Chủ đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1: Moät soá baøi toaùn veà haøm soá ñoàng bieán, nghòch bieán: 1/ Ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân luoân nghòch bieán : Neáu y’laø haèng soá coù chöùa tham soá hay cuøng daáu vôùi haèng soá thì ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân luoân ñoàng bieán laø: y’< 0 Neáu y’ laø nhò thöùc baäc nhaát hay cuøng daáu vôùi nhò thöùc baäc nhaát thì haøm soá khoâng theå luoân luoân nghòch bieán .Neáu y’ laø tam thöùc baäc hai hay cuøng daáu vôùi tam thöùc baäc 2 Ñ/k ñeå haøm soá luoân luoân ñoàng bieán laø: a < 0 y’ ≤ 0 ∀ x ⇔ ∆ ≤ 0 (Tröôøng hôïp a coù chöùa tham soá thì xeùt theâm tröôøng hôïp a= 0 ) 2/ Ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân luoân ñoàng bieán : Neáu y’laø haèng soá coù chöùa tham soá hay cuøng daáu vôùi haèng soá thì ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân luoân ñoàng bieán laø: y’> 0 Neáu y’ laø nhò thöùc baäc nhaát hay cuøng daáu vôùi nhò thöùc baäc nhaát thì haøm soá khoâng theå luoân luoân ñoàng bieán .Neáu y’ laø tam thöùc baäc hai hay cuøng daáu vôùi tam thöùc baäc 2 ñ/k ñeå haøm soá luoân luoân ñoàng bieán laø: a > 0 y’≥ 0 ∀ x ⇔ ∆ ≤ 0 (Tröôøng hôïp a coù chöùa tham soá thì xeùt theâm tröôøng hôïp a= 0 ) x+m Ví duï : 1/Ñònh m ñeå haøm soá y = x + 1 giảm(nghịch biến) treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa noù Giaûi: Txñ : D=R\ { −1} 1− m y/= ( x + 1)2 1− m Ñeå haøm soá luoân giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa noù ⇔ y’< 0 ∀ x ∈ D ⇔ ( x + 1)2 1 2/ Tìm m ñeå haøm soá y= (m+1)x3–3(m–2)x2 +3(m+2)x+1 taêng (đồng biến)treân R Giaûi / 2 Txñ: D = R , y =3(m+1)x - 6(m-2)x +3(m+2) Ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán treân R ⇔ y/ ≥ 0 ∀ x ⇔ 3(m+1)x2 - 6(m-2)x +3(m+2) ≥ 0 ∀ x(1) 1 Neáu m= –1 ⇒ (1) ⇔ -18x+3 ≥ 0 ∀ x ⇔ x ≤ 6 (khoâng thoaû ∀ x ) Neáu m ≠ –1: ñieàu kieän ñeå (1) xaûy ra laø m ≥ 2 ∆/ ≤ 0 9(m − 2)2 − 9(m + 1)(m + 2) ≤ 0 ⇔ ⇔ 7 ⇔ m >1 m + 1 > 0 m > 1 m > 1 Vaäy m>1 laø giaù trò thoaû ycbt Baøi taäp ñeà nghò: 1/ Xét chiều biến thiên của các hàm số: 1 3 x + 3x 2 − 7 x − 2 3 a) y = 4 + 3x – x2 b) y = 2x3 + 3x2 + 1 c) y = d) y = x3 - 2x2 + x + 1 g) y = - x3 – 3x + 2 e) y = - x3 + x2 – 5 h) y = x4 – 2x2 + 3 3x + 1 m) y = 1− x f) y = x3 – 3x2 + 3x + 1 k) y = - x4 + 2x2 – 1 l) y = x4 + x2 – 1 p) y = x + 4 x q) y = x - x+2 x−2 x 2 − 2x r) y = 1− x n) y = 2 x 2/ Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên tập xác định 2 3 a) y = x3 -3mx2 + (m + 2)x – 1 ĐS: − ≤ m ≤ 1 b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m -1 ĐS: m = 1 2 3/ Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên tập xác định x3 + (m − 2) x 2 + (m − 8) x + 1 3 (m − 1) x 3 + mx 2 + (3m − 2) x + 3 b) y = 3 ĐS: − 1 ≤ m ≤ 4 a) y = - ĐS: m ≤ 1 2 4 Cho hµm sè y=x3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 T×m m ®Ó hµm sè lu«n ®ång biÕn 5 Cho hµm sè y=mx3-(2m-1)x2+(m-2)x-2 T×m m ®Ó hµm sè lu«n ®ång biÕn 1 3 2 6 Tìm caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå haøm soá f ( x) = 3 x + mx + 4 x + 3 ñoàng bieán treân R Vấn đề 2 : Moät soá baøi toaùn veà cöïc trò : 1/ Ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò taïi x = x0 : y' ( x 0 ) = 0 hoaëc y' ñoåi daáu qua x 0 y ' ( x0 ) = 0 y ' ' ( x0 ) ≠ 0 2/ Ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi taïi x0: y' ( x 0 ) = 0 y' ñoåi daáu qua töø + sang − qua.x 0 hoaëc y' ( x 0 ) = 0 y' ' ( x 0 ) < 0 3/ Ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc tòeåu taïi x0: y '(x 0 ) = 0 y '(x) ñoåi daáu qua töø - sang + qua x 0 y '(x 0 ) = 0 hoaëc y ''(x 0 ) > 0 4/ Ñieàu kieän ñeå haøm baäc 3 coù cöïc trò (coù cöïc ñaïi,cöïc tieåu): a ≠ 0 y’= 0 coù hai nghieäm phaân bieät ⇔ ∆ > 0 5/ Ñieàu kieän ñeå haøm höõu tæ b2/b1 coù cöïc trò (coù cöïc ñaïi,cöïc tieåu): y’= 0 coù hai nghieäm phaân bieät khaùc nghieäm cuûa maãu 6/ Ñieàu kieän ñeå haøm baäc 4 coù 3 cöïc trò : y/ = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät Moät soá ví duï: 1/Xaùc ñònh m ñeå haøm soá: y = x 2 + mx + 1 ñaït cöïc ñaïi taïi x=2 x+m Giaûi: Ta coù y ' = x + 2mx + m - 1 2 2 ( x + m) 2 ; y '' = 2 x + 2m ( x + m) 4 Ñeå haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x=2 thì => hs tự giải tiếp tục (tham khảo) x2 + 2x + m 2/ Chöùng minh raèng haøm soá y= luoân luoân coù moät cöïc ñaïi vaø moät cöïc tieåu x2 + 2 Giaûi: Ta coù y ' = - x + 2 ( 2 - m) x + 4 2 ( x 2 +1) 2 học sinh tự giải tiếp tục ( ) 3 2 2 3/Ñònh m ñeå haøm soá y= x − 3mx + 3 m − m x + 1 coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu Giaûi Txñ :D= R ; y = 3x -6mx +3(m -m) Ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu ⇔ y/=0 coù 2 nghieäm phaân bieät ⇔ 3x2 -6mx +3(m2m)=0 coù 2 nghieäm phaân bieät ⇔ ∆ / > 0 ⇔ 9m2 -9m2 +9m >0 ⇔ m>0 vaäy m>0 laø giaù trò caàn tìm Baøi taäp ñeà nghò: 1 Tìm cực trị của các hàm só / 2 1) y = x2 – 3x - 4 2 2) y = -x2 + 4x – 3 3) y = 2x3 -3x2 + 1 4) y = 1 3 x − 4x 3 5) y = -2x3 + 3x2 + 12x – 5 6) y = x3 – 3x2 + 3x + 1 7) y = -x3 -3x + 2 1 4 1 x − 4x 2 − 1 9) y = − x 4 + x 2 10) y = x4 + 2x2 + 2 2 4 x−2 2x 2 11) y = 12) y = 13) y = 1 14) y = x +1 x−2 x x 2 − 2x + 2 x −1 1 x2 x 2 − 3x x2 + 3 15) y = 16) y = 17) y = 18) y = x x x −1 x +1 x −1 8) y = 3 2 2 2 2: Ñònh m ñeå y= x − 3mx + 3( m − 1) x − ( m − 1) ñaït cöïc ñaïi taïi x=1 x4 − ax 2 + b Ñònh a,b ñeå haøm soá ñaït cöïc trò baèng –2 taïi x=1 3: Cho haøm soá y= 2 4 Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 1 3 1) y = x 3 + mx 2 + (12 − m) x + 2 2) y = x 3 − 2mx 2 + 1 m 3 x − 2 x 2 + (3m + 1) x − 1 3 m 4) y = x 3 + 3mx 2 − (m − 1) x + 3 3 3) y = 5) y = x 2 − mx + 2 x −1 x 2 + 2x + m 6) y = x+2 Đ S: m < -4, m > 3 ĐS: m ≠ 0 4 3 ĐS: − < m < 1 ĐS: m < 0 , m > 1 10 ĐS: m < 3 ĐS: m > 0 7) y = mx 2 + x + m x+m ĐS: m < 0, m > 1 2 − x 2 + mx − m 2 8) y = ĐS: m ≠ 0 x−m 5 Tìm m để hàm số: 1) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị ĐS: m > 0 4 2 2) y = x – (m + 1)x – 1 có 1 cực trị ĐS : m < - 1 4 2 3) y = mx + (m – 1)x + 1 – 2m có 3 cực trị ĐS : 0 < m < 1 6 Tìm m để hàm số: 1) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1 1 3 2 2) y = mx + (m − 2) x + (2 − m) x + 2 đạt cực trị tại x = -1 ĐS : m = 3 3 3) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 3 3 2 4) y = x + (m + 1)x + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2 x 2 + a (1 − a ) x − a 3 + 1 7 Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hàm số y = luôn có cực đại x+a và cực tiểu Vấn đề 3: : Tìm giaù trò lôùn nhaát nhoû nhaát cuûa haøm soá Phöông phaùp giaûi: *Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá treân mieàn xaùc ñònh hay moät khoaûng : -Tìm taäp xaùc ñònh -Tính y’, tìm các nghiệm của phương trình y’=0 hay tại đó y’ không xác định -Laäp baûng bieán thieân caên cöù baûng bieán thieân ⇒ GTLN, GTNN * Giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá treân moät ñoaïn [a;b]: -Tính y’, tìm các nghiệm của phương trình y’=0 thuộc đoạn [a;b] Giaû söû caùc nghiệm laø x1, x2,…, xn - Tính caùc giaù trò f(a), f(x1), f(x2),…., f(xn) , f(b) GTLN laø soá lôùn nhaát trong caùc giaù trò vöøa tìm ñöôïc, GTNN laø giaù trò nhoû nhaát trong caùc soá vöøa tìm ñöôïc Ví duï a)Tìm giaù trò lôùn nhaát & giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y= 2x − x 2 1 x2 + x +1 b)Tìm giaù trò lôùn nhaát & giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = treân [ 2 ;2 ] x Giaûi : a)Txñ : ∀x ∈ [0;2] ( Hoaëc D= [0;2] y /= 1− x 2x − x2 cho y/=0 ⇔ 1-x=0 ⇔ x=1 ⇒ y=1 Baûng bieán thieân x 0 2 / y y 0 0 1 + 0 1 CÑ - max f ( x ) = f (1) = 1 min f ( x ) = f (0) = f (2) = 0 1 x = 1 ∈ ;2 2 2 / x −1 / ⇔ x2-1=0 ⇔ b) y = 2 cho y =0 1 x x = −1 ∉ ;2 2 1 7 7 Ta coù y( 2 ) = 2 ; y(1)=3 ; y(2)= 2 min f ( x ) 1 7 max f ( x ) = f (1) = 3 1 = f( ) =f(2)= ; 1 ;2 [ ;2] 2 2 2 2 Baøi taäp ñeà nghò: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 1) y = x2 – 2x + 2 2) y = -x2 + 4x + 1 3) y = x3 – 3x2 + 1 4) y = x2 + 2x – 5 trên đọan [-2 ; 3] 5) y = x2 – 2x + 3 trên đọan [2 ; 5] 1 3 x + 2 x 2 + 3 x − 4 trên đọan [-4 ; 0] 3 6) y = x3 – 3x2 + 5 trên đọan [-1 ; 1] 7) y = 8) y = x4 – 2x2 + 3 trên đọan [-3 ; 2] 9) y = -x4 + 2x2 + 2 trên đọan [0 ; 3] 10) y = x4 – 2x2 + 1 trên đọan [1 ; 4] 11) y = 1 trên khỏang (0 ; + ∞ ) x x 2 − 3x + 1 14) y = trên đọan [1 ; 4] x +1 12) y = x + x +1 trên đọan [2 ; 5] x −1 1 13) y = x - trên nữa khỏang (0 ; 2] x 2 2 x + 5x + 4 15) y = trên đọan [-3 ; 3] x+2 16) y = 100 − x 2 trên đọan [-8 ; 6] 4 2 17 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x ) = x − 2 x + 1 trên đoạn [ 0; 2] π 18 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x ) = x + 2cosx trên đoạn 0; 2 19 Tìm GTLN, GTNN của hàm số: f ( x ) = x + 9 trên đoạn [ 2; 4] x 20 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x ) = − x + 1 − 4 trên đoạn [ −1; 2 ] x+2 3 2 21 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x ) = 2 x − 6 x + 1 trên đoạn [ −1;1] 22 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x ) = 2x −1 trên đoạn [ 0; 2] x −3 23 Tìm GTNN, GTLN của hàm số: y = ( x + 2 ) 4 − x 2 24 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 3 x + 10 − x 2 25 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x ( 4 − x ) Vấn đề 4 Tiệm cận 1) Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang a) Định nghĩa 1: Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y=f(x) nếu: xlim f ( x) = y0 hoac xlim f ( x ) = y0 →+∞ →−∞ b) Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y=f(x) nếu: lim f ( x) = +∞ hoac lim+ f ( x) = −∞ − x → x0 x → x0 Hoac lim− f ( x) = −∞ hoac lim+ f ( x ) = +∞ x → x0 x → x0 Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: 2x −1 a) y = x+2 −2 x + 1 e) y = 3x + 2 Vấn đề 5: b) y = f) y = x2 − x − 2 ( x − 1) x x +1 3 Khảo sát hàm số 2 c) y = x 2 + 3x x2 − 4 d) y = 2− x x − 4x + 3 2 I/ Khaûo saùt haøm ña thöùc vaø haøm phaân thöùc 1) Kieán thöùc troïng taâm ( Xem sgk trang 31 – trang 38) 2) Baøi taäp aùp duïng: a) Haøm baäc ba: 1) y=-x3 +3x+2 ( a0 vaø y’=0 coù 2 nghieäm phaân bieät) 3) y= x3+x2+9x (a>0 vaø y’=0 voâ nghieäm) 4) y= -x3+x2-9x (a0 vaø y’=0 coù 3 nghieäm phaân bieät) 2 2 2) y=-x4 + 2x2+2 (a1 vaø nghòch bieán khi 0 g ( x) neu a > 1 ⇔ f ( x ) < g ( x) neu 0 < a < 1 a f ( x) f ( x ) > log b neu a > 1 a >b⇔ b f ( x ) < log a neu a > 1 Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình ( Cuøng cô soá) 2 x+ 5 a) 16 x–4 d) 4 x 2 1 b) ÷ 3 ≥8 6 1 < 23 x − 4 f) 52x + 2 > 3 5x Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình ( Ñaët aån phuï) a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 1 1 c) 4 x −1 > 2 x −2 + 3 d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x e) 2 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x Baøi 3: Giaûi caùc baát phöông trình a) 3x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3≤ 3 c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - 3 x – 2) Giaûi caùc baát phöông trình sau 2 2− 2 x x −2 1 5 X − X +1 ≤ 125 3 8 ≤ 7 2 2 7 3 x + 6 > 1 7 x 3 27 ≤ 1 2 1 3 8 9 9 x 2 x −5 x + 4 >4 4 5 ( 3 ) > 9 x −2 3 x −7 7 ≥ 3 2 −2 x 1 − 2. 3 2 x− x2 ≤3 7 x −3 10 4x − 2x − 2 < 0 11 x 2 3 6 7 x 25 x − 4.5 − 5 < 0 3.4 x − 2.6 x ≤ 9 x 12 2 x + 2 − 2 x + 3 − 2 x + 4 > 5 x +1 − 5 x + 2 13 6 2 x + 3 < 2 x + 7.33 x −1 14 3 x + 9.3 − x − 10 < 0 6 15 9 x < 3 x + 2 Giải các bất phương trình 1) 3 2 x +5 1 2) 27 < 3 >1 x 4) 6 2 x +3 < 2 x + 7.33 x −1 5) 9 x < 3 x +1 + 4 1 3) 2 x 2 −5 x + 4 >4 6) 3x – 3-x+2 + 8 > 0 Vaán ñeà 2: Baát Phöông trình logarit * Chuù yù: -Haøm soá logarit ñoàng bieán khi a>1 vaø nghòch bieán khi 0 0 neu a > 1 g log af ( x ) > log a ( x ) ⇔ 0 < f ( x) < g ( x) neu 0 < a < 1 log f ( x) a f ( x) > a b neu a > 1 >b⇔ b 0 < f ( x) < a neu 0 < a < 1 Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình ( Cuøng cô soá) a) log4(x + 7) > log4(1 – x) c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 g) log 1 3 b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4 d) log1/2(log3x) ≥ 0 f) log2x(x2 -5x + 6) < 1 3x − 1 >1 x+2 Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình ( Ñaët aån phuï) a) log22 + log2x ≤ 0 b) log1/3x > logx3 – 5/2 c) log2 x + log2x 8 ≤ 4 e) log x 2.log x 16 2 > 1 log 2 x − 6 Baøi 3 Giaûi caùc baát phöông trình a) log3(x + 2) ≥ 2 – x c) log2( 5 – x) > x + 1 Giaûi caùc baát phöông trình sau: 1 log 2 x < 5 2 log 1 ( x + 1) ≤ log 2 (2 − x) 2 2 3 log 0.25 (2 − x) > log 0.25 x + 1 1 1 d) 1 − log x + log x > 1 f) log 4 (3x − 1).log 1 ( 4 3x − 1 3 )≤ 16 4 b) log5(2x + 1) < 5 – 2x d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 4 log 3 x + log 5 log x + log 1 x − 2 ≤ 0 3 x + log 1 x < 6 3 2 1 2 2 2 6 ln(5 x + 10) > ln( x + 6 x + 8) 7 9 log 3 ( x − 3) + log 3 ( x − 5) < 1 log 1 ( x 2 + 2 x − 8) ≥ −4 2 8 log 2 ( x − 1) ≥ 3 2 11 10 5 2 x +1 − 26.5 x + 5 > 0 log 1 (5 x + 1) < −5 12) log 4 2 13) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5) 1 + 3x x −1 1 + 2x 14) log 1 (log 2 1 + x ) > 0 15) log22x + log24x – 4 > 0 3 17) log2(x + 4)(x + 2) ≤ −6 18) log x 20) log2x + log3x < 1 + log2x.log3x 1 x 1 x log 1 − 1 < log 1 − 3 22) 3 2 2 4 16) 3x − 1 >0 x2 +1 log x 3 − log x < 0 3 19) log 4 x − 3 < 1 21) 3logx4 + 2log4x4 + 3log16x4 ≤ 0 x −1 x +1 23) log 4 log 3 x + 1 < log 1 log 1 x − 1 4 3 Baøi taäp: TOÅNG HÔÏP MUÕ VAØ LOGARIT 1) log (9 x−1 + 7) 2 > log (3x−1 +1) 2 +2 log (4 2 2) x + 2) + log (2 1 x+1 +1) =0 2 Chuû ñeà 3: NGUYEÂN HAØM – TÍCH PHAÂN- ÖÙNG DUÏNG Vấn đề 1 : Tìm nguyeân haøm – Tính tích phaân * Kiến thức cần đạt: a) -Dùng các tính chất và công thức và các pp để tìm nguyên hàm - Học thuộc bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm (SGK) - Dùng phương pháp hệ số bất định - Dùng phương pháp đổi biến số - Dùng phương pháp từng phần - Học thuộc và vận dụng thật tốt bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm và tích phân −1 cos mx + C m −1 sin( ax + b) dx = cos( ax + b) + C ∫ a 1 cos mxdx = sin mx + C ∫ m 1 ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C 1 mx mx ∫ e dx = m e + C 1 ax +b ax +b ∫ e dx = a e + C - Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos a.cos b = [ cos( a − b) + cos(a + b) ] 2 1 sin a.sin b = [ cos( a − b) − cos( a + b) ] 2 1 sin a.cos b = [ sin( a − b) + sin( a + b) ] 2 - Công thức hạ bậc: ∫ sin mxdx = 1 − cos 2 x 2 1 + cos 2 x cos 2 x = 2 Bài tập : Tìm nguyeân haøm caùc haøm soá sau: sin 2 x = 1) f(x) = x3 – 3x + 1 x 2) f(x) = 2 x + 3 x 3) f(x) = (5x + 3)5 4) f(x) = sin4x cosx b)Tính tích phân: Dạng 1: Phương pháp tính tích phân bằng cách sử dụng đ/n, tính chất và nguyên hàm cơ bản Phương pháp Bước 1: Tìm nguyên hàm ∫ b a b f ( x)dx = F ( x) a = F (a ) − F (b) Bước 2: Dùng công thức Newton-Leibuiz: Bài tập: Tính các tích phân sau π 2 π 3 ∫ 1 3 ∫ 1 0 (2sin x + 3cos x + x)dx 2 (e x + x 2 + 1)dx 4 ∫ ∫ 2 1 1 0 ( x3 + x + 1)dx ( x + 1)( x − x + 1)dx Dạng 2: Phương pháp đổi biến số( đặt ẩn phụ) Phương pháp: Ta sử dụng định lí sau: Nếu hàm số x = ϕ (t ) có đạo hàm ϕ ' (t ) liên tục trên đoạn [ α ; β ] và : ϕ (t ) = a; ϕ ' (t ) = b • t ∈ [ α ; β ] ⇔ x ∈ [ a; b ] thì : ∫ b a β f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ' (t )dt (*) α Chú ý: Trong thực hành , việc áp dụng công thức(*) chỉ là việc thay hàm số f(x) bằng một hàm số khác theo biến số mới t (t ∈ [ α ; β ] ) , hàm số thay thế là hàm sơ cấp có thể tìm được nguyên hàm trực tiếp từ bảng nguyên hàm ( hoặc sau một số phép biến đỏi đại số) * Cần nắm được các dạng toán đổi biến dạng 1 và đổi biến dạng 2 1 a) Đổi biến dạng 1: 1) ∫ 0 b) Đổi biến dạng 2: Ví dụ:Tính tích phân sau ∫ 9 4 x dx x +1 dx 1 − x dx 2) ∫0 1 + x 2 2 1 2 3) ∫ 0 1 1 16 − x 2 dx 4) ∫x 0 2 4 − x 2 dx Phân ích: Bước 1: Đặt (tùytheo bài toán mà ta đặt sao cho thích hợp) Bước 2: Đổi cận x thành t (hoặc ngược lại) Bước 3: Thay vào BT ban đầu và đổi biến số Giải: + Đặt t = x ⇔ t 2 = x ta có dx=2tdt + Đổi biến số : khi x=4 -> t=2, khi x=9 -> t=3 suy ra: ∫ 3 2 2 3 t t 2tdt = 2∫ dt = 7 + ln 4 2 t −1 t −1 Bài tập: Tính các tích phân sau a) ∫ π 3 π 4 ∫ 1 0 e x2 1 x x + 1dx b) ∫0 2 sin x cos xdx f) 1 x +1 3 ∫e x2 + 2 0 π 6 0 dx c) ∫ xdx g) ∫ e2 e d) 1 + 4sin x cos xdx 1 + ln 2 x dx h) ln x π 3 π 4 ∫ π 2 0 ∫ sin x dx 1 + 3cos x ecos x sin xdx Dạng 3: Phương pháp tính tích phân từng phần Công thức tích phân từngphần: b ∫ u.dv = u.v b a b − ∫ vdu a a Tích phân các hàm số dể phát hiện u và dv ∫ P( x).e dx x u dv P(x) exdx ∫ P( x).cos xdx P(x) cosxdx ∫ P( x).sin xdx ∫ P( x).ln xdx P(x) sinxdx lnx P(x)dx e) Baøi taäp: Tính caùc tích phaân sau π 2 0 ∫ 1) 2) x sin xdx ∫ e 1 ln x dx x2 3) ∫ 1 0 ln(1 + x) dx ∫ 4) 3 2 (3 x 2 − 1) ln( x − 1)dx Bài tập : Tính caùc tích phaân sau: 3 π 4 5/ ∫ ( x + 1)dx 6/ ∫ ( 3 −π 4 −1 4 − 3sin x )dx cos2 x π 2 8) 1 1 I =∫ 0 π 2 13) ∫e 12) π 2 (tp) 18) ∫ 1 1 ∫ x.ln x.dx (tp) 19) ∫ x.e 22) 1 4 2 x 2 + 5x + 3 dx 25 ) ∫ x +1 3 ∫ 2 x.ln( x − 1).dx 3x 1 16) dx 23) 2 π 2 ∫ e cos x.dx x 24 ) 0 30) 1 + 3)5 dx 0 π 4 x ∫ cos 2 x dx 2 x 3 + 2 x 2 − 3x dx ∫ x2 1 5 1 1− 2x dx 27 ) * ∫ 2 dx 29) 26)* ∫ 2 x − 6x + 9 x − 5x + 6 4 0 3x − 1 dx (PP heä soá baát ñònh) 28 ) * ∫ 2 x − 4x + 8 2 2 0 1 4 ∫ x( x 20) 0 5 e ∫ ln x.dx 15) 1 + ln x dx x 1 0 21) 0 e ∫ x.cos x.dx 2 J = ∫ x 2 + 3.x.dx (đđb) e ex 14) ∫ e x + 1 dx 0 0 17) 0 1 cos x.dx 3x + 7 * ∫ x 2 + 4 x + 3 dx 1 2x +1 dx (đđb) x2 + x + 1 sin x 3 2 10) ∫ (6 x + 4 x )dx 0 0 ∫ −2 2 1 dx x − 1 dx (pt) * ∫ 2 x − 2x − 3 0 1 x 9) ∫ (e + 2)dx ∫ (3 + cos 2 x ).dx (pt) 11) 7/ 2 1 ∫ x 3 1 − xdx 0 x dx 2− x ∫ −2 BÀI TẬP LÀM THÊM Dạng 1 Phương pháp đổi biến số và sử dụng định nghĩa, tính chất tính tích phân : Bài 1 Tính các tích phân sau : 1 1) I = ∫ x 3 ( x + 1) dx 0 1 5 3 6 3) I = ∫ x (1 − x ) dx 0 9 ĐS : 20 1 ĐS : 168 2 4 1 2) I = ∫ x + ÷ dx x 2 3 4) I = ∫ 0 x 3 dx x +1 2 ĐS : 275 12 ĐS : 4 3 π 2 5 ) I = ∫ s inxdx ĐS : ln2 1 + cos x 0 1 0 5x 9) I = ∫ ( x 2 + 4) 2 dx 0 1 − x2 2 3 dx ∫ 13) I = ĐS : x x +4 2 5 4 1 e 10) I = ∫ 1 1 + ln x dx x ĐS : π 2 8 2 −7 15 2(2 2 − 1) 3 ĐS : 1 2010 ĐS : 12) I = ∫ sin 2009 cos xdx 1 3 0 1 1 5 ln 4 3 14) I = ∫ 0 xdx 2x +1 2 1 dx 2x +1 15) I = ∫ ĐS : 0 π 1 ĐS : − 8 4 x dx 0 65 4 ĐS : 3 x + 5dx 3 2 8) I = ∫ x 2 − x dx 1 ĐS : 8 2 ∫ ∫ 3 1 15 16 ĐS : 1 11) I = 6) I= 1 3 4 3 7 ) I = ∫ x (1 + x ) dx 2 2 22 3 2 16) I = ∫ x − x dx ĐS : 2 ĐS : 1 0 b Dạng 2 Phương pháp tích phân từng phần : ∫ u dv = uv b b a a − ∫ v du a Bài 2 Tính các tích phân sau : 1 1 x 1) I = ∫ ( x + 1)e dx x 2) I = ∫ xe dx ĐS : e 0 1 2 5 − 3e 2 ĐS : 4 0 π 2 4 ) I = ∫ x ln xdx ĐS : 2 3) I = ∫ ( x − 2)e dx 2x 2 6) I = ∫ x ln xdx 5) I = ∫ ( x + 1)s inxdx 1 0 e 1 1 2 x 8) I = ∫ x e dx 3 2 10) I = ∫ x ln ( x + 3) dx 9) I = ∫ (2 x + x + 1)e dx ĐS : 3e-4 0 11) ∫ sin 3x.cos x.dx 13) ∫ cos 3 xdx (db) 0 Vaán ñeà2 : ĐS : e-2 0 3 2 ĐS : 6 ln12 − ln 3 − 9 2 π 2 (ñb) 12) ∫ sin 2 xdx (pt) 0 0 π 2 e2 − 1 ĐS : 4 0 x π 4 3 4 1 2e3 + 1 ĐS : 9 2 7) I = ∫ x ln xdx ĐS : 2 ln 2 − 1 e 2 ĐS : 1 0 π 2 14) ∫ cos3 x sin 2 xdx (đñb) 0 Tính dieän tích hình phaúng 1/ Daïng toaùn1: Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 1 ñöôøng cong vaø 3 ñöôøng thaúng Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] khi ñoù dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi b ñöôøng cong (C) :y=f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a; x=b; y= 0 laø : S = ∫ f ( x ) dx a 2/ Daïng toaùn2: Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 2 ñöôøng cong vaø 2 ñöôøng thaúng Cho haøm soá y=f(x) coù ñoà thò (C) vaø y=g(x) coù ñoà thò (C’) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] khi ñoù dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C), (C’) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a; x=b b laø : S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx a Phöông phaùp giaûi toaùn: B1: Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa (C) vaø (C’) B2: Tính dieän tích hình phaúng caàn tìm: TH1: Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm voâ nghieäm trong (a;b) Khi ñoù dieän tích hình b [ g phaúng caàn tìm laø: S =∫ f ( x ) − ( x )]dx a TH2: Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm coù 1 nghieäm laø x 1 ∈ (a;b) Khi ñoù dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: b x1 b a a x1 S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx = ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx + ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx TH3: Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm coù caùc nghieäm laø x1; x2∈ (a;b) Khi ñoù dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: x1 x1 x2 a x2 b S = ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx Chuù yù: * Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm coù nhieàu hôn 2 nghieäm laøm töông töï tröôøng hôïp 3 * Daïng toaùn 1 laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa daïng toaùn 2 khi ñöôøng cong g(x)=0 Ví duï 1ï Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa haøm soá y = sinx treân ñoaïn [0;2 π ] vaø truïc hoaønh Giaûi : Ta coù :sinx = 0 coù 1 nghieäm x= π ∈ ( 0;2π ) vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: S= 2π π 0 2π 0 ∫ sin x dx = ∫ sin xdx + π sin xdx = ∫ 2π π cos x 0 + cos x π = 4 (ñvdt) Ví duï 2: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P1): y = x2 –2 x , vaø (P2) y= x2 + 1 vaø caùc ñöôøng thaúng x = -1 ; x =2 Ví duï 3: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi: y=lnx, y=0, x=e Baøi taäp ñeà nghò: 1/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn giöõa ñöôøng cong (P): y= x2 - 2x vaø truïc hoaønh 2/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (H): y = x +1 vaø caùc ñöôøng x thaúng coù phöông trình x=1, x=2 vaø y=0 3/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn giöõa ñöôøng cong (C): y= x4 - 4x2+5 vaø ñöôøng thaúng (d): y=5 4/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C): y = x3 –3 x , vaø y = x 5/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi y=x2-2x, y=x 6/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi : a) y= 2x – x2, x+y=2 b) y=x3 – 12x , y=x2 c) y=x3 – 1 và tiếp tuyến với y=x3 – 1 tại điểm (-1;-2) d) y=x2 ; y2=x e) y=2x – x2; x+y=0 f) y=x2, x+y=2 Vaán ñeà 3 : Tính theå tích vaät theå troøn xoay b Daïng toaùn : Theå tích cuûa vaät theå: (xsgk) V = ∫S ( x ) dx a Daïng toaùn : Theå tích cuûa moät vaät theå troøn xoay Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay sinh ra khi hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) coù phöông trình y= f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a, x=b , y= 0 quay xung quanh truïc ox laø: b V =Π f 2 ( x ) dx ∫ a Ví duï 1: Tính theå tích cuûa vaät theå troøn xoay, sinh ra bôûi moãi hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau khi noù quay xung quanh truïc Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x 2 2 −1 −1 2 2 4 3 2 Giaûi: Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay caàn tìm laø : S = π ∫ ( x − 2 x ) dx = π ∫ ( x − 4 x + 4 x )dx 18π x 4 2 − x 4 + x 3 ) −1 = (ñvtt) 5 5 3 Ví duï 2: Tính theå tích cuûa vaät theå troøn xoay, sinh ra bôûi moãi hình phaúng giôùi haïn bôûi =π ( 5 π caùc ñöôøng sau khi noù quay xung quanh truïc Ox: x =0 ; x = 4 ; y = 0 ; y = sinx π π 1 Ñs: V = 2 ( 4 − 2 ) (ñvtt) Ví duï 3: 1 3 2 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá y = 3 x − x , ñoà thò (C) 2) Tính theå tích vaät theå troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi (C) vaø caùc ñöôøng y=0, x=0, x=3 quay quanh truïc Ox Baøi taäp ñeà nghò: Tính theå tích cuûa vaät theå troøn xoay, sinh ra bôûi moãi hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau khi noù quay xung quanh truïc Ox: π Baøi 1 y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x = 4 Baøi 2 y = sin x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π 2 x Baøi 3 y = xe 2 ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1 Bài 4: y=2 – x2 , y=1 Bài 5: y=2x – x2, y=x Bài 6: y=x2 – 4x + 4, y=0, x=0, x=3 Bài 7 : y=x2, x=y2 Bài 8: y=2x – x2, y=0 Bài 9: y=x2, y=1 Chuû ñeà 4: Soá Phöùc * Kieán thöùc caàn ñaït (Xem sgk trang 130-140) - Bieát ñöôïc ñònh nghóa soá phöùc - Bieát ñöôïc phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc - Bieát tìm taäp hôïp ñieåm bieåu dieãn soá phöùc - Bieát ñöôïc soá phöùc lieân hôïp, moâñun cuûa soá phöùc - Pheùp coäng, pheùp tröø, pheùp nhaân vaø pheùp chia soá phöùc - Giaûi ñöôïc phöông trình baäc 2 treân taäp soá phöùc Baøi taäp: Bài 1/ Tính : 2 2 − 15i 1 2 − 3i + 3i ÷; c / 1 + 2i ; d / ; a)5 + 2i – 3(-7+ 6i) ; b) 3 + 2i 2 Bài 2: Xác định phần thực phần ảo của các số phức sau a) z=(0 - i) –(2 – 3i) + (7 + 8i) b) z=(0 - i)(2+3i)(5+2i) 2 2 c) z=(7 – 3i) – (2 - i) Bài 3: Cho số phức z= 4 – 3i.Tìm : a) z2 b) c) d) z+z2+z3 Bài 4: Tìm số thực x, y thỏa : ( ) ( ) a / x + 2i = 5 + yi; b / ( x + 1) + 3 ( y − 1) i = 5 − 6i c) x+2i=5+yi d) (x+y) + 3(y - 1)i=5 – 6i Bài 5/ Giải phương trình: (Troïng taâm) 1/ x2 – 6x + 29 = 0; 2/ x2 + x + 1 = 0 7) x3+8=0 10) z4-1=0 3/ x2 – 2x + 5 = 0; 4/ x2 +(1+i) x –(1-i) = 0 8) x3-8=0 11) z4 – z2-6=0 5) x2 + 3x + 10 = 0 6) x4 + 5x + 4 = 0 9) z4-8=0 Bài 6 /Trên mặt phẳng phức , hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau: a / z − i ≤ 1; b / z + i = z + 2 Bài 7/ Tìm nghiệm pt: z = z 2 100 98 96 Bài 8/ CMR: 3 ( 1 + i ) = 4i ( 1 + i ) − 4 ( 1 + i ) Bµi 9 Cho sè phøc z = −6 + 8 i X¸c ®Þnh phÇn thùc, phÇn ¶o,sè phøc liªn hîp vµ mođun của số phức Baøi 10: Thực hiện các phép tính sau: a) ( 5 − 2i ) + (9 − i ) b) ( 7 + 3i ) − (8 + 2i ) c) ( 7 + 3i ) (6 − 4i) d) (7 − 4i ) (1 − 3i ).(8 + 7i) Baøi 11: Giải phương trình : ... nắm vững) Bài : Giải phương trình 1) 22x + + 22x + = 12 x +5 x −7 x = x+3 14) 3.25x + 2.49x =5.35x 15) 31+x+31-x =10 17) 4x+ 1-6 .2x+1+8=0 16)34x+ 8-4 .32x+5+27=0 18)64x -8 x-56=0 19) 3.4x-2.6x=9x... ≤ 15 f) 4x +1 -1 6x ≥ 2log48 g) 9. 4-1 /x + 5. 6-1 /x < 4. 9-1 /x Bài 3: Giải bất phương trình a) 3x +1 > b) (1/2) 2x - 3≤ c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - x – 2) Giải bất phương trình sau 2− x x −2 X − X +1... hợp điểm biểu diễn số phức - Biết số phức liên hợp, môđun số phức - Phép cộng, phép trừ, phép nhân phép chia số phức - Giải phương trình bậc tập số phức Bài tập: Bài 1/ Tính : 2 − 15i 1 −