Mô đun fi - nội xạ và mô đun fi - dẹt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Dương Đức Thònh MÔ ĐUN FI–NỘI XẠ VÀ MÔ ĐUN FI–DẸT Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VIẾT ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 Lời cảm ơn Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các thầy, cô trong khoa Toán−Tin học trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP. HCM, nhất là những người thầy trong bộ môn Đại số, những người đã tận tình giảng dạy cho tôi trong suốt quãng đường đại học cũng như cao học. Chính những kiến thức này là nền tảng hết sức quan trọng để tôi có thể thực hiện, hoàn thành luận văn này. Hơn hết, tôi chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Viết Đông, người thầy luôn tận tình hướng dẫn, động viên, khích lệ tôi trong quá trình hoàn chỉnh luận văn này. Tiếp đến, tôi cũng cảm ơn các bạn trong chuyên ngành Đại số đã động viên tôi trong quá trình học tập và sửa chữa những sai sót của luận văn này. Lời cuối cùng, tôi cảm ơn những người thân, những người bạn đã ủng hộ tinh thần cho tôi trong cuộc sống, đặc biệt là cha mẹ. TP. Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2010. Dương Đức Thònh 1 Lời nói đầu Lónh vực mô đun được phát triển rất mạnh mẽ trong những năm gần đây. Trong đó khái niệm mô đun FP−nội xạ được nhiều nhà toán học đưa ra với nhiều tên gọi khác nhau như: "FP-injective" được Madox đưa ra vào 1967; vào 1970, Strenstr¨om khái niệm là "absolutely pure"; còn Fieldhouse gọi là "copure injectivity". Cùng với đó là những kết quả rất mới về chiều FP−nội xạ của vành và mô đun. Còn khái niệm mô đun FI−nội xạ và FI−dẹt được hai nhà toán học người Trung Quốc Lixin Mao và Nanqing Ding đưa ra là rất hiện đại. Theo đó, hai ông cũng công bố những kết quả hoàn toàn mới này trong năm 2007 trên Tập chí toán học thế giới. Luận văn này gồm hai chương. Chương 1: Kiến thức cơ sở Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về hàm tử Tor, Ext, các mô đun nội xạ, xạ ảnh, dẹt, nội xạ thuần khiết, FP− nội xạ, mô đun đặc trưng, và vành coherent trái, nửa di truyền trái, hoàn chỉnh trái. Và trình bày khái niệm về tiền bao, bao, tiền phủ, và một số loại chiều của mô đun và vành. Các kết quả trong chương này là kiến thức cơ sở cho chứng minh các kết quả ở chương hai. Chương 2: Mô đun FI−nội xạ và mô đun FI−dẹt Chương hai là những kết quả chính trong bài báo "FI−injective and FI−flat modules". Chương này gồm hai phần: Phần 1: Trước hết nêu khái niệm về mô đun FI−nội xạ và mô đun FI−dẹt. Trình bày một số kết quả liên quan giữa mô đun FI−nội xạ, mô đun FI−dẹt và chiều FP−chiều nội xạ, tiền bao dẹt, tiền phủ FP−nội xạ. Đònh lý 2.5 là một ví dụ về phân tích của mô đun FI−nội xạ. Trong đònh lý 2.9, trình bày các mối liên hệ giữa chiều FP−nội xạ của vành và mô đun FI−nội xạ, FI−dẹt. Phần 2: Trong chương này, chủ yếu các kết quả được xét trên vành coherent trái. Trước hết chúng tôi nêu khái niệm hàm tử dẫn xuất trái của Hom là Ext. Sau đó trình bày các kết quả liên quan giữa hàm tử dẫn xuất trái của Hom và chiều FP−nội xạ, chiều FI của mô đun và vành. Đònh lý 2.16 nêu các mối liên hệ giữa vành nửa di truyền trái, mô đun FI−nội xạ, FI−dẹt, tiền bao dẹt và tiền phủ FP−nội xạ. Trong đònh lý 2.25 và đònh lý 2.26, trình bày mối liên hệ giữa chiều FP−nội xạ của vành, hàm tử dẫn xuất của Hom và chiều FI của mô đun. 2 Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời nói đầu 2 Mục lục 3 Bảng ký hiệu 4 1 Kiến thức cơ sở 5 1.1 Mô đun tự do, mô đun xạ ảnh, mô đun nội xạ, mô đun dẹt . . . . . . . . 5 1.2 Mô đun FP−nội xạ và chiều của mô đun . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Tiền bao, bao, tiền phủ, phủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Một số loại vành và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Mô đun FI−nội xạ và FI −dẹt 19 2.1 Mô đun FI−nội xạ và mô đun FI−dẹt 19 2.2 Chiều FP−nội xạ và hàm tử dẫn xuất trái của Hom . . . . . . . . . . . . 28 Chỉ mục 48 Tài liệu tham khảo 48 3 Bảng ký hiệu Ký hiệu Ý nghóa A ⊕ R B Tổng trực tiếp trên R của hai mô đun A và B A ⊗ R B Tích ten xơ trên R của hai mô đun A và B Tor R n (A, B) Tích xoắn n chiều trên R của hai mô đun A và B Ext n R (A, B) Tích mở rộng n chiều trên R của hai mô đun A và B Hom(A, B) Tập hợp tất cả các đồng cấu từ A vào B lim −→ C i Giới hạn trực tiếp của hệ trực tiếp (C i ) i M R M là R−mô đun phải R MMlà R−mô đun trái M + Mô đun đặc trưng của M R n Tích n của vành R M R Tập các R−mô đun phải R M Tập các R−mô đun trái Flat Tập các R−mô đun dẹt Proj Tập các R−mô đun xạ ảnh Proj fg Tập các R−mô đun xạ ảnh hữu hạn sinh pd(M) Chiều xạ ảnh của M id(M) Chiều nội xạ của M fd(M) Chiều dẹt của M FP − id(M) Chiều FP−nội xạ của M l.FP − dim(R) là sup{FP − id(M):M ∈ R M} wD(R) Chiều toàn thể yếu của vành R rwD(R) Chiều toàn thể phải yếu của vành R lwD(R) Chiều toàn thể trái yếu của vành R r.IFD(R) là sup{fd(E):E là R−mô đun nội xạ phải} right FI −dimM Chiều FI phải của M left FI − dimM Chiều FI trái của M gl right FI −dim R M Chiều FI phải toàn thể của R M gl left FI − dim R M Chiều FI trái toàn thể của R M gl right Proj fg − dimM R fg là sup{right Proj fg − dimM : M ∈M R fg } 4 Chỉ mục chiều xạ ảnh, 13 bao, 13 dẹt, 14 chiều FP−nội xạ, 12 nội xạ, 12 dẹt, 12 FI, 17 toàn thể, 17 toàn thể yếu, 13 cogenerator, 17 cơ sở, 5 giới hạn trực tiếp, 16 hệ trực tiếp, 16 khớp thuần khiết, 9 11 mô đun FI−dẹt, 19 mạnh, 25 FI−nội xạ, 19 mạnh, 25 FP−nội xạ, 11 FP−nội xạ, 15 biểu diễn hữu hạn, 9 con thuần khiết, 9 dẹt, 8 10, 12, 15 nội xạ, 6, 9, 12 tuyệt đối thuần khiết, 11 tự do, 5 xạ ảnh, 5, 8, 13 đặc trưng, 9, 10 được rút gọn, 6 nội xạ mô đun, 6 thuần khiết, 9, 10, 13 với dãy khớp, 6 phép giải FI, 17 tối tiểu, 17 xạ ảnh, 7 phủ, 14 FP−nội xạ, 15 tenxơ, 8 tiền bao, 13 FP−nội xạ, 14 dẹt, 15 phủ, 14 46 tích mở rộng, 7 xoắn, 7 tính chất ánh xạ duy nhất, 14 vành coherent, 15, 16 hoàn chỉnh, 15 IF, 16 nửa di truyền, 15 47 Chương 1 Kiến thức cơ sở Chương này chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản cần thiết cho các chứng minh ở các chương sau. Chứng minh của các kết quả trong chương này hầu như bỏ qua và có thể tìm thấy trong tài liệu tham khảo. 1.1 Mô đun tự do, mô đun xạ ảnh, mô đun nội xạ, mô đun dẹt Đònh nghóa 1.1 Một tập con S của R−mô đun X được gọi là cơ sở của X nếu S là tập sinh độc lập tuyến tính của X. Nghóa là mỗi phần tử x ∈ X đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x = r 1 s 1 + r 2 s 2 + + r n s n , với các r i ∈ R và s i ∈ S. Đònh nghóa 1.2 Mô đun X có cơ sở được gọi là mô đun tự do. Đònh nghóa 1.3 R−mô đun P là mô đun xạ ảnh khi và chỉ khi với bất kì dãy khớp ngắn các R−mô đun 0 −→ A f −→ B g −→ C −→ 0, dãy các nhóm abel 0 −→ Hom(P, A) f ∗ −→ Hom(P, B) g ∗ −→ Hom(P,C) −→ 0 là dãy khớp. 5 Đònh lý 1.4 ([1], Đònh lý 1, trang 73) Mỗi mô đun tự do đều là mô đun xạ ảnh. Đònh lý 1.5 ([[1], Đònh lý 6, trang 53) Mỗi mô đun X đẳng cấu với mô đun thương của mô đun tự do nào đó. Nhận xét. X là mô đun bất kì, ta luôn có dãy khớp 0 −→ L −→ P −→ X −→ 0, với P là mô đun xạ ảnh. Đònh nghóa 1.6 R−mô đun N là mô đun nội xạ khi và chỉ khi với bất kì dãy khớp ngắn các R−mô đun 0 −→ A f −→ B g −→ C −→ 0, dãy các nhóm abel 0 −→ Hom(C, N) g ∗ −→ Hom(B,N ) f ∗ −→ Hom(A, N) −→ 0 là dãy khớp. Đònh nghóa 1.7 Ta gọi R−mô đun M là nội xạ với dãy khớp 0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0 nếu dãy các nhóm abel 0 −→ Hom(Z,M ) −→ Hom(Y,M ) −→ Hom(X, M) −→ 0 là khớp. Đònh lý 1.8 ([1], Đònh lý 9, trang 82) Mỗi mô đun X có nhúng vào một mô đun nội xạ N(X) nào đó, xem như là mô đun con của N(X). Nhận xét. X là mô đun bất kì, ta luôn có dãy khớp 0 −→ X −→ E −→ L −→ 0, với E là mô đun nội xạ. Đònh nghóa 1.9 R−mô đun trái M gọi là được rút gọn nếu M không có mô đun con nội xạ khác 0 nào. Đònh lý 1.10 ([1], Đònh lý 10, trang 82) Mỗi mô đun X bất kỳ, các phát biểu sau tương đương: (1) X là mô đun nội xạ. (2) Mọi dãy khớp 0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0 là chẻ. (3) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của mô đun nội xạ nào đó. 6 Đònh nghóa 1.11 Cho A là R−mô đun phải và X : ···−→X n+1 ∂ n +1 −→ X n ∂ n −→ · · · ∂ 2 −→ X 1 ∂ 1 −→ X 0 ε −→ A −→ 0 là phép giải xạ ảnh bất kì của A. Với mỗi mô đun trái B, ta có phức sau X ⊗ B : ···−→X n+1 ⊗ B ∂ ∗ n+1 −→ X n ⊗ B ∂ ∗ n −→ · · · ∂ ∗ 2 −→ X 1 ⊗ B ∂ ∗ 1 −→ X 0 ⊗ B −→ 0. Trong đó ∂ ∗ n = ∂ n ⊗ 1 B . Ta đònh nghóa H n (X ⊗ B)(n =0, 1, ) là tích xoắn n chiều trên R của hai mô đun A và B, kí hiệu là Tor n (A, B). Ta thường kí hiệu Tor(A, B)=Tor 1 (A, B). Đònh lý 1.12 ([1], Đònh lý 5, trang 160) Với mọi R−mô đun phải A và mọi dãy khớp ngắn bất kì các R−mô đun trái 0 −→ B  −→ B −→ B” −→ 0, ta có dãy khớp ··· −→Tor n (A, B  ) −→ Tor n (A, B) −→ Tor n (A, B”) −→ Tor n−1 (A, B  ) −→ · · · −→ Tor(A, B”) −→ A ⊗ B  −→ A ⊗ B −→ A ⊗ B” −→ 0. Đònh lý 1.13 ([1], Đònh lý 6, trang 161) Với mọi R−mô đun trái B và mọi dãy khớp ngắn bất kì các R−mô đun phải 0 −→ A  −→ A −→ A” −→ 0, ta có dãy khớp ··· −→Tor n (A  ,B) −→ Tor n (A, B) −→ Tor n (A”,B) −→ Tor n−1 (A  ,B) −→ · · · −→ Tor(A”,B) −→ A  ⊗ B −→ A ⊗ B −→ A” ⊗ B −→ 0. Đònh nghóa 1.14 Cho A là R−mô đun phải và X : ···−→X n+1 ∂ n+1 −→ X n ∂ n −→ · · · ∂ 2 −→ X 1 ∂ 1 −→ X 0 ε −→ A −→ 0 là phép giải xạ ảnh bất kì của A. Với mỗi mô đun phải B, ta có phức sau Hom(X,B): 0−→ Hom(X 0 ,B) ∂ ∗ 0 −→ Hom(X 1 ,B) ∂ ∗ 1 −→ · · · ··· ∂ ∗ n−1 −→ Hom(X n ,B) ∂ ∗ n −→ Hom(X n+1 ,B) −→ · · · Trong đó ∂ ∗ n = Hom(∂ n , 1 B ). Ta đònh nghóa H n (Hom(X ⊗B))(n =0, 1, ) là tích mở rộng n chiều trên R của hai mô đun A và B, kí hiệu là Ext n (A, B). Ta thường kí hiệu Ext(A, B) = Ext 1 (A, B). 7 [...]... FI Hệ quả 1.75 ([4], Hệ quả 8.4.28, trang 189) Ta có gl right Projf g − dimMRf g = gl right FI −dimR M−2 18 Chương 2 Mô đun FI nội xạ và FI dẹt 2.1 Mô đun FI nội xạ và mô đun FI dẹt Đònh nghóa 2.1 R mô đun trái M được gọi là F I nội xạ nếu Ext1 (G, M ) = 0 với mọi R mô đun trái F P nội xạ G R mô đun phải N được gọi là F I dẹt nếu Tor1 (N, G) = 0 với mọi R mô đun trái F P nội xạ G Ví dụ (1) R mô đun. .. F P nội xạ G, với mọi i ≥ 1 R mô đun phải M được gọi là F I dẹt mạnh nếu Tori (M, G) = 0, với mọi R mô đun trái F P nội xạ G, với mọi i ≥ 1 Nhận xét (1) Mô đun nội xạ ⇒ F I nội xạ mạnh ⇒ F I nội xạ (2) Mô đun dẹt ⇒ F I dẹt mạnh ⇒ F I dẹt 25 Đònh lý 2.9 Cho R là vành coherent trái và phải (1) F P − id(RR ) ≤ 1 (2) Mỗi mô đun con của R mô đun phải F I dẹt là F I dẹt (3) Mỗi R mô đun phải F I dẹt là... R mô đun trái M và N (3) Mỗi R mô đun trái có một phủ F P nội xạ đơn cấu (4) Mỗi R mô đun trái F I nội xạ là nội xạ (5) Mỗi R mô đun trái F I nội xạ là F P nội xạ (6) Mỗi R mô đun phải F I dẹt (biểu diễn hữu hạn) là dẹt (7) Mỗi R mô đun phải có một (tiền) bao dẹt toàn cấu (8) Mỗi R mô đun phải biểu diễn hữu hạn có một (tiền) bao dẹt toàn cấu (9) Kernel của (tiền) phủ F P nội xạ bất kì của R mô đun. .. R mô đun E nội xạ là F I nội xạ (2) R mô đun F dẹt là F I dẹt Nhận xét R mô đun phải M là F I dẹt nếu và chỉ nếu M + là F I nội xạ Chứng minh Với mọi R mô đun F P nội xạ N , ta có M + là F I nội xạ Ext1 (N, M + ) = 0 ⇔ Tor1 (M, N )+ = Ext1 (N, M + ) = 0 ⇔ Tor1 (M, N ) = 0 ⇔ M là F I dẹt Mệnh đề 2.2 Với R là vành coherent trái, ta có (1) R mô đun trái M là nội xạ nếu và chỉ nếu M là F I nội xạ và F P... I dẹt (3) Mỗi R mô đun phải F I dẹt là F I dẹt mạnh (4) Mỗi R mô đun trái F I nội xạ là F I nội xạ mạnh (5) Mỗi mô đun thương của R mô đun trái F I nội xạ là F I nội xạ Khi đó ta có 1 ⇔ 2 ⇔ 3 ⇐ 4 ⇐ 5 Nếu R là vành hoàn chỉnh trái thì 1 ⇒ 5 Chứng minh (1)⇒(2): Cho N là mô đun con của R mô đun phải F I dẹt M, và G là R mô đun F P nội xạ trái Ta có Tor(M, G) = 0 và dãy khớp 0 −→ N −→ M −→ M/N −→ 0 Do đó... một phủ F P nội xạ Bổ đề 1.60 ([4], Mệnh đề 6.5.1, trang 136) R là vành coherent trái nếu và chỉ nếu mỗi R mô đun có một tiền bao dẹt Mệnh đề 1.61 ([6], Hệ quả 8.4.33, trang 190) R là vành coherent trái Khi đó các điều sau tương đương: (1) RR là F P nội xạ (2) Mỗi R mô đun là mô đun con của mô đun dẹt nào đó (3) Mỗi R mô đun trái dẹt là F P nội xạ (4) Mỗi R mô đun phải F P nội xạ là dẹt Đònh nghóa... = 0 Nên M là được rút gọn Đònh lý 2.5 Cho R là vành coherent trái Khi đó, R mô đun trái M là F I nội xạ nếu và chỉ nếu M là tổng trực tiếp của một R mô đun trái nội xạ và một R mô đun trái F I nội xạ được rút gọn Chứng minh Phần nghòch: M la tổng trực tiếp của R mô đun nội xạ N và một R mô đun F I nội xạ được rút gọn X, M = N ⊕ X Với mọi G là F P nội xạ, ta có Ext1(G, M ) = Ext1(G, N ⊕ X) = Ext1(G,... F I nội xạ (2)⇒(3): Cho M là R mô đun phải Khi đó M + là nội xạ thuần khiết Theo (2) thì M + là F I nội xạ Vậy M là F I dẹt (3)⇒(4): Hiển nhiên (4)⇒(1): Cho E là R mô đun trái nội xạ Nên E là F P nội xạ Với mỗi M là mô đun biểu diễn hữu hạn bất kì, theo (4), M là F I dẹt nên Tor(M, E) = 0 Vậy E là dẹt Đònh nghóa 2.8 R mô đun trái N được gọi là F I nội xạ mạnh nếu Exti (G, N ) = 0, với mọi R mô đun. .. R là vành Khi đó các điều kiện sau tương đương: (1) R là vành hoàn chỉnh trái (2) Mỗi R mô đun trái dẹt là xạ ảnh Mệnh đề 1.63 ([6], Đònh lý 4.32 (Chase), trang 171) (1) R là vành nửa di truyền trái (2) R là vành coherent trái và mỗi mô đun con của mô đun dẹt là dẹt 15 Đònh nghóa 1.64 R được gọi là vành IF trái nếu mỗi R mô đun trái nội xạ là dẹt Ta đặt r.IFD(R) = sup{fd(E) : E là R mô đun nội xạ phải}... với vành R: (1) R là vành coherent trái (2) M là R mô đun F P nội xạ trái khi và chỉ khi M + là dẹt (3) M là R mô đun dẹt khi và chỉ khi M ++ là dẹt 16 Mệnh đề 1.70 ([10], Đònh lý 4.5, trang 24) Các điều sau tương đương: (1) R là vành coherent trái (2) Giới hạn trực tiếp của những R mô đun F P nội xạ là F P nội xạ Đònh nghóa 1.71 Một R mô đun trái C được gọi là cogenerator của R M nếu mỗi R mô đun . 13 1.4 Một số loại vành và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Mô đun FI nội xạ và FI dẹt 19 2.1 Mô đun FI nội xạ và mô đun FI dẹt 19 2.2 Chiều FP nội xạ và hàm tử dẫn. trái của Hom và chiều FP nội xạ, chiều FI của mô đun và vành. Đònh lý 2.16 nêu các mối liên hệ giữa vành nửa di truyền trái, mô đun FI nội xạ, FI dẹt, tiền bao dẹt và tiền phủ FP nội xạ. Trong đònh. 3 Bảng ký hiệu 4 1 Kiến thức cơ sở 5 1.1 Mô đun tự do, mô đun xạ ảnh, mô đun nội xạ, mô đun dẹt . . . . . . . . 5 1.2 Mô đun FP nội xạ và chiều của mô đun . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3