Tài liệu môn Tấm và Vỏ dành cho anh chị học cao học

Tài liệu môn Tấm và Vỏ rất cần thiết đề các anh chị học chuyên ngành xây dựng đề tham khảo.

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM MỎNG

Trong chương này giới thiệu: Phương pháp chuỗi lượng giác; Phương phápbiến phân; Phương pháp sai phân hữu hạn; Tính tấm tròn trong hệ tọa độ cực.Tính tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn được giới thiệu trong chương 3

A PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC

Phương pháp chuỗi lượng giác là phương pháp mà chuyển vị pháp tuyến

 , 

w x y của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác (kép hoặc đơn)

2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC KÉP

Phương pháp chuỗi lượng giác kép sử dụng cho bài toán tấm chữ nhật chu

vi tựa khớp chịu tải trọng phân bố q x y ,  hoặc tải trọng tập trung vuông góc vớimặt phẳng tấm, hình 2-1

Phương trình chuyển vị w x y ,  của

tấm dạng (2.1) thỏa mãn điều kiện biên

tựa khớp trên chu vi tấm

Tải trọng phân bố q x y ,  được

khai triển dưới dạng chuỗi lượng giác

' ,

' 0

' 0

Hai chuỗi lượng giác ở hai vế của phương trình trên bằng nhau khi từng số hạng

tương ứng của chúng bằng nhau nên:

q A

Để xác định phương trình chuyển vị w x y ,  và nội lực của tấm chữ nhậtchu vi tựa khớp cần xác định q nm.

ab



2.2 PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC ĐƠN

Phương pháp chuỗi lượng giác đơn sử dụng cho bài toán tấm chữ nhật cóhai cạnh đối diện tựa khớp, còn hai cạnh kia có điều kiện biên bất kỳ

Phương trình chuyển vị w x y ,  của tấm chữ nhật có hai cạnh đối diện tựakhớp, thí dụ tại x 0 và x a , biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác đơn:

Phương trình chuyển vị w x y ,  của tấm (2.14) thỏa mãn điều kiện biên tựakhớp tại x 0và x a

Tương tự như phương pháp chuỗi lượng giác kép, tải trọng phân bố q x y , được khai triển dưới dạng chuỗi lượng giác đơn:

Để xác định q y n  nhân hai vế của (2.15) với sin('n x) và lấy tích phân từ 0

đến a , chú ý đến tính chất trực giao của hàm lượng giác nhận được:

n p

q y

2.3 TÍNH TẤM TRÊN NỀN BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI

Dạng của phương trình vi phân cân bằng của tấm trên nền đàn hồi phụthuộc vào dạng mô hình nền Khi tính kết cấu tiếp xúc với nền đàn hồi thường sửdụng mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ: mô hình nền một hệ số (mô hìnhnền Winkler) và mô hình nền hai hệ số (mô hình lớp đàn hồi)

2.3.1 Phương trình vi phân cân bằng của tấm với mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ một hệ số (mô hình nền Winkler)

Mô hình nền Winkler được xây dựng từ giả thiết: “phản lực nền p x y ,  tỷ

lệ bậc nhất với chuyển vị w x y ,  qua hệ số nền k1”

Hình 2-3 Mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ một hệ số.

Ưu, nhược điểm của mô hình nền Winkler:

- Ưu điểm: mô hình này diễn toán đơn giản, thuận lợi trong lập trình

- Nhược điểm:

+ Coi hệ số nền là hằng số với mỗi loại đất là chưa phù hợp với thực tế vì

nó còn phụ thuộc cả vào kích thước của kết cấu tiếp xúc với nền Hệ số nền chỉmang tính chất quy ước mà không có ý nghĩa vật lý rõ ràng

+ Coi biến dạng của nền là cục bộ trong phạm vi tiếp xúc giữa kết cấu vớinền là bỏ qua tính ma sát và tính dính của đất nền

Phạm vi áp dụng: nhiều kết quả nghiên cứu và thực nghiệm đã chứng tỏ,

mô hình này tương đối thích hợp và sát thực tế đối với nền đất yếu, đất ẩm hoặcbão hoà nước; đặc biệt đối với môi trường chất lỏng thì mô hình này là chínhxác

Phương trình vi phân cân bằng của tấm, phương trình Sophi-Giecman, códạng:

 

4 2 2 4

,2

có phản lực tiếp tuyến

Mô hình nền hai hệ số chỉ khác mô hình nền Winkler ở hệ số nền kể đến

ứng suất tiếp giữa các cột đất trong nền Chính ứng suất này đã gây ra biến dạngcủa nền ở ngoài phạm vi tiếp xúc giữa kết cấu với đất nền Mô hình nền hai hệ sốphản ánh sự làm việc của đất nền sát với thực tế hơn Đây là mô hình trung giangiữa hai mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ và bán không gian đàn hồi Khikhông kể đến ứng suất tiếp thì mô hình này trở về mô hình nền Winkler.

Mô hình nền hai hệ số có nhược điểm là giá trị của các hệ số k1 và k2 đượcxác định tuỳ thuộc vào quan niệm và cách xác định khác nhau Vì vậy, khi sửdụng mô hình này, các kết quả tính toán cần được kiểm tra lại bằng thực nghiệm

Mô hình nền hai hệ số được xây dựng từ giả thiết: phản lực nền r x y ,  baogồm phản lực pháp tuyến p x y ,  tương ứng với sự làm việc chịu nén của nền vàphản lực tiếp tuyến t x y ,  ứng với sự làm việc chịu cắt của nền

Thí dụ 3: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa khớp trên nền đàn hồi một hệ số chịu tải

trọng phân bố Phương trình chuyển vị của tấm dưới dạng chuỗi lượng giác kép

có dạng:

16 o

nm

q q

Thí dụ 4: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa khớp trên nền đàn hồi một hệ số chịu tải

trọng tập trung P tại toạ độ  ,i j Hệ số khai triển tải trọng được xác định theo

Thí dụ 5: Tấm chữ nhật chu vi tựa khớp trên nền đàn hồi hai hệ số chịu tải trọng

phân bố Tiến hành tương tự như thí dụ 2, nhận được:

B PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN

Phương pháp biến phân là phương pháp sử dụng các nguyên lý năng lượngnhư: nguyên lý công khả dĩ hoặc nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần

để tìm phương trình chuyển vị w x y ,  của tấm

Nguyên lý công khả dĩ: “ Điều kiện cần và đủ để hệ ở trạng thái cân bằng làtổng công khả dĩ của ngoại lực và nội lực bằng không”

Nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần: “Trong tất cả các trườngchuyển vị (trạng thái chuyển vị) khả dĩ động (các chuyển vị thỏa mãn điều kiệntương thích và điều kiện biên động học) thì trường chuyển vị thực tương ứng với

sự cân bằng sẽ làm cho thế năng toàn phần  đạt giá trị dừng”

i

a - hệ số cần tìm, i  1 n

 , 

i x y

động học và không nhất thiết thỏa mãn điều kiện biên tĩnh học

Hệ số a i được xác định từ điều kiện thế năng toàn phần  đạt cực tiểu:

Thí dụ 6: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa khớp chịu tải trọng phân bố đều q.

Nghiệm gần đúng chỉ lấy một thành phần của chuỗi: w x y ,   a1 1x y,  Biểudiễn 1x y,  dưới dạng tích hai hàm số: 1x y,  1   x 1 y (1)

w x y x

,0

w x y y

a - hệ số cần tìm

 , 

i x y

động học và cả điều kiện biên tĩnh học

Thay (2.47) vào phương trình vi phân cân bằng của tấm (1.26), sau đó nhânhai vế với kx y,  và tích phân trên toàn bộ diện tích tấm:

q x y

x y dxdy D

Thí dụ 7: Tính tấm chữ nhật ngàm theo chu vi chịu tải trọng phân bố đều.

Điều kiện biên:

Các hàm ix y,  thỏa mãn điều kiện biên.

Nghiệm gần đúng được tìm với một thành phần của chuỗi:

C PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

Nhiều bài toán cơ học khi giải bằng phương pháp giải tích khó khăn hoặc không giải được, người ta thường sử dụng các phương pháp số như phương pháp

sai phân hữu hạn (PP SPHH) hoặc phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH).Phương pháp số là phương pháp rời rạc hóa kết cấu liên tục, đưa việc xétnghiệm của hệ liên tục về xác định nghiệm tại các điểm nút của lưới sai phântrong PP SPHH hay tại các điểm nút trong PP PTHH.

2.6 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

Phương pháp sai phân hữu hạn mang bản chất toán học, trong đó các đạohàm riêng của phương trình vi phân cân bằng của tấm (1.26) được thay bằng cácbiểu thức sai phân Điều kiện biên của tấm cũng được biểu diễn qua phép saiphân Khi xét tại các điểm nút trong lưới sai phân, từ phương trình vi phân cânbằng của tấm dưới dạng sai phân, nhận được hệ phương trình đại số xác địnhchuyển vị tại các điểm nút Biểu thức xác định nội lực của tấm cũng được biểudiễn qua phép sai phân nên nội lực tại các điểm nút trên lưới sai phân được xácđịnh qua các chuyển vị tại các nút trên lưới sai phân

2.6.1 Biểu thức sai phân

Trong trường hợp bước sai phân   x y h, hình 2-4, đạo hàm các cấptại điểm nút i trên lưới sai phân được xác định theo các công thức, [17]:

Δh

i k

0 2

2.6.2 Phương trình vi phân cân bằng của tấm dưới dạng sai phân

Phương trình vi phân cân bằng của tấm mỏng chịu tải trọng phân bố q x y , 

đại số xác định chuyển vị tại các nút Chuyển vị của các nút trên biên và ngoàibiên được xác định từ điều kiện biên

2.6.3 Điều kiện biên

Xét các điều kiện biên dưới dạng sai phân

1 Biên ngàm

Giả sử tại x a là biên ngàm tương ứng với các điểm nút m, i, n trênhình 2-4 Khi đó, điều kiện biên ngàm tại nút i:

Khi viết phương trình sai phân (2.64) cho nút sát biên sẽ xuất hiện chuyển

vị nút ngoài biên, cách biên 01 bước sai phân, ví dụ viết cho nút k sẽ xuất hiệnchuyển vị tại nút l Do đó, cần xác định chuyển vị tại nút l qua chuyển vị củacác nút trong biên từ điều kiện biên

Khai triển Taylo:

Biểu thức (1) và (2) biểu diễn chuyển vị nút ngoài biên qua các chuyển vị

nút trong biên khi nút i là biên ngàm Như vậy, từ (2.65):

- Điều kiện biên ngàm tại nút i trên biên trục x :

sử dụng thêm 01 điều kiện biên tại nút tự do của tấm là lực tập trung có giá trị

Ưu điểm của PP SPHH là đơn giản, thuận lợi khi lập trình

Nhược điểm của phương pháp là:

- Do có sự xuất hiện chuyển vị ngoài lưới sai phân nên số lượng ẩn số của

hệ phương trình lớn, đặc biệt khi tấm có biên tự do;

- Độ chính xác không cao khi chia lưới sai phân thưa;

- Số lượng phương trình tăng đáng kể nếu lưới chia dày;

- Hệ phương trình sai phân các thành phần không có tính đối xứng

2.6.5 Thí dụ tính toán

Thí dụ 8: Tính tấm mỏng hình vuông

cạnh a , chu vi tựa khớp chịu tải trọng

phân bố đều q Chia lưới sai phân, hình

2-5, với    x y h a/ 4 Do hệ đối

xứng chịu tải trọng đối xứng nên chuyển

vị nút có tính đối xứng

Ký hiệu chỉ số nút trong biên là 1,

2, 3; trên biên là 4, 5 và ngoài biên là 6,

7, 8

Điều kiện biên chu vi tựa khớp nên

tại nút i trên biên w 0, w w Đối với bài toán này: w w 0; w w ,

4

4 6

6

6 6

6 7 6

6 7 6

Hình 2-5 Tấm vuông chu vi tựa khớp.

qa w

Thí dụ 9: Tính tấm mỏng hình vuông cạnh a, chu vi ngàm chịu tải trọng phân bố

đều q Chia lưới sai phân, hình 2-5, với    x y h a/ 4 Do hệ đối xứng chịutải trọng đối xứng nên chuyển vị nút có tính đối xứng Ký hiệu chỉ số nút trongbiên là 1, 2, 3; trên biên là 4, 5; ngoài biên là 6, 7, 8

Điều kiện biên chu vi ngàm nên tại nút i trên biên: w  i 0, w i 3w k 0,5w S.Đối với bài toán này: w4 w5 0 w6 3w3 0,5w2 w7 3w2 0,5w1

4 4

4 3

p

qa w

2.7.1 Phương trình vi phân cân bằng

Tấm tròn được tính toán trong hệ tọa độ cực Hệ tọa độ cực và nội lực tấmtròn được biểu diễn trên hình 2-6

2.7.3 Điều kiện biên

1 Tấm tròn bán kính r a , biên ngàm theo chu vi, điều kiện biên có dạng:

r a

w w

Thí dụ 10: Tính tấm tròn chịu tải trọng phân bố đều q r  q const Bằng cách

tích phân (2.80), phương trình chuyển vị của tấm tròn bán kính r a chịu tảiphân bố q r const q , có dạng, [9]:

Sử dụng điều kiện biên thứ hai: góc xoay  r tại r a bằng không Từ

qa C

qa C

b Tấm tựa khớp theo chu vi

Phương trình chuyển vị, nội lực của tấm tròn bán kính r a , biên tựa khớptheo chu vi, chịu tải trọng phân bố đều q r const q trong hệ tọa độ cực: