tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học đại số và giải tích nâng cao 11 - thpt

Vì vậy, việc dạy học Toán học ở trường phổ thông phải gắn bó mật thiết với thực tiễn nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng và giáo dục họ có ý thức ứng dụng Toán học một cách có hiệu quả t

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

TĂNG CƯỜNG VẬN DỤNG CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN VÀO DẠY HỌC ĐẠI SỐ

VÀ GIẢI TÍCH NÂNG CAO 11 - THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thái Nguyên - Năm 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

TĂNG CƯỜNG VẬN DỤNG CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN VÀO DẠY HỌC ĐẠI SỐ

VÀ GIẢI TÍCH NÂNG CAO 11 - THPT

Chuyên ngành: LL & PPDH môn Toán

Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS ĐÀO THÁI LAI

Mở đầu 1

1.1.3 Toán học là khoa học công cụ để ứng dụng vào thực tiễn 6

1.2.1 Yêu cầu dạy học môn toán ở trường phổ thông gắn với thực tiễn 15 1.2.2 Tình hình dạy học toán gắn với thực tiễn ở trường phổ thông 19

Chương 2: Xây dựng và sử dụng các bài toán có nội dung thực tiễn

trong dạy học Đại số và giải tích nâng cao 11

21

2.1 Nội dung chương trình Đại số và Giải tích nâng cao lớp 11 21 2.2 Định hướng xây dựng hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn 22 2.2.1 Bám sát nội dung Đại số và Giải tích 11 hiện hành, có nâng cao hợp lý 22 2.2.2 Giúp học sinh nắm vững tri thức và có những kỹ năng cơ bản trong

Đại số và Giải tích 11 nâng cao - THPT

23

2.2.3 Các bài toán có chứa nội dung gắn với những môn học trong trường

phổ thông, có liên hệ với đời sống thực tế

2.2.4 Hệ thống bài tập được chọn lựa vừa sức cả về số lượng và độ khó

để có thể sử dụng trong dạy học

24

24

2.3.1 Những bài toán thực tiễn liên quan đến dãy số Fibonacci 25 2.3.2 Những bài toán thực tiễn liên quan đến cấp số nhân 27 2.3.3 Những bài toán thực tiễn liên quan đến cấp số cộng 37 2.3.4.Những bài toán thực tiễn liên quan đến số e 41 2.3.5 Những bài toán thực tiễn liên quan giới hạn và tính liên tục và gián đoạn của hàm số 43 2.3.6 Những bài toán thực tiễn liên quan đến dãy số và giới hạn của dãy số 44 2.3.7 Những bài toán thực tiễn liên quan đến đạo hàm 46 2.3.8 Những bài toán thực tiễn liên quan đến vi phân 58 2.3.9 Những bài toán thực tiễn liên quan đến lượng giác 59 2.3.10.Những bài toán thực tiễn liên quan đến tổ hợp 67 2.3.11.Những bài toán thực tiễn có liên quan đến xác suất 89 2.4 Một số phương pháp dạy học sử dụng hệ thống bài toán đã được xây dựng 101

3.4 Phân tích và đánh giá kết quả thử nghiệm 114

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống, với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp

phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn Bởi vậy, việc tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học môn Toán là điều cần

thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của Toán học

Để đáp ứng được sự phát triển của nền kinh tế xã hội cùng với sự phát triển như vũ bão của các nghành khoa học khác, chúng ta cần đào tạo ra những con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm đem lại những kết quả thiết thực Vì vậy, việc dạy học Toán học ở trường phổ thông phải gắn bó mật thiết với thực tiễn nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng và giáo dục họ có ý thức ứng dụng Toán học một cách có hiệu quả trong các lĩnh vực của cuộc sống như: khoa học kỹ thuật, kinh tế, sản xuất, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc

Môn Toán với vai trò cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương pháp góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động trong thời kỳ đổi mới việc thực hiện nguyên lý giáo dục: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và xă hội ”, cần phải được quán triệt trong mọi trường hợp để hình thành mối quan hệ mật thiết giữa Toán học và cuộc sống

Tuy nhiên, những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong chương trình SGK, cũng như trong việc dạy học môn Toán chưa được quan tâm đúng mức Hơn nữa những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông Mặt khác, trong thực tế giảng dạy môn toán ở phổ thông các giáo viên chưa thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn, theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn đó là kiểu dạy Toán xa rời cuộc sống đời thường

Việc Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học

môn Toán là rất cần thiết và có vai trò rất quan trọng trong nhiệm vụ giáo dục của

nước ta hiên nay Vì vậy, chúng tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học Đại số và Giải tích nâng cao 11-THPT’’

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn, đề xuất một phương án khai thác trong dạy học Đại số và Giải tích nâng cao lớp 11, nhằm góp phần tăng cường thực tiễn của môn Toán ở trường THPT

3 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được hệ thống các bài toán có nội dung thực tiễn ứng dụng kiến thức Đại số và Giải tích nâng cao lớp 11 THPT và có phương pháp tổ chức dạy học sinh giải các bài toán này một cách thích hợp thì góp phần gây hứng thú trong học tập củng cố kiến thức Đại số và Giải tích nâng cao lớp 11 THPT, thấy được ứng dụng thực tế của Toán học, qua đó giúp học sinh hiểu rõ được mối quan hệ chặt chẽ giữa Toán học và thực tiễn

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận của vấn đề tăng cường vận dụng các bài toán

có nội dung thực tiễn vào dạy học môn Toán, trong đó tập trung nghiên cứu lý luận

về dạy học Toán với thực tiễn: Làm rõ vai trò và ý nghĩa của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn

4.2 Tìm hiểu tình hình khai thác bài toán có nội dung thực tiễn và rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học Toán ở trường phổ thông Trong đó có:

+ Nghiên cứu nội dung, chương trình, sách giáo khoa Đại số và Giải tích nâng cao lớp 11 THPT

+ Tình hình sử dụng và khai thác bài toán có nội dung thực tiễn

4.3 Lựa chọn xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn ứng dụng kiến thức Đại số và Giải tích nâng cao lớp 11 THPT

4.4 Vận dụng khai thác hệ thống bài tập trong dạy học Đại số và Giải tích nâng cao lớp 11 để góp phần rèn luyện cho học sinh THPT năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn

4.5 Thử nghiệm sư phạm để bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của giải pháp đã đề xuất

5 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy và học Đại số và Giải tích nâng cao lớp 11 theo hướng khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài

6.2 Phương pháp điều tra phỏng vấn

+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan

+ Tham khảo ý kiến của của chuyên gia giáo dục môn Toán, giáo viên Toán

về kinh nghiệm xây dựng và khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn

6.3 Phương pháp thử nghiệm sư phạm:

Sử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đề ra

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 : Xây dựng và sử dụng các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy

học Đại số và giải tích nâng cao 11

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Toán học và thực tiễn

1.1.1 Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn

Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng và lôgíc trong thế giới khách quan Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề Những quan

hệ về số lượng được hiểu theo một nghĩa rất tổng quát và trừu tượng

Toán học có nguồn gốc thực tiễn:

Số học ra đời trước hết do nhu cầu của số đếm Hình học phát sinh do nhu cầu đo lại ruộng đất sau những trận lụt ở ven bờ sông Nin hàng năm

có hình dạng khác nhau mà người ta so sánh, những mảnh đất trên đó người ta đo diện tích… đó chính là một bộ phận của nhiều sự vật cụ thể đã giúp con người hoàn thiện được khái niệm về số tự nhiên, về đại lượng về hình học Con người đã nghiên cứu tất cả những sự vật đó, số lượng, hình dạng, thể tích, diện tích của chúng trong khi giải quyết những bài toán mà họ gặp phải trong hoạt động thực tiễn của họ Những khái niệm Toán học đầu tiên (số, hình) được phát sinh do nhu cầu về đếm và

đo đạc đơn giản nhất Kiến thức toán học thời xưa được xây dựng nhờ kinh nghiệm săn bắt, trồng trọt, chăn nuôi, xây dựng… Từ chỗ biết đếm, con người có khái niệm đầu tiên về số tự nhiên, khái niệm về 4 phép tính số học Nhu cầu về đo đạc diện tích và thể tích…đưa đến kiến thức ban đầu về hình học Có thể nói đây là giai đoạn phát sinh của Toán học Những kiến thức rời rạc và chỉ dựa vào kinh nghiệm dần dần được hệ thống hóa và người ta xây dựng Toán học thành một khoa học suy

diễn Sự phát triển của Toán học có thể chia làm 3 giai đoạn khác nhau tương ứng với trình độ sản xuất và kỹ thuật

Giai đoạn 1: Tương ứng với trình độ sản xuất theo kiểu thủ công với kỹ thuật thô sơ không đòi hỏi những công cụ tinh vi hơn Toán sơ cấp - Đây là giai đoạn Toán sơ cấp

Giai đoạn 2: Tương ứng với trình độ sản xuất kiểu cơ khí đòi hỏi phải có những công cụ Toán học để phục vụ cho cơ học, thúc đẩy sự ra đời của các môn hình học giải tích, phép tính vi phân và tích phân…Đây là giai đoạn Toán học cao cấp cổ điển

Giai đoạn 3: Tương ứng vơi trình độ sản xuất tự động hóa là giai đoạn Toán học hiện đại với sự ra đời của lý thuyết tập hợp, các lý thuyết thuật toán…Góp phần phát minh ra máy tính điện tử, phát triển nghành Toán học tính toán

Với 3 giai đoạn phát triển của Toán học chúng ta thấy rằng Toán học có nguồn gốc từ nhu cầu thực tiễn của cuộc sống con người và do cả nhu cầu của chính bản thân nó

1.1.2 Toán học phản ánh thực tiễn

Toán học không chỉ bắt nguồn từ thực tiễn mà đồng thời nó cũng có khả năng phản ánh thực tiễn một cách rất đa dạng, toàn diện Đó là bởi: Toán học là khoa học về cấu trúc tổng quát, các quan hệ được trừu tượng hóa các đối tượng của hiên thực khách quan

Chúng ta đi tìm hiểu một số ví dụ sau:

Ví dụ 1:Về định nghĩa của hàm số: các hàm số là chân dung của Toán học của tính qui luật của tự nhiên Ta hãy để ý đến các hiện tượng tự nhiên của thế giới xung quanh mà con người gọi chúng đó là: “quy luật

tự nhiên’’; “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, bay cao

thì nắng, bay vừa thì râm” ; “Chớp đông nhay nháy, gà

gáy trời mưa’’ Các “quy luật’’ này diễn tả một sự

tương ứng của một hiện tượng thứ nhất và hiện tượng

Ví dụ 2: Trong nghệ thuật nhiếp ảnh thì lượng ánh sáng tác động vào phim ảnh cho tương ứng với độ đen của nó

Trong Toán học mọi quy tắc xác định tương ứng được gọi là một hàm số Trong ví dụ thứ 2, theo cách nói của Toán học thì độ đen của phim ảnh là hàm số của lượng ánh sáng

1.1.3 Toán học là khoa học công cụ để ứng dụng vào thực tiễn

Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan Toán học có vai trò rất quan trọng và đựợc ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, vật lý, khí tượng thủy văn, công nghệ thông tin, khai thác dầu khí, quân sự, kỹ thuật mật mã, thiên văn học, tài chính ngân hàng…

Ngày nay khoa học kỹ thuật có những thành tựu to lớn như công nghệ thông tin, năng lượng điện tử, tàu vũ trụ, vô tuyến điện tử, nguyên tử hạt nhân … sự phát triển như vũ bão của những nghành khoa học này đều gắn liền với những nghành toán học như đại số tổ hợp, xác xuất thống kê, hàm số phức, giải tích hàm, hình học aphin…

Cơ học và vật lý học sẽ không thể phát triển được nếu không có toán học

Ví dụ 3:: Bài toán góc tốt nhất để bắn xa nhất:

Muốn bắn đạn súng đại bác đi xa nhất thì góc bắn phải là bao nhiêu độ? Đáp

số cho bài toán cổ điển này là 0

45 Điều này đúng với súng đại bác, cũng đúng với một quả bóng, một quả tạ… Tuy nhiên khi quan sát các nhà thể thao chuyên nghiệp Nicholas Linthorne và David Everest đã nhận thấy rằng họ ném theo các góc từ 0

30đến 0

45 , như vậy rất xa với lý thuyết tốt nhất Phải chăng họ sẽ phải thay đổi cách làm của mình? Không đâu, đáp số trên chỉ đúng khi lực tác động ban đầu là không đổi, trong khi cơ thể chúng ta tạo ra để cho tốc độ phóng một vật bằng tay không như nhau theo góc ném

Sự phát triển của vũ khí gắn liền với sự tiến bộ của kỹ thuật đòi hỏi các sĩ quan pháo binh phải am hiểu về hình học và lượng giác Công thức nổi tiếng về tầm bắn của viên đạn với tốc độ ban đầu V và góc bắn tạo ra với mặt phẳng nằm ngang

 Công thức này không tính đến sức cản của không khí và quỹ đạo của viên đạn là hình Parabôn

Ví dụ 4: Sự chính xác hóa dần các hằng số của thế giới

Vận tốc ánh sáng là một trong những đại lượng vật lý mà khoa học gọi tên là hằng số của thế giới Năm 1675 lần đầu tiên trong lịch sử khoa học, nhà thiên văn học Đan mạch Rême đã tính toán được vận tốc ánh sáng là 226.000km/s Năm

1849, Fiđô đã cho các tia sáng đi qua các bánh răng của một bánh xe răng quay nhanh và đã đo được con số chính xác hơn về vận tốc ánh sáng là 313.274,304km/s Một phần tư thế kỷ sau, cũng bằng phương pháp trên, Kornuy đã đạt được con số mới 298 4001.000km/s Các nhà nghiên cứu tiếp sau đó đều cố gắng làm cho sai

số ngày càng nhỏ thậm chí có thể đến vài mét trên giây

Sự kiện vật lý được mô tả theoToán học thì có thể nói rằng, với một sai số nhỏ bất kì mà nghiên cứu đạt được thì bắt đầu từ đó, những kết quả tiếp sau sẽ sai khác với giá trị thực của vận tốc ánh sáng không quá sai số đã cho Nếu việc nghiên cứu tiếp tục độ chính xác của phép đo tăng lên, thì được một dãy kết quả và ta nói dãy các kết quả đần tới tốc độ ánh sáng

Trong hóa học và sinh học trước đây ít khi dùng đến toán và chỉ dùng đến toán cổ điển Hiện nay, hóa học và sinh học đã sử dụng những nội dung của toán tôpô …bằng những phương pháp toán học mà người ta đã có thể dự đoán được ngày càng chính xác các tính chất của nhiều hợp chất hóa học, có thể tính được công thức của nhiều hợp chất và các tính chất của nó Trong sinh học, những bí mật của sự sống, về di truyền, cơ cấu hoạt động của hệ thần kinh, sinh lý người… đã và đang được nghiên cứu bằng những phương tiện toán học tinh vi và hiện đại

Ví dụ 5: Khi nghiên cứu việc xắp xếp các lá trên một thân cây làm cho mỗi

lá đều nhận được một lượng ánh sáng cần thiết cho sự phát triển của cây Nghiên cứu sự sắp xếp này người ta tìm thấy được mối quan hệ của chúng với dãy Fibônaxi Nếu các lá cây được phân bố đều ở trên đường đinh ốc và nếu chiếu

chúng xuống một mặt phẳng vuông góc với trục của đường đinh ốc thì các hình chiếu của lá được phân phối đều trên một đường tròn Nếu đường đinh ốc quấn 3 vòng xung quanh thân cây và ta có 5 khoảng cách Đối với mỗi loại cây nhất định, tỉ

số này là một hằng số sinh học Tương tự như vậy, số lá cây mọc theo hình xoáy trôn ốc quanh thân cây có khoảng cách giữa 2 lá so

với thân cây bằng: 2/5 đối với cây sồi, 3/8 đối với

cây dương lê, 5/13 đối với cây liễu… Các tỉ số này

giúp cho các nhà thực vật học có thêm những số liệu

cần thiết để nghiên cứu phân loại các loại cây và để

tìm ra những quy luật phát triển của chúng

Trong cuộc sống có một trong những lĩnh vực

có sự đóng góp to lớn của toán học đó là Y học, nhờ

có những phương tiện kỹ thuật hiện đại và những

phương pháp tính toán, sử dụng phương pháp thống

kê toán học và máy tính điện tử đã giúp con người

khai thác một cách có hiệu quả các kinh nghiệm để

khám và chữa bệnh một cách hiệu quả và chính xác

Ngoài ra Toán học cũng đóng một vai trò cực

kỳ quan trọng vào kinh tế và quản lý Một loạt các

thuật toán gia công thống kê các dữ liệu được sử dụng rộng rãi và từ đó tạo ra các thư viện chương trình bao gồm các bài toán như: Các tính toán cơ bản để quan sát tính đồng nhất, phân tích phương sai một biến, phân tích phương sai nhiều biến, tính xác suất đối với các phân bố khác nhau…

Sau đó, nhờ sự ra đời của lý thuyết xác suất mà một loạt các lý thuyết mới ra đời ở thế kỷ XX có ý nghĩa thực tiễn vô cùng quan trọng ở các lĩnh vực như: tổ chức thương mại điện tử, tổ chức sản xuất, vận tải hàng hóa…Các lý thuyết này đã đưa vào hướng ứng dụng toán học mới gọi là: “Nghiên cứu các thuật toán” nhằm tìm các lời giải tối ưu theo quan điểm mạo hiểm trong những điều kiện nhất định

Hình 2

Trong quản lý nhân sự có vấn đề phân chia công việc cho n công nhân mà mỗi công nhân ở mỗi vị trí nhất định sao cho khối lượng công việc hoàn thành là cực đại Vào cuối thế kỷ XX, đã xuất hiện nhiều thuật toán cho phép giải bài toán phân chia lao động, đăc biệt là bài toán quy hoạch tuyến tính, bài toán vận tải…

Một số lượng rất lớn các bài toán kinh tế trong thực tiễn được mô tả bằng phương trình đại số tuyến tính cho nên phép tính ma trận được ứng dụng rất rộng rãi

để giải các bài toán kinh tế…Hiện nay một vấn đề rất lớn được các nhà kinh tế quan tâm, đó là vấn đề điều khiển tối ưu hóa quá trình sản xuất

Ví dụ 6: Người ta dự định dùng hai loaị nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140

kg chất A và 9 kg chất B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, có thể chiết được 20kg chất A và 0,6 kg chất B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng,

có thể chiết được 10kg chất A và 1,5kg chất B Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất, biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II

Phân tích bài toán:

Nếu sử dụng x tấn nguyên liệu loại I và y tấn

nguyên liệu loại II

Theo giả thiết có thể chiết xuất được (20x+10y) kg

chất A và (0, 6x+1, 5y) kg chất B x, y phải thỏa mãn

các điều kiện 0  x 10 và 0   y 9

20x10y140 hay 2x y 14

0,6x1,5y9 hay 2 x  5 y  30

Tổng số tiền mua nguyên liệu là T x y   ,  4 x  3 y

Bài toán đã cho trở thành:

sao cho T x y ,  4x 3y có giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 7: Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 6 áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch nên 5 ngày trước khi hết hạn xưởng đã may được 2650 áo Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày xưởng phải may bao nhiêu áo?

Giải:

Gọi x là số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch (x  N x ;  0)

Thời gian quy định may xong 3000 áo là 3000

x ( ngày)

Số áo thực tế may được trong một ngày là: x6( áo)

Thời gian may xong 2650 áo là: 2650

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xưởng phải may xong 100 áo

Trong giao thông vận tải Toán học cũng đóng một vai trò rất quan trọng người ta dùng phương trình tuyến tính để lựa chọn phương án vận chuyển tiết kiệm nhất, chọn phương án hợp lý để giảm bớt chi phí và đạt hiệu quả tối ưu nhất

Ví dụ 8: Một xe ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe tăng vận tốc thêm mỗi giờ 10km thì đến B sớm hơn dự định 3 giờ, nếu xe giảm vận tốc mỗi giờ 10km thì đến B chậm hơn thời gian dự định là 5 giờ

Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB?

Giải: Gọi vận tốc lúc đầu là x (km/h, x>10)

Thời gian dự định là y (giờ, y>3)

Chiều dài quãng đường AB là xy (km)

Nếu xe chạy nhanh hơn mỗi giờ 10km thì vận tốc của xe là x+10 (km/h)

Thời gian của xe khi tăng vận tốc là (y-3) (giờ)

Ta có phương trình: (x+10) (y-3) =xy (1)

Nếu mỗi giờ xe giảm 10km thì vận tốc của xe là: x-10 (km)

Thời gian của xe chạy khi giảm vận tốc là: (y+5) (giờ)

Ta có phương trình (x-1)(y+5) =xy (2)





 

Vậy vận tốc lúc đầu của xe là: 40km/h,

Thời gian dự định là: 15giờ

Quãng đường AB là: 40 15=600(km)

Trong giao thông, các điểm giao giữa các tuyến đường tạo thành các góc xấp

xỉ 900

, hoặc lớn hơn để tầm nhìn dễ dàng hơn khi rẽ Điều này khiến các nhà thiết

kế giao thông cần xây dựng bổ sung các đường rẽ với các góc lớn hơn nhằm tạo cho giao thông thật an toàn Nếu một xe ôtô đang đi với vận tốc lớn mà rẽ vào một đương góc rẽ bằng 600

sẽ rất dễ xảy ra tai nạn vì khó rẽ, vì thế có thể có giải pháp thay thế bởi một đường rẽ khác với góc 1500

sau đó rẽ góc 900 sẽ dễ dàng hơn rất nhiều

Các nhà Toán học sử dụng góc để thiết kế chỗ đỗ xe vì hầu hết việc sắp xếp

vị trí đỗ xe đều liên quan đến không gian đỗ

Các phi công máy bay, các chuyên gia quân sự, các thủy thủ đi trên các chuyến tàu vượt đại dương …đều cần sử dụng khái niệm góc để di chuyển tới đích một cách hiệu quả

Ngoài ra chúng ta đã biết trong giao thông tắc đường là chuyện thường ngày đối với các đô thị lớn, đặc biệt là Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh Vấn đề này không chỉ là mối quan tâm của các nhà quản lý, lực lượng cảnh sát giao thông, giao thông công chính mà còn là vấn đề nghiên cứu của các nhà Toán học Bài toán tắc

đường là một bài toán nhỏ cụ thể trong một bài toán lớn tổng quát hơn, trừu tượng hơn thuộc lý thuyết vận trù, lý thuyết về graph, lý thuyết về nút…

Trong quân sự và quốc phòng, Toán học đã làm nên cuộc cách mạng trong công nghệ mật mã, trước hết là bằng sự hiện thực hóa các ý tưởng về mật mã khóa công khai mà các nhà mật mã chuyên nghiệp đã ấp ủ từ lâu và sau đó đưa ra một số kết quả của toán học

Hiện nay nhiều tổ chức quân sự, kinh tế, tài chính hay các cơ quan chính phủ khi truyền đi các tin tức tối mật của mình thường dùng một loại mật mã gọi là mật

mã công khai gọi tắt là RSA

Mật mã RSA được xây dựng dựa trên một kết quả sơ cấp của số học và một

sự kiện là rất khó phân tích ra thừa số nguyên tố

Trong hội họa, khi vẽ tranh người họa sĩ thường để ngọn bút cuốn hút theo

sự rung động của tâm hồn trước cảnh vật và trước con người Nhưng khi nghiên cứu tranh, các nhà phê bình mới làm sáng tỏ bố cục của nó qua đó hiểu thêm nguyên nhân tạo ra sự truyền cảm của bức tranh Những cấu trúc hình học thường có mặt trong tác phẩm của các nhà danh họa Các biểu đồ với mức độ hiện diện khác nhau trong các bố cục bức tranh cũng thường được xem xét đến khi xem tranh, tùy thuộc vào hình dáng của hình học được lấy làm cơ sở cho bố cục bức tranh mà người ta gọi tên các loại bố cục như: bố cục hình chóp, bố cục hình tròn, bố cục hình xoắn ốc…

Tóm lại, toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng như trong sự phát triển của các nghành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất Toán học là sợi dây liên hệ ràng buộc các nghành khoa học với nhau, thúc đẩy chúng cùng phát triển Ngày nay các phương pháp toán học không phải chỉ được sử dụng trong vật lý và cơ học mà đã trở thành những phương pháp chung cho nhiều nghành khoa học khác nữa

1.1.4 Về bài toán thực tiễn

1.1.4.1 Một số các khái niệm có liên quan

+ Thực tiễn:

Theo Từ điển Tiếng Việt, với nghĩa danh từ, “thực tiễn” (cũng đồng nghĩa

với "thực tế") là "tổng thể nói chung những gì đang tồn tại, đang diễn ra trong tự nhiên và trong xã hội, về mặt có quan hệ đến đời sống con người", với nghĩa động

từ “thực tiễn” được hiểu là "những hoạt động của con người, trước hết là lao động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã hội (nói tổng quát)" [21, tr 957]

Như vậy, thực tế là tồn tại khách quan, có thể chưa có sự tác động của con người nhưng thực tiễn là có hoạt động của con người cải tạo, biến đổi thực tế nhằm

+ Vận dụng toán học vào thực tiễn:

Vận dụng toán học vào thực tiễn thực chất là vận dụng toán học vào giải quyết một tình huống thực tế; tức là dùng những công cụ toán học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm mục đích tìm một phần tử chưa biết nào đó, dựa vào một số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắp xếp những yếu tố

trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đã đề ra

+ Bài toán:

Chúng tôi đồng ý với quan niệm của các tác giả L N Lanđa, A N Lêonchiep: "Bài toán là mục đích đã cho trong những điều kiện nhất định, đòi hỏi chủ thể (người giải toán) cần phải hành động, tìm kiếm cái chưa biết trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết" [dẫn theo 26, tr 7]

Theo chúng tôi, như vậy, một bài toán phải có các giả thiết (những điều kiện

nhất định) và các câu hỏi, kết luận (cái chưa biết cần tìm kiếm)

+ Bài toán thực tế: là bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có chứa những

nội dung liên quan đến thực tế

Để một tình huống thực tế trở thành một bài toán thực tế, phải xác định được

yêu cầu cần phải giải quyết từ tình huống và xác định được các dữ kiện của khách thể làm giả thiết của bài toán

Ví dụ 9:

- Tình huống: Một chiếc ôtô chạy trên quãng đường AB dài 250km, cần tìm

thời gian chạy hết quãng đường đó Và đây là một tình huống thực tế

- Bài toán: "Một chiếc ôtô chạy trên quãng đường AB dài 250km với vận tốc trung bình là 50km/h Hỏi thời gian để chiếc ôtô đó chạy hết quãng đường AB là

bao nhiêu, biết rằng ôtô có dừng nghỉ một lần trong 1/2 giờ?" Đây là một bài toán thực tế có thể được xây dựng để giải quyết tình huống thực tế trên

Rõ ràng là: Khi thiết lập bài toán này, người ta phải lựa chọn, tập hợp lại các

dữ kiện về độ dài quãng đường, vận tốc ôtô làm giả thiết cho bài toán (có nhiều yếu tố khác trong tình huống đã bị bỏ qua, không đưa vào bài toán)

Thực ra trong dạy học toán ở phổ thông, thường các tình huống thực tế được phát biểu ngay dưới một bài toán thực tế, tức là học sinh thường được yêu cầu giải

ngay các bài toán thực tế mà rất ít khi phải toán học hóa tình huống để có bài toán

Từ những quan niệm kể trên, trong luận văn này, chúng tôi hiểu “nội dung thực tiễn” ở đây có phạm vi gồm:

+ Thực tiễn trong chính ngay nội bộ môn Toán: Khi đó, một tình huống mới đặt ra do nhu cầu phát triển của toán học cũng chính là cái gốc “thực tiễn” của một

kiến thức mới Theo chúng tôi, đây là cái thực tiễn thường xuất hiện trong SGK,

giáo trình môn Toán

+ Thực tiễn trong các môn học khác trong trường phổ thông như Vật lý, Hóa học, Địa lý, Sinh vật, Khi đó, một tình huống thực tế đặt ra do nhu cầu của môn học đó lại là cái gốc “thực tiễn” của một kiến thức toán học mới Theo chúng tôi,

đây là “kiểu” thực tiễn được dùng trong SGK, giáo trình môn Toán cũng như ở môn

+ Cuối cùng và rộng lớn nhất là tình huống thực tiễn đời sống nói chung Tức là: Xuất phát từ nhu cầu của thực tế đời sống xung quanh con người mà người

ta cần đến công cụ là kiến thức toán học Chú ý là: Tuy đây là “mảnh đất” rất rộng lớn của ứng dụng toán học, nhưng việc làm rõ mối quan hệ và giúp HS phổ thông hiểu được những ứng dụng của công cụ toán học lại không hề dễ dàng

+ Từ đó, để phù hợp với thực tiễn dạy và học Đại số và Giải tích nâng cao

lớp 11, trong luận văn này, bài toán có nội dung thực tiễn được chúng tôi hiểu là:

Những bài toán do tất cả các tình huống thực tiễn nói trên đem lại nhưng chỉ giới hạn trong phạm vi “có chứa đựng yếu tố công cụ toán học” và việc giải thích, làm rõ “cội nguồn thực tế hoặc ứng dụng của toán học” chỉ mang ý nghĩa tương đối, không bắt buộc HS phải hiểu cặn kẽ tất cả

Chú ý rằng: “Bài toán” ở đây cũng không nhất thiết phải đã ở dạng toán học thuần túy hoàn toàn Mà có thể chỉ là mô phỏng, mô hình, miễn là phản ánh, mô tả được sơ bộ yếu tố toán học chứa đựng trong đó là được

1.2 Về tình hình dạy học toán gắn với thực tiễn

1.2.1 Yêu cầu dạy học môn toán ở trường phổ thông gắn với thực tiễn

Thế giới đã bước vào kỷ nguyên kinh tế tri thức và toàn cầu hóa Với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, đòi hỏi người lao động phải chủ động dám nghĩ dám làm, linh hoạt trong lao động, hòa nhập với cộng đồng xã hội, đặc biệt luôn phải học tập, học để có hành và qua thực hành để phát hiện các vấn đề cần phải học tập tiếp Chính vì vậy, trong giáo dục cần hình thành và phát triển cho học sinh

năng lực, năng lực hành động, năng lực cùng sống và cùng làm việc với tập thể, cộng đồng cũng như năng lực tự học

Giáo dục, với chức năng chuẩn bị lực lượng lao động cho xã hội nên phải có

sự chuyển biến to lớn để phù hợp với tình hình thực tiễn cuộc sống Để thích ứng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ và nền sản xuất hiện đại, phong trào cải cách giáo dục Toán học ở trường phổ thông đã được thực hiện rộng khắp ở nhiều nước trên thế giới Tuy có sự khác nhau về mục đích và phương pháp thực hiện ở mỗi nước, nhưng nhìn chung xu thế của việc cải cách giáo dục toán học trên thế giới là hiện đại hóa một cách thận trọng và tăng cường ứng dụng

Ở nước ta đang trên con đường công nghiệp hóa và hiện đại hóa, phù hợp với

xu hướng đổi mới môn Toán trong trường phổ thông trên thế giới, đồng thời phù hợp với điều kiện cụ thể giáo dục của nước ta Chương trình môn Toán đã có nhiều đổi mới, trong đó đặc biệt chú ý đến việc tăng cường và làm rõ mạch Toán ứng dụng và ứng dụng Toán học hơn nữa

Từ những quan điểm được đưa ra làm căn cứ xác định mục tiêu môn Toán,

có nêu: “Phải lựa chọn những nội dung kiến thức Toán cốt lõi, giàu tính ứng dụng, đặc biệt là ứng dụng thực tiễn vào Việt Nam’’

Vì vậy việc tăng cường vận dụng Toán học vào thực tiễn hoàn toàn phù hợp

và có tác dụng tích cực với hoàn cảnh của nước ta hiện nay

Môn Toán ở trường phổ thông bao gồm những nội dung quan trọng, cơ bản

và cần thiết nhất được lựa chọn trong khoa học Toán học xuất phát từ mục tiêu đào tạo của nhà trường và phải phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, đồng thời phù hợp với thực tiễn giáo dục-xã hội của đất nước Những nội dung đó không những phải phản ánh được tinh thần, quan điểm, phương pháp mà còn phải phản ánh được xu thế phát triển của khoa học Toán học hiện nay, mà một trong những hướng chủ yếu của nó là ứng dụng

Một trong những nguyên tắc quan trọng mà được nhóm tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình đưa ra trong cuốn Giáo dục học môn Toán

là nguyên tắc: “Kết hợp lý luận và thực tiễn: Kết hợp lý luận và thực tiễn không chỉ

là nguyên tắc dạy học mà còn là quy luật cơ bản của việc dạy học và giáo dục của chúng ta” ([6])

Để thực hiện nguyên tắc kết hợp giữa lý luận và thực tiễn trong việc dạy học môn Toán cần:

+Đảm bảo cho học sinh nắm vững kiến thức Toán học để có thể vận dụng chúng vào thực tiễn

+ Chú trọng nêu các ứng dụng của Toán học vào thực tiễn;

+ Chú trọng đến các kiến thức Toán học có nhiều ứng dụng vào thực tiễn; + Chú trọng rèn luyện cho học sinh có những kỹ năng Toán học vững chắc; + Chú trọng công tác thực hành toán học trong nội khóa cũng như ngoại khóa

Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng, giảng dạy Toán học không nên

xa rời thực tiễn Tăng cường và làm rõ mạch Toán ứng dụng và ứng dụng Toán học

là góp phần thực hiện nguyên tắc kết hợp giữa lý luận và thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trường gắn liền với đời sống

Theo Ngô Hữu Dũng: Ứng dụng Toán học vào thực tế là một trong những năng lực của toán học cơ bản cần phải rèn luyện cho học sinh [2, tr 13-16]

Tác giả Trần Kiều cho rằng: “Học Toán trong nhà trường phổ thông không chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần túy mang tính

lý thuyết …, cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải đạt tới hiểu được nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng Toán học vào thực tiễn cuộc sống” [8, tr 3-4]

V V Firsôv khẳng định: “Việc giảng dạy Toán ở trường phổ thông không thể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoa học Toán học, điều đó phải được thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng dụng Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế”

Trong thời kì mới, thực tế đời sống xã hội và chương trình bộ môn Toán có những thay đổi Vấn đề rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào học môn Toán có vai trò quan trọng và góp phần phát triển

cho học sinh những năng lực trí tuệ, những phẩm chất đạo đức, tính cách, thái độ,

… để đáp ứng yêu cầu mới của xã hội hiện đại

Việc tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học môn Toán góp phần quan trọng trong việc thực hiện các yêu cầu khác nhau của mục tiêu giáo dục và mục tiêu của môn Toán

Để sản phẩm đào tạo của trường phổ thông đạt được chất lượng, các hoạt động giáo dục cơ bản do nhà trường chỉ đạo (hoạt động học tập văn hóa, hoạt động lao động sản xuất, hoạt động xã hội và đoàn thể), tùy theo đặc điểm của mình phải quán triệt mục tiêu, từ đó phải có nội dung cụ thể và phương pháp phù hợp, để tạo nên sự kết hợp hài hòa

Điều quan trọng cần phải chú ý là để đạt được mục tiêu: “Cải cách giáo dục phải làm cho giáo dục thấu suốt hơn nữa nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”

Mọi hoạt động ở nhà trường trong đó hoạt động dạy học là chủ yếu, đều phải thực hiện theo nguyên lý giáo dục Khả năng vận dụng kiến thức đã lĩnh hội được vào thực tế là một yêu cầu cơ bản của văn hóa lao động, cần phải được hình thành

và rèn luyện cho học sinh những người lao động mới trong tương lai Theo Trần Kiều, đây chính là một thành phần quan trọng để đánh giá chất lượng và hiệu quả của toàn bộ quá trình giáo dục và đào tạo Khi đánh giá những điều mà học sinh đã lĩnh hội được, theo Xavier Roegiers ([25]), chúng ta không chỉ bằng lòng với việc đánh giá những kiến thức lĩnh hội được mà chúng ta chủ yếu tìm cách đánh giá học sinh có khả năng sử dụng kiến thức trong các tình huống có ý nghĩa hay không Trong giai đoạn hiện nay có sự gia tăng lớn lao và thường xuyên khối lượng thông tin và tri thức, sự tiếp cận dễ dàng với những thông tin nhờ những phương tiện thông tin, mạng internet … đòi hỏi phải tăng cường những cống hiến của nhà trường vào sự phát triển của kinh tế, xã hội, văn hóa…Điều chủ yếu trong quá trình dạy học là, ngoài khía cạnh kiến thức đơn thuần phải tập trung dạy cho học sinh biết sử dụng những tri thức đó vào những tình huống có ý nghĩa đối với họ Nói cách khác, thay cho việc dạy cho học sinh một lượng lớn kiến thức, trước hết ta dạy cho học sinh cách huy động hiệu quả các kiến thức đó để giải quyết

một cách có hiệu quả những tình huống xuất hiện Đất nước ta đang trên con đường công nghiệp hoá, hiện đại hóa nên rất cần những đội ngũ những người lao động có khả năng ứng dụng những kiến thức Toán học lĩnh hội được vào các hoạt động nghề nghiệp cũng như cuộc sống

Rèn luyện nâng cao năng lực ứng dụng Toán học là một trong những mục tiêu chủ yếu của việc giảng dạy Toán học ở trường phổ thông Đây không phải yêu cầu của riêng bộ môn Toán, song điều đó được đặc biệt nhấn mạnh trong giảng dạy Toán, bởi vì trước hết do vai trò ứng dụng của Toán học trong các lĩnh vực của đời sống xã hội, vai trò công cụ Toán học đối với sự phát triển của nhiều nghành khoa học, công nghệ… đã thừa nhận Toán học như một chìa khóa của sự phát triển Muốn nắm được công cụ, không thể bằng cách nào khác, ngoài sự tập luyện, vận dụng thường xuyên với những phương pháp phù hợp

Điều đó cần được nhấn mạnh với yêu cầu cao hơn đối với học sinh THPT, bởi vì họ đang trong giai đoạn sắp sửa tham gia vào lực lượng sản xuất của xã hội hoặc tham gia vào các quá trình đào tạo có tính chuyên môn hóa cao hơn

Môn Toán, một môn học chiếm một lượng thời gian đáng kể trong kế hoạch đào tạo của trường phổ thông, với đặc điểm của mình, nó sẽ góp phần nâng cao chất lượng đào tạo những người lao động mới

Trong việc dạy học Toán, để học sinh tiếp thu kiến thức tốt rất cần đến sự liên hệ gần gũi bằng những tình huống hay những tình huống thực tiễn Những hoạt động thực tiễn đó vừa có tác dụng rèn luyện năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn vừa giúp học sinh tích cực hóa trong quá trình lĩnh hội tri thức

1.2.2 Tình hình dạy học toán gắn với thực tiễn ở trường phổ thông

Ứng dụng toán học vào thực tiễn được coi là một vấn đề quan trọng và cần thiết trong việc dạy học ở trường phổ thông Tuy nhiên, việc rèn luyện vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh hiện nay chưa được đặt ra đúng mức, chưa đáp ứng được những yêu cầu cần thiết

Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, giáo viên thường chỉ quan tâm, chú trọng việc hoàn thành những kiến thức lý thuyết quy định trong chương trình và sách giáo khoa, sao nhãng việc thực hành, đặc biệt là những bài toán có nội dung

thực tiễn nên học sinh thường lúng túng thậm chí còn không hoàn chỉnh được những bài toán có nội dung thực tiễn

Giảng dạy Toán “còn thiên về sách vở, hướng việc dạy Toán về việc giải nhiều loại bài tập hầu hết không có nội dung thực tiễn” Việc dạy học Toán ở trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống Mối liên hệ giữa Toán học và thực tế còn yếu Theo chúng tôi có thể có những nguyên nhân sau đây:

Thứ nhất, do ảnh hưởng trực tiếp của sách giáo khoa và tài liệu tham khảo:

Số lượng bài tập mang nội dung thuần túy Toán học cũng như kiến thức dành cho mỗi tiết học khá nặng đã khiến cho giáo viên vất vả trong việc hoàn thành kế hoạch bài giảng, số lượng bài toán, chất lượng và quy mô bài toán ứng dụng vào thực tiễn còn rất ít ở các chủ đề môn Toán trong giảng dạy Hơn nữa khả năng liên hệ kiến thức Toán học vào thực tiễn của giáo viên còn gặp nhiều khó khăn

Thứ hai, do yêu cầu vận dụng Toán học vào thực tiễn không được đặt ra một cách thường xuyên cụ thể là trong các đề thi không có các bài toán có nội dung thực tiễn Mặt khác lối dạy phục vụ thi cử chỉ chú ý đến những gì để phục vụ cho học sinh đi thi như hiện nay cũng là một nguyên nhân qóp phần tạo nên tình trạng này

Ngoài ra trong chương trình đào tạo ở các trường Đại học và Cao đẳng sư phạm tình hình ứng dụng (trong giáo trình, trong đánh giá, trong thi cử ) cũng xảy

ra tương tự Do vậy, nó ảnh hưởng trực tiếp đến tiềm năng dạy các vấn đề ứng dụng Toán học của thầy cô giáo

1.3 Kết luận chương 1

Trong chương 1, chúng tôi đã nghiên cứu cơ sở lý luận và tìm hiểu thực

trạng về vấn đề:“vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học Toán”

Từ việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn của vấn đề, chúng tôi thấy rằng: Cần thiết

và có thể xây dựng một hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn và vận dụng vào dạy học Đại số và Giải tích 11 THPT

CHƯƠNG 2 - XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH NÂNG CAO LỚP 11

2.1 Nội dung chương trình Đại số và Giải tích nâng cao lớp 11

Chương I Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (22 tiết gồm 3 mục)

§1.Các hàm số lượng giác

§2 Phương trình lượng giác cơ bản

§3 Một số phương trình lượng giác đơn giản

Chương II: Tổ hợp và xác xuất (21 tiết gồm 6 mục)

§6 Biến cố ngẫu nhiên và rời rạc

Chương III.Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân (14 tiết gồm 4 mục)

§1 Phương pháp quy nạp toán học

§2 Dãy số

§3 Cấp số cộng

§4 Cấp số nhân

Chương IV.Giới hạn (13 tiết gồm 8 mục)

A Giới hạn của dãy số

§1 Dãy số có giới hạn 0

§2 Dãy số có giới hạn hữu hạn

§3 Dãy số có giới hạn vô cực

B Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục

§4.Định nghĩa và một số định lý về giới hạn của hàm số

§5.Giới hạn một bên

§6 Một và quy tắc tìm giới hạn vô cực

§7 Các dạng vô định

§8 Hàm số liên tục

Chương V.Đạo hàm (13 tiết gồm 5 mục)

§1 Khái niệm đạo hàm

§2.Các quy tắc tính đạo hàm

§3 Đạo hàm của các hàm số lượng giác

§4 Vi phân

§5 Đạo hàm cấp cao

2.2 Định hướng xây dựng hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn

Để xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học môn Toán Đại số và Giải tích nâng cao 11-THPT, chúng tôi dựa trên những yếu

tố sau đây:

2.2.1 Bám sát nội dung Đại số và Giải tích 11 hiện hành, có nâng cao hợp lý

Chương trình và sách giáo khoa môn Toán được xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nước theo một hệ thống quan điểm nhất quán về phương diện Toán học cũng như về phương diện sư phạm, nó được thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm nay và được điều chỉnh nhiều lần cho phù hợp với mục tiêu đào tạo mới,phù hợp với thực tiễn giáo dục ở nước ta hiện nay

Vì vậy, hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn muốn được thực thi phải phù hợp với chương trình và sách giáo khoa, hay nói cách khác: hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn phải được xây dựng trên cơ sở tôn trọng, kế thừa và phát huy, khai thác hết tiềm năng của chương trình và sách giáo khoa hiện hành

Cụ thể là:

- Tận dụng triệt để những cơ hội sẵn có trong sách giáo khoa như những tình huống lý thuyết, bài tập thực hành…để đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy

- Khai thác các tình huống ứng dụng Toán học vào thực tiễn còn ẩn tàng

- Trong sách giáo khoa có khá nhiều bài tập nhưng trong đó các bài tập có nội dung thực tiễn còn ít cần được bổ sung thêm cho phù hợp

Tuy nhiên, cũng cần chú ý rằng: hệ thống bài tập không được làm thay đổi tới hệ thống chương trình sách giáo khoa cũng như kế hoạch dạy học hiện hành

Tính khả thi và hiệu quả của việc lựa chọn, thay thế bổ sung các bài toán có nội dung thực tiễn phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố như: quỹ thời gian thực hiện, nội dung số lượng, mức độ bài tập, tiềm năng thực hiện của thầy và trò, phương pháp dạy học các bài toán có nội dung thực tiễn….Những yếu tố này phụ thuộc và ảnh hưởng lẫn nhau hỗ trợ nhau trong quá trình dạy học

2.2.2 Giúp học sinh nắm vững tri thức và có những kỹ năng cơ bản trong Đại số và Giải tích 11 nâng cao - THPT

Giúp học sinh nắm vững các kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản của chương trình là một trong những nhiệm vụ trọng tâm hàng đầu của giáo dục Toán học trong nhà trường

Theo Nguyễn Bá Kim: Các nhiệm vụ môn Toán không tách rời nhau mà ngược lại chúng liên hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Hay nói cách khác, các nhiệm vụ môn Toán có tính thống nhất trong toàn thể

Sự liên quan giữa các nhiệm vụ dạy học Toán thể hiện ở nhiều khía cạnh như: tính toàn diện của các nhiệm vụ, vai trò cơ sở của tri thức, tầm quan trọng của

kỹ năng, sự thống nhất của các nhiệm vụ trong hoạt động

Tác giả Nguyễn Bá Kim trong cuốn sách: “Phương pháp dạy học môn Toán”

đã nhấn mạnh vai trò cơ sở của tri thức và tầm quan trọng của kỹ năng

Tri thức là cơ sở để rèn luyện khả năng và thực hiện các nhiệm vụ khác.Tri thức đóng vai trò cơ sở của giáo dục vì không thể thực hiện tốt việc rèn luyện kỹ năng, phát triển năng lực trí tuệ, trau dồi các phẩm chất nhân cách cho học sinh nếu như không làm cho họ nắm vững các kiến thức cơ bản

Cùng với vai trò cơ sở của tri thức thì kỹ năng cũng đóng vai trò rất quan trọng vì môn Toán được coi là môn học công cụ trong nhà trường, muốn nắm được công cụ cần phải tăng cường luyện tập tri thức và rèn luyện kỹ năng

Như vậy chúng ta thấy rằng, giúp học sinh nắm vững các kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản không những là nhiệm vụ quan trọng mà còn là cơ sở cần thiết

để thực hiện tốt toàn diện các nhiệm vụ khác của giáo dục Toán học trong nhà trường.Vì vậy, mọi hoạt động dạy học, ở tất cả các nội dung, trước hết phải chú ý làm cho học sinh nắm chắc các kiến thức và kỹ năng cơ bản

2.2.3 Các bài toán có chứa nội dung gắn với những môn học trong trường phổ thông, có liên hệ với đời sống thực tế

Việc tăng cường rèn luyện và bồi dưỡng ý thức ứng dụng Toán học cho học sinh được thực hiện chủ yếu thông qua các bài tập có nội dung thực tiễn Qua các bài tập này, học sinh được luyện tập sử dụng các kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết bài toán thực tiễn trong đời sống và trong lao động sản xuất Để đảm bảo tính khả thi và tính hiệu quả, những tình huống này phải đơn giản, gần gũi, quen thuộc với học sinh.Vì vậy, khi xây dựng hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn cần phải chọn lọc các bài toán là những tình huống sát với sách giáo khoa hay những tình huống sát với đời sống lao động và sản xuất của học sinh Những tình huống đó phải là những tình huống xuất hiện trong thực tế

Sự đa dạng về nội dung của hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn được thể hiện ở sự đa dạng các tình huống, phạm vi các lĩnh vực lao động sản xuất đời sống phản ánh trong hệ thống các bài tập Sự đa dạng đó làm cho học sinh thấy được ứng dụng rộng rãi và sâu sắc của các bài tập có nội dung thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau để làm nổi bật ứng dụng của Toán học

2.2.4 Hệ thống bài tập được chọn lựa vừa sức cả về số lượng và độ khó để

có thể sử dụng trong dạy học

Tính hiệu quả của việc xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học Toán được hiểu là sự tiến bộ vững chắc, mức độ thành thạo trong việc giải các bài tập có nội dung thực tiễn của học sinh, hình thành và phát triển cho họ thói

quen và hứng thú vận dụng kiến thức Toán học vào các tình huống học tập, lao động sản xuất và trong đời sống

Để đạt được hiệu quả này, cần chú ý đến không chỉ nội dung, số lượng mà cả mức độ khó của các bài tập, đồng thời có những biện pháp sử dụng hệ thống bài tập một cách hợp lý trong thực tế giảng dạy ở trường THPT

Đây chính là một trong những điều kiện để có thể được tính khả thi của hệ thống bài tập.Vì vậy, hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn cần phải được tinh lọc một cách thận trọng, vừa mức về số lượng và nội dung

Không thể đạt được các mục đích đã đặt ra cho hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn nếu ta chỉ đưa ra số ít bài tập có nội dung thực tiễn Ngược lại, nếu bổ sung quá nhiều bài tập có nội dung thực tiễn sẽ dẫn đến tình trạng quá tải, không đủ thời gian để thực hiện, ảnh hưởng đến kế hoạch chung của môn học Nói cách khác,

hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn như vậy không có tính khả thi

Đồng thời chúng ta cũng thấy rằng mức độ các bài tập có nội dung thực tiễn cần phải được lựa chọn để phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh Đây cũng là một yêu cầu vô cùng quan trọng để đảm bảo tính khả thi và tính hiệu quả của hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn

Các bài toán có nội dung thực tiễn cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, nhất là những bài toán có nội dung thực tiễn đầu tiên người học

tự mình giải được một bài tập có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý Ngược lại, việc thất bại ngay từ bài tập đầu tiên dễ làm cho học sinh mất hứng thú, sẽ gây tâm lý bất lợi cho quá trình luyện tập tiếp theo Sự thành công ở những bài tập đầu tiên tạo cho học sinh thêm tự tin phấn khởi hào hứng thực hiện những yêu cầu luyện tập tiếp theo đạt kết quả cao hơn Chính vì vây, hệ thống bài tập phải được chọn lựa một cách thận trọng và phù hợp mới đem lại hiệu quả cao trong quá trình thực hiện

2.3 Hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học Đại số và Giải tích nâng cao lớp 11

2.3.1 Những bài toán thực tiễn liên quan đến dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci là dãy số (Un) xác định bởi:

1 2

2 1

1( 3)

Ta xét 2 bài toán sau:

Bài 1: < Bài đọc thêm tr.107 SGK ĐS và GT NC 11>

Thỏ đẻ con dẫn đến dãy số Fibonacci:

Một nông dân mua một đôi thỏ để nuôi Tháng đầu tiên đôi thỏ ấy sinh được một đôi thỏ con, tháng thứ hai sinh một đôi nữa và dừng lại Các đôi thỏ con đến lượt mình lại sinh 2 đôi khác (mỗi tháng sinh một đôi) rồi cũng dừng lại Hỏi cứ mỗi tháng người nông dân có bao nhiêu đôi thỏ?

Để trả lời câu hỏi này, ta có sơ đồ các đôi thỏ kể từ đôi thỏ mua về đầu tiên Trước hết viết số 1 cho đôi thỏ mua về và một số 1 nữa cho đôi thỏ con sinh ở tháng thứ nhất (thế hệ F1) Tháng thứ 2 cả 2 đôi thỏ này đều sinh con nên phải viết

số 2 (thế hệ F2) Đến đây đôi thỏ người nông dân mua ban đầu ngừng sinh

Tháng tiếp theo thế hệ F1 sinh 1đôi, thế hệ F2 sinh 2 đôi thế nên thế hệ F3 có 3 đôi nên có 5 đôi thế hệ F4 Như vậy mỗi tháng chỉ có 2 thế hệ sau cùng sinh đẻ, nên số thỏ tiếp theo là tổng của số thỏ sau cùng cộng lại Những số được lập thành như vậy được gọi là dãy số Fibonacci (Fibonacci là biệt danh của Léonard Pisano-nhà toán học người Ý)

13 đôi

21 đôi

Hình 4

Bài 2: Dòng họ loài ong: Ong đực chỉ có mẹ và ong cái có cả bố và mẹ Hỏi ong đực có bao nhiêu tổ tiên ở đời thứ n?

Đời thứ nhất (mẹ), đời thứ 2 (1 đực và 1 cái), đời thứ 3 có 3 (vì ở đời thứ 2

có 1 ong đực và 1 ong cái Ong đực thì có mẹ, còn ong cái có cả bố và mẹ) đời thứ

tư có 5 (vì ở đời thứ ba có 1 ong đực và 2 ong cái) Như vậy ta thấy rằng số ong ở đời thứ n nào đó bằng tổng số ong của 2 đời liền trước đó nên ta có dãy số:

2.3.2 Những bài toán thực tiễn liên quan đến cấp số nhân

2.3.2.1 Vận dụng cấp số nhân trong chăn nuôi:

Trong chăn nuôi, thông thường người ta cần phải giải quyết 2 bài toán: + Tính số đàn gia súc sau mỗi kỳ chăn nuôi từ tỉ lệ tăng đàn từng kì và số gia súc ban đầu

+ Tính số đàn gia súc đầu kì các năm về trước nếu biết số lượng đàn gia súc

và tỉ lệ đàn hàng năm

Bài 3: Qua điều tra chăn nuôi bò ở huyện X cho thấy ở đây trong nhiều năm qua, tỉ lệ tăng đàn bò hàng năm là 2% Tính xem, sau một kế hoạch 3 năm, với số

Hình 5

lượng đàn bò thống kê được ở huyện này vào ngày 1/1/2011 là 18 000 con thì với

tỷ lệ đàn trên đây bò sẽ đạt đến bao nhiêu con?

Thông thường bài toán trên được giải như sau:

Sau một năm đàn bò ở huyện này tăng được là:

Gọi S0 là tổng số đàn gia súc thống kê ban đầu ; q là tỉ lệ tăng hàng năm, n là

số năm phát triển ( *

nN )và Si (i=1;n) là tổng số đàn gia súc sau i năm:

Ta có:

Số gia súc sau 1 năm phát triển là: S1= S0+S0q=S0 (1+q)

Số gia súc sau 2 năm phát triển là: S2=S1+S1q=S0 (1+q)+S0 (1+q)q

Số gia súc sau 3 năm phát trển là:

S3=S2+S2q=S0 (1+q)2+S0 (1+q)2q

=S0 (1+q)3

Như vậy, tổng số đàn bò sau mỗi năm phát triển lập thành 1 cấp số nhân với công bội (1+q) và S1= S0 (1+q)

Vậy sau n năm tổng số đàn gia súc là

Sn= S1 (1+q)n-1= S0 (1+q) (1+q)n-1=S0 (1+q)n

Áp dụng công thức này vào bài toán trên ta có thể tính được số đàn bò sau 3 năm là:

S3=18 000 (1+2, 02)3=19 102 (con)

Bài 4: Kết quả kiểm kê và cuối năm 2010, cho biết tổng số đàn bò ở huyện A

là 580 con và mấy năm qua tỉ lệ đàn bò đạt 12% mỗi năm Hãy tính xem vào đầu năm 2008 (cách đó 3 năm về trước) đàn bò ở đây có bao nhiêu con?

Thông thường bài toán được giải như sau:

Coi số bò mẹ đầu năm 2010 là 100%, với tỉ lệ tăng đàn 12%, số 580 bò mẹ cuối năm 2010 so với đầu năm là: 100%+12%=112%

Nghĩa là 112% số bò ứng với 580 con Vậy số con bò đầu năm 2010 là:

Nên trước đó n năm, số đàn bò sẽ là:

11

Vậy bác nông dân đã thu được 127 quả cam vào đầu mùa

2.2.2.3 Vận dụng cấp số nhân trong âm nhạc

Việc phân chia phím đàn trên cần đàn không đúng cách là nguyên nhân chính làm cho tiếng đàn sai giọng Sau đây ta sẽ thấy toán học giúp ích như thế nào cho người chơi đàn và cả người sản xuất đàn

-Trên cần đàn, độ dài các “quảng 8‟‟tạo nên cấp số nhân lùi vô hạn với

Ta hãy tính xem công bội q bằng bao nhiêu?

Hình 6

Gọi L1 là độ dài “quảng 8‟‟thứ nhất; L2 là độ dài “quảng 8‟‟thứ hai

2.3.2.4 Vận dụng cấp số nhân trong câu chuyện đời sống

Câu chuyện 1: “Một phần thưởng thú vị”

Một người nông dân được nhà Vua thưởng cho một số tiền trả trong 30 ngày

và cho phép anh ta chọn 1 trong 2 phương án:

Theo phương án 1, nhà Vua cho anh ta nhận 1 xu trong ngày thứ nhất, 2 xu trong ngày thứ 2, 4 xu trong ngày thứ 3, …số tiền nhận được sau mỗi ngày tăng gấp đôi Còn theo phương án 2, nhà Vua cho anh ta nhận ngày thứ nhất 1 đồng, ngày thứ hai 2 đồng, ngày thứ ba 3 đồng, Mỗi ngày số tiền tăng thêm 1 đồng Biết 1 đồng bằng 12 xu Hỏi phương án nào có lợi cho người nông dân?

Hình 7

Theo cách tính đơn giản thực hiện phép cộng tất cả số tiền có được sau 30 ngày Tuy nhiên làm như vậy mất nhiều thời gian

Phương án thứ nhất, số tiền thưởng là:

S    đồng hay S2=5580 xu

vậy chọn phương án nào có lợi hơn?

Câu chuyện 2:< Đố vui tr.120-SGK ĐS và GTNC 11>

“Một hào đổi lấy năm xu‟‟

Tương truyền, vào một ngày nọ, có một nhà toán học đến gặp 1 nhà tỉ phú và

đề nghị được “bán tiền”cho ông theo công thức sau:

Liên tục trong 30 ngày, mỗi ngày nhà toán học “bán” cho nhà tỉ phú 10 triệu đồng với giá 1 đồng ở ngày đầu tiên và kể từ ngày thứ hai, mỗi ngày nhà tỉ phú phải

“mua” với giá gấp đôi của ngày hôm trước Không một chút đắn đo, nhà tỷ phú đồng ý ngay tức thì, lòng thầm cảm ơn nhà toán học nọ đã mang lại cho ông ta một

cơ hội hốt tiền nằm mơ cũng không thấy

Hỏi: nhà tỉ phú đã lãi được bao nhiêu trong cuộc mua bán kỳ lạ này?

Và nhà toán học của chúng ta có phải là kẻ ngốc nghếch mang đến cơ hội hốt tiền nằm mơ cũng không thấy cho nhà tỷ phú hay không?

Số tiền mà nhà toán học nhận được trong 30 ngày:

2.3.2.5 Vận dụng cấp số nhân trong lĩnh vực tài chính - ngân hàng

Giả sử bạn có một khoản tiền A đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với lãi suất cố định là r trong một năm Sau một năm bạn sẽ có cả gốc và lãi là: B1=A+ (tiền lãi)=A+r A= (1+r)A Cứ sau mỗi năm số tiền của bạn sẽ được nhân thêm bội

số (1+r) Như vậy số tiền sau mỗi năm mà bạn có lập thành cấp số nhân với q=1+r Gọi Bn là số tiền bạn có sau n năm thì: Bn=A (1+r)n (*)

Trong thực tiễn cuộc sống, đôi khi chúng ta phải thực hiện bài toán ngược lai: Hiện tại ta cần số tiền là bao nhiêu để sau n năm có Bn đồng?

Ta xét các bài toán kinh tế sau:

Bài 6: Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại là 100 triệu đồng và sau 3 năm nó sẽ đem lại 150 triệu đồng Với lãi suất 8%, hãy đánh giá xem có nên thực hiện dự án này không?

Giải:

Từ công thức (*) ta có: n n

r

B A

)1( 

 (**) Nếu gửi ngân hàng, để sau 3 năm bạn có 150 triệu đồng thì hiện tại số tiền bạn phải

Giải:

Gọi khoản tiền phải trả hàng tháng là m đồng Nếu gửi vào ngân hàng thì giá trị hiện tại của toàn bộ khoản tiền trả góp tại thời điểm nhận hàng là:

Bài 8:: <BT mở đầu bài CẤp SỐ NHÂN-tr 115 SGK ĐS và GTNC 11>

Một ngân hàng quy định đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức có kì hạn như sau: “Khi kết thúc kì hạn mà người gử không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền

cả vốn và lãi sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn mà người đã gửi‟‟

Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là 0, 4%

a, Hỏi sau 6 tháng, kể từ ngày gửi, người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền được bao nhiêu?

b, Hỏi sau 1 năm, kể từ ngày gửi, người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền được bao nhiêu?

Giải:

Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu U là số tiền người đó rút đựơc (gồm n

cả vốn và lãi) sau n tháng, kể từ ngày gửi

khi đó theo giả thiết ta có:

004,1004

,0

Và công bội q1,001 nên U n 107.1,004.(1,004)n1 107.(1,004)n

Số tiền mà người gửi nhận được sau 6 tháng: U6 107.(1,004)6 10242413 đồng

Số tiền mà người gửi nhận được sau 1 năm là: 107.(1,004)12 10490702

2.3.2.6 Vận dụng cấp số nhân trong Sinh học

Sinh học là môn khoa học tự nhiên nên nó liên quan nhiều đến Toán học Toán học giúp các nhà sinh học xử lí các thông số sinh học trong nghiên cứu khoa học ở các cấp độ khác nhau của thế giới sinh sống cũng như áp dụng toán học vào dạy học môn sinh học ở trường phổ thông

Bài 9: Xét bài toán sinh sản của trùng biến

hình Amip:

Một con Amip sau một giây nó tự phân

thành 2 Amip con Và cứ sau mỗi giây, mỗi Amip

con ấy tự phân ra thành 2 Tính xem sau 30 giây có

tât cả bao nhiêu con Amip?

Sau 30 giây thì số Amip là:

12.1

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau

138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn lại một nửa) Tính (chính xác đến phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng sau 20 năm)

Giải:

Gọi U (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni sau n chu kì bán rã, n

ta có sau 7314 ngày gồm 53 chu kì bán rã

Hình 8