích theo phƣơng pháp pháp phần tử hữu hạn 37 Sai số phù hợp với kết nghiên cứu theo Basu cộng (2008) hay Seo cộng (2009) giả thiết bỏ qua biến dạng theo phƣơng ngang đất Hình 5: Chuyển vị cọc tiết diện chữ nhật ba l p KẾT LUẬN Phƣơng pháp đơn giản tính toán ứng xử cọc đơn tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng đƣợc xây dựng dựa nguyên lý lƣợng biến phân phƣơng pháp phần tử hữu hạn Quy trình tính tốn đơn giản xác định đƣợc độ cứng tƣơng đƣơng hệ cọc nền, chuyển vị nội lực cọc Các 59 kết tính tốn so sánh với cọc tiết diện tròn cho thấy, phƣơng pháp tính tốn có độ tin cậy cao phù hợp với giả thiết đƣa Tuy nhiên, kết tính tốn sai khác với phƣơng pháp pháp phần tử hữu hạn ba chiều giả thiết bỏ qua biến dạng theo phƣơng ngang Vấn đề đƣợc kể đến nghiên cứu TÀI LIỆU THAM KHẢO Ai, Z Y., and Cheng, Y C (2013), Analysis of vertically loaded piles in multilayered transversely isotropic soils by BEM Engineering Analysis with Boundary Elements 37 (2013) 327–335 Basu, D., Prezzi, M., Salgado, R., and Chakraborty, T., (2008), Settlement analysis of piles with rectangular cross sections in multi-layered soils Computers and Geotechnics 35 563–575 Butterfield, R and Banerjee, P K (1971), The elastic analysis of compressible piles and pile groups Geotechnique, 21(1), 43-60 Chin, J.T., Chow, Y.K., and Poulos H.G (1990), Numerical analysis of axially loaded vertical piles and pile groups Comput Geotechn (4) 273–290 Fidel, H., S (2014) Analytical methods for predicting load-displacement behaviour of piles Durham theses, Durham University Gibson, R E (1967), Some results concerning displacements and stresses in a non-homogeneous elastic half-space Geotechnique, 17(1), 58-67 Guo, W D (2000), Vertically loaded single piles in Gibson soil J Geotech Geoenviron Eng., 126(2), 189-193 Guo, W D and Randolph, M F (1997), Vertically loaded piles in non-homogeneous media Int J Numer Anal Methods Geomech., 21(8), 507-532 Guo, D J., Tham, L G., and Cheung, Y K (1987), Infinite layer for the analysis of a single pile Comput Geotechn (4) 229–249 10 Mindlin, R D (1936), Force at a point in the interior of a semi-infinite solid Physics, 7, 195-202 11 Lee C Y (1991), Discrete layer analysis of axially loaded piles and pile groups Computers Geotech., 11(4), 295-313 12 Lee, C Y and Small, J C (1991), Finite-layer analysis of axially loaded piles J Geotech Eng., 117(11), 1706-1722 13 Lee, K M., and Xiao, Z R (1999), A new analytical model for settlement analysis of a single pile in multi-layered soil Soils Found., 39(5), 131-143 14 Lee, S L., Kog, Y C., and Karunaratne, G P (1987), Axially loaded piles in layered soil J of Geotech Engrg., ASCE, Vol 113, No 4, pp 366-381 15 Nghiem, H., M (2009) Soil-pile-structure interaction effects of high-rise building under seismic shaking Dissertation, University of Colorado Denver 16 Poulos, H G (1979), Settlement of single piles in non-homogeneous soil J Geotech Eng Div ASCE, 1979, 105(5), 627-641 17 Poulos, H G & Davis, E H (1968), The settlement behavior of single axially loaded incompressible piles and piers Geotechnique, 18(3), pp 351-371 18 Poulos, H G., and Davis, E H (1980), Pile Foundation Analysis and Design John Wiley and Sons, New York 19 Rajapakse, R K N D (1990), Response of an axially loaded elastic pile in a Gibson soil Geotechnique, 40(2), 237-249 20 Randolph, M.F., and Wroth, C P (1978), Analysis of vertical deformation of vertically loaded piles J Geotech Eng Div ASCE, 104(12), 1465-1488 21 Salgado, R., Seo, H., and Prezzi, M (2013), Variational elastic solution for axially loaded piles in multilayered soil Int J Numer Anal Meth Geomech 37:423–440 22 Seo, H., and Prezzi, M (2007), Analytical solutions for a vertically loaded pile in multilayered soil Geomechanics and Geoengineering An International Journal, (1), pp 51-60 23 Seo, H., Prezzi, M., Basu, D., and Salgado, R., (2009), Load-Settlement Response of Rectangular and Circular Piles in Multilayered Soil Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol 135, No 3, March 24 Smith IM, Griffiths DV (2004), Programming the finite element method John Wiley & Sons, Fourth Edition 25 Vallabhan, C.V.G & Mustafa, G (1996), A new model for the analysis of settlement of drilled piers International Journal of Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 20, pp 143-152 Người phản biện: PGS.TS VƢƠNG VĂN THÀNH 60 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 ... đƣơng cọc 2) quy trình tính tốn MƠ HÌNH TÍNH TỐN Xét cọc tiết diện chữ nhật có chiều dài L p với kích thƣớc cọc a b nhƣ trình bày hình Cọc chịu tác dụng tải trọng P đặt trọng tâm tiết diện, đất. .. ngang đất Hình 5: Chuyển vị cọc tiết diện chữ nhật ba l p KẾT LUẬN Phƣơng pháp đơn giản tính tốn ứng xử cọc đơn tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng đƣợc xây dựng dựa nguyên lý lƣợng biến phân. ..gần cọc chịu tải trọng đứng nhiều lớp Lee (1991) [11] sử dụng phƣơng pháp truyền tải trọng với hệ số đề xuất by Randolph Wroth (1978) [20] phân tích cọc đơn nhóm cọc đất nhiều lớp Lee Small