Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 10 Tính vỏ bằng phương pháp phần tử hữ hạn

Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 10 Tính vỏ bằng phương pháp phần tử hữ hạn

Chương 10 TÍNH VỎ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Lý thuyết tính toán vỏ mỏng dựa trên 02 giả thiết của Kirchhoff- Love Trên hình10-1 biểu diễn các thành phần nội lực của phân tố vỏ, trong đó ký hiệu:

là loại phần tử xuất hiện sớm nhất khi sử dụng PP PTHH tính vỏ Việc thừa nhận phần

tử vỏ là phần tử phẳng làm giảm tính chất phức tạp của bài toán mà vẫn đảm bảo độchính xác của kết quả tính

Phần tử vỏ phẳng là phần tử kết hợp của 02 phần tử màng và phần tử tấm

dựa trên nhận xét, [5]: Khi xét cân bằng phần tử chỉ thiết lập được 05 phương trình,riêng phương trình thứ sáu ∑M z =0luôn thỏa mãn do định luật đối ngẫu của ứng suấttiếp Đối với phần tử vỏ phẳng không tồn tại các chuyển vị xoay θiz quay quanh trục z

tại các nút i Song, ta vẫn đưa các thành phần chuyển vị này vào phương trình cânbằng để tránh khó khăn khi giải bài toán phải nghịch đảo ma trận độ cứng, mà ma trận

độ cứng trong bài toán vỏ có thể là ma trận suy biến

Các lực nút theo phương trục x là R ix và theo phương trục y là R iy tại nút i chỉảnh hưởng đến biến dạng trong mặt phẳng trung bình chứ không ảnh hưởng đến biếndạng uốn; còn các lực nút theo phương trục z là R iz và mô men uốn xoay quanh trục

x là M ix, mô men uốn xoay quanh trục y là M iy tại nút i chỉ ảnh hưởng đến biếndạng uốn của phần tử chứ không ảnh hưởng đến biến dạng trong mặt phẳng trungbình V.Z Vlatxop đã chứng minh kết luận trên chỉ đúng cho vỏ thoải

Trong [12] đã tóm tắt những nhược điểm của phần tử vỏ phẳng do Gallagher đưara:

1 Vỏ là vật thể được giới hạn bởi 02 mặt cong nên các phương trình vi phân biểudiễn điều kiện cân bằng, chuyển vị, biến dạng, ứng suất của vỏ phụ thuộc các yếu tốhình học của vỏ như: tham số Lamê, bán kính cong,…Do đó, các phương trình vi phântrong bài toán vỏ không đồng nhất với các phương trình vi phân trong kết cấu màng vàtấm mỏng chịu uốn

2 Sự không liên tục của góc xoay giữa các phần tử liền kề có thể gây ra mô menuốn ở những vùng mà thực tế không có mô men uốn

“phần tử thẳng vuông góc với mặt trung bình trước biến dạng thì sau biến dạng vẫnthẳng và không nhất thiết phải vuông góc với mặt trung bình” Với giả thiết này,chuyển vị và góc xoay tại nút trên mặt trung bình được xem là các bậc tự do độc lập.Phần tử vỏ với việc sử dụng giả thiết của Mindlin có thể tính cho cả vỏ dày

Trong chương này giới thiệu 02 kiểu phần tử vỏ: phần tử vỏ phẳng tứ giác đồngtham số 4 nút và phần tử vỏ cong tứ giác đồng tham số 04 nút của Kanok-Nukulchai

{ }q i ={u i v i w i θxi θyi θzi} {T = u i v i w i θxi θyi 0}T (10.2)

Phần tử tấm đồng tham số 04 nút chịu uốn và cắt đã xét trong chương 3 nêntrong chương này chỉ xét phần tử màng và ghép nối các ma trận của phần tử tấm chịu uốn, cắt và phần tử màng thành phần tử vỏ phẳng

10.2.1 Phần tử màng

Dưới đây, sẽ dẫn ra các công thức cơ bản của PP PTHH cho phần tử màng tứ

giác đồng tham số 04 nút trong hệ tọa độ chung OXYZ.

Véc tơ toạ độ (hình học) { } { }T

X = x y và hàm chuyển vị { }U m xác định vị trí

và chuyển vị của điểm bất kỳ trong phần tử xét trong hệ tọa độ chung OXYZ được nộisuy qua hàm nội suy N i, dưới dạng:

1

i i

x x

u u

{ }q m- véc tơ chuyển vị nút của phần tử màng trong hệ tọa độ chung

{ } { 1 1 2 2 3 3 4 4}

T m

Khi biểu diễn véc tơ chuyển vị theo các nút i , (i= ÷1 4):

{ } { { } { } { } { }1 2 3 4 }

T m

với r i, s i là toạ độ tự nhiên tại nút i, với i= ÷1 4

Từ (10.10), hàm nội suy N i với giá trị r i, s i tại nút i= ÷ 1 4:

của lý thuyết đàn hồi:

[ ]

0

0

x y

2 2

3 3 3

Từ (10.14) đạo hàm đối với biến (x y, ) trong hệ tọa độ Descartes được xác địnhqua đạo hàm riêng theo biến ( )r s, trong hệ tọa độ tự nhiên:

1

Ma trận độ cứng của phần tử màng kiểu tứ giác tương ứng với chuyển vị { }q i m

tại các nút i, i= ÷ 1 4, trong đó ma trận con có kích thước 2x2, có dạng:

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Ma trận khối lượng được xác định theo công thức tổng quát:

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Xét trường hợp tải trọng tác dụng phân bố trong mặt phẳng của phần tử Véc

tơ tải trọng tại điểm bất kỳ trong phần tử có dạng:

S

y

p p

p

 

=  

với p x, p y là cường độ tải trọng phân bố theo trục x, y

Véc tơ lực nút qui đổi của phần tử màng có dạng:

5 Véc tơ ứng suất và nội lực của phần tử màng

Ứng suất và nội lực phân bố của phần tử màng được xác định theo công thứctrạng thái ứng suất phẳng của lý thuyết đàn hồi

Với N , x N y là lực dọc theo phương trục x , y và N xy là lực trượt

10.2.2 Các ma trận của phần tử vỏ phẳng tứ giác 04 nút đồng tham số

Các ma trận của phần tử vỏ được tổ hợp từ các ma trận tương ứng với các trạngthái màng, trạng thái uốn có kể đến biến dạng cắt theo giả thiết Mindlin

Chỉ số “m” tương ứng với trạng thái màng, chỉ số “t” tương ứng với trạng

thái uốn, cắt của tấm, phần tử có giá trị bằng 0 tương ứng với chuyển vị xoắn

Căn cứ vào thứ tự chuyển vị nút trong véc tơ chuyển vị nút { }q e theo (10.1), matrận độ cứng và ma trận khối lượng của phần tử vỏ có dạng (10.34) và (10.35).

Các ma trận [ ]K m ij của phần tử màng có kích thước 2x2 được xác định theo (10.24),với (i= ÷1 4), ( j= ÷1 4) tương ứng với { }q i m; còn các ma trận [ ]K t ij của phần tử tấmuốn có kích thước 3x3 được xác định theo (3.86), với (i= ÷1 4), ( j= ÷1 4) tương ứngvới chuyển vị { }q i t

(i= ÷1 4) Các ma trận [ ]M m ij của phần tử màng được xác định theo (10.27) tương ứngvới gia tốc { }q&&i m với (i= ÷1 4), ( j= ÷1 4); còn các ma trận [ ]M t ij của phần tử tấm uốnđược xác định theo (3.91) với (i= ÷1 4), ( j= ÷1 4) tương ứng với gia tốc { }q&&i t.

Véc tơ lực nút qui đổi do tải trọng tác dụng trong phần tử có kích thước 24x1,dưới dạng theo các nút i, (i= ÷1 4):

{ } { { } { } { } { }1 2 3 4 }

T e

trong đó véc tơ lực nút qui đổi { }R i tại nút i, (i= ÷1 4) có kích thước 6x1 được tổ hợp

từ trạng thái màng, trạng thái uốn tấm và trạng thái xoắn:

{ } { m m t t t 0}T

10.3 PHẦN TỬ VỎ CONG TỨ GIÁC ĐỒNG THAM SỐ 4 NÚT

Trong mục này sẽ đưa ra các công thức cơ bản của PP PTHH cho phần tử vỏcong tứ giác đồng tham số 4 nút, xét trong hệ tọa độ chung do Kanok-Nukulchai đềxuất, được xây dựng từ phần tử khối có sử dụng giả thiết Kirchhoff-Love và giả thiếtMindlin

Trên hình 10-3, ký hiệu O’X’Y’Z’ là hệ tọa độ địa phương với các véc tơ đơn vị'

Hình 10-3 Phần tử vỏ cong tứ giác 04 nút đồng tham số.

Trong hệ tọa độ chung, tại mỗi nút i, (i= ÷1 4) có 06 thành phần chuyển vịgồm: 03 chuyển vị thẳng u i, v i, w i và 03 chuyển vị xoay θxi, θyi, θzi:

{ } { { } { } { } { }1 2 3 4 }

T e

Như vậy, véc tơ chuyển vị nút { }q e của phần tử có kích thước 24x1

Tương tự, véc tơ lực nút qui đổi { }R e của phần tử có kích thước 24x1:

{ } { { } { } { } { }1 2 3 4 }

T e

Phần tử vỏ cong tứ giác đồng tham số 4 nút là phần tử mà hình học hay chuyển

vị tại điểm bất kỳ trong phần tử được nội suy qua hàm nội suy N i, (i= ÷1 4) và tọa độhay chuyển vị tại các nút

Hàm nội suy N i của phần tử vỏ cong tứ giác đồng tham số 4 nút trong hệ tọa độ

tự nhiên có dạng tương tự như của phần tử vỏ phẳng 04 nút, theo (10.10)

2 Tọa độ của điểm bất kỳ trong phần tử

Trong hệ tọa độ chung, tọa độ (x y z, , ) tại điểm bất kỳ trong phần tử được xấp xỉqua hàm nội suy N i và tọa độ nút (x y z i, ,i i), chiều dày vỏ δi tại các nút i với i= ÷1 4:

3 4

3 1

3

1.2

3 Ma trận chuyển tọa độ và cô sin chỉ phương của điểm bất kỳ trong phần tử

Ma trận chuyển tọa độ (ma trận cô sin chỉ phương) giữa hệ tọa độ địa phương và

độ chung Tương tự cho (l m n2, 2, 2) với véc tơ '

Dưới đây sẽ xác định các côsin chỉ phương của các véc tơ đơn vị tại điểm bất kỳtrong phần tử theo các biến trong hệ tọa độ tự nhiên, [3, 12].

Xét một điểm bất kỳ có tọa độ tự nhiên ( )r s, trên mặt trung bình (t=0) Theođại số véc tơ, tích có hướng (tích chéo) của 02 véc tơ là một véc tơ vuông góc với mặtphẳng chứa 02 véc tơ trên

* Côsin chỉ phương của véc tơ pháp tuyến '

3

er tại điểm bất kỳ có tọa độ ( )r s,được xác định bằng công thức (10.44), hay dưới dạng định thức ma trận với các véc tơđơn vị ir

3

3 3 3

a l

=+ + (10.46)

* Cô sin chỉ phương của véc tơ '

2

er được xác định bằng tích có hướng của véc tơ'

3

er

và véc tơ đạo hàm theo biến r tại tâm phần tử (r s= =0) được xác định bằng côngthức:

0,0 '

y m

r l

y m

2

2 2 2

a l

=+ + (10.49)

* Cô sin chỉ phương của véc tơ tiếp tuyến '

1

er được xác định bằng tích có hướngcủa véc tơ '

Các thành phần của véc tơ '

1

er hay các cô sin chỉ phương của nó trong hệ tọa độchung được xác định theo công thức:

1

1 1 1

a l

=+ + (10.52)Các cô sin chỉ phương của véc tơ er1

, véc tơ er2

và véc tơ er3

giữa các trục tọa độ

hàm của biến r và s trong hệ tọa độ tự nhiên

Khi tính cô sin chỉ phương tại nút i lấy giá trị r và s tại nút i

∂

∂ trong các công thức xác định cô sin chỉ phương với

x, y, z được xác định từ (10.42) Vì xét tại mặt trung bình nên biến t=0 Do đó, từ(10.42) tọa độ (x y z, , ) của điểm bất kỳ có dạng:

4

1

i i i

N x

N y

N z

N x

N y

N z

i

N

s s r r

i

N

r r s s

r N

r N

s

−

∂ (10.59)

độ địa phương tại nút i), hình 10-4

Hình 10-4 Góc xoay pháp tuyến và chuyển vị do xoay pháp tuyến.

Các thành phần chuyển vị thẳng được xác định bằng công thức:

1.2

α của pháp tuyến quay quanh trục x', '

y trong hệ tọa độ địaphương được xác định qua chuyển vị xoay θxi, θyi, θzi trong hệ tọa độ chung và các côsin chỉ phương giữa hai hệ tọa độ tại nút i:

Thay (10.66) vào (10.60) nhận được hàm chuyển vị trong hệ tọa độ chung:

1

1.2

{ }U e =[ ]B e{ }q e Chú ý đến (10.69), ma trận hàm dạng [ ]B e xét trong hệ tọa độ chungtương ứng với véc tơ chuyển vị nút của phần tử:

{ } { { } { } { } { }1 2 3 4 }

T e

Ma trận biến dạng - chuyển vị [ ]D e xác định từ công thức { }ε =e [ ]D e{ }q e.

1 Véc tơ biến dạng của phần tử vỏ

Phần tử vỏ cong được xây dựng từ phần tử khối Lý thuyết tính toán vỏ thừanhận biến dạng theo phương pháp tuyến ε =z, 0 nên 05 thành phần biến dạng còn lạicủa phần tử khối được xác định theo công thức Cauchy của lý thuyết đàn hồi

Véc tơ biến dạng của phần tử vỏ trong hệ tọa độ địa phương tương ứng trạng tháimàng, uốn và cắt được xác định theo công thức:

{ }

'

' '

' '

' '

' '

''''' '' '

x y e

x z

y z

u x v y

a Chuyển các đạo hàm chuyển vị trong hệ tọa độ địa phương về hệ tọa độ chung

Để xác định các thành phần biến dạng, trước hết cần biểu diễn các đạo hàm riêngchuyển vị u v w', ,' ' theo các biến x y z', ,' ' trong hệ tọa độ địa phương qua các đạo hàmriêng chuyển vị u v w, , theo các biến x y z, , trong hệ tọa độ chung qua ma trận chuyểntọa độ [ ]L bằng công thức:

1 Cô sin chỉ phương (l m n1, 1, 1), (l m n2, 2, 2), (l m n3, 3, 3) tại điểm bất kỳ trong phần

tử, phụ thuộc các biến r, s, t trong hệ tọa độ tự nhiên

2 Do xét trong hệ tọa độ tự nhiên nên các đạo hàm chuyển vị theo biến ( x y z, , )cần phải chuyển về đạo hàm chuyển vị theo biến (r s t, , )

b Xác định các đạo hàm chuyển vị theo biến ( r s t, , )

Quan hệ đạo hàm riêng theo biến tọa độ tự nhiên (r s t, , ) và theo biến (x y z, , ) và

ngược lại, dưới dạng ma trận:

* Biểu thức biến dạng '

''

x

u x

v y

1 4

q q

Ma trận biến dạng - chuyển vị [ ]D e của phần tử, có kích thước 5x24

Dưới đây sẽ xác định ma trận biến dạng - chuyển vị [ ]D i 5 6x tương ứng với véc tơchuyển vị { }q i tại nút i, i= ÷1 4 với việc biểu diễn các thành phần biến dạng của phần

tử trong hệ tọa độ địa phương qua chuyển vị nút trong hệ tọa độ chung

Để thuận lợi khi tính tích phân xác định ma trận độ cứng, ma trận [ ]D i được thiếtlập tương ứng với véc tơ biến dạng { }ε' e:

D D

* Xác định ( )'

''

x i

i

u x

y i

i

v y

biểu thức (10.102) có dạng:

' ' 2, ' 2, ' 2, '

D y

i

N u

i

N u

i

N v

i

N v

i xi i yi i

N w

i

N w

er:

er:

[ ] *

2mi 2mi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )y z' ' ( 2 ' 3,( ) 3 ' 2,( ) ) i ( 2 ' 3,( ) 3 ' 2,( ) ) i ( 2 ' 3,( ) 3 ' 2,( ) ) i

(10.135)Thay (10.131), (10.135) vào (10.127) rút ra:

10.3.3 Ma trận ứng suất, nội lực - chuyển vị nút

Véc tơ ứng suất trong vỏ khi tuân theo qui luật đối ngẫu được xác định bằngcông thức:

trong đó:

{ }σ = σ' e { x' σy' τx y' ' τx z' ' τy z' '}T (10.156)

{ }ε = ε' e { x' εy' γx y' ' γx z' ' γy z' '}T (10.157)

Để thuận tiện khi tính ứng suất hoặc nội lực, ma trận [ ]C được phân tích thành 02

ma trận tương ứng trạng thái màng kết hợp trạng thái uốn và trạng thái cắt:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0m 0

s

C C

(α là hệ số hiệu chỉnh biểu thị sự chống vênh của mặt cắt ngang)

Ứng suất của phần tử được xác định qua chuyển vị nút { }q e:

{ } [ ][ ] { } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

{ } { } { } { }

q q

z

r , có dạng:/2

Từ công thức tính ứng suất với chuyển vị tại nút i theo (10.160) và tính [ ]D i

theo (10.153), nội lực của vỏ là tổng giá trị nội lực tính với chuyển vị nút { }q i tạicác nút i i,( = ÷1 4):

* Mô men uốn M x, M y và mô men xoắn M xy:

0 |12

x

i xy

| 0

x

i xy

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Để thuận tiện khi tích phân số, ma trận độ cứng phần tử được chia thành 02 matrận tương ứng với trạng thái màng, trạng thái uốn và ma trận tương ứng với trạng tháicắt:

|

T mi

Tương tự cho ma trận độ cứng xét biến dạng cắt:

Ma trận độ cứng trong trạng thái cắt  k ij s có kích thước 6x6

Ma trận D 1si xác định theo (10.136), còn D 1sj cũng xác định theo (10.136)bằng cách thay i bằng j

Trong các công thức tích phân (10.169) và (10.171) đã lấy gần đúng

(r s t, , ) (r s, ,0 )

J = J , nghĩa là tính tích phân 03 lớp với 03 biến r s t, , được thay bằng tínhtích phân 02 lớp chỉ với 02 biến r s,

Khi tính tích phân số (10.169) dùng sơ đồ cầu phương Gauss 2x2; với tích

phân số (10.173) hoặc (10.171) để tránh hiện tượng shear loocking dùng sơ đồ cầuphương 1x1

2 Ma trận độ cứng xoắn

Đối với phần tử vỏ 04 nút, góc xoay của

pháp tuyến và góc xoay trong mặt phẳng trung

bình là độc lập với nhau Góc xoay trong mặt

tuyến và góc xoay trong mặt

Với αxoan là hệ số xoắn.

Nếu αxoan Gδ được chọn đủ lớn so với Eδ3 trong biểu thức thế năng biến dạng douốn thì (10.172) đóng vai trò hàm giới hạn, kết quả là tại điểm cầu phương Gauss:

Khi tính các tích phân số, sử dụng phép cầu phương Gauss 1 1×

Ma trận độ cứng chống xoắn [ ]k xoan của phần tử có kích thước 24x24, được xácđịnh từ các ma trận con  k ij xoan (10.178), có kích thước 6x6.

Ma trận độ cứng  k ij trong (10.164) bằng tổng ma trận độ cứng  k ij m s, trong

trạng thái màng và uốn xác định theo (10.169), trong trạng thái cắt theo (10.171) và

ma trận độ cứng  k ij xoan trong trạng thái xoắn xác định theo (10.178):

Biểu diễn ma trận khối lượng của phần tử tương ứng với véc tơ gia tốc { }q&&i tạinút i với i= ÷ 1 4 có dạng (10.186).

Ma trận M ij trong (10.186) có kích thước 6x6 Các ma trận con [ ]M11 , [M12],[ ]M13 , [M14] được tính bằng thay chỉ số i=1và j=1, 2,3, 4 Các ma trận con còn lạitiến hành tương tự

ρ- mật độ khối lượng vật liệu phần tử.

Ma trận khối lượng M ij được tính bằng tích phân số theo phép cầu phươngGauss 2x2 Ký hiệu:

10.3.6 Véc tơ lực nút qui đổi

Véc tơ lực nút qui đổi có dạng:

{ } { { } { } { } { }1 2 3 4 }

T e

i i i

với α xác định theo (10.182) hoặc (10.183).

i i i

i i i

3 Lực mặt phân bố đều tác dụng theo phương thẳng đứng tại mặt trên của vỏ

Giả sử p v là áp lực thẳng đứng tác dụng lên mặt trên của vỏ (t=1) Chuyển vịthẳng đứng được xác định từ chuyển vị pháp tuyến u n với l3 =m3 =0, n3 =1 nên véc tơlực nút qui đổi trong trường hợp này suy từ (10.192) có dạng:

1 1

3

00

12120

i i i