Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 7 Hiệu ứng biên của vỏ trụ tròn trong trạng thái màng

Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 7 Hiệu ứng biên của vỏ trụ tròn trong trạng thái màng

Chương 7 HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN TRONG TRẠNG THÁI MÀNG

Khi vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, ở vùng xa biên vỏ trạng thái biến dạng,nội lực là trạng thái màng (phi mô men) Hiệu ứng biên trong trạng thái màng là hiệuứng xuất hiện biến dạng uốn, có đặc trưng cục bộ với vùng xuất hiện biến dạng uốn tắtnhanh trong khoảng cách nhỏ từ nguồn gây ra hiệu ứng biên như: tại liên kết ngàm,liên kết 02 vỏ có độ cứng khác nhau,…

Trong chương này, xét hiệu ứng biên trong trạng thái màng của vỏ trụ tròn dướitác dụng của tải trọng pháp tuyến đối xứng trục và sự thay đổi nhiệt độ trong một sốtrường hợp thường gặp trong thực tế tính toán, thiết kế [21]

dạng tự do và sau biến dạng có đường

kính d+ ∆d, đường sinh là đường thẳng và vỏ ở trong trạng thái màng

Tại vị trí biên ngàm, xuất hiện biến dạng uốn Trong mục này sẽ xác định cácthành phần nội lực do biến dạng uốn gây ra

Xét vỏ trụ tròn bán kính r, chiều dày δ với tọa độ cong của đường kinh tuyến(đường sinh) α =x và tọa độ cong của đường vĩ tuyến β = ϕ Do vỏ chịu tải trọng đối

Hình 7-1

xứng trục nên nội lực: lực trượt S = 0, lực cắt theo phương vòng Q2 =Qϕ =0, mô menxoắn H = 0 Các thành phần nội lực khác không là: theo phương dọc trục vỏ mô menuốn M1 =M x, lực cắt Q1 =Q x và theo phương vòng N2 =Nϕ =const, M2 =Mϕ =const,

hình 7-2

Xét cân bằng của phân tố vỏ, hình 7-2, lấy tổng hình chiếu của các lực lênphương pháp tuyến, với hình chiếu của lực dọc Nϕ lên phương pháp tuyến được biểudiễn trên hình 7-2:

phương trình bằng điều kiện biến dạng

giản hơn khi đưa vào biến mới là

đó, không cần thiết lập thêm điều kiện biến dạng vì từ chuyển vị w có thể biểu diễn cácthành phần M x, dQ x

dx , Nϕ trong các phương trình (7.1) và(7.2) như đối với dầm có chiều rộng rdϕ =1, hình 7-3, với

độ cứng:

Hình 7-2

( )

3 2

x

K

dx = dx (7.4)

Thành phần thứ hai chứa Nϕ của (7.1) được biểu diễn qua chuyển vị pháp tuyến

w như sau: do vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng trục nên biến dạng theo phương

với s và ∆s là chu vi và gia số chu vi vỏ trụ tròn trước và sau biến dạng

Xét trường hợp lực dọc theo phương dọc trục N x =0 Theo lý thuyết đàn hồi:

7.1.2 Các phương trình cơ bản có xét lực dọc và nhiệt độ

Xét trường hợp vỏ trụ tròn, ngoài chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến như đãxét trong mục 7.1.1, vỏ còn chịu tác dụng của tải trọng dọc trục và sự thay đổi nhiệtđộ

Giới hạn xét trường hợp nhiệt độ thay đổi tuyến tính theo chiều dày vỏ, hình 7-5.Nhiệt độ tại mặt trung bình:

Nhiệt độ tại điểm cách mặt trung bình

khoảng cách ztheo phương pháp tuyến:

δ

o S

t o 1 t

o 2 t z

Hình 7-5

t s

w t

x x

(7.3d), lực dọc Nϕ theo (7.6) còn mô men uốn theo phương vòng Mϕ được xác địnhtương tự như (7.19) theo công thức:

7.1.3 Nghiệm phương trình thuần nhất

Phương trình vi phân cân bằng của vỏ trụ tròn chịu tải trọng pháp tuyến đối xứngtrục có dạng (7.8), trong trường hợp ngoài chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến cònchịu tác dụng của tải trọng dọc trục và thay đổi nhiệt độ thì có dạng (7.22) Có thể biểudiễn phương trình cân bằng (7.8), (7.22) dưới dạng chung:

d x

=

( ) ( )

Các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên tại x=0, hình 7-6,

với các thông số ban đầu:

Thay các hằng số tích phân vào (7.31), nhận được phương trình chuyển vị, nộilực của vỏ ngắn theo (7.33):

Phương trình (7.33) biểu diễn phương trình chuyển vị

và nội lực theo phương pháp thông số ban đầu nên có thể ápdụng tính cho vỏ có điều kiện biên bất kỳ Dưới đây áp

dụng (7.33) tính cho vỏ trụ tròn ngắn trong các trường hợp:

1 Trường hợp 1: Xét vỏ có 02 đầu liên kết ngàm chịu tải

trọng pháp tuyến p+ phân bố đều theo chiều dài vỏ, hình 7-7.Biên trái là ngàm nên:

Thay các thông số ban đầu M0, Q0 vào (7.33) nhận được phương trình chuyển vị

và nội lực theo chiều dài vỏ, ví dụ với mô men uốn và lực cắt:

chiều dài vỏ: β ≥l 4 thì giá trị mô men uốn tại ngàm không thay đổi và giá trị( ) 2

+

=

Từ (7.34a), mô men uốn M x( ) tăng từ vị trí ngàm với ( )0 2 ( )

β nên khi chiều dài vỏ l>3,12 rδ có

thể xem là vỏ trụ dài và mô men uốn đạt giá trị lớn nhất tại ngàm:

Ứng suất lớn nhất trong vỏ ở vị trí ngàm và giảm dần theo khoảng cách từ vị trí

liên kết ngàm, với khoảng cách: x≥ =2 1,56 rδ

β ứng suất do uốn không đáng kể, có

thể tính như trạng thái màng

2 Trường hợp 2: Xét vỏ trụ tròn, hai đầu tựa khớp

chịu tải trọng phân bố trên một đơn vị chiều dài theo chu

Thay các thông số ban đầu này vào các phương trình (6)÷(9) nhận được phương

trình chuyển vị và nội lực tại điểm khảo sát x

Mô men uốn có giá trị lớn nhất tại vị trí vành tăng cường,

Hàm Y F phụ thuộc biến βl , khi β >l 4 giá trị Y F không đổi và có giá trị bằng

0,25 Khi chiều dài vỏ l>3 rδ mô men uốn không phụ thuộc vào chiều dài vỏ và có

Ở mục trên đã chỉ ra rằng, khi chịu tải trọng đối xứng trục, nội lực trong vỏ

không phụ thuộc chiều dài vỏ khi l>3 rδ và hiệu ứng uốn chỉ xuất hiện trong vùngtương đối hẹp với chiều rộng khoảng 1,56 rδ, ngoài vùng này ứng suất do uốn tắtnhanh và là ứng suất màng Ví dụ vỏ có bán kính r= 1.000mm, chiều dày vỏ δ =10mm

thì giới hạn giữa vỏ dài và vỏ ngắn là l=3 rδ =300mm Như vậy, vỏ thường gặp trongthực tế có thể xét như vỏ trụ dài

Khi tính vỏ trụ dài cũng xuất phát từ phương trình (7.25) với nghiệm tổng

quát của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:

w xβ =e−β C sin x C cos xβ + β +eβ C sin x C cos xβ + β

Ở khoảng cách lớn, chuyển vị w và góc xoay w' tắt dần, bằng không nên hằng sốtích phân C3, C4 bằng không Do đó, nghiệm w có dạng:

Nghiệm tổng quát của (7.25) là tổng nghiệm

tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất và

nghiệm riêng của phương trình vi phân không

thuần nhất, trong đó nghiệm riêng theo (7.31a) có

chú ý đến (7.32), có dạng:

Hình 7-9

11

Dưới đây sử dụng (7.42)÷(7.45) xét cho 02 trường hợp:

1 Trường hợp 1: Vỏ trụ tròn dài, ngàm tại đầu trái, chịu tải trọng p+ không đổi theochiều dài, hình 7-9 Tại x= 0 vỏ liên kết ngàm nên ( ) '( )

w =w = , còn 02 thông số

ban đầu chưa biết là mô men uốn M0 và lực cắt Q0

Sử dụng 02 phương trình đầu của (7.42) tại x= 0 với chú ý( )0 ( )0 ( )0 1

ψ = ϑ = ϕ = , nhận được 02 phương trình xác định 02 thông số ban đầu

chưa biết là mô men uốn M0 và lực cắt Q0:

0 0 0

11

02

p Q

t

K p

t x

K p

t

K p

+ ϕ

2 Trường hợp 2: Xét vỏ trụ tròn dài chịu tải trọng

phân bố F theo chu vi vỏ như đã xét đối với vỏ ngắn,

hình 7-10 Gốc tọa độ tại vị trí tải trọng tác dụng

Để xác định chuyển vị và nội lực của vỏ sẽ sử dụng

(7.42) và cần xác định 02 thông số ban đầu là M0 và Q0 Lực cắt Q0 tại x=0 được xác

Hình 7-10

định trực tiếp từ phần phải, phần trái tại vị trí tác dụng tải trọng của vỏ trụ dài: 0

Q M

tăng cứng trên cơ sở phương pháp lực và các phương trình chuyển vị, nội lực của vỏtrụ dài (7.42), [21]

7.2 HIỆU ỨNG BIÊN TẠI VỊ TRÍ LIÊN KẾT 2 VỎ TRỤ TRÒN

Trong mục này xét trường hợp biến dạng uốn phát sinh tại vị trí liên kết 2 vỏ trụtròn trong các trường hợp: độ cứng và chiều dày khác nhau, chênh lệch nhiệt độ giữamặt trong và mặt ngoài vỏ

7.2.1 Liên kết 2 vỏ có cùng mặt trung bình, chiều dày khác nhau

Xét 2 vỏ trụ tròn có bán kính, chiều dày vỏ trái r1, δl và vỏ phải r2, δp liên kết

với nhau, hình 7-11 Do vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng trục và xem là vỏ trụ dàinên khi chưa liên kết, vỏ có biến dạng tự do tương ứng với chuyển vị ∆ =r l w l ở vỏ trái

và và chuyển vị ∆ =r2 w p ở vỏ phải

Gia số chuyển vị giữa 2 vỏ ∆ = ∆ − ∆r2 r1 là nguyên nhân gây nên biến dạng uốn

cục bộ ở vùng liên kết 2 vỏ Để xác định chuyển vị và nội lực của vỏ, sử dụng phươngpháp lực với hệ cơ bản và ẩn số

Hệ số δ11 xác định bằng công thức: δ =11 w l +w p với w l, w p là chuyển vị của vỏtrái và vỏ phải tại vị trí liên kết x= 0 do Q0 = X1 =1 gây ra trên hệ cơ bản Từ (7.42a),

p

p p

w K

xác định được chuyển vị và nội lực tại

điểm bất kỳ theo giá trị βx, với vỏ trái

lấy Q0 =X1, M0 =X2, còn với vỏ phải

lấy Q0 = −X1, M0 = X2

Giá trị mô men M x tại x=0 của vỏ

trái và vỏ phải bằng nhau, sau đó giảm

dần về hai phía Tính toán trên mới chỉ xét với tải trọng pháp tuyến p, nếu kể đến cảlực dọc trục thì thay p bằng p+, xác định theo (7.23): N x

  Như vậy, khi vỏ chịu tác dụng của áp lực

pháp tuyến p và có kể đến ảnh hưởng của lực dọc (có đáy ở 2 đầu vỏ trụ) thì có thể sửdụng các công thức tính chuyển vị, nội lực khi chịu áp lực pháp tuyến p đã nêu trên,nhân với hệ số 1 1

2

7.2.2 Liên kết 2 vỏ có mặt trung bình lệch tâm nhau

Trong mục này xét trường hợp liên kết 2 vỏ trụ có chiều dày khác nhau và mặttrung bình của 2 vỏ lệch tâm nhau với giá trị độ lệch tâm:

1

2 l p

Ảnh hưởng của độ lệch tâm khi tính toán có thể thay thế bằng mô men uốn phân

bố đều theo chu vi vỏ đặt tại vị trí liên kết:

x

Trong thực tế, giá trị độ lệch tâm e so với bán kính vỏ rất nhỏ nên trong tínhtoán có thể xem: r l = =r p r (với r l, r p là bán kính vỏ trái và vỏ phải)

Nghiệm của bài toán nhận được bằng phương pháp chồng nghiệm của 2 bài toán:

1 Vỏ chịu áp lực pháp tuyến p, có kể ảnh hưởng của lực dọc trục

2

x

pr

Nghiệm của bài toán này đã xét trong mục 7.2.1

2 Vỏ chịu mô men uốn lệch tâm phân bố đều theo chu vi vỏ tại vị trí liên kết

Sử dụng phương pháp lực với hệ cơ bản và các ẩn số cơ bản tương tự như trongmục 7.2.1, chỉ khác các số hạng tự do

Khi xác định ∆1e và ∆2e, mô men lệch tâm chỉ tác dụng

ở vỏ trái, hình 7-13, sử dụng (7.42):

∆ =

Tương tự như mục 7.2.1, sử dụng (7.42)÷(7.45) sẽ xác định được chuyển vị và

nội lực tại điểm bất kỳ theo tọa độ x, với vỏ trái lấy Q0 = X1, M0 =X2 còn với vỏ phải

7.2.3 Liên kết 2 vỏ có cùng mặt trung bình chịu tác dụng của nhiệt độ

Xét hiệu ứng biên khi liên kết 2 vỏ trụ chịu tác dụng của sự thay đổi nhiệt

độ với nhiệt độ phía trong vỏ 0

t >t , hình 7-14 Bài toán được giải

tương tự như trong mục 7.2.1 chỉ khác số hạng

Giá trị chuyển vị ∆1t được xác định theo (7.42a) với chú ý là ở vị trí liên kết,

hình 7-12, tại đầu trái dưới tác dụng của sự thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cùng chiều với

Tương tự như mục 7.2.1, sử dụng (7.42)÷(7.45) sẽ xác định được chuyển vị và

nội lực tại điểm bất kỳ theo tọa độ x, với vỏ trái lấy Q0 = X1, M0 =X2 còn với vỏ phải

lấy Q0 = −X1, M0 = X2

Giá trị mô men M x tại x=0 của vỏ trái và vỏ phải bằng nhau, sau đó giảm dần

về hai phía và có giá trị không đổi

Hình 7-14

Khi 2 vỏ có cùng bán kính, hiệu ứng biên chỉ xuất hiện khi có sự thay đổi nhiệt

độ ∆t0 ở phía trong và phía ngoài vỏ Ở cách xa vị trí liên kết, mô men uốn

có giá trị không đổi và không phụ thuộc bán kính và chiều dày vỏ

Chú ý đến (7.18) và (7.24), mô men uốn theo phương vòng cũng có giá trị bằng

mô men uốn theo phương dọc trục,

( )

0 2

và vỏ phải ở cách xa vị trí liên kết, không phụ thuộc bánkính và chiều dày vỏ

7.2.4 Vỏ trụ có vành tăng cường

Vỏ trụ có vành tăng cường là kết cấu thường

được sử dụng trong thực tế như khi vỏ chịu tác dụng củatải trọng cục bộ tại gối tựa hoặc khi vỏ có thể bị mất ổnđịnh

Trong mục này sẽ tính hiệu ứng uốn ở vùng có

vành tăng cứng tại vị trí liên kết vỏ trái và vỏ phải

chịu tác dụng của tải trọng p+ Vỏ trái và vỏ phải có bánkính r, chiều dày vỏ trái δl, chiều dày vỏ phải δp.

Vành tăng cường có diện tích tiết diện A và mô men

quán tính độc cực (chống xoắn) J p Giả thiết chiều

143

rộng vành tăng cường tại vị trí liên kết nhỏ nên có thể xem liên kết vành với vỏ là liênkết điểm nên vành không chịu tác dụng của tải trọng p+.

Sử dụng phương pháp lực với hệ cơ bản và ẩn số cơ bản như trên hình 7-15 Hệphương trình chính tắc có dạng:

- Chuyển vị δ11 là tổng của 2 chuyển vị: chuyển vị của vỏ trái và chuyển vị của vành

dưới tác dụng của tải trọng X1 =1 Sử dụng (7.42a), chuyển vị của vỏ trái bằng: 3

- Chuyển vị ∆1 p của vỏ trái dưới tác dụng của tải trọng p+ được xác định

+

∆ = −

- Chuyển vị δ22 là tổng chuyển vị xoay của vỏ trái và

chuyển vị xoắn của vành gây ra do X2 =1 Sử dụng

(7.42b), chuyển vị xoay của vỏ trái: 1

- Chuyển vị δ = δ =23 32 0 (xác định tương tự như δ14)

- Chuyển vị δ24 xác định tương tự như δ22 có dạng: 24 2 42

1

p

r EJ

2

r EA

2

l

p r E

+

−δ

Hình 7-16

sử dụng (7.42)÷(7.45) sẽ xác định được chuyển vị và nội lực trong vỏ, trong đó tại vỏ

trái lấy: Q0 = −X1, M0 =X2 và tại vỏ phải lấy: Q0 = X3, M0 =X4

Để minh họa ảnh hưởng của vành, xét trường hợp đơn giản là 02 vỏ có chiều dàynhư nhau δ = δ = δl p Khi đó bài toán trở thành bài toán đối xứng: X1 = −X3 và

2 2

2

p X

+

=

p X

+

=

7.2.5 Vỏ trụ liên kết với đáy phẳng

Xét vỏ trụ tròn liên kết với đáy phẳng, hình 7-17 Hệ phương trình chính tắc theophương pháp lực có dạng:

Góc xoay tại biên: ( )

3 '

8 p 1

pr w

(h là chiều dày tấm đáy)

Tương tự, chuyển vị của tấm chịu tải trọng mô men phân

p

p

p r D

r h

Biểu thức (7.69) tương ứng vỏ trụ tròn liên kết ngàm

* Trường hợp 2: δ >>h Khi δ >>h, bỏ qua chiều dày đáy h so với chiều dầy vỏ δ:

Biểu thức (7.70) tương ứng tấm tròn liên kết ngàm

Từ (7.69) và (7.70) rút ra nhận xét: mô men uốn X2 trong trường hợp 2 (chiềudày vỏ δ lớn hơn nhiều so với chiều dày đáy h) lớn hơn trường hợp 1 (chiều dầy đáy

h lớn hơn nhiều so với chiều dày vỏ δ)

Từ đó rút ra kết luận: mô men uốn ở vỏ nhỏ nhất khi độ cứngcủa đáy rất lớn, xem (7.69) Khi giảm chiều dày đáy h, mômen trong vỏ tăng đến giá trị xác định theo (7.70) Do đó,

khi liên kết với đáy phẳng, tại vị trí liên kết đáy phẳng được khoét theo chu vi và cóchiều dày bằng chiều dày vỏ, hình 7-19, để giảm mô men ở đáy phẳng và vỏ tại vị tríliên kết.

Nếu biết mô men uốn X2 và lực cắt X1 thì theo (7.61), (7.65) xác định được mômen uốn tại đáy: ( 2 2) (3 )

HÌNH XUYẾN

Trong mục 7.2 đã nghiên cứu hiệu

vỏ hình xuyến bằng vỏ trụ, [21]

Xét vỏ trụ tròn bán kính r, chiềudày δv liên kết với đáy là vỏ cầu chiều

dày δk, chịu tải trọng pháp tuyến p Sử

số cơ bản trên hình 7-20

Hệ phương trình chính tắc có dạng:

150

tuyến với vỏ cầu là 1.cosα0 Khi α0 lớn, thành phần lực tiếp tuyến chỉ gây lực màng

nên bỏ qua biến dạng uốn do nó gây nên Trường hợp khi α0 nhỏ, biến dạng uốn do

thành phần tiếp tuyến gây nên cần phải xét đến

Do vậy, tính toán vỏ cầu thay thế bằng vỏ trụ được giới hạn với 0

0 20

α > , [21].Khi giải chính xác không thể giải độc lập trạng thái màng và trạng thái uốn, nghĩa làtrong trường hợp này không xét được độc lập với việc khai triển X1 =1 thành cácthành phần 1.sinα0 và 1.cosα0 mà phải xét với tải trọng như trên hình 7-20.1a.

* Xét tác dụng của thành phần tải trọng 1.sinα0 Vỏ cầu tại vị trí liên kết, hình 7-20.1b

được thay thế bằng vỏ trụ có bán kính R xác định theo (7.72) Trong trường hợp này,

sử dụng (7.42a) với Q0 =1.sinα0 nhận được chuyển vị theo phương pháp tuyến của vỏ

trụ thay thế (phương lực khai triển 1.sinα0):

( )

3 2

12 1

k k

2 0 3

2 k k

sin K

12 1

v v

* Chuyển vị δ11 bằng tổng chuyển vị của vỏ trụ thay thế cho vỏ cầu theo (7.75a) và

chuyển vị của vỏ trụ bán kính r theo (7.75b):

2 0

b Xác định δ12: Tiến hành tương tự như trên, sử dụng (7.42a) với M0 =X2 =1, chuyển

vị đơn vị δ12 bằng tổng chuyển vị do mô men đơn vị X2 =1 tác dụng lên vỏ trụ trònbán kính r bằng 2

là: 0 20

1

2 k k

sin sin

cho vỏ cầu, hình 7-22, được xác định theo công thức (7.42a): 0

3

2

2 k k

pr cos K

- Chuyển vị xoay của vỏ trụ bán kính r do áp lực pháp tuyến pbằng không;

- Chuyển vị xoay do lực màng tác dụng lên vỏ cầu theo (6.95b) bằng không;

- Chuyển vị xoay do lực dọc 0

2

pr cosα , hình 7-22, xác định theo (7.42b) với