Mô phỏng số một hệ thống máy có các chi tiết quay đơn giản bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Bài viết Mô phỏng số một hệ thống máy có các chi tiết quay đơn giản bằng phương pháp phần tử hữu hạn đề xuất một mô hình toán học cho một máy quay đơn giản để tính toán các thông số động lực học bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Phần mềm Matlab sẽ được sử dụng để thực hiện tính toán các mô hình toán học.

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 17, NO 7, 2019 MƠ PHỎNG SỐ MỘT HỆ THỐNG MÁY CĨ CÁC CHI TIẾT QUAY ĐƠN GIẢN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN NUMERICAL SIMULATION OF A SIMPLE ROTATING MACHINERY USING FINITE ELEMENT METHOD Đặng Phước Vinh, Lê Hoài Nam Trường Đại học Bách khoa – Đại học Đà Nẵng; dpvinh@dut.udn.vn, lehoainam@dut.udn.vn Tóm tắt - Máy gồm chi tiết quay (gọi tắt máy quay) hệ học đơn giản bao gồm động cơ, trục truyền gỗi đỡ Việc mơ hình hóa hệ thống máy quay phương pháp phần tử hữu hạn để xác định thông số động lực học tần số riêng, chế độ dao động, hệ số độ cứng, độ giảm chấn, độ võng trục… bước quan trọng phải ý suốt trình thiết kế chế tạo máy quay Trong báo này, tác giả đề xuất mô hình tốn học cho máy quay đơn giản để tính tốn thơng số động lực học phương pháp phần tử hữu hạn Phần mềm Matlab sử dụng để thực tính tốn mơ hình toán học Các chế độ dao động trục, tần số riêng hệ thống, độ võng trục chế độ tĩnh… trình bày thảo luận báo Abstract - Rotating machinery is a simple model including motor, shaft and bearings The modeling of rotating machinery using finite element method to evaluate the dynamic characteristics such as natural frequency, mode shapes, stiffness and damping coefficients and shaft’s static deflection… is quite important and must be paid attention during the design and fabrication of any rotating machines In this paper, authors proposed a mathematical model for a simple rotating machinery to identify the dynamic characteristics based on the finite element method Matlab was used for the simulation Results of natural frequencies, mode shapes as well as shaft’s static deflection will be presented and discussed here Từ khóa - Máy quay; phần tử hữu hạn; Matlab; thông số động lực học Key words - rotating machinery; finite element; Matlab; dynamic characteristics Giới thiệu Máy gồm chi tiết quay hệ học đơn giản bao gồm động cơ, trục truyền ổ bi đỡ Tùy thuộc vào nhiệm vụ trang trí máy mà động động đốt diesel, tua bin khí hay động điện, máy cơng tác chong chóng, máy nén khí hay máy phát điện Trong q trình làm việc, máy gồm chi tiết quay đồng thời thực dạng dao động: dao động xoắn, dao động dọc dao động ngang Do đó, việc tính tốn xác định thơng số động lực học máy gồm chi tiết quay tần số riêng, chế độ dao động, độ võng trục… bước quan trọng phải ý suốt trình thiết kế chế tạo máy quay Ở Việt Nam, có số tác giả nghiên cứu ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn tính dao động máy quay đạt thành công mặt thiết lập mơ hình phần tử hữu hạn phù hợp cho hệ máy gồm chi tiết quay Bên cạnh đó, việc xây dựng bàn thí nghiệm mơ tả hệ thống ổ bi – trục quay thu hút quan tâm trường đại học, viện nghiên cứu giới Các bàn thí nghiệm cịn sử dụng để kiểm tra tính xác độ tin cậy mơ hình tốn học dùng để đánh giá thông số động học động lực học máy gồm phần tử quay Một bàn thí nghiệm cỡ lớn thiết kế chế tạo dùng để đánh giá động lực học máy quay thông số ổ bi đỡ [1] Dựa vào đó, thơng số quan trọng hệ thống tần số riêng hệ thống, chế độ dao động cùa trục quay, hệ số độ cứng, hệ số giảm chấn dầu phân tích tính tốn [2, 3] Một bàn thí nghiệm cỡ lớn với đường kính ổ bi đỡ lên đến 500 mm xây dựng G D Jiang cộng [4], để xác định hệ số động lực học dầu Xung lực tác động lên trục tạo từ hai xylanh thủy lực đo cảm biến lực độ dao động trục xác định cảm biến biến dòng điện Eddy Phương pháp kích xung va đập để đánh giá 16 hệ số động lực học hai ổ bi đỡ trục dựa vào bàn thí nghiệm giới thiệu Z.L Qiu AK Tieu [5] Một số bàn thí nghiệm khác [6-7] lắp ráp để phân tích biến thiên hệ số độ cứng hệ số giảm chấn ổ bi đỡ với tần số cao lực tác động lớn Bài báo này, trình bày phương pháp mơ hình hóa mơ số học hệ thống máy gồm phần tử quay đơn giản để xác định tần số riêng hệ thống, chế độ dao động trục tần số riêng độ võng trục chế độ tĩnh Kích thước hệ thống lấy từ bàn thí nghiệm thực tế nhóm tác giả thiết kế chế tạo [8] Mơ hình phần tử hữu hạn hệ thống máy quay 2.1 Mô tả hệ thống Hình vẽ 3D bàn thí nghiệm hệ thống máy quay đơn giản dùng cho việc xây dựng mơ hình phần tử hữu hạn báo Phần giới thiệu chi tiết bàn thí nghiệm đặc tính học vật lý trình bày báo [8] Bàn thí nghiệm bao gồm động điện chiều, trục quay, hai ổ bi, khớp nối mềm, hai đĩa nặng gắn trục, bốn cảm biến tiệm cận để đo độ dao động trục quay Trục quay có đường kính 10 mm gắn với động qua khớp nối mềm đặt hai gối đỡ Để tạo cân động, đĩa nặng gắn vào trục vị trí gối đỡ (khối màu xám) Đĩa nặng có đường kính 75 mm chiều dày 25 mm Các đặc điểm chi tiết bàn thí nghiệm liệt kê Bảng Đặng Phước Vinh, Lê Hồi Nam nút có dạng sau:  x(jr ) = u (jr ) w(jr )  x( rj )  z( rj ) u (jr+)1 w(jr+)1  x( rj+)1  z( rj+)1 T Các bước tiến hành để xây dựng mơ hình tốn học dựa phương pháp phần tử hữu hạn: Chia trục quay thành Nel phần tử; Xây dựng ma trận cho phần tử vừa chia, đó: • [M]: ma trận khối lượng (mass matrix); • [Ms]: ma trận quán tính bậc (secondary effect of rotatory inertia matrix); • [G]: ma trận hồi chuyển (gyroscopic matrix); • [K]: ma trận độ cứng (stiffness matrix) Xây dựng ma trận toàn cục trục quay 4·Nnode × 4·Nnode dựa vào ma trận phần tử; Tính đến ảnh hưởng ổ bi Bước 1: Chia hệ thống thành Nel phần tử Việc chia nhỏ phần tử dựa vào kích thước thực tế chúng Kết chia Rotorkit, lưới FEM thể rõ Hình Analysis Hình Bản vẽ 3D mơ bàn thí nghiệm [8] Bảng Các thơng số vật lý cho mơ hình máy quay Trục Vật liệu Đường kính (mm) Chiều dài (mm) Mơ đun Young (GPa) Mật độ (kg/m3)  Thép 10 580 205 7800 0.04 [m] 0.02 -0.02 -0.04 Đĩa 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 [m] Hình Hệ thống sau chia lưới Vật liệu Đường kính (mm) Chiều dày (mm) Khối lượng (kg) Thép 75 25 0,867 Khối lượng (kg) Độ cứng (trục X) (N/m) Độ cứng (trục Y) (N/m) 0,150 1,25×105 3,83×108 Ổ bi Hình 2, thể kích thước cụ thể cho phận hệ thống Kích thước lấy từ bàn thí nghiệm thiết kế chế tạo nghiên cứu trước [8] Khớp nối 25 45 85 25 120 25 227 18 Hình Kích thước cho việc mơ hình hóa hệ thống 2.2 Mơ hình phần tử hữu hạn Để thực mơ hình hóa hệ thống phương pháp phần tử hữu hạn, ta phải xét đến tất chi tiết, phận có hệ thống Các phần tử xem xét bao gồm: trục quay, khớp nối, đĩa nặng gắn trục ổ bi Tiếp đến, ta cần định nghĩa phần tử hữu hạn: - Số lượng phần tử: Nel; - Số lượng nút: Nnode = Nel + 1; - Số bậc tự phần tử (gồm nút): Tổng số bậc tự do: Ndof = 4×Nnode Với phần tử thứ j bất kỳ, độ dịch chuyển độ xoay Bước 2: Xây dựng ma trận cho phần tử vừa chia Xét phần tử thứ j trục quay (có bậc tự do), ma trận khối lượng [M], ma trận quán tính bậc [Ms], ma trận hồi chuyển [G] ma trận độ cứng [K] có dạng sau: M  = 0  156  156 22 L   22 L L2  0  Sm L  −22 L 0 420  54  54 13L   −13L −3L2   13L 0  36      I  −3L M s  = 30 L  −36      −3L 0 36 3L 3L L2 0 0 −22 L 54 0 13L   0 54 −13L  0 13L −3L   4L −13L 0 −3L2  −13L 156 0 22 L   0 156 −22 L   0 −22 L L2  2 −3L 22 L 0 L  −3L 0 L2 3L −36 −3L 3L − L2 0 − L2  −36  36  3L   I 3L G  =  36 15L   −36  3L   3L −3L 0 −3L −4 L2 4L 3L 0 3L L2 −L −36 0 −36 3L −3L − L2 3L 0 36 0 −3L      − L2  3L   36 −3L   −3L L2  3L 0 L  36 −3L  −36 0 −3L   −3L 0 L2   −3L − L2  −36 3L   36 0 3L  −3L 0 −4 L2   −3L L2  ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 17, NO 7, 2019 EI k K  = (1 + a) L3  12      −6 L  −12      −6 L F 0 −6 L 12 6L L (4 + a) L2 0 (4 + a) L2 0 6L −12 −6 L L (2 − a) L2 0 (2 − a) L2 −12 0 6L 12 0 6L Tổng phần tử   u j   cxx () cxz ()     w j  − czx () czz ()     0  x j   0   z    j 0 0   u j  0  w j      x j    z   j Với ổ bi lắp trục, ta xem xét đến hệ số độ cứng giảm chấn số, hàm số vận tốc Trong đó, Ω tốc độ quay trục, W trọng lượng trục F ngoại lực tác dụng lên hệ thống     Nút   (4 DOF)    Ma trận độ cứng phần tử  thứ (8x8)  (r ) K  =    ( 4·Nnode x 4·Nnode )     Ma trận độ cứng phần tử   thứ (8x8)   Nút cuối   (4 DOF) 0 0 = − K (br ) ()  x j − C(br ) ()  x j M  x + (C +  G ) x + K  x = W + F(t ) Nút (4 DOF) ()  k xx () k xz ()  = −  k zx () k zz ()  0  0 −6 L   −12 6L   −6 L (2 − a) L  0 (2 − a) L2  0 6L   12 −6 L   −6 L (4 + a) L2  0 (4 + a) L  Trong đó: Sm : diện tích mặt cắt ngang phần tử thứ j; L : chiều dài phần tử thứ j; ρ : mật độ phần tử thứ j; Dm : đường kính khối lượng phần tử thứ j; Im : momen quán tính mặt cắt ngang phần tử thứ j; E : modun Young phần tử thứ j;  : hệ số Poisson phần tử thứ j Bước 3: Xây dựng ma trận tồn cục Bằng cách tính đến tất bậc tự trục quay (4×Nnode), ta phải xây dựng ma trận tồn cục từ ma trận phần tử xây dựng Hình ví dụ việc xây dựng ma trận toàn cục độ cứng cho hệ thống Mơ hình tốn học hệ thống trục quay - ổ bi thể Hình có dạng: Phần tử (8 DOF) ( br )                         Ma trận độ cứng phần tử cuối (8x8) Hình Ví dụ việc xây dựng ma trận độ cứng toàn cục Bước 4: Xét đến ảnh hưởng ổ bi Trong hệ thống này, trục quay đặt ổ bi, ta phải xét đến ảnh hưởng ổ bi đến ma trận toàn cục Trong hầu hết tốn mơ hình hóa, lực tác động lên trục (hay ổ bi) hàm số độ dao động trục với hệ số độ cứng, tốc độ dịch chuyển tốc độ góc với hệ số giảm chấn Tại phần tử thứ j, mối quan hệ lực tác động lên trục, hệ số độ cứng độ giảm chấn (chỉ xét đến độ dịch chuyển) biểu diễn sau:  k xx k xz  K ( br )  =  k zx k zz 0 0  0 0 cxx cxz 0 0 ; C( br )  =  czx czz  0 0  0 0  0 0 0 0 0 0 Do đó, ma trận tồn cục độ cứng giảm chấn có dạng K  = K  + K (br )    C = C + C(br )    Ma trận độ cứng giảm chấn thêm vào nút tương ứng với vị trí hai ổ bi trục Bên cạnh đó, khơng tồn dao động hai ổ bi điều kiện biên tốn Kết thảo luận Dựa vào mơ hình tốn học trình phần trên, tần số riêng hệ thống, chế độ dao động độ võng trục chế độ tĩnh trình bày phần 3.1 Tần số riêng Để xác định tần số riêng hệ thống, ta xét trường hợp trục đứng yên (Ω = 0), đó: M x + K x = Suy x = − M −1 K  x x = − x Cuối cùng, ta có biểu thức − M  −1 K  x =  x Từ biểu thức ta tính tần số riêng hệ thống: =  M  K  −1 Các tần số riêng tính phần mềm Matlab với lệnh sau: [V,D] = eig(M\K); eigenfreq = sqrt(diag(D)); [eigenfreq indexes] = sort(eigenfreq); V = V(:,indexes); [X0,lam0] = eig(Mg\Kg); [wn0, indexes] = sort(sqrt(diag(lam0))); wn0 = wn0/(2*pi); Kết ta có tần số riêng hệ thống: Mode #1: 28,8078 Hz (theo phương x) Mode #2: 28,8458 Hz (theo phương z) Mode #3: 125,4473 Hz (theo phương x) Mode # 1Đặng - Freq = 28.8Hz Phước Vinh, Lê Hoài Nam Mode #4: 125,7843 Hz (theo phương z) Mode #5: 347,1279 Hz (theo phương x) Mode #6: 357,4829 Hz (theo phương z) -0.05 -0.05 Z mZ -0.1 -0.1 -0.020 -0.02 0.02 0.02 0 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2 0.2 0.5 0.5 0.40.4 m [m] Y - Length Y - Length [m] X X Mode # động - Freq.của = 125.4Hz Hình Hình ảnh 3D dao trục mode #1 Mode # - Freq = 125.4Hz 0.05 Z m 0.05 Z -0.05 -0.020 -0.050.02 0.1 0.2 0.5 0.4 0.3 m 0.5 0.4 -0.020XHình Hình ảnh 3D dao0.2 động của0.3 trục mode #3 0.02 0.1 Mode # - Freq = 347.1Hz trục chế độ tĩnh 3.3 Độ võng Y - Length [m] X điều kiện tĩnh, ta tính tốn độ võng trục Ở 0.04 Mode - Freq = 347.1Hz 0.02 (theo phương nằm ngang và#thẳng đứng) ảnh hưởng Y - Length [m] trọng lượng trục đĩa nặng gắn trục Các phần tử -0.02 -0.04 trên-0.06 trục có bậc tự do: Z Kết mơ này, tác giả kiểm nghiệm thực tế thông qua bàn thí nghiệm trình bày tài liệu [8] kết phù hợp với sai số nhỏ Tuy nhiên, giới hạn độ dài báo mục đích báo, tác giả khơng trình bày kết thực nghiệm 3.2 Các chế độ dao động trục Ứng với tần số riêng hệ thống, trục quay dao động với biên độ lớn xảy tượng cộng hưởng Do giới hạn độ dài tính súc tích báo, tác giả xét chế độ dao động trục quay bốn tần số riêng hệ thống (mode #1 – mode #4) Tại mode #1 mode #2, trục dao động theo phương X phương Z với tần số dao động 28,8 Hz Độ võng trục tần số 0,2 mm ~ 200 μm Tại hai gối đỡ (hai chấm màu đen) không xảy dao động Tại mode #3 mode #4, trục dao động theo phương X phương Z với tần số dao động 125,8 Hz Độ võng trục tần số giảm xuống 100 μm Mode # - Freq = 28.8Hz 0.04 -0.08 0.5 T 0.02 0.4 (r ) (r ) (r ) (r ) (r ) (r ) (r ) 0.3 w(jr )  x( rj )  -0.02 0x j0 = u j 0.2z j u j +1 w j +1  x j +1  z j +1 0.02 0.1 -0.02 Y - Length [m] -0.04 Trọng lực tác dụng lên phần tử theo phương -0.06 X thẳng -0.08 đứng Do đó, ta có biểu thức: 0.5 0.4 0.3 -0.020 M g = K x 0.2 0.02 0.1 Y - Length [m] g= = Mode # - Freq 28.8Hz Trong g gia tốc trọng trường, 9.81 m/s2 Độ 0.2 X  Z  Mode # - Freq = 28.8Hz Mode # - Freq = 28.8Hz 0.3 0.4 0.5 0.1 -0.2 0 Hình Dao động trục mode #1 mode #2 0.3 0.4 0.5 Mode # - Freq = 125.4Hz 0.1 0.2 0.1 -0.10 0 -0.2 0.1 -0.1 0 0.1 0.2 0.1 0.2 # - Freq 0.3 = 28.8Hz0.4 Mode Mode # - Freq = 357.5Hz 0.2 0.3 0.4 0.5 Mode #3 – Tần 0.1 0.2 số riêng 0.3 125,4473 0.4 Hz 0.1 Mode 0.2 # - Freq 0.3= 125.8Hz 0.4 Mode # - Freq = 429.8Hz 0.5 Hình 6.0.1Dao động0.2của trục ở0.3mode #30.4 mode #4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Mode 0.2 # - Freq 0.3= 357.5Hz 0.4 0.5 Amp Amp 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.4 0.5 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Mode # - Freq = 429.8Hz Mode # 10 - Freq = 686.3Hz 0.1 0.3 Mode # - Freq = 410.8Hz 0.1 0.2 0.1 0.5 Mode # 10 - Freq = 686.3Hz Amp -0.1 0.5 dễ hình dung,Mode # -xây Freq.dựng = 662.4Hz Để tác giả mơ hình 3D cho -0.1 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 chế-0.1độ dao động củaMode trục #tại tần số riêng hệ thống - Freq = 429.8Hz 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 Hình mơ tả cách trực quan độ dao Hình động của-0.10trục mode #1 mode #3 với tần số 28,8 Hz 0.2 0.3 0.4 0.5 125,40 Hz 0.1 0 Mode # - Freq = 357.5Hz 0.1 -0.10 -0.1 M  g 0.1 0.2 Từ đó, ta tính độ võng0.3của trục0.4như biểu0.5 Mode # - Freq = 125.8Hz 0.1 diễn Hình 0.5 0.1 Mode #4 – Tần số riêng 125,7843 Hz -0.2 −1 Mode # - Freq = 347.1Hz 0.1 -0.10 0 -0.1 0.1 -0.1 0.1 -0.1 x = K  Mode #2 – Tần số riêng 28,8457 Hz 0.1 võng trục tính dựa vào biểu thức Amp 0.2 Amp Amp Amp Amp Amp.Amp Amp 0.1 Mode # - Freq = 125.8Hz 0.1 -0.1 Amp.Amp Amp 0 0.5 0.1 Amp Amp Amp 0.2 -0.2 Hình Độ0.1võng của0.2trục chế0.3độ tĩnh -0.1 0.4 0.5 Mode # 10của - Freq = 686.3Hz Có thể 0.1 nhận thấy, tác dụng trọng lượng trục hai đĩa nặng, trục võng xuống đạt giá trị tối đa khoảng 3370 μm vị trí hai ổ bi: cách 300 mm từ điểm nối động khớp nối Dễ dàng nhận thấy, -0.1 0.1 0.4 hai ổ bi (điểm màu đen) trục0.2khơng có0.3hiện tượng võng 0.5 Amp Amp 0.2 Amp Mode #1 – Tần số riêng 28,8078 Hz ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 17, NO 7, 2019 Kết luận Bài báo trình bày mơ hình hóa mơ máy quay đơn giản để xác định thông số động lực học quan trọng phương pháp phần tử hữu hạn dựa phần mềm chuyên dụng Matlab Các tần số riêng hệ thống, chế độ dao động trục độ võng trục chế độ tĩnh trình bày thảo luận báo Nghiên cứu góp phần tạo mơ hình máy quay đơn giản để phục vụ công tác giảng dạy, nghiên cứu dao động kỹ thuật, động lực học máy quay… Ở nghiên cứu tiếp theo, nhóm tác giả tiến hành so sánh kết mô với kết thực tế thu từ bàn thí nghiệm [8] Lời cám ơn: Bài báo tài trợ Trường Đại học Bách khoa – Đại học Đà Nẵng với đề tài có mã số: T2019-02-42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S Chatterton, P Pennacchi, PV Dang, A Vania, “A test rig for evaluating tilting–pad journal bearing characteristics”, Mechanisms and Machine Science, Vol 21, Springer, 2014, pp 921-930 [2] PV Dang, S Chatterton, P Pennacchi, A Vania, F Cangioli “Eccentricity measurements on a five-pad tilting pad journal bearing”, Proceedings of the 14th IFToMM World Congress, Taipei, Taiwan, 2015, pp 496-502 [3] PV Dang, S Chatterton, P Pennacchi, A Vania, “Effect of the load direction on non-nominal five-pad tilting-pad journal bearings”, Tribology International, Vol 98, Elsevier, 2016, pp 97-211 [4] GD Jiang, H Hu, W Xu, ZW Jin, YB Xie, “Identification of oil film coefficients of large journal bearings on a full scale journal bearing test rig”, Tribology International, Vol 30(11), Elsevier, 1997, pp 789-793 [5] ZL Qiu, AK Tieu, “Identification of sixteen force coefficients of two journal bearings from impulse responses”, Wear, Vol 212, Elsevier,1997, pp 206-212 [6] H Zhou, S Zhao, H Xu, J Zhu, “An experimental study on oil-film dynamic coefficients Tribology International, Vol 37, Elsevier, 2004, pp 245-253 [7] W Dmochowski, “Dynamic properties of tilting-pad journal bearings: experimental and theoretical investigation of frequency effects due to pivot flexibility”, Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, Vol 129, ASME Transaction, 2017, pp 865-869 [8] Đặng Phước Vinh, Trần Phước Thanh, “Bàn thí nghiệm cỡ nhỏ để xác định thơng số động học máy quay”, Tạp chí Khoa học Công nghệ, Số 7(128).2018, Đại học Đà Nẵng, 2018, trang 71-74 (BBT nhận bài: 13/6/2019, hoàn tất thủ tục phản biện xong: 23/7/2019) ... hóa hệ thống phương pháp phần tử hữu hạn, ta phải xét đến tất chi tiết, phận có hệ thống Các phần tử xem xét bao gồm: trục quay, khớp nối, đĩa nặng gắn trục ổ bi Tiếp đến, ta cần định nghĩa phần. .. trình bày mơ hình hóa mơ máy quay đơn giản để xác định thông số động lực học quan trọng phương pháp phần tử hữu hạn dựa phần mềm chuyên dụng Matlab Các tần số riêng hệ thống, chế độ dao động trục... ngang phần tử thứ j; L : chi? ??u dài phần tử thứ j; ρ : mật độ phần tử thứ j; Dm : đường kính khối lượng phần tử thứ j; Im : momen quán tính mặt cắt ngang phần tử thứ j; E : modun Young phần tử thứ