Một số khái niệm về giải tích không trơn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THÙY MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THÙY MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS Bùi Ngọc Mười Hà Nội – 2017 Lời cảm ơn Trước hết cho bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Bùi Ngọc Mười tận tình hướng dẫn giúp đỡ suốt trình nghiên cứu đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình dạy, trang bị cho kiến thức chuyên môn cần thiết trình học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè động viên khuyến khích hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu Trong trình nghiên cứu đề tài không tránh khỏi sai sót Vì mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để viết hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thùy i Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp " Một số khái niệm giải tích không trơn " hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy Bùi Ngọc Mười Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thùy ii Ký hiệu toán học R Tập tất số thực Rn Tập tất vectơ có n chiều H Không gian Hilbert thực B Hình cầu đóng có tâm x bán kính r = bd S Giới hạn S cl S Bao đóng S co S Bao lồi tập nón lồi S coS Bao đóng S dom f Miền hữu hiệu f epi f Trên đồ thị f int S Phần S ProjS (u) Phép chiếu u S ∂ conv f (x) Dưới vi phân f x ∂ C f (x) Gradient suy rộng f x iii Mục lục Dưới vi phân 1.1 Một số khái niệm 1.2 Từ đạo hàm đến vi phân 1.2.1 Bài toán cực tiểu không ràng buộc 1.2.2 Bài toán cực tiểu ràng buộc 1.3 Dưới vi phân 1.3.1 Gradient suy rộng (dưới vi phân Clarke) 1.3.2 Các khái niệm khác vi phân 3 10 11 11 19 Nón tiếp tuyến nón pháp tuyến 2.1 Nón tiếp tuyến 2.2 Nón pháp tuyến 2.2.1 Nón pháp tuyến Clarke 2.2.2 Nón pháp tuyến xấp xỉ 2.2.3 Nón pháp tuyến Fréchet 2.2.4 Nón pháp tuyến sở (nón pháp tuyến Mordukhovich) 30 21 21 24 24 24 29 Tài liệu tham khảo 36 iv MỞ ĐẦU Giải tích không trơn nghiên cứu hàm không thiết khả vi theo nghĩa thông thường Các cố gắng giảm nhẹ giả thiết tính khả vi liên tục hàm bắt nguồn từ nhu cầu kĩ thuật sớm toán học Thực tiễn đòi hỏi lý thuyết tối ưu mà phương pháp có khả áp dụng cho toán thường gặp, điều kiện tính khả vi nói chung bị phá vỡ Giải tích không trơn đời nhằm đáp ứng yêu cầu Tương tự thuật ngữ "phi tuyến" toán học có nghĩa không thiết tuyến tính, khái niệm "không trơn" ngụ ý không thiết khả vi liên tục Có thể xem giả thiết không trơn mở rộng giải tích lồi giải tích cổ điển, áp dụng cho hàm lồi khả vi ta có kết quen biết Những công trình nghiên cứu cách hệ thống hàm không trơn (không lồi) thuộc Clarke (xem [2]) Cho đến nay, lý thuyết Clarke xem hoàn chỉnh Ngoài công trình Clarke, lý thuyết nhận đóng góp loạt nhà toán học khác: Rockafellar, Aubin, Lebourg, Ioffe, Hiriart-Urruty, Goldstein, Thibault, Hai lớp hàm quan trọng xét lớp hàm lồi lớp hàm Lipschitz Khóa luận gồm chương Chương "Dưới vi phân" Chương 2."Nón tiếp tuyến nón pháp tuyến" Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót Ngoài ra, số kết (mệnh đề, định lí, hệ quả) thừa nhận mà bỏ qua chứng minh Tôi mong nhận góp ý thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Chương Dưới vi phân 1.1 Một số khái niệm Cho X không gian vectơ tôpô thực không gian vectơ chuẩn thực không gian Banach với chuẩn · H không gian Hilbert thực Trong tích phần tử H kí hiệu ·, · , kí hiệu tương tự cho tích X không gian đối ngẫu X ∗ (không gian hàm tuyến tính liên tục xác định X) Hình cầu đóng X H có tâm x bán kính r > kí hiệu B(x, r) Cho x = r = ta kí hiệu B thay cho B(0, 1) Kí hiệu B∗ hình cầu đóng đơn vị X ∗ tâm gốc tọa độ bán kính 1, kí hiệu N (x) tập tất lân cận x Cho tập S ta kí hiệu int S, cl S, bd S phần trong, bao đóng giới hạn S Định nghĩa 1.1 (xem [1]) Cho X không gian vectơ thực Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY (i) Tập S gọi lồi với cặp phần tử (x, y) S ta có [x, y] = {αy + (1 − α)x : α ∈ [0, 1]} ⊂ S (ii) Bao lồi tập nón lồi S định nghĩa giao tất tập chứa S Kí hiệu: co S n n αi xi : n ∈ N , co S = i=1 αi = , α i ≥ , x i ∈ S i=1 (iii) Bao đóng co S gọi bao lồi đóng Kí hiệu: coS Định nghĩa 1.2 (xem [1]) Cho f hàm giá trị thực mở rộng, f : X → R ∪ {+∞} Ta gọi tập dom f = {x ∈ X : f (x) < +∞} epi f = {(x, r) ∈ X × R : f (x) ≤ r} , tương ứng miền hữu hiệu f đồ thị f (i) f gọi hàm lồi tập lồi mở Ω ⊂ X f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y) ∀x, y ∈ Ω , ∀α ∈ [0, 1] Khi Ω không gian X ta nói f hàm lồi Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY T C (S; x) ⊂ v ∈ X : ∀tn ↓ 0, ∀xn →S x , ∃vn → v : xn + tn ∈ S ∀n Lấy v ∈ T C (S; x) Do d0S (x; v) = 0, nghĩa lim sup t−1 [dS (x + tv) − dS (x)] = x→x t↓0 Từ định nghĩa giới hạn ta có inf sup t−1 [dS (x + tv) − dS (x)] = V ∈N (x) x∈V δ>0 0 cho |dS (x + tv) − dS (x)| < ε , ∀x ∈ V , t ∈ (0, δ) Mà dS (x + tv) < ε , ∀x ∈ V ∩ S , t ∈ (0, δ) Do đó, cho dãy tn ↓ dãy xn →S x ta có dS (x + tn v) < tn , đảm bảo tồn → v cho xn + tn ∈ S ∀n Thật vậy, từ định nghĩa inf bất đẳng thức cuối tồn yn ∈ S cho xn + tn v − yn < dS (xn + tn v) + tn = 2tn Đặt = tn −1 (yn − xn ) 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY v − = tn −1 xn + tn v − yn < tn → Do để chứng minh điều ta chứng minh phản chứng Cho v giới hạn dãy , dãy thỏa mãn xn + tn ∈ S ∀n Cho dãy tn ↓ dãy xn →S x Ta biểu diễn điểm v thuộc T C (S; x) Cho tn ↓ xn → x (không thiết nằm S) nhận giới hạn định nghĩa d0S (x; v), nghĩa d0S (x; v) = lim t−1 [dS (xn + tn v) − dS (xn )] n Từ định nghĩa inf, ∀n , ∃yn ∈ S thỏa mãn yn − xn < dS (xn ) + tn Điều tương đương với yn →S x ta có yn + tn ∈ S ∀n Do đó, dS (xn + tn v) − dS (xn ) = dS (yn + tn v) + yn − xn − dS (xn ) = yn − xn − dS (xn ) < tn Vậy tn −1 [dS (xn + tn v) − dS (xn )] < tn , cho n → ∞ ta d0S (x; v) ≤ Bất đẳng thức ngược lại ta kết luận d0S (x, v) = 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY Vậy v ∈ T C (S; x) (điều phải chứng minh) 2.2 Nón pháp tuyến 2.2.1 Nón pháp tuyến Clarke Cho X không gian vectơ định chuẩn, S tập đóng khác rỗng X x ∈ S Ta định nghĩa nón pháp tuyến Clarke S x sau N C (S; x) = ζ ∈ X ∗ : ζ, v ≤ , ∀v ∈ T C (S; x) Ví dụ 2.2.1 Cho tập lồi đóng S x ∈ S ta có N C (S; x) = N conv (S; x) 2.2.2 Nón pháp tuyến xấp xỉ Ta định nghĩa nón pháp tuyến xấp xỉ không gian Hilbert, cho S tập đóng khác rỗng H Định nghĩa 2.2 (xem [1]) Cho u ∈ / S Ta định nghĩa ProjS (u) phép chiếu u S (có thể rỗng) tập tất x ∈ S mà khoảng cách đến u nhỏ nhất, nghĩa u − x = dS (u) Vậy ProjS (u) = {x ∈ S : dS (u) = u − x } Cho x ∈ S ta định nghĩa nón pháp tuyến xấp xỉ S x tập tất phần tử ξ ∈ H, tồn số dương r > cho dS (x + rξ) = r ξ , nghĩa x phép chiếu x + rξ S 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY Vậy N P (S; x) = {ξ ∈ H : ∃ r > : dS (x + rξ) = r ξ } (2.1) Nhận xét 2.1 (xem [1]) (1) Khi x ∈ S, nón pháp tuyến xấp xỉ N P (S; x) không xác định (2) Khi x thuộc S x ∈ / ProjS (u) , ∀u ∈ / S (nghĩa điểm u S cho x ∈ / ProjS (u), trường hợp x ∈ int S) ta có tập N P (S; x) = {0} Ví dụ 2.2.2 Cho S = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ |x|} x = (0, 0) Ta thấy điểm S mà phép chiếu S x, N P (S; x) = {(0, 0)} với x ∈ bd S (không thuộc int S) Mệnh đề 2.2 (xem [1, Proposition 1.7, p 22]) Những đặc điểm giải tích nón pháp tuyến xấp xỉ thể sau: ξ ∈ N P (S; x) ⇔ ∃ σ, δ > cho    ξ, x − x ≤ σ x − x ,  ∀x ∈ (x + δB) ∩ S;    ξ, x − x ≤ σ x − x , ⇔ ∃ σ = σ(ξ, x) > cho  ∀x ∈ S Chứng minh 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY Giả sử ϕ ∈ N P (S; x) đó, ϕ ∈ N P (S; x) ⇔ dS (x + αϕ) = α ϕ , với α > ⇔ (x + αϕ) − x ⇔ x + αϕ ≤ x + αϕ 2 ≤ (x + αϕ) − x , ∀x ∈ S − x + αϕ, x + x − x + αϕ, x + x , ∀x ∈ S ⇔ x + αϕ, x − x ≤ x ⇔ 2α ϕ, x − x ≤ x 2 − x , ∀x ∈ S − x − x, x + x , ∀x ∈ S ⇔ 2α ϕ, x − x ≤ x − x, x + x , ∀x ∈ S ⇔ ϕ, x − x ≤ x − x , ∀x ∈ S 2α Đặt δ = ta phần mệnh đề 2α Chứng minh tương tự, giả sử tồn σ > δ > cho ϕ, x − x ≤ σ x − x , với x ∈ S ∩ (x + δB), lấy x ∈ S cho x − x > δ Khi đó, ta có hai trường hợp sau (1) Nếu x − x ≥ | x − x | ≤ x − x ≤ x − x 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY Hay ϕ, x − x ≤ ϕ x−x ≤ ϕ ( x + x ) = ϕ ( x − x +2 x ) ≤ ϕ (| x − x | + x ) ≤ ϕ ( x−x +2 x ) ≤ ϕ ( x−x +2 x x − x 2) ≤ ϕ (1 + x ) x − x (2) Nếu x − x < δ ≤ x − x < 1, với δ > cho 1 x − x ≥ > Do đó, ta có δ δ ϕ, x − x ≤ ϕ x−x ≤ ϕ ( x + x ) = ϕ ( x − x +2 x ) ≤ ϕ (| x − x | + x ) ≤ ϕ ( x−x +2 x ) ≤ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ x−x +2 x δ x−x x−x +2 x δ δ x−x δ2 27 +2 x Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY x−x δ2 ≤ ϕ ≤ ϕ δ2 x−x + x δ2 (1 + x ) x − x Đặt σ = max σ, ϕ (1 + x ), ϕ δ2 ϕ, x − x ≤ σ x − x (1 + x ) ta , ∀x ∈ S Ví dụ 2.2.3 Cho tập lồi đóng S x ∈ S ta có N P (S; x) = N conv (S; x) Chứng minh N conv (S; x) ⊂ N P (S; x) hiển nhiên Ta chứng minh N P (S; x) ⊂ N conv (S; x) Lấy ξ ∈ N P (S; x) σ > 0, cho x điểm S Do S lồi nên x = x + t(x − x) thuộc S với t ∈ (0, 1) Áp dụng mệnh đề 2.2 ta có t ξ, x − x ≤ σt2 x − x Cho t ↓ ta ξ, x − x ≤ , ∀x ∈ S, hay ξ ∈ N conv (S; x) 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY Ví dụ 2.2.4 (1) Cho S = (x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, y ≥ x x = (0, 0) Ta có N P (S; x) = (0, 0) ∪ {ξ1 , ξ2 } ∈ R2 : ξ1 ≥ 0, ξ2 < (2) Cho S = (x, y) ∈ R2 : y ≥ x ≥ ∪ (x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, y ≥ −(−x) , x < x = (0, 0) Ta có N P (S; x) = {(0, 0)} ∪ (ξ1 , ξ2 ) ∈ R2 : ξ1 > 0, ξ2 ≤ −ξ1 Định nghĩa 2.3 (xem [1]) Cho X không gian Banach, S tập đóng khác rỗng X x ∈ S Một phần tử ξ ∈ X ∗ pháp tuyến xấp xỉ S x (nghĩa ξ ∈ N P (S; x)) tồn σ, δ > cho ξ, x − x ≤ σ x − x 2.2.3 ∀x ∈ (x + δB) ∩ S Nón pháp tuyến Fréchet Cho X không gian Banach, S tập đóng khác rỗng X x ∈ S Một vectơ ζ ∈ X ∗ nón pháp tuyến Fréchet S x thỏa mãn điều kiện với ε > 0, tồn δ > cho ζ, x − x ≤ ε x − x ∀x ∈ (x + δB) ∩ S Kí hiệu tập tất vectơ N (S; x) (hoặc N F (S; x)) (xem [3]) 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY Ví dụ 2.2.5 Cho tập lồi đóng S x ∈ S ta có N (S; x) = N conv (S; x) 2.2.4 Nón pháp tuyến sở (nón pháp tuyến Mordukhovich) Một toán quan trọng nón pháp tuyến Fréchet tính không ổn định nó, nghĩa nón pháp tuyến Fréchet có biến thiên khắp nơi sở điểm biến thiên Để xét tính ổn định nón pháp tuyến ta định nghĩa nón pháp tuyến sở sau N (S; x) = lim sup N (S; x) x→S x = ζ ∈ H : ∃ xn →S x , ∃ ζn →w ζ với ζn ∈ N (S; xn ) Ta định nghĩa nón pháp tuyến xấp xỉ giới hạn cách tương tự sau N P L (S; x) = lim sup N P (S; x) x→S x Ví dụ 2.2.6 Đối với tập lồi đóng S điểm x ∈ S Ta có N (S; x) = N conv (S; x) Ví dụ 2.2.7 Cho S = (x, y) ∈ R2 : y ≤ |x| x = (0, 0) Chứng minh rằng: N (S; x) = {(r, |r|) : r ∈ R} Chứng minh 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY Cho xn = (pn , qn ) →S x = (0, 0) Nếu xn ∈ intS tức qn < |pn | hiển nhiên ta có N (S; xn ) = {(0, 0)} Nếu xn ∈ bd S qn = |pn |, theo [1, Example 1.5 part 2b] ta có N (S; xn ) =   {(−r, r) : r ≥ 0} pn > 0;  {(r, r) : r ≥ 0} pn < Do đó, N (S; x) = {(0, 0)}∪{(−r, r) : r ≥ 0}∪{(r, r) : r ≥ 0} = {(r, |r|) : r ∈ R} Mệnh đề 2.3 (xem [1, Proposition 1.8, p 28 ]) (1) Nón pháp tuyến có bao hàm sau N P (S; x) ⊂ N (S; x) ⊂ N (S; x) ⊂ N C (S; x) , ∀x ∈ S Quy ước: đặt N P (S; x) = · · · = N C (S; x) = ∅ x ∈ / S {0} x ∈ int S (2) Đối với tập lồi đóng khác rỗng x ∈ S tất nón pháp tuyến trùng với N conv (S; x) (3) N (S; x) N C (S; x) nón lồi đóng mạnh X ∗ (4) N P (S; x) nón lồi H (nó không cần phải mở, không cần phải đóng) (5) N (S; x) nón đóng mạnh X ∗ (nó không lồi) 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY (6) Nón pháp tuyến sở N (S; x) có tính chất quan trọng sau   xn → x,    S ∗ ζn →w ζ, =⇒ ζ ∈ N (S; x)    ζn ∈ N (S; xn ) Chú ý trường hợp tổng quát (thậm chí không gian hữu hạn chiều), tính chất không nón pháp tuyến Clarke (7) Sự bao hàm khẳng định mệnh đề không tập S ví dụ 2.2.7, tập ta có N P (S; x) = N (S; x) = {(0, 0)} ⊂ N (S; x) = {(r, |r|) : r ∈ R} ⊂ N C (S; x) = {(r, s) : s ≥ |r|} Chứng minh Các phần (1),(2),(5),(6),(7) hiển nhiên (3) Vì N C (S; x) cực âm T C (S; x), nón lồi đóng mạnh Như ta phải biểu diễn tính đóng mạnh N (S; x) Cho ξk dãy N (S; x) hội tụ đến ξ không gian định chuẩn X ∗ ε Cho ε > Lấy số nguyên p cho ξp − ξ ≤ lấy δ > cho ε ξp , x − x ≤ x − x ∀x ∈ [x + δB] ∩ S 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY Do đó, ∀x ∈ [x + δB] ∩ S ta có ξ, x − x = ξ − ξp , x − x + ξp , x − x ≤ε x−x Vậy ξ ∈ N (S; x) (4) Cho ξ1 , ξ2 ∈ N P (S; x) cho α ∈ [0, 1] Theo mệnh đề 2.2 ∃ σ1 > σ2 > cho ∀x ∈ S ξ1 , x − x ≤ σ x − x ξ2 , x − x ≤ σ2 x − x Ta đặt σ = max {σ1 , σ2 } Với x ∈ S ta có αξ1 + (1 − α)ξ2 , x − x ≤ [ασ1 + (1 − α)σ2 ] x − x ≤ σ x − x Vậy N P (S; x) tập lồi Ví dụ 2.2.8 S = (x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, y ≥ x x = (0, 0) Ta kiểm tra vectơ v = (1, 0) ∈ / N P (S; x), điểm {x + λv : λ > 0} phép chiếu x Mặt khác, ta dễ dàng kiểm tra vectơ v = (1, 0) nằm N (S; x) (nghĩa ∀ε > , δ = ε2 ta kiểm tra bất đẳng thức định nghĩa nón pháp tuyến Fréchet cố định với δ > 0) 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY Vậy N P (S; x) ⊂ N (S; x) Ví dụ chứng tỏ bao hàm N P (S; x) ⊂ N (S; x) bị hạn chế trường hợp tổng quát 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY KẾT LUẬN Trên nội dung khóa luận "Một số khái niệm giải tích không trơn " Khóa luận trình bày nội dung sau đây: • Chương Ở chương này, trình bày số định nghĩa đạo hàm theo hướng, khả vi Gâteaux, khả vi Fréchet, toán cực tiểu không ràng buộc, toán cực tiểu ràng buộc, gradient suy rộng số khái niệm khác vi phân • Chương Ở chương này, trình bày số định nghĩa nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến Clarke, nón pháp tuyến xấp xỉ, nón pháp tuyến Fréchet nón pháp tuyến sở Do thời gian thực khóa luận không nhiều có sai sót, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! 35 Tài liệu tham khảo [1] M Bounkhel, Regularity Concepts in Nonsmooth Analysis, Springer New York Dordrecht Heldelberg London, 2012 [2] F H Clarke, A new approach to Lagrange multipliers, Math Oper Res., Vol 1, pp 97-102, 1976 [3] B Mordukhovich , Variation analysis and generalized differentiation I: Basic theory, Vol 330, Springer-Verlag, Berlin, 2006 36 ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THÙY MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS Bùi Ngọc Mười Hà... vi nói chung bị phá vỡ Giải tích không trơn đời nhằm đáp ứng yêu cầu Tương tự thuật ngữ "phi tuyến" toán học có nghĩa không thiết tuyến tính, khái niệm "không trơn" ngụ ý không thiết khả vi liên... nghiệp " Một số khái niệm giải tích không trơn " hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy Bùi Ngọc Mười Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp không