Như chúng ta đã biết, ngay từ khi bước chân vào trường tiểu học các em đã được làm quen với hình tam giác ở dạng tổng thể (phân biệt hình tam giác trong số các hình khác: hình vuông, hình tròn ...). Lên đến lớp 5, các em mới học các khái niệm của hình tam giác như đỉnh, góc, đáy, chiều cao tương ứng với các đáy và học cách tính diện tích tam giác (tuần 17 – 18) và được củng cố về cách tính diện tích của nó thông qua nội dung ôn tập hình học cuối cấp. Thực tế qua nhiều năm dạy học cho thấy, mặc dù các em đã được học đầy đủ về cách xác định đáy và chiều cao tương ứng với đáy như: Trong một tam giác ta có thể chọn bất kì một cạnh nào đó làm cạnh đáy, từ đỉnh đối diện với cạnh đáy kẻ một đường thẳng vuông góc với đáy ta được đường cao của tam giác Cách kẻ đường cao: Đặt một cạnh góc vuông của eke trùng với đỉnh của tam giác, cạnh góc vuông kia trùng cạnh đối diện với đỉnh để vẽ. Thế nhưng khi vận dụng vào làm một số bài tập các em không khỏi lúng túng nhất là trường hợp đường cao nằm ngoài tam giác.
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC SÂU KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC TỪ ĐÓ PHÁT TRIỂN, NÂNG CAO ĐỂ BỒI DƯỠNG HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN LỚP Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai ĐẶT VẤN ĐỀ Đất nước ta thời kỳ cơng nghiệp hóa đại hóa hội nhập quốc tế Văn kiện hội nghị lần Ban chấp hành TW Đảng CSVN khóa VIII (2/1993) khẳng định “Giáo dục quốc sách hàng đầu, động lực phát triển kinh tế xã hội” Thật vậy, công đổi đất nước, cần có người có lĩnh, có lực chủ động dám nghĩ dám làm để thích ứng với đời sống xã hội ngày, thay đổi Muốn vậy, xã hội phải dựa vào giáo dục đáp ứng điều Chính lẽ đó, Đảng nhấn mạnh mục tiêu giáo dục là: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực bồi dưỡng nhân tài” Như rõ ràng phải từ kiến thức vững để nâng cao dân trí để đào tạo nhân lực cho xã hội Trên tảng để bồi dưỡng nhân tài Chúng ta khơng thể xây dựng tịa lâu đài đồ sộ móng khơng vững vàng, lại đào tạo nhân tài mà kiến thức chưa vững Chúng ta bồi dưỡng học sinh giỏi theo kiểu áp đặt “cứ gặp dạng làm này” lúc học sinh chưa hiểu lại làm Dạy vơ hình biến học sinh làm việc máy rập khuôn, thiếu linh hoạt làm thiếu sáng tạo thực tiễn Chính vậy, muốn bồi dưỡng học sinh giỏi phải từ kiến thức vững từ phát triển, nâng cao dần để em chiếm lĩnh kiến thức cách nhẹ nhàng, thỏa mái vững THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Như biết, từ bước chân vào trường tiểu học em làm quen với hình tam giác dạng tổng thể (phân biệt hình tam giác số hình khác: hình vng, hình trịn ) Lên đến lớp 5, em học khái niệm hình tam giác đỉnh, góc, đáy, chiều cao tương ứng với đáy học cách tính diện tích tam giác (tuần 17 – 18) củng cố cách tính diện tích thơng qua nội dung ơn tập hình học cuối cấp Thực tế qua nhiều năm dạy học cho thấy, em học đầy đủ cách xác định đáy chiều cao tương ứng với đáy như: - Trong tam giác ta chọn cạnh làm cạnh đáy, từ đỉnh đối diện với cạnh đáy kẻ đường thẳng vng góc với đáy ta đường cao tam giác - Cách kẻ đường cao: Đặt cạnh góc vuông eke trùng với đỉnh tam giác, cạnh góc vng trùng cạnh đối diện với đỉnh để vẽ Thế vận dụng vào làm số tập em không khỏi lúng túng trường hợp đường cao nằm ngồi tam giác Cịn cách tính diện tích hình tam giác sách giáo khoa giới thiệu cách tính diện tích biết đáy chiều cao Nhưng thực tế ta tính diện tích hình tam giác cách so sánh diện tính Do áp dụng để làm số tập cụ thể, học sinh khơng tránh khỏi khó khăn, lúng túng đặc biệt trường hợp tính diện tích hình tam giác mà ta chưa biết cụ thể độ dài đáy chiều cao Đinh Q́c Ngũn TH Sơng Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai Vậy làm để vẽ tam giác có diện tích theo tỷ lệ cho hay để tính diện tích tam giác mà ta chưa biết độ dài cạnh đáy chiều cao Căn vào mối quan hệ để vẽ được, tính trường hợp ? GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Muốn bồi dưỡng học sinh giỏi phải bồi dưỡng theo mạch kiến thức, bồi dưỡng theo dạng không lan man nhiều mạch kiến thức gặp dạng làm dạng khó dạy sâu học sinh khó tư Muốn nâng cao dạng phải củng cố kiến thức thật Học sinh phải nắm phương pháp giải, quy trình giải, cơng thức tính Để học sinh nắm sâu ta phải dùng hệ thống câu hỏi để kiểm tra xem thử em nắm chưa làm theo công thức làm theo mẫu chưa hiểu rõ vấn đề cốt lõi Sau học sinh nắm kiến thức giáo viên dựa kiến thức để mở rộng nâng cao theo mạch kiến thức để từ kiến thức phát triển lên kiến thức Khi rút số kết luận giáo viên phải tổng qt hóa tốn để học sinh dễ nhớ hiểu Từ toán bản, giáo viên thiết kế, sáng tác thêm tốn có nội dung phong phú hơn, mở rộng nâng cao dần để em giải Đối với em thật giỏi, giáo viên khuyến khích học sinh tự đề giải Có phát huy hết lực tiềm ẩn học sinh, khơi dậy tị mị ham thích học tập em Để giúp em vẽ được, tính diện tích tam giác giúp học sinh hiểu sâu vận dụng làm tốt toán trường hợp tương tự sử dụng số biện pháp sau: Biện pháp 1: Thông qua số hình vẽ hướng dẫn em xác định yếu tố tam giác (cụ thể đáy chiều cao tương ứng với đáy) A - Trước hết phải cho học sinh nhắc lại cách xác định đáy vẽ đường cao tương ứng với đáy Sau giáo viên vẽ hình tam giác u cầu học sinh xác định đáy dùng eke để vẽ đường cao B C tam giác Hỏi: - Trong tam giác ABC chọn BC làm đáy đỉnh đối diện với đáy BC đỉnh nào? (đỉnh A) - Nếu chọn AC làm đáy đỉnh đối diện với cạnh AC đỉnh nào? (đỉnh B) - Nếu chọn cạnh AB đáy đỉnh đối diện với cạnh AB đỉnh nào? (đỉnh C) Sau yêu cầu học sinh kẻ đường cao tương ứng với đáy AB, AC, BC Qua hình vẽ ta thấy đường cao nằm tam giác Vậy đường cao nằm tam giác ta vẽ nào? Giáo viên vẽ tiếp tam giác MNQ lên bảng( mở rộng) M Hỏi: Muốn vẽ đường cao tương ứng với đáy QN ta phải xác định gì? (đỉnh đối diện với đáy QN đỉnh M) Giáo viên hướng dẫn dùng đường kẻ phụ: kéo dài đáy H N Q I Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai QN phía Q sau dùng eke để vẽ Tiếp tục yêu cầu học sinh vẽ đường cao tương ứng với đáy QM (kéo dài đáy QM đoạn phía Q dùng eke để vẽ) * Qua hình vẽ ta thấy đường cao tương ứng với đáy QN QM nằm tam giác Vậy để vẽ đường cao nằm tam giác ta phải ý điều gì? (dùng đường kẻ phụ kéo dài đáy phía) * Sau giáo viên tiếp tục vẽ thêm số hình tam giác khác yêu cầu học sinh kẻ đường cao tương ứng với đáy Bài tập: Vẽ đường cao BH cho tam giác sau: B A A C A C B B C * Sau học sinh nắm vững cách xác định đáy chiều cao tương ứng với đáy, giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh xác định tam giác có chung đáy tam giác có chung chiều cao, thơng qua số tập sau: Bài 1: Dựa vào hình vẽ em cho biết AH chiều cao tam giác nào? A A B H N C A M N B H Bài 2: Cho hình vẽ sau: Nêu tên tam giác có chung chiều cao MK Nêu tên tam giác có chung chiều cao CH I K D C Bài 3: Cho tứ giác ABCD, nối AC BD cắt E (xem hình vẽ) B Nêu tên tam giác có chung cạnh đáy AC? Nêu tên tam giác có chung cạnh đáy BD? Nêu tên tam giác có chung cạnh đáy DE? Nêu tên tam giác có chung cạnh đáy EB? A E Nêu tên tam giác có chung cạnh đáy AE? Nêu tên tam giác có chung cạnh đáy EC? D C Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai * Sau học sinh xác định tam giác có chung đáy, có chung chiều cao, để tính diện tích hình tam giác liên quan, giáo viên phải giúp học sinh nắm mối quan hệ yếu tố tam giác (đáy, chiều cao diện tích) Biện pháp 2:Từ ví dụ cụ thể giúp học sinh tìm mối quan hệ yếu tố tam giác (đáy, chiều cao tương ứng với đáy diện tích) A Bài tốn 1: Tam giác ABC có đáy BC 20cm chiều cao tương ứng với đáy 8cm Kéo dài đáy BC thêm 8cm đoạn CD 5cm diện tích tăng thêm B H 20cm C 5cm D bao nhiêu? Bài toán học sinh dễ dàng giải Cách 1: Diện tích tam giác ABC : (20 x 8) :2 = 80 (cm2) Khi mở rộng đáy thêm 5cm phần mở rộng có dạng hình tam giác chiều cao phần mở rộng chiều cao tam giác ban đầu (bằng chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BD) Độ dài đoạn BD là: 20 + = 25 (cm) Diện tích tam giác ABD là: 25 x : = 100 (cm2) Diện tích tăng thêm là: 100 – 80 = 20 (cm2) Đáp số : 20cm2 Cách 2: Chiều cao phần mở rộng chiều cao tam giác ban đầu ( chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BD) Diện tích phần mở rộng là: x : = 20 (cm2) Đáp số: 20 cm2 Việc quan trọng học sinh xác định hai tam giác ABC ACD có chung chiều cao (chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BD) Từ toán hỏi: Em so sánh đáy phần mở rộng đáy phần tam giác ban đầu? (5:20 = ) Diện tích phần mở rộng so với diện tích hình tam giác ban đầu nào? (20:80 = ) Vậy hai tam giác có chiều cao (chiều cao nhau) độ dài đáy diện tích có quan hệ nào? (cùng tăng giảm) Rút kết luận 1: Hai tam giác A B có chiều cao (chung chiều cao) thì: Đáy tam giác A = Diện tích hình A Đáy tam giác B Diện tích hình B => Từ tốn ta khai thác thêm số tốn khác mà thực chất tốn song hình thức biểu lại khác Đinh Q́c Ngũn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai Hỏi: Nếu biết diện tích tam giác tỉ số đáy hai tam giác ta tính diện tích tam giác khơng? Ta có tốn 2: Một ruộng hình tam giác có diện tích 80m2 Người ta mở rộng đáy thêm đoạn đáy ban đầu diện tích tăng thêm bao nhiêu? Biết sau mở rộng ruộng hình tam giác Hỏi: Tỉ số đáy tam giác phần mở rộng A đáy ban đầu bao nhiêu? ( ) Vậy tỉ số diện tích phần mở rộng diện 80cm tích tam giác ban đầu bao nhiêu? ( ) B C D Dựa vào quan hệ tỉ lệ đáy diện tích tam giác nên em dễ dàng giải Giải: Phần mở rộng hình tam giác có chiều cao chiều cao tam giác ban đầu Theo đáy phần mở rộng đáy ruộng ban đầu nên diện tích phần mở rộng diện tích ruộng ban đầu Diện tích phần mở rộng là: 80 x =20 (m2) Đáp số: 20m2 H: Nếu biết đáy ruộng ban đầu tỉ số diện tích phần mở rộng với diện tích tam giác ban đầu ta có tính đáy phần mở rộng khơng? Bài tốn 3: Một ruộng hình tam giác có đáy dài 20m Người ta mở rộng đáy thêm đoạn để có diện tích phần mở rộng 25% diện tích ban đầu Tính độ dài đáy phần mở rộng, biết sau mở rộng ruộng hình tam giác A Hỏi: Tỉ số diện tích phần mở rộng diện tích ruộng ban đầu bao nhiêu? (25%) Vậy tỉ số đáy phần mở rộng đáy ruộng ban đầu nào? (cùng 25%) B C D Dựa vào quan hệ tỉ lệ đáy diện tích, em dễ dàng giải H: Nếu biết độ dài đáy phần mở rộng biết tỉ số diện tích tam giác phần mở rộng diện tích tam giác ban đầu ta tính độ dài đáy ban đầu khơng? Bài tốn 4: Đinh Q́c Ngũn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai Nhà bác An có ruộng hình tam giác Nay làm đường nên bị xén vào ruộng phần đất hình tam giác (hình vẽ) có đỉnh đỉnh đất, diện tích bị xén vào diện tích ban đầu Tính độ dài đáy mảnh đất lại biết mảnh đất bị xén có đáy 5m A Từ hiểu biết mối quan hệ độ dài đáy diện tích, em giải B C D Phần bị xén phần đất cịn lại có dạng hình tam giác Ta xem đáy tam giác 5m chiều cao chiều cao phần đất lại (bằng chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BC) 1 Theo phần đất bị xén diện tích ban đầu hay diện tích đất cịn lại Do đáy phần đất bị xén đáy phần đất lại Độ dài đáy phần đất lại là: : = 20 (m) Đáp số: 20m * Từ toán rút tổng quát 1: - Gọi diện tích hình S1; đọ dài đáy hình a1 - Gọi diện tích hình S2; đọ dài đáy hình a2 Khi tam giác tam giác có chung chiều cao (chiều cao nhau) thì: a1 S1 = Ta có: a S2 a a ⇒ S1 = S2 x S2 = S1x a2 a1 S S ⇒ a1 = a x a = a 1x S2 S1 Đối với dạng này, hai tam giác có chiều cao (chung chiều cao) diện tích độ dài đáy có quan hệ tỉ lệ tăng giảm H: Vậy hai tam giác có đáy (chung đáy) diện tích chiều cao có quan hệ nào? => Vận dụng nâng cao Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD vng C D, có AD = 6cm, BC = 9cm, DC B 8cm = (xem hình vẽ) Nối A với C, B với D A Hãy so sánh diện tích tam giác ADC BDC D C Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đờng Nai Vận dụng cơng thức tính diện tích tam giác, học sinh chăn dẽ dàng giải được: Giải: Diện tích tam giác ACD là: x : = 24 (cm2) Diện tích tam giác BCD : x : = 36 (cm2) Vì 36cm2 > 24cm2 nên diện tích tam giác BCD lớn diện tích tam giác ADC Từ toán trên, hỏi: - Nếu xem DC đáy tam giác ACD chiều cao tương ứng cạnh nào? (AD) - Nếu xemDC đáy tam giác BCD chiều cao tương ứng cạnh nào? (BC) - Chiều cao BC tam giác BCD gấp lần chiều cao AD tam giác ADC? (9:6 = lần) - Diện tích tam giác BCD gấp lần diện tích tam giác ADC? (36:24 = lần) - Vậy hai tam giác có chung đáy (đáy nhau) diện tích chiều cao có quan hệ nào? (quan hệ tăng giảm) Rút kết luận 2: Hai tam giác A B có chung đáy (đáy nhau) thì: Chiều cao tam giác A = Diện tích tam giác A Chiều cao tam giác B Diện tích tam giác B H: Nếu ta biết tỉ lệ chiều cao hai tam giác biết diện tích hai tam giác ta tính diện tích tam giác cịn lại hay khơng? Bài tốn 2: Khi thiết kế xong nhà hình tam giác bác An định xây cao 3m, tính diện tích bề mặt nhà 9m Như phần không phù hợp với nhà nên bác hạ chiều cao xuống cịn chiều cao ban đầu Tính diện tích nhà bác An Hỏi: Khi đáy nhà khơng đổi mà ta hạ chiều cao diện tích bề mặt nhà thay đổi nào? (diện tích giảm) Tỉ số chiều cao nhà sau hạ xuống chiều cao dự định ban đầu bao nhiêu? ( ) Vậy tỉ số diện tích bề mặt nhà so với diện tích dự định ban đầu bao nhiêu? ( ) Từ tính diện tích nhà bác An hay khơng? Giải: Khi đáy nhà khơng đổi Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đờng Nai Nếu chiều cao nhà sau hạ chiều cao ban đầu diện tích bề mặt diện tích ban đầu Diện tích bề mặt nhà bác An là: x = 7,5 (m2) * Tương tự ta thiết kế số tốn, từ rút công thức tổng quát 2: - Gọi diện tích hình tam giác S1, chiều cao tam giác h1 - Gọi diện tích hình tam giác S2, chiều cao tam giác h2 Nếu tam giác tam giác có chung đáy (hoặc đáy nhau) thì: h S1 S S = ⇒ h1 = h x ; h = h 1x h S2 S2 S1 h h ⇒ S1 = S2 x ; S2 = S1 x h2 h1 * Như qua kết luận kết luận 2: + Hai tam giác có chung chiều cao (chiều cao nhau) diện tích độ dài đáy quan hệ tỉ lệ tăng giảm + Hai tam giác có đáy (chung đáy) diện tích chiều cao tương ứng với đáy có quan hệ tỉ lệ tăng giảm H:Vậy hai tam giác có diện tích độ dài đáy chiều cao tương ứng với có quan hệ nào? Bài tốn 3: Cho hình chữ nhật ABCD vó chiều dài AB = 12cm, chiều rộng BC = 7cm Trên cạnh 3 AB lấy điểm E cho EB = AB; cạnh BC lấy điểm M cho CM = MB 4 Nối E với M, M với D So sánh diện tích tam giác EBM MCD nhà sau hạ A E B M D C Hỏi: Muốn so sánh diện tích hai tam giác EBM MCD ta phải làm gì? (phải biết diện tích hình tam giác) Hai tam giác có đặc điểm gì? (đều tam giác vng) Muốn tính diện tích tam giác EBM ta phải biết gì? (độ dài đoạn EB BM) Muốn tính diện tích tam giác MCD ta phải biết gì? (độ dài đoạn MC DC) Giải: Độ dài đoạn EB là: 12 x = (cm) Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai Độ dài đoạn BM là: 7:(3+4)x4 = 4(cm) Độ dài đoạn MC là: – = (cm) Diện tích tam giác BME là: x : = 18 (cm2) Diện tích tam giác MCD là: x 12 : = 18 (cm2) Vì 18cm2 = 18cm2 nên diện tích tam giác BME diện tích tam giác MCD * Từ toán trên, hỏi: - Nếu coi EB đáy tam giác EBM chiêu cao tương ứng cạnh (BM) - Nếu coi DC đáy tam giác DMC chiêu cao tương ứng cạnh (MC) - Tỉ số chiều cao BM MC bao nhiêu? ( ) - Tỉ số đáy EB DC ? ( ) - Vậy hai tam giác có diện tích độ dài đáy chiều cao tương ứng với đáy có quan hệ nào? (chiều cao tăng lần độ dài đáy giảm nhiêu lần ngược lại chiều cao giảm lần đáy tăng nhiêu lần) Qua toán rút kết luận 3: Đáy tam giác A Nếu: = Chiều cao tam giác B Đáy tam giác B Chiều cao tam giác A Thì diện tích tam giác A diện tích tam giác B Từ toán giáo viên thiết kế thêm số khác, từ rút cơng thức tổng quát 3: - Gọi đáy tam giác a1; chiều cao tương ứng đáy h1 - Gọi đáy tam giác a2; chiều cao tương ứng đáy h2 a1 h = Nếu S1 = S2 a h1 h a h a ⇒ a1 = a x ; h1 = h x ; a = a1x ; h = h1x h1 a1 h2 a2 Sau học sinh nắm vững mối quan hệ yếu tố tam giác giáo viên số tập theo dạng để nâng cao dần kiến thức cho học sinh, hệ thống tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Biện pháp 3: Vận dụng hiểu biết mối quan hệ để thực hành số tốn liên quan Sau số ví dụ: * Dạng 1: Kẻ đường thẳng để chia tam giác thành phần diện tích theo tỉ lệ Trường hợp 1: Kẻ đường thẳng qua đỉnh chia tam giác thành phần Bài toán 1: Cho tam giác ABC, qua đỉnh A kẻ đường thẳng cắt cạnh BC điểm D cho diện tích tam giác ABD = diện tích tam giác ABC Hỏi: - Chiều cao tam giác ABD ABC nào? (bằng nhau, chiều cao hạ từ đỉnh A) 10 Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai - Tỉ lệ diện tích hai tam giác bao nhiêu? ( ) Dựa vào kết luận em dễ dàng tìm tỉ lệ hai đáy hai tam giác? ( ) A B D C Từ em tìm điểm D cạnh BC Bài tốn 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 6cm Qua đỉnh A, em kẻ đường thẳng để hia tam giác ABC thành phần có diện tích Hỏi: - Chiều cao tam giác (bằng nhau, chiều cao hạ từ đỉnh A) - Tỉ lệ diện tích tam giác bao nhiêu? (bằng nhau) - Tỉ lệ độ dài đáy tam giác bao nhiêu? (bằng nhau) Vậy làm để kẻ được? (vì đáy tam giác nên chia đáy BC thành phần nối điểm với đỉnh A) Từ em dễ dàng giải * Đối với toán kẻ đường thẳng qua đỉnh cần dựa vào tỉ lệ diện tích để chia độ dài cạnh đối diện với đỉnh thành phần theo tỉ lệ diện tích cho, tương ứng với đỉnh ta có cách vẽ khác Trường hợp 2: Kẻ đường thẳng qua hai cạnh tam giác Bài toán: Cho tam giác ABC Hãy kẻ đường thẳng cắt hai cạnh tam giác để hai hình cho diện tích diện tích hình Hỏi: Diện tích diện tích hình hay diện tích hình lần diện tích ban đầu? (bằng ) Vì đường thẳng cắt hai cạnh tam giác nên ta hướng dẫn học sinh phân tích tỉ số thành tích hai thừa số - Trên cạnh tam giác ta lấy điểm có tỉ lệ với thừa số thứ - Trên cạnh tam giác ta lấy điểm có tỉ lệ với thừa số thứ hai 1 Ta thấy: = x = x = VD: Trên cạnh AB lấy điểm D cho A AD = AB E Trên cạnh AC lấy điểm E cho D B C 11 Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai AC Nối D với E ta có: 1 SADE = SABE (có đáy AD= AB, chung chiều cao hạ từ E xuống AB) 2 1 SABE = SABC (có đáy AE= AC, chung chiều cao hạ từ B xuống AC) 3 1 Suy ra: SADE = x SABC = SABC Vậy SADE = SDEBC Ngồi cách vẽ ta cịn có nhiều cách vẽ khác, tương ứng với cách phân tích số ta lại có cách vẽ khác * Đối với dạng toán kẻ đường thẳng cắt hai cạnh tam giác để chia tam giác x x thành hai phần có tỉ lệ diện tích ( biết) y y x Cần phân tích tỷ số thành tích hai phân số (vì cắt hai cạnh tam giác) y x a c Ví dụ: = x y b d a Trên cạnh thứ tam giác ta lấy điểm theo tỉ lệ b c Trên cạnh thứ hai tam giác ta lấy điểm theo tỉ lệ d x Nối hai điểm lại ta hai phần có diện tích theo tỉ lệ y (Tương ứng với cách phân tích số ta lại có cách kẻ khác nhau) * Dạng 2: Bài tốn tính diện tích tam giác Bài 1: Cho tam giác ABC Trên BC lấy M cho BM = BC ; nối A với M AM lấy N cho NM = AM Nối B với N Tính diện tích hình tam giác ABC biết diện tích hình tam giác BMN 6cm2 A - Để giải tốn u cầu em vẽ hình Từ hình vẽ giáo viên hướng dẫn em khai thác dần - Để tính diện tích tam giác ABC ta phải N dựa vào đâu? (dựa vào quan hệ tỉ lệ diện tích tam 6cm2 giác AMB ABC) AE = B M C 12 Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai - Hai tam giác có quan hệ nào? 1 (chung chiều cao hạ từ đỉnh A, đáy BM = BC nên SABM = SABC ) 4 - Diện tích tam giác ABM biết ? (chưa) - Dựa vào đâu để tính diện tích tam giác ABM? (quan hệ tam giác BMN ABM) - Tam giác BMN ABM có quan hệ nào? (có chung chiều cao hạ từ đỉnh 1 B, đáy MN = AM nên SBMN = SABM ) 3 Từ hướng suy nghĩ học sinh giải được: Giải: Tam giác BMN ABM có chung chiều cao hạ từ đỉnh B đáy MN= AM nên diện tích tam giác BMN = diện tích tam giác ABM Diện tích tam giác ABM là: x = 18 (cm2) Tam giác ABM ABC có đáy BM = BC , có chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên diện tích tam giác ABM = diện tích tam giác ABC Diện tích tam giác ABC : 18 x = 72 (cm2) Đáp số: 72 cm2 Ở tốn có em phát cách giải khác Nối N với C, sau dựa vào quan hệ tỉ lệ tam giác tính Cách 2: Nối N với C 1 SBMN = SMNC có đáy BM = MC (do BM = BC) , có chung chiều cao hạ từ 3 đỉnh N Diện tích tam giác MNC là: x = 18 (cm2) 1 SMNC = SAMC (đáy MN = AM, chung chiều cao hạ từ đỉnh C) 3 Diện tích tam giác AMC là: 18 x = 54 (cm2) A N B M C 13 Đinh Quốc Nguyễn SBMN = TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đờng Nai 1 SMNC có đáy BM = MC (do BM = BC), có chung chiều cao hạ từ 3 đỉnh N Diện tích tam giác MNC là: x = 18 (cm2) 1 SMNC = SAMC (đáy MN = AM; chung chiều cao hạ từ đỉnh C) 3 Diện tích tam giác AMC : 18 x = 54 (cm2) 1 SBMN = SABM (đáy MN = AM, chung chiều cao hạ từ đỉnh B) 3 Diện tích tam giác ABM là: x = 18 (cm2) Diện tích tam giác ABC : 54 + 18 = 72 (cm2) Đáp số: 72cm2 Bài 2: Cho diện tích tam giác ABC có diện tích 780cm2 Trên cạnh AB lấy 1 điểm E cho BE= AB Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = AC Nối BD 4 CE cắt I Tính diện tích tam giác CBD EBD Hỏi: Để tính diện tích tam giác BDC ta phải B dựa vào đâu? (Dựa vào quan hệ tỉ lệ diện tích tam giác BCD ABC) E I Hai tam giác có quan hệ nào? (Có chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy DC = AC AD = AC nên SBDC = SABC) 4 A - Để tính diện tích tam giác EBD ta dựa vào D C đâu? (quan hệ tỉ lệ diện tích tam giác EBD ABD) - Hai tam giác có quan hệ nào? (có chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy 1 EB = AB nên SEBD = SABD) 4 Dựa vào kết luận học sinh tính được: Giải: 3 SBDC= SABC (đáy DC = AC; AD = AC, có chung chiều cao hạ từ đỉnh B) 4 Diện tích tam giác BDC là: 780 x =585 (cm2) Diện tích tam giác ABD là: 780 – 585 = 195 (cm2) 1 SEBD = SABD (đáy EB = AB; có chung chiều cao hạ từ đỉnh D) 4 Diện tích tam giác EBD là: 195 : = 48,75 (cm2) Đáp số: 48,75cm2 585cm2 14 Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đờng Nai *Từ tốn hỏi: - Tam giác EBD BDC có chung cạnh nào? (BD) - Nếu ta xem BD đáy tam giác EBD BCD ta tính tỉ số chiều cao hai tam giác khơng? Dựa vào đâu để biết? (có, dựa vào tỉ lệ diện tích) Giáo viên kẻ chiều cao EK tam giác EBD chiều cao CH tam giác BCD Hỏi: Chiều cao EK tam giác EBD chiều cao tam giác (EIB) - Chiều cao CH tam giác BCD chiều cao tam giác nữa? (BIC) - Biết tỉ lệ chiều cao tam giác EBI ICB ta có tính diện tích tam giác EBI khơng? (có) Bài tốn 3: Cho tam giác ABC có diện tích 780cm2 Trên cạnh AB lấy điểm E 1 cho EB = AB Trên cạnh AC lấy điển D cho AD = AC Nối BD CE cắt 4 B I Tính diện tích tam giác BEI Hỏi: Tam giác BEI có cạnh BI chung với E K cạnh tam giác nào? (BIC) I Dựa vào mối quan hệ yếu tố tam giác học sinh giải được: H - Từ kết ta có: C Diện tích tam giác BDC gấp diện tích tam giác EBD số lần là: A D 58: 48,75 = 12 (lần) Tam giác BDC EBD có chung đáy BD mà diện tích tam giác BDC gấp 12 lần diện tích tam giác EBD nên chiều cao CH gấp 12 lần EK - Xét tam giác EBI BIC có chung đáy BI chiều cao CH gấp 12 lần EK nên diện tích tam giác BIC gấp 12 lần diện tích EBI hay 1 SEBI = SBIC = SBEC 12 13 1 Mà SBEC = SABC (vì EB = AB; chung chiều cao hạ từ đỉnh C) 4 Diện tích tam giác BEC là: 780 x = 195 (cm2) Diện tích tam giác EBI là: 195 x =15 (cm2) 13 Đáp số: 15cm2 A Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD có AC BD cắt E Biết diện tích tam giác EAB, ECD, ECB 15cm 2, 10cm2 5cm2 Tính diện tích hình tam giác EAD B 15cm2 Hỏi: Muốn tính diện tích tam giác AED ta dựa vào đâu? (ta xem tam giác có chung cạnh với tam E 5cm2 10cm2 D C 15 Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đờng Nai giác nào? sau ta xem cạnh đáy, xét tỉ số chiều cao hai tam giác đó) - Dựa vào đâu để tính tỉ số chiều cao? (dựa vào diện tích tam giác có chung chiều cao với chiều cao đó) - Em cho biết tam giác ADE có chung cạnh với tam giác nào? (chung cạnh AE với tam giác AEB; chung cạnh DE vứi tam giác DEC) Từ hướng suy nghĩ em giải A Cách 1: Tam giác BEC DEC có chung đáy EC tỉ số diện tích K tam giác BEC DEC là: : 10 = B E Do chiều cao BH = DK H C D Tam giác AED AEB có chung đáy AE chiều cao BH = diện tích tam giác AED A Diện tích tam giác AED là: 15 x = 30 (cm2) Đáp số: 30cm Cách 2: Tam giác EDA EDC có chung cạnh DE, AK chiều cao tam giác ADE chiều cao tam giác ABE, CH chiều cao tam giác EBC chiều cao tam giá ECD Tam giác EBC ABE có chung đáy EB D nên tỉ số diện tích tỉ số chiều cao Tỉ số diện tích tam giác EBC ABE là: : 15 = Do chiều cao CH = AK DK Nên diện tích tam giác ABE = Tam giác ECD EAD có chung đáy ED chiều cao CH = B E K H C AK nên diện tích tam diện tích tam giác EAD Diện tích tam giác AED là: 10 x = 30 (cm2) Đáp số: 30cm2 Kết luận: Đối với toán u cầu tính diện tích tam giác (ta chưa biết cụ thể số đo độ dài đáy chiều cao tương ứng với nó) phải xét mối quan hệ tam giác với số tam giác khác (theo tỉ lệ độ dài đáy chiều cao) 16 giác ECD = Đinh Quốc Nguyễn TH Sơng Nhạn - Cẩm Mỹ - Đờng Nai * Ngồi ra, ta cịn vận dụng mối quan hệ yếu tố tam giác để giải tốn mở rộng hay thu hẹp diện tích tam giác, tứ giác KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Sau nhiều năm bồi dưỡng học sinh khiếu toán, áp dụng số kinh nghiệm trên, nhận thấy chất lượng học sinh nâng cao rõ rệt Gặp toán tương đối phức tạp, em biết áp dụng kết luận mối quan hệ yếu tố tam giác để giải Bài làm em lý luận chặt chẽ, xác Từ tốn cụ thể, em có hướng suy nghĩ khác Từ hướng suy nghĩ em tìm nhiều cách giải cho toán Đặc biệt, tiết học bồi dưỡng tốn có liên quan đến tốn diện tích tam giác em học hào hứng Đó động lực thúc đẩy tơi q trình dạy học BÀI HỌC KINH NGHIỆM Để bồi dưỡng học sinh khiếu tốn theo tơi giáo viên cần phải: - Bồi dưỡng theo mạnh kiến thức, từ kiến thức để khai thác nâng cao dần - Tránh lối dạy áp đặt chiều, phải từ ví dụ cụ thể, giáo viên dùng hệ thống câu hỏi bổ sung (ít hay nhiều tùy thuộc trình độ nhận thức học sinh) để hướng dẫn em rút kết luận Từ kết luận giáo viên phải biết tổng quát hóa toán để giúp học sinh dễ nhớ - Khi em nắm kiến thức bản, giáo viên phải đề phong phú hơn, nâng cao dần khái qt hóa tốn - Phải ý khai thác phát triển đề toán khác sở tốn có, tạo hội phát triển tư em Khi thiết kế toán nên liên hệ gần gũi với sống, phải thường xuyên đổi nội dung cho phù hợp với vấn đề thời đại - Phải kiên trì khơng nóng vội, học sinh chưa hiểu nắm chưa vững kiến thức giáo viên cần phải có hệ thống câu hỏi gợi mở nhằm giúp em nắm trắc kiến thức, tránh làm thay cho học sinh - Đặc biệt giáo viên nên khuyến khích học sinh nên tự đề tự giải, có em nhớ lâu, khắc sâu kiến thức Với cách làm thấy chất lượng học tập học sinh ngày nâng lên, hạn chế tình trạng học sinh tiếp thu kiến thức cách thụ động Số lượng học sinh yêu thích môn học ngày tăng Với ý tưởng nâng cao chất lượng học sinh giỏi, đồng thời mở rộng cách nhìn tốn diện tích hình tam giác; kinh nghiệm ỏi mình, tơi cố gắng trình bày số tốn điển hình phương pháp giải chúng Hy vọng nhận đồng nghiệp người quan tâm ý kiến bổ ích để vấn đề nêu ngày thiết thực Sông Nhạn, ngày 15 tháng 03 năm 2011 Người thực 17 Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai Đinh Quốc Nguyễn 18 ... giải cho toán Đặc biệt, tiết học bồi dưỡng tốn có liên quan đến tốn diện tích tam giác em học hào hứng Đó động lực thúc đẩy tơi q trình dạy học BÀI HỌC KINH NGHIỆM Để bồi dưỡng học sinh khiếu tốn... GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Muốn bồi dưỡng học sinh giỏi phải bồi dưỡng theo mạch kiến thức, bồi dưỡng theo dạng không lan man nhiều mạch kiến thức gặp dạng làm dạng khó dạy sâu học sinh khó tư Muốn nâng... chất lượng học tập học sinh ngày nâng lên, hạn chế tình trạng học sinh tiếp thu kiến thức cách thụ động Số lượng học sinh yêu thích mơn học ngày tăng Với ý tưởng nâng cao chất lượng học sinh giỏi,