Bài toán bản chữ nhật chịu tải trọng trong mặt phẳng của nó là bài toán mô hình hóa của rất nhiều kết cấu thường gặp trong thực tế: kết cấu dưới dạng vách, màng hay hệ xàvách… Bản chịu tải trong mặt phẳng của nó vì thế đã trở thành kết cấu chính trong các công trình xây dựng dân dụng hay công nghiệp như các kết cấu màng nằm ngang hay thẳng đứng trong các khối nhà siêu cao tầng, các bồn chứa, hầm lò, ụ tầu hay bến cảng… Trong đa số các trường hợp kể trên, bản có dạng hình chữ nhật. Việc tinh toán phân tích phân bố ứng suất, biến dạng hay chuyển dịch của những bản loại này với một số dạng tương tác với nền móng hay đặt tải khác nhau đã được trình bày khá chi tiết trong 1 , phương pháp tính toán được sử dụng trong 1 là phương pháp sai phân hữu hạn.
LỜI NÓI ĐẦU Bài toán chữ nhật chịu tải trọng mặt phẳng toán mô hình hóa nhiều kết cấu thường gặp thực tế: kết cấu dạng vách, màng hay hệ xà-vách… Bản chịu tải mặt phẳng trở thành kết cấu công trình xây dựng dân dụng hay công nghiệp kết cấu màng nằm ngang hay thẳng đứng khối nhà siêu cao tầng, bồn chứa, hầm lò, ụ tầu hay bến cảng… Trong đa số trường hợp kể trên, có dạng hình chữ nhật Việc tinh toánphân tích phân bố ứng suất, biến dạng hay chuyển dịch loại với số dạng tương tác với móng hay đặt tải khác trình bày chi tiết [ ] , phương pháp tính toán sử dụng [1] phương pháp sai phân hữu hạn Trong luận văn , tác giả lựa chọn hai toán cụ thể chữ nhật chịu tải trọng mặt phẳng để giải Bài toán thứ toán hệ vách không gian đưa toán ứng suất phẳng , toán thứ hai toán chịu ứng suất trước vị trí khác ( mô hình hóa kết cấu bê tông cốt thép có sợi cốt thép chịu ứng suất trước) Phương pháp số chọn phương pháp phần tử biên phương pháp số mẻ xong có nhiều ưu vượt trội so với phương pháp số biết Các phương pháp số sử dụng rời rạc hóa không gian 3333 Phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn Hình 1: Mô phương pháp số Phương pháp phần tử biên Như biết, liên quan đến việc tính xấp xỉ cách rời rạc hóa miền hình học vật thể , có ba phương pháp số thông dụng : phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp phần tử biên ( Hình ) , ưu phương pháp phần tử biên việc rời rạc hóa miền hình học thực biên, cho phép giảm số chiều toán cần giải, giá trị nút chuyển dịch ứng suất xác định riêng rẽ biên trước xác định điểm miền sau, thuận lợi để giảm kích thước toán bước giải Các kết tính toán thu luận văn tỏ phù hợp với kết công bố [1] tính toán phương pháp sai phân hữu hạn Bản Khóa Luận gồm hai chương Chương I: Phương Pháp Phần Tử Biên Giải Bài Toán Đàn Hồi Tĩnh Nội dung chương dành cho việc trình bày lại sở toán học thủ tục để giải toán đàn hồi phẳng phương pháp phần tử biên.Xuất phát từ phương trình vi phân cân Navier, việc sử dụng nguyên lý tương hỗ Maxwell-Betti “ nghiệm bản” dạng Kelvin, chuyển việc giải phương trình tích phân biên, sau việc rời rạc hóa miền biên hình học thành phần tử nhỏ thay chuyển dịch, ứng xuất phần tử biên biểu thức xấp xỉ thông qua hàm dạng, ta dẫn hệ phương trình đại số tuyến tính xác định giá trị nút biên chuyển dịch ứng suất.Giai đoạn hai dành cho việc tính toán phân bố ứng suất, biến dạng chuyển dịch điểm miền biết tất giá trị biên đại lượng đó.Việc xử lý dạng tích phân kỳ dị hệ thức tích phân biên , đặc biệt điểm biên không trơn , trình bày chi tiết Chương II : Phương Pháp Phần Tử Biên Giải Bài Toán Bản Chịu Tải Trong Mặt Phẳng Của Nó Đây nội dung Khóa Luận Ở dùng phương pháp phần tử biên ( trình bày chương I) để giải hai toán thường gặp lĩnh vực xây dựng : Tính toán hệ vách không gian chịu ứng suất trước ( mô hình hóa bê tông có cốt thép chịu ứng suất trước ) Cả hai toán đưa toán chịu tải mặt phẳng nó.Việc sử dụng phương pháp phần tử biên cho phép thay đổi dễ dàng điều kiện tương tác biên mà không cần phải thay đổi nhiều chương trình tính toán Các kết thu được trình bầy tường minh dạng đồ thị, chúng trùng hợp với kết công bố trước tính toán theo phương pháp số khác (xem [1]) CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TĨNH 1-Hệ phương trình vi phân chủ đạo Xét vật cân tĩnh Ω , tác dụng lực phân bố theo thể tích b(x) áp lực biên q(x) phần biên Γ q Vật Ω bị biến dạng điểm vật có chuyển vị u(x) với ràng buộc chuyển vị phần biên Γ u (Γ = Γq + Γ u ) b(x), q(x) u(x) có thành phần theo trục tọa độ x m ( m = 1,2,3), sau b1 (x) q1 (x) u1 (x) b(x) = b (x) ; q(x) = q (x) ; u(x) = u (x) ; b (x) q (x) u (x) Ký hiệu : σm - ứng suất mặt m mặt có pháp tuyến x m ; σmk - hình chiếu σm theo phương x k , thành phần tenxơ ứng suất, ( m,k = 1,2,3 ) ε mk - tenxơ biến dạng ( m,k =1,2,3 ) Phương trình vi phân cân Navier : ∂σmk + bk = (1.1) ∂x m ( m,k = 1,2,3 ) miền Ω Điều kiện biên tự nhiên chuyển vị Γq : σmk n k| = qm Γq (1.2) : n k = cos(n, x k ) , với n pháp tuyến phần biên Γq ; q m - áp lực bề mặt theo phương x m tác động Γq Điều kiện biên yếu áp lực Γ u : u m| = um , Γu ( m = 1,2,3 ) Phương trình hình học : ∂u ∂u ε mk = k + m ÷ , ∂x m ∂x k ÷ ( m,k = 1.2.3 ) (1.3) (1.4) Quan hệ ứng suất - biến dạng trường hợp đồng đẳng hướng : σmk = λδmk εii + 2µε mk ; ε mk = λ − δklσii + σ mk ÷ 2µ 3λ + 2µ ( m,k,i = 1,2,3 ) (1.5) Trong : λ , µ - đàn hồi Lamé : νE E λ= µ= ; (1 + ν)(1 − 2ν) 2(1 + ν) Với ν - tỷ số Poisson; E – môđun Young; δ , δ kl mk - delta Kronecker Từ (1.4) (1.5) biến đổi (1.1) thành hệ phương trình vi phân cho chuyển vị, hệ phương trình vi phân chủ đạo toán có dạng: ∂ 2u k ∂ 2u m 1 + = − bm (1.6) − 2ν ∂x k ∂x m ∂x µ k ( m,k = 1,2,3 ) 2- Nghiệm Hạn chế xét với toán hai chiều Nghiệm ( chuyển vị ) (1.6) w ih |1 (x) wih (x) = véc tơ có dạng sau (1.7) w ih |2 (x) ứng với gốc i biên Γ có lực thể tích đơn vị f hi = ∆ (x, x i )e h (1.8) : ∆ (x, x i ) - hàm delta Dirac 0 x ≠ x i xi + ε i Với ∆ (x, x ) = phải thỏa mãn ∫ ∆(x, x i )dx = ∞ x = x i xi − ε { eh } - véc tơ phương lực thể tích đơn vị gốc i trục tọa độ x h (h= 1,2 ); Nghiệm w ih |k (x) ứng với (1.6) : 2 ∂ w ih | k ∂ w ih | h µ + ∂x 2k − 2ν ∂x k ∂x h ÷ = −∆ (x, x i )e h ÷ ÷ (1.9) ( k,h = 1,2 ) w ih (x) chuyển vị thành phần lực thể tích đơn vị f i theo h phương x h điểm i gây Ký hiệu ri bán kính véc tơ điểm xét gốc i Tại điểm j, ta có bán kính vectơ r j w j = w j (x j ) i ih ih j j j w ih có môđun w ih thành phần theo phương x k w ih |k : j j (1.10) w ih =w ih |k e k Nghiệm Kelvin ( [2] ) (1.8) trường hợp chiều : Wih |k (x) = ζ ν * δhk ln( ) + χ ( k,h =1,2 ) (1.11) ri Trong : ; ν* = − 4ν ; χ = ξh ξk ; 4πµ(1 − ν) ∂r ξk = i = cos(ri , x k ) - côsin phương bán kính véctơ ri ∂x k điểm xét; ri - môđun ri ; δhk - delta kronecker; µ - Hằng số Lamé ν - Tỷ số Poisson Từ nghiệm chuyển vị w j |k , tìm biến dạng γ j |k nhờ ih ih (1.4) tìm ứng suất tương ứng τ j |k nhờ (1.5) ih Trong trạng thái đó, ứng suất τ j |mk tương ứng với áp lực pih |k (x) ih Γ mặt biên theo (1.1) ta đến kết cho toán chiều : ζ= ∂r Pih | k (x) = − ζ i (α + 2χ) + β ( h,k = 1,2 ) ri ∂n $ $ $ ν = − 2ν ; α = νδ hk ; β = ν(n h ξk − n k ξh ) ; Các ký hiệu có ý nghĩa (1.11) (1.2) (1.12) Ký hiệu p j |k = p j |k (x j ) áp lực tương ứng theo phương x k điểm j ih ih có thành phần lực thể tích đơn vị f h điểm i Ta viết theo quy tắc lấy tổng sau : j j (a) pim = pim |k e k Khi vật đàn hồi cân tĩnh với phương trình vi phân (1.1) điều kiện biên (1.2) (1.3) theo nguyên lý công khả dĩ, ta viết biểu thức tổng công ngoại lực ( b k ,q k ) chuyển vị w k công nội lực ( ứng suất σmk ) biến dạng γ mk : ∂τ − ∫ mk γ mk dΩ + ∫ b k w k dΩ + ∫ q k w k dΓ = (1.13) Ω ∂x m Ω Γ ( m,k = 1,2 ) Qua vài bước lấy tích phân phần phép biến đổi Green ta nhận : ∂τmk u k dΩ + ∫ b k w k d Ω = − ∫ q k w k d Γ − ∫ p k u k d Γ ∫ (1.14) ∂ x Ω m Ω Γ Γ ( m,k = 1,2 ) Trong : * b k lực thể tích, q k lực bề mặt, σmk ứng suất, ε mk biến dạng u k chuyển vị trạng thái thực , p k , τmk , γ mk , w k đại lượng tương ứng k trạng thái Xét điều kiện biên (1.2) (1.3) hai phần biên Γ u Γq , ta viết lại vế trái (1.13) sau : ∂τmk u k dΩ + ∫ b k w k d Ω = ∫ ∂ x Ω m Ω − ∫ q k w k dΓ − ∫ q k w k d Γ + ∫ p k u k d Γ + ∫ p k u k d Γ Γu Γq Γu Γq *f ( m,k = 1,2 ) (1.15) Trong trạng thái với lực thể tích đơn vị ∆ (x, x i ) , nêu (1.8) ta biến đổi số hạng vế phải (1.14) dựa theo (1.1) sau : ∫ Ω ∂τih | mk ∂τih | mh u k dΩ = ∫ u h dΩ = − ∫ f hi u h dΩ ∂x m Ω ∂x m Ω = − ∫ ∆ (x, x i )eh u h dΩ = −u ih e h Ω Thay (1.15), (a), (1.9) vào (1.14) ta nhận kết : u ih + ∫ pih |k u k dΓ + ∫ pih |k u k dΓ = Γu Γq ∫ q k w ih |k dΓ + ∫ q k w ih |k dΓ + ∫ b k w ih |k dΩ Γu Γq Ω (1.16) ( k,h = 1,2 ) (1.17) Hay viết gọn : u ih + ∫ pih |k u k dΓ = ∫ q k w ih |k dΓ + ∫ b k w ih |k dΩ Γ Γ Ω ( k,h = 1,2 ) (1.18) Với u ih chuyển vị theo phương x h điểm i Khi lấy tích phân biên điểm i Γ mà trơn tru miền tích phân lân cận x = x i thay Γε phần bán cầu có bán kính vô bé Lấy tích phân phần Γ - Γε phần bán cầu Γε tìm giới hạn ε → Lấy tích phần thứ vế phải (1.18) ta : ÷ (1.19) ∫ q k w ih |k dΓ = lim ∫ q k w ih |k dΓ + ∫ q k w ih |k dΓ ÷ ε → ÷ Γ Γε Γ − Γε Số hạng thứ vế phải (1.19) tích phân toàn biên Γ ε → Số hạng thứ hai có giới hạn là: i q k lim ∫ w ih |k dΓ (1.20) ε → Γ ε i i Với q k = q k (x ) giá trị q k điểm i Khi ε → , nghiệm w ih |k vô lớn cấp / ε , vi phân dΓ vô bé cấp ε nên giới hạn (1.20) 0, nghĩa yếu tố kỳ dị không ảnh hưởng đến yếu tố Số hạng thứ hai vế trái (1.18) viết lại sau : ÷ (1.21) ∫ pih |k u k dΓ = lim ∫ pih |k u k dΓ + ∫ pih |k u k dΓ ÷ ε → ÷ Γ Γε Γ − Γε Số hạng thứ hai vế phải (1.21) có giới hạn : lim ∫ pih |k dΓ ÷ (1.22) ÷ ε → 0 Γ ÷ ε Khi ε → , Pih |k vô bé cấp 1/ ε vi phân dΓ vô bé cấp ε nhắc trên, nên lim ∫ pih |k dΓ ÷ (1.23) ÷ = − δhk ε → 0 Γ ÷ ε Là giá trị hữu hạn Như (1.18) trở thành : u ik i u + ∫ p | u dΓ = ∫ q k w ih |k dΓ + ∫ b k w ih |k dΩ (1.24) h Γ ih k k Γ Ω ( k,h = 1,2 ) Phương trình (1.24) dành cho điểm gốc i chỗ trơn tru biên Γ Trong trường hợp điểm i nằm chỗ không trơn tru biên Γ ta đến công thức sau : ci u ih + ∫ pih |k u k dΓ = ∫ q k w ih |k dΓ + ∫ b k w ih |k dΩ (1.25) Γ Γ Ω ( k,h = 1,2 ) Hiển nhiên ci = ứng với điểm gốc i chỗ trơn tru Ngoài gốc i chỗ không trơn tru ci nhận giá trị khác 3- Bài toán đàn hồi phẳng 3.1 Những phương trình Xét toán đàn hồi phẳng mà ta bỏ qua tọa độ không gian, chẳng hạn tọa độ x , đại lượng học coi phụ thuộc vào tọa độ điểm mặt phẳng, chẳng hạn mặt phẳng Ox1x Việc bỏ qua có làm giảm chút mức xác toán lại đơn giản nhiều toán học học phù hợp với yêu cầu độ xác toán thực tế Ta viết lại Wi (x) , Pi (x) dạng ma trận cấp 2x2 sau: w i1|1(x) Wi (x) = w i2 |1(x) w i1| (x) pi1|1(x) Pi (x) = w i2 | (x) pi2 |1(x) pi1| (x) pi2 | (x) (1.26) Các ngoại lực b(x), q(x) chuyển vị u(x) có thành phần sau : b (x) q (x) u (x) u(x) = b(x) = , q(x) = u (x) b (x) q (x) (1.27) Để tiện diễn giải lập trình ta viết lại phương trình tích phân dạng sau: Ciui + ∫ PiudΓ = ∫ qWi dΓ + ∫ bWi dΩ (1.28) Γ Γ Ω Wi , Pi , b(x), q(x), u(x) định nghĩa (1.26) (1.27) i ui = u(x ) vec tơ chuyển vị điểm gốc i ( ý ma trận Wi (x) vừa định nghĩa (1.26) khác với véctơ w ih |k (x) định nghĩa (1.7) ); Ci ma trận (2x2) có giá trị tùy thuộc mức trơn tru biên Γ i : Ci Ci = 11 Ci 21 Ci12 i C 22 (1.29) Ci11 = Ci 22 = 1/ Ci12 = Ci 21 = biên Γ trơn tru i Ci11 = Ci 22 = miền Ω i i C 12 = C 21 = dùng (1.28) để tính toán cho điểm bên 3.2 Phân chia biên thành phần tử Ở ta sử dụng phần tử “hằng “, tức phần tử biên ta coi chuyển vị u ngoại lực q, b phần tử Mỗi phần tử có điểm nút Chia biên Γ thành số ( hữu hạn ) N phần tử Γ j , (j=1,2,…,N), với L điểm nút, ( L=N ) , đồng thời chia miền Ω thành số M ô Ω f , (f=1,2, …,M) Có thể viết lại (1.28) dạng rời rạc hóa với phần tử sau: N N j j M i Ciu + ∑ ∫ Pi dΓ u = ∑ ∫ Wi dΓ q + ∑ ∫ WibdΩ j = Γ j = Γ s = Ωs j j (1.30) Đặt ma trận (2x2) tích phân biên : j j H *i = ∫ Pi dΓ G i = ∫ Wi dΓ j j Hi = H *i +δijCi ; ; (1.31) Γj Γj Những tích phân biên ma trận H *ij G j nói chung xác định i số nhờ công thức Gauss Chỉ i=j tích phân biên G ii chứa yếu tố kì dị xác định giải tích Với (1.11) (1.26) ta có: i G Gi1| 2i i1|1 G ii = (1.32) G i i G i2 | i2 |1 Trong đó: 1 ∂r i i i G i1|1 = ∫ w ih|1 dΓ = ( − 4ν ) ∫ ln ÷÷dΓ + ∫ ÷÷ dΓ (1.33) πµ (1 − ν ) r ∂ x i Γi Γi Γj ∂ri ∂ri G i1| = Gi2 |1 = ∫ w ih|2 dΓ = dΓ (1.34) ∫ ∂x ∂x πµ (1 − ν ) Γj Γi 1 ∂r i i i G i2 | = ∫ w i2|2 dΓ = ÷ dΓ (1.35) ( − 4ν ) ∫ ln ÷÷dΓ + ∫ ÷ 8πµ(1 − ν) Γi ri Γi ∂x Γj Xét phần tử Γi có điểm nút i điểm gốc Để tiện lấy tích phân từ (1.33) đến (1.35) ta dùng thêm hệ tọa độ cực (ri , θ) với gốc i Nhớ lại liên hệ quen thuộc : x1 = ricosθ i i i x = risinθ Và ∂ri ∂x1 = cosθ ∂ri ∂x = sinθ (1.36) Thay (1.35) vào tích phân tử (1.32) đến (1.34) tích phân hệ tọa độ cực, ta lấy giới hạn quanh gốc i kỳ dị : li / li / 1 i G i1|1 = lim 2(3 − 4ν) ∫ ln dΓ + ∫ cos θdΓ ri ε → 8πµ(1 − ν) ε ε 10 10 Ứng suất nút ( Qx, Qy ) Qx Qy -0.3081 0.0000 -0.4564 0.0000 -0.3890 0.0000 -0.4564 0.0000 -0.3081 0.0000 -1.0000 -0.3081 0.0000 0.1795 0.0000 0.1173 0.0000 0.0450 0.0000 0.0045 0.0045 0.0000 0.0350 0.0000 0.0554 0.0000 0.0350 0.0000 0.0045 0.0000 0.0000 0.0045 0.0000 0.0450 0.0000 0.1173 0.0000 0.1795 1.0000 0.0000 Vì phần tử biên chọn phần tử nên phần tử biên chuyển vị, ứng suất chọn Ta biểu diễn chuyển dịch Ux, Uy Qx, Qy biên y = y=b để thấy rõ tính đối xứng toán ( Hình 16, Hình 17, Hình 18, Hình 19 ) -3 x1 0 -3 x1 -0 -0 -0 -0 -0 5 -0 -0 -0 -0 -1 C h u ye nd ichU x tre nb ie ny= 0 C h u ye nd ichU x tre nb ie ny= a Hình 20 : Biểu diễn chuyển dịch theo phương x biên y = y = a 34 -5 -5 x 10 x 10 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Chuyen dich Uy tren bien y=0 0 Chuyen dich Uy tren bien y=a Hình 21 : Biểu diễn chuyển dịch theo phương y biên y = y = a 0.2 1.2 -0.2 0.8 -0.4 0.6 -0.6 0.4 -0.8 0.2 -1 -1.2 Ung suat Qx tren bien y=0 -0.2 Ung suat Qx tren bien y=a Hình 22 : Biểu diễn ứng suất theo phương x biên y = y = a 35 0.4 0.4 0.2 0.2 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -1 Ung suat Qy tren bien y=0 -1 Ung suat Qy tren bien y=a Hình 23 : Biểu diễn ứng suất theo phương x biên y = y = a Ta tính ứng suất ( Qx,Qy,Qxy ) x =a/2 Sau nội suy ta thu đồ thị biểu diễn ứng suất tương ứng x y Qx Qy Qxy 5.000 9.000 0.0245 -0.0032 0.0000 5.000 8.000 0.0183 -0.0097 0.0000 5.000 7.000 0.0015 -0.0216 0.0000 5.000 6.000 -0.0016 0.0356 0.0000 5.000 5.000 -0.0253 -0.0438 0.0000 5.000 4.000 -0.0735 -0.0463 0.0000 5.000 3.000 -0.1476 -0.0369 0.0000 5.000 2.000 -0.2195 -0.0224 0.0000 5.000 1.000 -0.3133 -0.0052 0.0000 10 ket qua tinh toan bang pp sai phan ket qua tinh toan bang pp PTB -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 Do thi bieu dien ung suat Qx tai x=a/2 0.1 0.2 Hình 24 biểu diễn ứng suất theo phương x số điểm hình vuông x = a/2 Đường màu đỏ kết phương pháp sai phân [1], đường màu xanh kết tính toán phương pháp phần tử biên 36 10 ket qua tinh toan bang pp sai phan ket qua tinh toan bang pp PTB -0.05 -0.045 -0.04 -0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 Do thi bieu dien ung suat Qy tai x=a/2 Hình 25 biểu diễn ứng suất theo phương y số điểm hình vuông x = a/2 Đường màu đỏ kết phương pháp sai phân [1], đường màu xanh kết tính toán phương pháp phần tử biên 2.3- Bài toán ( e = ) Khi e = toán chịu ứng suất trước có dạng sau : 37 Trong trường hợp tương tự toán chia biên thành 24 phần tử điều kiện biên trường hợp sau : q1x = q1y = q 2x = q 2y = q3x = q3y = q 4x = q 4y = q5x = q5y = 0; q 6x = −1; q 6y = q 7x = q 7y = q8x = q8y = q9x = q9y = q10x = q10y = 0; q11x = q11y = q12x = q12y = q13x = q13y = q14x = q14y = q15x = q15y = 0; q 16x = q16y = q17x = q17y = q18x = q18y = q 20x = q 20y = 0; q19x = 1; q19y = 0; -3 x1 0 -3 x1 -0 -0 -0 6 -0 -1 -1 2 C h u ye nd ichU x tre nb ie ny= 0 C h u ye nd ichU x tre nb ie ny= a Hình 26 : Biểu diễn chuyển vị theo phương x biên y = y = a -5 -5 x 10 x 10 6 4 2 0 -2 -2 -4 Chuyen dich Uy tren bien y=0 -4 Chuyen dich Uy tren bien y=a Hình 27 : Biểu diễn chuyển vị theo phương y biên y = y = a 38 0.2 1.2 -0.2 0.8 -0.4 0.6 -0.6 0.4 -0.8 0.2 -1 -1.2 Ung suat Qx tren bien y=0 -0.2 Ung suat Qx tren bien y=a Hình 28 : Biểu diễn ứng suất theo phương x biên y = y = a 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -1 Ung suat Qy tren bien y=0 -1 Ung suat Qy tren bien y=a Hình 29 : Biểu diễn ứng suất theo phương x biên y = y = a Các hình 26, 27, 28, 29 cho ta thấy hình ảnh chuyển dịch ứng suất theo phương x y cạnh y = 0, y = a giống điều phù hợp với ý nghĩa học toán xét 39 10 ket qua tinh toan bang pp sai phan ket qua tinh toan bang pp PTB -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 Do thi bieu dien ung suat Qx tai x=a/2 0.05 0.1 Hình 30 biểu diễn ứng suất theo phương x số điểm hình vuông x = a/2 Đường màu đỏ kết phương pháp sai phân [1], đường màu xanh kết tính toán phương pháp phần tử biên 2.4- Bài toán ( e = ) Khi e = toán chịu ứng suất trước có dạng sau : 40 Bài toán trường hợp tương tự toán khác điều kiện biên toán : q1x = q1y = q 2x = q 2y = q3x = q3y = q 4x = q 4y = q5x = q5y = 0; q 7x = −1; q 6x = q 6y = q 7y = q8x = q8y = q9x = q9y = q10x = q10y = 0; q11x = q11y = q12x = q12y = q13x = q13y = q14x = q14y = q15x = q15y = 0; q 16x = q16y = q17x = q17y = q18x = q18y = q 20x = q 20y = 0; q19x = 1; q19y = 0; Do tính tương tự toán nên ta biểu diễn trường hợp chuyển vị, ứng suất theo phương x biên y = y = a để thấy tính đối xứng toán -4 -4 x 10 12 x 10 10 -2 -4 -6 -8 -2 -10 -4 -12 Chuyen dich Ux tren bien y=0 -6 Chuyen dich Ux tren bien y=a Hình 31 : Biểu diễn chuyển dịch theo phương x biên y = y = a 1.5 1.5 0.5 0.5 -0.5 -1 -0.5 -1.5 -1 -1.5 -2 Ung suat Qx tren bien y=0 -2.5 Ung suat Qx tren bien y=a Hình 32 : Biểu diễn ứng suất theo phương x biên y = y = a 41 Ta tính ứng suất cho điểm bên hình vuông x = a/2 toán Hình 33 đồ thị biểu diễn ứng suất theo phương x tính phương pháp phần tử biên so sánh với phương pháp sai phân hữu hạn [1] 10 ket qua tinh toan bang pp sai phan ket qua tinh toan bang pp PTB -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 Do thi bieu dien ung suat Qx tai x=a/2 0.05 Hình 33 biểu diễn ứng suất theo phương x số điểm hình vuông x = a/2 Đường màu đỏ kết phương pháp sai phân [1], đường màu xanh kết tính toán phương pháp phần tử biên 2.5- Bài toán ( e = ) Khi e = toán chịu ứng suất trước có dạng sau : 42 Bài toán trường hợp tương tự toán khác điều kiện biên Điều kiện biên toán trường hợp sau : q1x = q1y = q 2x = q 2y = q3x = q3y = q 4x = q 4y = q5x = q5y = 0; q 7x = −1; q 6x = q 6y = q 7y = q8x = q8y = q9x = q9y = q10x = q10y = 0; q11x = q11y = q12x = q12y = q13x = q13y = q14x = q14y = q15x = q15y = 0; q 16x = q16y = q17x = q17y = q19x = q19y = q 20x = q 20y = 0; q18x = 1; q18y = 0; Tương tự toán ta biểu diễn chuyển vị ứng suất theo phương x y =0 y = a Các trường hợp lại tương tự toán -3 -4 x 10 10 -0.1 x 10 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1 Chuyen dich Ux tren bien y=0 Chuyen dich Ux tren bien y=a Hình 34 : Biểu diễn chuyển dịch theo phương x biên y = y = a 0.6 1.2 0.4 0.2 0.8 0.6 -0.2 0.4 -0.4 0.2 -0.6 -0.8 -0.2 -1 -0.4 -1.2 Ung suat Qx tren bien y=0 -0.6 Ung suat Qx tren bien y=a Hình 35 : Biểu diễn ứng suất theo phương x biên y = y = a 43 10 ket qua tinh toan bang pp sai phan ket qua tinh toan bang pp PTB -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 Do thi bieu dien ung suat Qx tai x=a/2 0.05 Hình 36 biểu diễn ứng suất theo phương x số điểm hình vuông x = a/2 Đường màu đỏ kết phương pháp sai phân [1], đường màu xanh kết tính toán phương pháp phần tử biên 2.6- Bài toán ( e = ) Khi e = toán ứng suất trước có dạng sau : 44 Bài toán trường hợp tương tự toán toán khác điều kiện biên Điều kiện biên toán sau q1x = q1y = q 2x = q 2y = q3x = q3y = q 4x = q 4y = q5x = q5y = 0; q8x = −1; q 6x = q 6y = q 7y = q 7x = q8y = q9x = q9y = q10x = q10y = 0; q11x = q11y = q12x = q12y = q13x = q13y = q14x = q14y = q15x = q15y = 0; q 16x = q16y = q17x = q17y = q19x = q19y = q 20x = q 20y = 0; q18x = 1; q18y = 0; Tương tự toán ta biểu diễn chuyển dịch ứng suất theo phương x biên y = y = a Các trường hợp lại biểu diễn tương tự toán -3 -3 x1 0 x1 -0 5 -1 -1 5 -2 -2 5 -3 C h u ye nd ichU x tre nb ie ny= 0 C h u ye nd ichU x tre nb ie ny= a Hình 37 : Biểu diễn chuyển dịch theo phương x cạnh y = y = a -1 -2 -3 -4 -5 -6 Ung suat Qx tren bien y=0 -1 Ung suat Qx tren bien y=a Hình 38 : Biểu diễn ứng suất theo phương x cạnh y = y = a 45 10 ket qua tinh toan bang pp sai phan ket qua tinh toan bang pp PTB -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 Do thi bieu dien ung suat Qx tai x=a/2 0.05 0.1 Hình 39 biểu diễn ứng suất theo phương x số điểm hình vuông x = a/2 Đường màu đỏ kết phương pháp sai phân [1], đường màu xanh kết tính toán phương pháp phần tử biên Trong trường hợp cần tính toán phân tích chịu ứng suất ban đầu đặt ( đồng thời ) hệ sợi cốt thép ứng với vị trí e = đến e = 10 làm sau - giải riêng rẽ toán ứng với từ trường hợp e = đến e = trình bày - Nghiệm toán trường hợp e = 10 thu từ trường hợp hợp e = cách quay hệ tọa độ 180 0, tương tự cho trường hợp e = 9, …e = - Cộng tất nghiệm toán lại ( theo nguyên lý chồng chất nghiệm toán tuyến tính) Hình 40: Bản chịu ứng suất ban đầu hệ 10 cốt thép 46 Kết Luận Mục đích khóa luận tác giả bước đầu tìm hiểu phương pháp tính toán số việc áp dụng để tính toán số toán cụ thể thường gặp thực tế, phương pháp số tìm hiểu phương pháp phần tử biên, phương pháp số mẻ có nhiều ưu vượt trội so với phương pháp số có trước đó, nhiên phương pháp phổ cập mức độ phức tạp hệ thức toán học ( hệ thức tích phân biên, tồn tích phân kỳ dị, tính phức tạp toán với biên không trơn…) việc chưa có đầy đủ chương trình hoàn thiện để tính toán theo phần tử biên Hai toán chọn để giải tương đối đơn giản mô hình toán học lại có tính thực tiễn cao mô hình mà kỹ sư kết cấu thường gặp tính toán thiết kế nhà Ngoài việc chọn hai toán cho phép tác giả so sánh kết tính toán theo phương pháp phần tử biên với kết công bố [1] kết tính toán theo phương pháp sai phân hữu hạn.Mặc dù phần tử biên chọn dạng đơn giản phần tử , biên chia 64 nút ( mức độ xác chưa thật cao ) kết thu cho thấy phù hợp có độ sai lệch không đáng kể với kết [1] Nếu có điều kiện nghiên cứu tiếp đề tài này, tác giả tiếp tục sâu tìm hiểu phương pháp phần tử biên áp dụng để giải toán phức tạp có tính ứng dụng cao toán va chạm, toán phá hủy , toán động …cũng xây dựng thuật toán phối hợp nhiều phương pháp số khác ( nhằm phát huy ưu thế, khắc phục hạn chế phương pháp ) để tham gia giải toán 47 Tài liệu tham khảo [1] F ANDERMANN : Plaques rectangulaires chargées dans leur plan NXB Dunod Paris.1969 [2] PHẠM HỒNG GIANG: Phương pháp phần tử biên NXB Khoa Học Và Kỹ Thuật HN 2006 [3] MARC BONNET : Boundary Equation Methods For Solids and Fluids NXB John Wiley & Sons LTD New York.1998 [4] Cao Văn Chí, Trịnh Văn Cương ( 2003 ): Cơ học đất NXB Xây dựng Hà Nội 48 [...]... 1,2 ) Trong đó : bs (x) là biểu thức của lực thể tích; Di | mk = [Di |1mk , Di | 2mk ] Si | mk = [Si |1mk ,Si | 2mk ] Với Si | lmk và Ci | lmk ( l = 1,2 ) là các giá trị được tính bởi (1.43) CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN GIẢI BÀI TOÁN BẢN CHỊU TẢI TRỌNG TRONG MẶT PHẲNG CỦA NÓ 13 Chương này dành cho việc tính toán bằng phương pháp phần tử biên hai bài toán mà các kỹ sư kết cấu thường gặp trong. .. dưới của các tấm vách B và B’ chịu tải : β σsol β.b = p (1.45) ( 1 + β) p/(1+ß) pß/(1+ß) p/(1+ß) Hình 3: Chuỗi các vách ngăn của kết cấu 1.2 Giải bài toán bằng phương pháp phần tử biên 15 pß/(1+ß) Việc giải bài toán cấu trúc 3 chiều của bản ( Hình 2 ) ta đưa về giải bài toán 2 chiều hình chữ nhật chịu tải trọng ở trên ( Hình 3 ) Trong bài toán này lực thể tích b(x)=0 Để đơn giản ta chọn phần tử biên. .. điểm bên trong bản A tại x = 0.2m Đường màu đỏ là kết quả của phương pháp sai phân trong [1], đường màu xanh là kết quả tính toán của phương pháp phần tử biên Do tính đối xứng giữa 2 bản A và A’ nên từ hình 12 ta suy ra ứng suất trên bản A’ cũng diễn biến tương tự 25 2- BÀI TOÁN BẢN CHỊU ỨNG SUẤT TRƯỚC Hình 13 : Bản chịu ứng suất trước Các kết cấu chịu ứng suất trước ( ví dụ bê tông cốt thép chịu ứng... biểu diễn ứng suất theo phương x của một số điểm trong bản hình vuông tại x = a/2 Đường màu đỏ là kết quả của phương pháp sai phân [1], đường màu xanh là kết quả tính toán của phương pháp phần tử biên 32 2.2-Bài toán 2 ( e = 1 ) Khi e = 1 bài toán bản chịu ứng suất trước có dạng sau đây : Chia biên của hình vuông thành 20 phần tử hằng với điều kiện biên như sau : q1x = q1y = q 2x = q 2y = q3x = q3y =... theo phương x của một số điểm trong bản hình vuông tại x = a/2 Đường màu đỏ là kết quả của phương pháp sai phân [1], đường màu xanh là kết quả tính toán của phương pháp phần tử biên 10 9 ket qua tinh toan bang pp sai phan ket qua tinh toan bang pp PTB 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 Do thi bieu dien ung suat Qy tai x=a/2 -0.02 0 Hình 19 biểu diễn ứng suất theo phương x của một số điểm trong. .. dấu “-“ trong (*) có ý nghĩa là chiều được chọn ngược với chiều “+” Chọn nút j là điểm giữa của phần tử hằng” Γ j Trong phần tử đó u j và q j là “hằng” ( j=1,2,…,64 ) Khi đó thì số điểm nút L và phần tử biên N là như nhau: L = N = 64 1 Vì nút được chọn là điểm giữa phần tử nên tại đó biên luôn trơn Hay ci = , 2 64 j 64 j phương trình tích phân biên được viết : ∑ Hiju = ∑ Gijq (1.46) j =1 j =1 Trong. .. chuyển dịch theo phương y trên biên y=0.4m của 2 bản B,B’ 24 Các đồ thị được biểu diễn trong hình 4, hình 5, hình 6, hình 7, hình 8, hình 9, hình 10, hình 11 chứng tỏ chuyển vị theo cả 2 phương x, y trên y = 0 và y = 0.4m của bản A đối xứng với bản A’ và trên bản B đối xứng với bản B’ ( điều này phù hợp về mặt cơ học khi đặt bài toán như hình 2 ) Ta đi tính ứng suất Qx tại một số điểm của bản A với x =... chịu tải trọng ở trên ( Hình 3 ) Trong bài toán này lực thể tích b(x)=0 Để đơn giản ta chọn phần tử biên là phần tử hằng Tức là xấp xỉ hàm u(x) đơn giản nhất là hằng u j trong từng phần tử biên Ta chia biên hình chữ nhật ra thành N = 64 phần tử hằng như hình vẽ ( Hình 3 ) Điều kiện biên của bài toán là : p q1x = q 2x = q3x = q 4x = 0; q1y = q 2y = q3y = q 4y = 1 + β pβ q = q = q = q = 0; q = q... dị phương trình ( 1.47 ) không tính được nên ta đi xác định H và G bằng phương pháp giải tích như sau : Gọi n là pháp tuyến ngoài của biên Trục tọa độ ở phần tử hằng Γi vuông góc với pháp tuyến n Ta có : ∂Wi ∂Wi ∂ri H*i = P d Γ = d Γ = dΓ = 0 ∫ ∫ ∫ i i ∂ n ∂ r ∂ n Γi Γi Γi i Còn các tích phân biên trong G ii chứa yếu tố kỳ dị được xác định như trong (a) Sau khi tính được các giá trị tích phân trên biên. .. 3 2 1 0 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 Do thi bieu dien ung suat Qx tai x=a/2 0.1 0.2 Hình 24 biểu diễn ứng suất theo phương x của một số điểm trong bản hình vuông tại x = a/2 Đường màu đỏ là kết quả của phương pháp sai phân [1], đường màu xanh là kết quả tính toán của phương pháp phần tử biên 36 ... 0.9500 1. 0500 1. 1500 1. 2500 1. 3500 1. 4500 1. 5500 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 6000 1. 5500 1. 4500 1. 3500 1. 2500 1. 1500 1. 0500... q14y = q15x = q15y = 0; q 16 x = q16y = q17x = q17y = q18x = q18y = q19x = q19y = 0; q 20x = 1; q 20y = 0; Tọa độ (x,y) va tọa độ điểm nút (xm,ym) la: 0 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ... = 1; q5y = 0; q 6x = q 6y = q 7x = q 7y = q8x = q8y = q9x = q9y = q10x = q10y = 0; q11x = q11y = q12x = q12y = q13x = q13y = q14x = q14y = q15x = q15y = 0; q 16 x = q16y = q17x = q17y