bất đẳng thức 2009

Inequalities From 2009 Mathematical Competition Over The World (Lê Xuân Ðại, THPT Chuyên Vĩnh Phúc) 1. (Trung quốc). Cho n nguyên n>3. Gọi 1 2 n a ,a ,a là các số thực thoả mãn i j min a a 1,1 i j n      . Tìm giá trị nhỏ nhất của n 3 k k 1 a   . 2. (Ấn ðộ). Cho a,b,c dýõng thoả mãn 3 3 3 a b c   . Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c 6(c a)(c b)      3. (Inðônesia 1). Cho x,y,z thoả mãn 3 3 3 x y z 3xyz 1     . Tìm min ( 2 2 2 x y z   ) 4. (Inðônesia 2). Cho 1 2 n a ,a ,a 1  . Chýng minh rằng: 1 2 2 3 n 1 3 4 2 x x x x x x 4n x x x     5. (Arghentina). Cho 1 2 300 a ,a ,a không âm thoả mãn 300 i i 1 a 1    . Tìm giá trị lớn nhất của i j i j,i\j a a   . 6. (serbia). Cho x,y,z dýõng thoả mãn x+y+z=xy+yz+zx. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 x y 1 y z 1 z x 1          . 7. (Viet nam). Tìm k sao cho bất ðẳng thức sau ðúng với mọi a,b,c dýõng 3 a b c 1 k k k k b c a c a b 2                           8. (USA). Cho 1 2 n a ,a ,a 0 (n 2)   thoả mãn 2 1 2 n 1 2 n 1 1 1 1 (a a a ) n a a a 2                     Chứng minh rằng: 1 2 n 1 2 n max(a ,a ,a ) 4min(a ,a ,a )  . 9. (USA). Cho x,y,z dýõng. Chứng minh rằng: pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 x (y z ) y (x z ) z (x y ) xyz xy(x+y) yz(y+z) xz(x+z)             10. (Secbia). Cho x,y,z dýõng thoả mãn 2 2 2 1 1 1 1 1 x 1 y 1 z 2       . Chứng minh rằng: 3 3 3 1 1 1 1 2 x 2 y 2 z 3       11. (Iran). Cho x,y,z dýõng thoả mãn x+y+z=3. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 x y 2 y z 2 x z 4          12. (Croatia). Cho a,b,c,d dýõng. Chứng minh rằng: a b b c c d d a 0 b c c d d a a b             . pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! . minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 x y 1 y z 1 z x 1          . 7. (Viet nam). Tìm k sao cho bất ðẳng thức sau ðúng với mọi a,b,c dýõng 3 a b c 1 k k k k b c a c a b 2            . Inequalities From 2009 Mathematical Competition Over The World (Lê Xuân Ðại, THPT Chuyên Vĩnh Phúc) 1. (Trung