CÁCH TÍNH MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ( TOÁN CAO CẤP 1 & 2, TÍNH NGẮN MẠCH )

CÁCH TÍNH MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ( TOÁN CAO CẤP 1 & 2, TÍNH NGẮN MẠCH ) CÁCH TÍNH MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ( TOÁN CAO CẤP 1 & 2, TÍNH NGẮN MẠCH ) CÁCH TÍNH MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ( TOÁN CAO CẤP 1 & 2, TÍNH NGẮN MẠCH )

DATADA –ĐHNL Tp HCM 1 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 1. Dùng ma trận phần phụ đại số * Cho A nxn có D=det(A) và D ij là định thức con của D bỏ đi hàng i cột j * Ma trận A nxn khả đảo Û det(A)≠0 T nnnn n n AAA AAA AAA A A ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = - L MMMM L L 21 22221 11211 1 )det( 1 với A ij =(-1) i+j D ij Ví dụ: Cho ma trận ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= 402 20 321 mA . Tính A -1 Giải * Tính 44 24 2 240 20 321 402 20 321 )det( += - = -=-= m m mmA * Nếu m= -1 thì det(A)=0 không tồn tại A -1 * Nếu m≠ -1 thì det(A) ≠0 Þ A -1 tồn tại, nên ta tính các phần phụ đại số A ij ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ë é + - ++ + - + - + + + + - + - =Þ -¹ ú ú ú û ù ê ê ê ë é - + + = ú ú ú û ù ê ê ê ë é + - + =Þ -= - =-=-=+= - = =-=-==-=-= = - ==-=-= - = - - )1(2 1 1 1 1 1 )1(4)1(2 1 )1(2 )1(2 3 1 2 1 2 )1( 244 22 6288 44 1 262 428 428 44 1 2 20 21 0 31 62 2 32 4 02 21 2 42 31 8 40 32 4 02 20 2 42 0 8 40 2 1 1 333231 232221 131211 mmm m m mm m m m mm A mmm m m mm m m A Am m Am m A AAA Am m A m A T DATADA –ĐHNL Tp HCM 2 2. Dùng phép biến đổi sơ cấp Nếu det(A)≠0 ta tính A -1 bằng các rút gọn ma trận [A nxn : I n ] ® [ I n : A -1 ] với I là ma trận đơn vị. Ví dụ Cho ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1000 3100 1110 1231 A . Tính A -1 Giải * Vì A là ma trận tam giác trên nên det(A)=1≠0 Þ tồn tại A -1 * Ta tìm A -1 bằng rút gọn theo dòng ma trận [A:I] sao cho A thành I thì I thành A -1 [A : I]= ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é -® 1000 0100 0010 0031 1000 3100 1110 4501 1000 0100 0010 0001 1000 3100 1110 1231 2311 hhh ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - ® -® +® 1000 0100 0110 0531 1000 3100 2010 11001 1000 0100 0010 0031 1000 3100 1110 4501 3511 322 hhh hhh ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - - ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é ® +® -® +-® 1000 3100 2110 11531 1000 0100 0010 0001 1000 0100 0110 0531 1000 3100 2010 11001 41111 4222 4333 hhh hhh hhh =[I : A -1 ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - =Þ - 1000 3100 2110 11531 1 A Ta có thể rút gọn ma trận bằng cách nhân ma trận C j như sau: Xét ma trận A=[a ij ]. Để rút gọn cột j của ma trận A thành cột j của ma trận đơn vị ta dùng ma trận C j là ma trận đơn vị và ta thay cột j bằng cột j của A chia cho phần tử trụ là a jj ¹0 trừ a jj , sau đó đổi dấu các phần tử trên cột j khác vị trí hàng j, cột j: jj jjj jj kj kjj a Cvàjkkhi a a C 1 )()( =¹-= cột j ¯ ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ë é - - - - - = - 1 0 000 0 0 000 0 0 1 000 0 0 100 0 0 010 0 0 001 1 3 2 1 jj nj jj jn jj ij j ij j ij j j a a a a a a a a a a a C MMMMMMMM MMMMMMMM DATADA –ĐHNL Tp HCM 3 Ví dụ Cho ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1000 3100 1110 1231 A . Tính A -1 Giải * Cột 1 của A là cột 1 của ma trận đơn vị, nên không cần rút gọn. * Rút gọn cột 2, ta nhân ma trận [A : I] cho ma trận ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - = 1000 0100 0010 0031 2 C ta được: C 2 [ A : I ] [ A 1 : I 1 ] ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - ® ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - ® 1000 0100 0010 0031 1000 3100 1110 4501 1000 0100 0010 0001 1000 3100 1110 1231 1000 0100 0010 0031 * Rút gọn cột 3, ta nhân ma trận [A : I] cho ma trận ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - = 1000 0100 0110 0501 3 C ta được: C 3 [ A 1 : I 1 ] [ A 2 : I 2 ] ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é ® ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - ® 1000 0100 0110 0531 1000 3100 2010 11001 1000 0100 0010 0031 1000 3100 1110 4501 1000 0100 0110 0501 * Rút gọn cột 4, ta nhân ma trận [A : I] cho ma trận ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - = 1000 3100 2010 11001 4 C ta được: C 4 [ A 1 : I 1 ] [ A 2 : I 2 ] ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - - ® ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - ® 1000 3100 2110 11531 1000 0100 0010 0001 1000 0100 0110 0531 1000 3100 1010 4001 1000 3100 2010 11001 DATADA HNL Tp HCM 4 3. Dựng nh lý Haminton-Cayley a) a thc c trng ca ma trn A nxn =[a ij ] l: )det()( AxIxf - = ã Tng quỏt: Tớnh a thc c trng ca ma trn A l f(x) bng cụng thc Bocher nh sau: ã t S p = tr(A p ) vi tr(A p ) = tng phn t trờn ng chộo chớnh ca A p ã Tớnh a 1 = -S 1 = - ồ = n k kk a 1 )( 2 1 2112 SSaa +-= )( 3 1 321123 SSaSaa ++-= ) ( 1 112211 nnnnn SSaSaSa n a ++++-= ã a thc c trng ca A: f(x)= x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + + a n-1 x + a n ã Trng hp riờng Nu A 2x2 = ỳ ỷ ự ờ ở ộ dc ba thỡ f(x) = bcadxdax dxc bax -++-= - - )( 2 ị f(x) = x 2 -tr(A)x + det(A) Nu A 3x3 = ỳ ỳ ỳ ỷ ự ờ ờ ờ ở ộ 333 222 111 cba cba cba thỡ 333 222 111 )( cxba cbxa cbax xf - - - = )det()()( 33 22 33 11 22 11 23 Ax cb cb ca ca ba ba xAtrxxf - ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ +++-=ị (3 nh thc cp 2 theo ng chộo A) Vớ d Tớnh a thc c trng ca ỳ ỳ ỳ ỷ ự ờ ờ ờ ở ộ - = 543 301 012 A * Tớnh S p : ỳ ỳ ỳ ỷ ự ờ ờ ờ ở ộ - = 543 301 012 A ị S 1 = tr(A)=2+0+5= 7 A 2 = ỳ ỳ ỳ ỷ ự ờ ờ ờ ở ộ 371725 151111 323 ị S 2 =tr(A 2 )=3+11+37= 51 A 3 = ỳ ỳ ỳ ỷ ự ờ ờ ờ ở ộ 236123178 1084978 21155 ị S 3 =tr(A 3 )=-5+49+236= 280 * Tớnh h s a i : a 1 = -S 1 = -7 a 2 = 1)( 2 1 211 -=+- SSa a 3 = 28)( 3 1 32112 =++- SSaSa a thc c trng ca A l: f(x)= x 3 -7x 2 x +28 DATADA –ĐHNL Tp HCM 5 b) Định lý Cayley-Hamilton Nếu f(x) là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A thì f(A)=0 Giả sử cho A khả đảo (det(A)≠0) có đa thức đặc trưng f(x)= x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…+ a n-1 x + a n thì A n + a 1 A n-1 + a 2 A n-2 +…+ a n-1 A + a n = O và a n =(-1) n det(A) ≠0, ta nhân 2 vế cho A -1 được: A n-1 + a 1 A n-2 + a 2 A n-3 +…+ a n-1 I + a n A -1 = O Þ ) ( 1 1 3 2 2 1 11 IaAaAaA a A n nnn n - ++++-= Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1000 3100 1110 1231 A Giải * det(A)=1≠0 nên tồn tại A -1 * Tính đa thức đặc trưng của A: f(x)= 4 )1( 1000 3100 1110 1231 -= - - x x x x x Þ f(x) = x 4 -4x 3 +6x 2 -4x +1 * Tính A -1 : )464( 231 IAAAA -+ = - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - =Þ ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - -=Þ - - 1000 3100 2110 11531 1000 0100 0010 0001 4 1000 3100 1110 1231 6 1000 6100 5210 5161 4 1000 9100 12310 3391 1 1 A A DATADA –ĐHNL Tp HCM 6 4. Dùng ma trận khối Giả sử ma trận E n x n khả đảo (det(E)≠0) với n³4, ta tìm ma trận nghịch đảo E -1 như sau: Đầu tiên ta chia E thành ma trận khối ú û ù ê ë é = DC BA E với A mxm , D kxk ; m+k=n và A khả đảo. Tiếp theo, ta tìm E -1 dưới dạng ú û ù ê ë é = - NM LK E 1 trong đó K, N là ma trận vuông có cấp m, k )( )4( )3( )2( )1( 1 I INDMB OLDKB ONCMA ILCKA IO OI DC BA NM LK IEE k m k m n ï ï î ï ï í ì =+ =+ =+ =+ Û ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é Û=Þ - (i) Nếu C=O thì hệ (I) cho: ï ï î ï ï í ì = -= = = Þ ï ï î ï ï í ì = =+ = = Þ ï ï î ï ï í ì =+ =+ = = - - - - 1 11 1 1 1 DN BDAL OM AK IND OLDBA OM AK INDMB OLDKB OMA IKA k k m (ii) Nếu B=O thì hệ (I) cho: 1111 ;;; ==-== DNOLCADMAK ¯ nhân A -1 và D -1 hai bên B ú û ù ê ë é - = ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é - = ú û ù ê ë é - - - - 111 1 1 1 111 1 DCAD OA DC OA DO BDAA DO BA - nhân D -1 và A -1 hai bên C Áp dụng: Ví dụ: Tính ma trận nghịch đảo của ma trận tam giác trên ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1000 3100 1110 1231 E * det(E)=1 Þ tồn tại E -1 * Ta chia thành ma trận khối như sau: ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1000 3100 1110 1231 E ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - = ú û ù ê ë é - =Þ ú û ù ê ë é - - =- ú û ù ê ë é - = ú û ù ê ë é - =Þ ú û ù ê ë é == ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é = - - 1000 3100 2110 11531 21 115 10 31 10 31 10 31 11 12 10 31 1 111 1 1111 DO BDAA E BDAvàDA DvàOCBA DATADA –ĐHNL Tp HCM 7 Ví dụ:Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận tam giác dưới: ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - = 1312 0113 0024 0001 E * det(E)= -2 nên tồn tại E -1 * ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - = 1312 0113 0024 0001 E ú û ù ê ë é =- ú û ù ê ë é - = ú û ù ê ë é - =Þ ú û ù ê ë é - = ú û ù ê ë é == ú û ù ê ë é = 23 5,01 13 01 5,02 01 13 01 12 13 24 01 1111 CADvàDA DvàCOBA ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - = ú û ù ê ë é - =Þ - - 1323 015,01 005,02 0001 111 1 1 DCAD OA E (iii) Trường hợp tổng quát B và C khác O thì: * Phân tích ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é - = ú û ù ê ë é - - k m ICD OI DO BCBDA DC BA 1 1 (tích 2 ma trận tam giác) * Dùng kết quả: 1 1 1 1 1 . - - - - - ú û ù ê ë é - ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é DO BCBDA ICD OI DC BA k m Ví dụ: Tính ma trận nghịch đảo của ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - = 5422 3211 0010 3111 E * Phân tích E=E 1 E 2 với E 1 , E 2 là 2 ma trận tam giác: ú û ù ê ë é =- ú û ù ê ë é = 10 5,05,0 ; 00 5,05,0 11 CBDACD ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - =Þ ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - = ú û ù ê ë é - = - - - - 11 1 11 2 22 3 22 5 11 3 11 17 1 1 1 1 00 00 0010 12 5400 3200 0010 315,05,0 E DO BCBDA E ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é =Þ ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú û ù ê ë é = - - 1000 015,05,0 0010 0001 1000 015,05,0 0010 0001 1 2 2 1 2 2 E ICD OI E * ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é == - - - - 11 1 11 2 11 3 11 17 11 1 11 2 22 3 22 5 11 3 11 17 1 1 1 2 1 00 0101 0010 12 00 00 0010 12 . 1000 015,05,0 0010 0001 EEE . Ta có thể rút gọn ma trận bằng cách nhân ma trận C j như sau: Xét ma trận A=[a ij ]. Để rút gọn cột j của ma trận A thành cột j của ma trận đơn vị ta dùng ma trận C j là ma trận đơn vị và. DATADA –ĐHNL Tp HCM 6 4. Dùng ma trận khối Giả sử ma trận E n x n khả đảo (det(E)≠0) với n³4, ta tìm ma trận nghịch đảo E -1 như sau: Đầu tiên ta chia E thành ma trận khối ú û ù ê ë é = DC BA E . bằng các rút gọn ma trận [A nxn : I n ] ® [ I n : A -1 ] với I là ma trận đơn vị. Ví dụ Cho ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1000 3100 1110 1231 A . Tính A -1 Giải * Vì A là ma trận tam giác