Đánh giá sức chịu tải và cơ cấu trượt của nền công trình bằng phương pháp phân tích giới hạn

Bài viết này trình bày một phân tích giới hạn số để đánh giá hệ số khả năng chịu lực cho một bề mặt cứng nhắc được trình bày trong bài viết này. Đất được mô hình hóa như một vật liệu ma sát Mohr, Coulomb ma sát kết dính với một quy tắc dòng chảy liên quan giả định. Giới hạn trên của tải trọng sập sau đó được ước tính bằng các thủ tục động học số. Phương pháp phần tử hữu hạn được làm mịn dựa trên cạnh (ES-FEM) được sử dụng để xấp xỉ trường chuyển vị. Sau đó, vấn đề phân tích giới hạn có thể được hình thành dưới dạng một vấn đề tối ưu hóa có thể được giải quyết bằng các kỹ thuật lập trình tuyến tính. Quy trình này được áp dụng cho bài toán Punch điểm chuẩn và được tìm thấy trong thực tế để tạo ra giải pháp giới hạn trên tốt.

Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012 ĐÁNH GIÁ SỨC CHỊU TẢI VÀ CƠ CẤU TRƯT CỦA NỀN CÔNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GIỚI HẠN (1) Lê Văn Cảnh , Nguyễn Chánh Hoàng(2), Nguyễn Kế Tường(3) (1) Trường Đại học Quốc tế – Đại học Quốc gia TP HCM (2) Trường Đại học Bách khoa – Đại học Quốc gia TP.HCM (3) Trường Đại học Thủ Dầu Một TÓM TẮT Trong báo này, trình bày phương pháp số phân tích giới hạn để đánh giá sức chòu tải cấu trượt công trình Nền đất mô hình theo tiêu chuẩn dẻo Mohn – Coulomb với giả thiết luật chảy dẻo kết hợp Từ đó, cận tải trọng giới hạn đoán thuật toán số phân tích giới hạn động học Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa cạnh ES-FEM dùng để xấp xỉ trường chuyển vò, tượng locking khử Bài toán phân tích giới hạn sau chuyển dạng toán tối ưu toán học mà giải dùng thuật toán tối ưu tuyến tính Phương thức số mà đề xuất áp dụng để giải toán móng nông kết đạt cho toán thực tiễn tốt Từ khóa: phân tích giới hạn, tải trọng giới hạn * Giới thiệu cận để đoán tải trọng giới hạn Vì việc thiết lập phần tử chuyển vò Tải trọng giới hạn móng nông tương đối dễ dàng so với phân tử cân công trình đoán theo công bằng, nên phương pháp phân tích giới hạn thức đề xuất Terzaghi [1] Tuy cận dùng phương pháp phần tử hữu nhiên, đất không đồng hạn chuyển vò quan tâm đáng kể, đặc có điều kiện phức tạp công thức biệt phần tử chuyển vò bậc thấp Tuy không phù hợp Do đó, nhiều thuật nhiên, vấn đề phát sinh dùng loại phần toán số dựa lí thuyết phân tích giới tử tượng “locking”, kết tính hạn cận cận đề xuất toán số không hội tụ hội tụ chậm [2-6] Trong giải thuật số này, trường Trong phân tích giới hạn động học, chuyển vò hay ứng suất xấp xỉ rời “locking” xảy điều kiện chảy dẻo rạc phương pháp phần tử hữu hạn áp đặt (PTHH); sau áp dụng đònh lí cận 50 Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012 Các giải pháp để khử tượng Trong trường hợp đơn giản nhất, hàm locking đề xuất (i) dùng làm trơn đònh nghóa sau: phần tử chuyển vò bậc cao [7]; (ii) dùng Điểm phương pháp laø 1/ A (k ) , x k (x  x c )   0, x k nhằm tăng số bậc tự tổng thể Trong đó: phần tử bất liên tục biên [8] toán, giải vấn đề A(k )   d (2) diện tích k locking Tuy nhiên, chi phí tính toán tăng lên nhiều việc tạo lưới hàm trơn Đối với phần tử tam giác ba nút, phương pháp tương đối phức tạp miền trơn dựa cạnh k tạo Trong nghiên cứu này, dùng cách kết nối hai đầu nút cạnh phương pháp PTHH trơn dựa cạnh chung với hai trọng tâm phần tử tam để xấp xỉ trường chuyển vò [9,10] Khác giác xét phần tử tam giác kề bên với phương pháp PTHH truyền thống, (hình 1) trường biến dạng dùng trường biến dạng trung bình tính toán miền làm trơn dựa cạnh Vì trường biến dạng trơn số miền làm trơn, nên cần áp đặt điều kiện chảy dẻo điểm miền trơn, đảm bảo điều kiện thỏa mãn nơi Do đó, tượng locking khử chi phí Hình 1: Phân chia miền trơn tính toán tối ưu [11] Phương pháp PTHH trơn dựa k cạnh ES-FEM thành miền "trơn" đònh nghóa: với i j N ed k 1 ,  Ned k con, k (k) e k tổng số cạnh (1) k Trong đó:  hàm làm trơn, thỏa mãn điều kiện đơn vò: (k) e N   ( k )   m (x)d   Bimd im (3) A  i 1 1N (k) Trong đó: A   d   A i i 1  diện tích hàm trơn  k (k) Với Ne số phần tử có chung caïnh (k) (k) k ( Ne  cho caïnh biên, Ne  cho cạnh chung hai phần tử); A i phần tử Các thành phần biến dạng điểm xc thu sau: ~ phần tử tam giác nút đònh ~ (k) m i   j   (x c )   (x)(x  x c )d Biến dạng trung bình miền trơn nghóa sau: Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa cạnh ES-FEM, ta chia miền   k , m diện tích phần tử thứ i có chung cạnh k Biến dạng trung bình miền trôn   d  k : k 51 Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012 ~ (hk )  Bk1d k1  Bk 2d k  Bk d k (4) Gọi hệ số tải trọng sụp đổ lực thể tích g lực biên t gây ra, Ma trận tính biến dạng chuyển vò ~ i B kj trường chuyển vò khả dó động u : Dp ((u))  Wext (u)  W0ext (u)    N1,x N n ,x  ~ i ~ kj ~ kj   Bkj  0 N1,y N n ,y  (5)  ~ kj ~ kj ~ kj ~ kj   N1,y N1,x N n ,y N n ,x    ~ kj ~ kj Với Ai   N I (x)n  (x)d 3A ( k )  N I,   Dp ((u))  W0ext (u) (6)  u  0, u  u    F (u )  kj Trong dạng trơn ~ kj N I, ma trận hàm phân tích giới hạn tìm trường 3.1 Công thức phân tích giới hạn khả dó thực ứng với ràng buộc cận mặt học Một ràng buộc Ta xem vật thể cứng - dẻo tuyệt đối miền  với biên  ,với lực thể tích g lực biên t Điều kiện biên ràng buộc chuyển vò  u lập, u t   , u phải thỏa luật chảy dẻo kết hợp, thể mối liên hệ gia số biến dạng dẻo trạng thái ứng suất nằm mặt phá hủy, mà t   báo tiêu chuẩn von Mises Mohr Theo lí thuyết cận trên, kết cấu bò sụp đổ tồn trường khả dó động u U , cho:    (u)d  Wext (u) (7) Dp ((u))  Wext (u) Dp ((u))   d p ()d (8) ij ij – Coulomb Đối với toán phẳng, luật chảy dẻo kết hợp viết sau:  u  F  x  x y   v  F  y  y   u x  i, j Wext (u)   g T ud   t T ud t (15) Tinh thần lí thuyết cận rạc dựa ES-FEM Với (14) 3.2 Luật chảy dẻo kết hợp Công thức phân tích giới hạn rời Hay công lực thể tích Với ràng buộc: ~ kj  W0ext (u) (13) g0 lực biên t0 không nhân với hệ số tải trọng (tónh tải) Do cận tìm thông qua toán tối ưu: Với: thiết U (9) (10) t v  (16)  F  xy        xy  y x   u u  (11) ij (u)   i  j   x j x i  U  {u : u  u0  x u ,Wext (u)  0} (12)  Trong   : hệ số tốc độ gia tăng biến dạng dẻo 52 Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012 3.3 Tiêu chuẩn bền Mohr – Coulomb Những phương trình kết hợp với điều kiện biên ta thành lập Tiêu chuẩn bền Mohr - Coulomb toán tối ưu cực tiểu với hàm mục tiêu sử dụng rộng rãi học lượng tiêu tán dẻo Trường biến dạng đất, phù hợp với trạng thái làm việc khả dó thực, ứng với trạng thái tới hạn, có thoát nước đất tìm giải toán tối ưu hóa Hình 2: Mặt giới hạn Mohr - Coulomb không gian ứng suất Đối với trường hợp biến dạng phẳng tiêu chuẩn Mohr – Coulomb viết sau: F  (x  y )2  (2xy )2  (2ccos   (x  y )sin )2  Trong đó: c lực dính đất;  (17) góc ma sát đất Tiêu chuẩn Mohr – Coulomb biểu diễn không gian ứng suất giới hạn mặt tạo thành hình chóp hình Để thuận tiện trình sử dụng hệ số tốc độ gia tăng biến dạng dẻo, áp dụng luật chảy dẻo cho mặt ta viết theo daïng sau: Fk  Ak x  Bk y  Ck xy  2ccos   Trong đó: (18) Ak  cosa k  sin  , Bk  sin   cosa k , Ck  2sina k , a k  2k , p với k = 1, 2, …, p Với p tương ứng với số hệ số tốc độ gia tăng biến dạng dẻo cần thiết cho tiêu chuẩn Mohr – Coulomb không gian ứng suất Theo đề nghò S.W Sloan [1] p = 12 đủ xác để thể mặt phá hủy Mohr – Coulomb, nhiên p lớn xác Áp dụng luật chảy dẻo kết hợp (16) cạnh ta được: 53 Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012 u  F k  p  F k  p  x       Ak x  x k 1  x k 1  y  v  F k  p  F k  p       Bk y  y k 1  y k 1   u  v  k p  F  F (19) k p   xy           Ck  y  x     k 1 k 1   xy xy Năng lượng tiêu tán dẻo cho phần tử:    D   ( x  x   y  y   xy  xy )dAi (20) Ai Thế (2) vào (3) kết hợp với (1) ta được: k p  D  Ai  cos   c   k (21) k 1 Năng lượng tiêu tán dẻo cho toàn miền quan tâm dựa ES-FEM viết dạng: Ned k p  i 1 k 1 D ES  FEM   (2 Ai  cos   c   k ) (22) Baøi toán tối ưu hóa cho (14) viết lại nhö sau: Ned k p  i 1 k 1    (2 Ai  cos   c   k )  uC (23)  u  0, u  u Ràng buộc:    F (u )  Kết tính toán số Thuật toán phân tích giới hạn cận dựa phương pháp PTHH trơn dựa cạnh áp dụng để đoán tải trọng giới hạn toán móng nông biến dạng phẳng hình Hình 3: Bài toán móng nông - tải trọng hình học 54 Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012 Lời giải giải tích đề xuất dùng phần tử T3 truyền thống với kó thuật Prandtl [12] cho toán bán không gian cứng-dẻo      5.142  tích phân thiếu (reduced integration) (với c = 1, Phân bố lượng tiêu tán = 0) Do tính đối xứng nên thể hình cần giải mô hình móng Hình chữ nhật có B = 5, H = xem mô hình đủ lớn để đảm bảo phần tử biên biến dạng Hiện tượng “locking” xảy dùng phần tử tam giác truyền Hình 4: Phân bố lượng tiêu tán dẻo thông T3 Tuy nhiên, áp dụng phương Kết luận pháp PTHH trơn ES-FEM tượng Phương thức số phân tích giới hạn locking khử mô hình cận dùng phương pháp PTHH trơn Mohr - Coulomb Hệ số tải trọng giới hạn dựa cạnh ES-FEM tối ưu toán học đạt dùng lưới PTHH khác tuyến tính đề xuất trình bày trình bày bảng báo Từ kết tính toán Bảng 1: Hệ số tải trọng giới hạn cho ta thấy dùng phương pháp ES- lưới khác Mơ hình FEM để xấp xỉ trường chuyển vò Số phần tử 160 640 1440 ES-FEM 5.427 5.314 5.277 Errors (%) 5.5 3.3 2.6 tượng locking khử kết thu tương đối xác với chi phí tính toán trung bình Phương pháp phân tích giới hạn số giúp đoán Từ bảng ta thấy kết tính tương đối xác tải trọng phá hoại toán thu cao kết tốt cấu trượt công trình đạt [8] với việc dùng Tuy nhiên, mặt dẻo Mohn – đường bất liên tục biên phần tử (việc Coulomb thể gần phụ tạo lưới cho loại phần tử bất liên tục thuộc vào thông số p số lượng điều phức tạp điểm xem kiện ràng buộc số biến toán nút khác nhau) Tuy nhiên, tối ưu lớn, chẳng hạn dùng phương pháp ES-FEM dùng lưới phần tử truyền thống nên việc tạo lưới đơn giản 1440 phần tử số điều kiện ràng buộc Hơn nữa, kết thu số biến tương ứng lên đến 2456 dùng 160 phần tử tốt tất 12487 Chúng ta giải vấn đề kết thu [8] (bảng 2) cách mô tả xác mặt dẻo 55 Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012 dùng kó thuật tối ưu nón bậc hai pháp trình bày (second-order cone programming), giải nghiên cứu * ESTIMATE BEARING CAPACITY AND COLLAPSE MECHANISM OF SOIL BY USING LIMIT ANALYSIS Le Van Canh(1), Nguyen Chanh Hoang(2), Nguyen Ke Tuong(3) (1) International University – VNU HCM; (2) University of Tenology – VNU HCM; (3) Thu Dau Mot University ABSTRACT This paper presents a numerical limit analysis for evaluating the bearing capacity factor for a rigid surface footing is presented in this paper The soil is modeled as a cohesion frictional Mohr–Coulomb material with an associated flow rule assumed The upper bound on the collapse load is then estimated by means of numerical kinematic procedures The edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) is used to approximate the displacement field The limit analysis problem can be then formulated in the form of an optimization problem which can be solved using linear programming techniques The procedure is applied to the benchmark Punch problem and is found in practice to generate good upper-bound solution Keywords: limit analysis, load limit TÀI LIỆU THAM KHAÛO [1] Terzaghi, K., 1943, Theoretical Soil Mechanics, John Wiley & Sons, New York [2] Krabbenhoft K, Lyamin AV, Hjiaj M, Sloan SW., A new discontinuous upper bound limit analysis formulation, International Journal for Numerical Methods in Engineering 2005; 63:1069–1088 [3] Lyamin AV, Sloan SW., Mesh generation for lower bound limit analysis, Advances in Engineering Software 2003; 34:321–338 [4] Ciria H, Peraire J, Bonet J., Mesh adaptive computation of upper and lower bounds in limit analysis, International Journal for Numerical Methods in Engineering 2008; 75:899–944 [5] Makrodimopoulos A, Martin CM., Upper bound limit analysis using simplex strain elements and second-order cone programming, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 2006; 31:835–865 [6] Makrodimopoulos A, Martin CM., Lower bound limit analysis of cohesive-frictional materials using second-order cone programming, International Journal for Numerical Methods in Engineering 2006; 66:604–634 56 Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012 [7] Sloan, S.W & Randolph, M F., Numerical prediction of collapse loads using finite element methods, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 1982; 6, 47–76 [8] Sloan SW, Kleeman PW., Upper bound limit analysis using discontinuous velocity fields, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1995; 127(1-4), 293-314 [9] Liu GR, Nguyen-Thoi T, Lam KY., An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) for static, free and forced vibration analyses of solids, Journal of Sound and Vibration 2009; 320:1100–1130 [10] Nguyen-Xuan H, Liu GR, Nguyen-Thoi T, Nguyen Tran C., An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) for analysis of two-dimensional piezoelectric structures, Journal of Smart Material and Structures 2009; 12:12 065015 [11] C.V Le, H Nguyen-Xuan, H Askes, S Bordas, T Rabczuk, H Nguyen-Vinh, A cell-based smoothed finite element method for kinematic limit analysis, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2010: 83, 1651– 1674 [12] Prandtl L., Ueber die haerte plastischer koerper, Nachrichtex der Akademie der Wissenschaften in Gottingen II Mathematisch-Physikalische Klasse II 1920; 12:74–85 Nghieân cứu tài trợ Quỹ phát triển khoa học công nghệ quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 107.02-2011.01 57 ... tam giác truyền Hình 4: Phân bố lượng tiêu tán dẻo thông T3 Tuy nhiên, áp dụng phương Kết luận pháp PTHH trơn ES-FEM tượng Phương thức số phân tích giới hạn locking khử mô hình cận dùng phương pháp. .. chi phí tính toán trung bình Phương pháp phân tích giới hạn số giúp đoán Từ bảng ta thấy kết tính tương đối xác tải trọng phá hoại toán thu cao kết tốt cấu trượt công trình đạt [8] với việc dùng... hàm phân tích giới hạn tìm trường 3.1 Công thức phân tích giới hạn khả dó thực ứng với ràng buộc cận mặt học Một ràng buộc Ta xem vật thể cứng - dẻo tuyệt đối miền  với biên  ,với lực thể tích