skkn khai thác những ứng dụng của hằng đẳng thức tổng ba lập phương

Đối với học sinh lớp 8, 9, giáo viên ngoàiviệc hướng dẫn các em vận dụng nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ,cần phải cung cấp thêm một số hằng đẳng thức tổng quát, một số hằng đẳng

Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá

Phòng giáo dục và đào tạo thọ xuân

sáng kiến kinh nghiệmkhai thác những ứng dụng của

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LỜI MỞ ĐẦU

Những hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những nội dung kiến thứcquan trọng trong chương trình Đại số lớp 8 Mỗi hằng đẳng thức giúp học sinhgiải được một lớp các bài toán, nhiều bài tập khác nhau, giúp học sinh thực hiệngiải toán nhanh hơn, chính xác hơn

Để trở thành học sinh giỏi Toán, ngoài những yêu cầu về kiến thức cơbản trong chương trình cần nắm vững, học sinh còn phải biết tìm tòi, khai thác,vận dụng những kiến thức nâng cao Đối với học sinh lớp 8, 9, giáo viên ngoàiviệc hướng dẫn các em vận dụng nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ,cần phải cung cấp thêm một số hằng đẳng thức tổng quát, một số hằng đẳngthức nâng cao, giúp các em học sinh khá giỏi có thể vận dụng để giải đượcnhiều bài toán khó, nhiều dạng bài tập hơn Khai thác ứng dụng của các hằngđẳng thức nâng cao nhằm bổ sung những kiến thức mới, khơi dậy niềm say mêhọc tập, phát huy tính tích cực nhận thức và phát triển kỹ năng tự học của họcsinh

Trong quá trình dạy học Toán, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, tôi thấy

hằng đẳng thức tổng ba lập phương là một trong số những hằng đẳng thức

nâng cao có rất nhiều ứng dụng; có thể giúp học sinh vận dụng để giải một sốbài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, rút gọn biểuthức, chứng minh bất đẳng thức, , giúp học sinh rèn luyện tư duy toán học;sáng tạo trong quá trình học tập, tiếp thu kiến thức mới Tôi đã sắp xếp, phân

loại những ứng dụng của hằng đẳng thức tổng ba lập phương; từ đó hướng dẫn

học sinh tự học để đạt kết quả cao Tôi xin được trao đổi một số kinh nghiệmnhỏ này cùng các bạn

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Trong chương trình phổ thông, hằng đẳng thức tổng ba lập phương trong

sách giáo khoa chưa được đề cập đến Trong sách bài tập Toán 8, đưa ra hai bàitập sau:

Bài 38: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc

Bài 57: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3

Trong nhiều sách nâng cao, sách tham khảo, hằng đẳng thức tổng ba lập phương và ứng dụng của nó được một số tác giả quan tâm đưa vào với một số

lượng ít bài tập ở một vài dạng

Thực tế, trong quá trình dạy học, chúng ta gặp nhiều bài toán ở các dạngbài khác nhau trong các đề thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải đưa về dạng

hằng đẳng thức tổng ba lập phương Nếu giáo viên chưa khai thác sâu kiến

thức cơ bản, học sinh chưa kịp thời bổ sung những kiến thức cơ bản nâng cao;chưa đào sâu suy nghĩ để tìm cách vận dụng linh hoạt những hằng đẳng thức cơbản nâng cao, cùng việc tích luỹ dần dà các phương pháp và kỹ năng hữu hiệuthì khó có thể giải được những bài toán đó

Trong trường hợp đặc biệt, một số học sinh có năng lực tiếp thu bài tốt,

có khả năng tự học Khi nhu cầu hiểu biết của học sinh rất lớn, trong một thờigian hạn chế mà tài liệu tham khảo nhiều, học sinh thường lúng túng, mất quánhiều thời gian để có thể hệ thống được các dạng toán, các phương pháp, cáckinh nghiệm vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán, nếu không có sự hướngdẫn chu đáo của giáo viên

Do đó để đáp ứng nhu cầu bổ sung kiến thức, bổ sung những hằng đẳngthức có nhiều ứng dụng, bổ sung những kinh nghiệm giải toán nhằm nâng caochất lượng dạy học Toán lớp 8, 9, đòi hỏi người thầy phải giúp học sinh cónhững tư liệu tự học tốt nhất, những chủ đề nâng cao khai thác vận dụng những

hằng đẳng thức nâng cao trong đó có hằng đẳng thức tổng ba lập phương - một

hằng đẳng thức đẹp

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

1 Để giúp học sinh lớp 8, 9 có kỹ năng giải thành thạo các bài tập về vận

dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương, trước hết giáo viên cần hướng dẫn

học sinh nắm được hằng đẳng thức; giúp học sinh phân loại các bài tập theo cácdạng toán cơ bản, nâng cao Ở mỗi dạng toán, giáo viên cần đưa ra các ví dụ cụ

thể, hướng dẫn học sinh biết vận dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương để

giải Giáo viên đưa ra những bài tập tương tự, bài tập vận dụng để học sinh cóthể tự giải

Hằng đẳng thức tổng ba lập phương có thể được sử dụng để giải nhiều

bài toán thuộc các dạng sau:

1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử

1.2 Rút gọn biểu thức Tính giá trị của biểu thức

2 Tổ chức hướng dẫn học sinh chủ động, tích cực tìm tòi, sáng tạo nắm

vững hằng đẳng thức tổng ba lập phương, rèn luyện các kỹ năng giải các bài toán áp dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương.

II BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN

1 H ẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG BA LẬP PHƯƠNG

* Với A, B, C là các biểu thức tuỳ ý ta có các hằng đẳng thức sau:

1) A 3 + B 3 + C 3 = (A + B + C)(A 2 + B 2 + C 2 - AB - BC - CA) + 3ABC

= (A + B + C)(A2 + 2AB + B2 - AC - BC + C2 - 3ABC)

= (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) Suy ra đpcm

Để chứng minh hằng đẳng thức (1), ta có thể chọn một trong hai cách sau:

= A3 + B3 + 3AB(A + B) + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - A3 - B3 - C3

= 3(A + B)AB (A B C C )  2  = 3(A + B)(B + C)(C + A) Suy ra đpcm

2 NH ỮNG ỨNG DỤNG CỦa HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG BA LẬP PHƯƠNG 2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử

Từ các hằng đẳng thức 1) và 2) ta suy ra:

* A 3 + B 3 + C 3 - 3ABC = (A + B + C)(A 2 + B 2 + C 2 - AB - BC - CA) (1)

* Nếu A + B + C = 0 thì A 3 + B 3 + C 3 = 3ABC (2)

* (A + B + C) 3 - A 3 - B 3 - C 3 = 3(A + B)(B + C)(C + A) (3)

Chúng ta có thể sử dụng (1), (2) và (3) để phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 1: Phân tích đa thức 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz thành nhân tử

Hướng dẫn: 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz = (2x)3 + (4y)3 + z3 - 3.(2x).(4y).z

= (2x + 4y + z)[(2x)2 + (4y)2 + z2 - (2x)(4y) - (2x)z - (4y)z]

= (2x + 4y + z)(4x2 + 16y2 + z2 - 8xy - 2xz - 4yz).

Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử

(x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (x - y + z)3 - (- x + y + z)3

Bài tập vận dụng

Phân tích các đa thức thành nhân tử:

1) x3 - y3 - z3 - 3xyz 2) 125a3 + 8b3 + 27c3 - 90abc 3) (x - y + z)3 - x3 + y3 - z3 4) (x + 2y - 3z)3 - x3 - 8y3 + 27z3 5) (a + b)3 - (b + c)3 + (c - a)3 6) (x - y)5 + (y - z)5 + (z - x)5

Nhận xét: Ở bài toán trên chúng ta đã sử dụng “điều kiện xuôi” để tính giá trị

của biểu thức Ta cũng có thể sử dụng “điều kiện ngược” để tính giá trị của biểuthức

Ví dụ 2: Cho abc  0, a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị của biểu thức:

Vậy A nhận hai giá trị là 8 và -1.

Ví dụ 3: Biết a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2, tính giá trị của biểu thức:

Trường hợp 2: Với x = y = z, ta có ngay: A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8

Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức:

A = x3 + (x - 1)3 - (2x - 1)3 - 3x(x - 1)(1 - 2x)

Hướng dẫn: Đặt a = x, b = x - 1, c = 1 - 2x suy ra: a + b + c = 0.

Khi đó, biểu thức được viết dưới dạng:

Ví dụ 6: Biết a3 + b3 = 3ab - 1, tính giá trị của biểu thức: A = a + b

Hướng dẫn: Biến đổi giả thiết về dạng:

Ví dụ 8: Cho các số a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện:

Vậy một trong ba số a, b, c bằng 0 Từ đó suy ra: a2011 + b2011 + c2011 = 0

Bài 6: Cho a + b + c = 0 (a, b, c  0) Tính giá trị của biểu thức:

a b xyz c 

  (theo (2)) (3)Thay (2), (3) vào (1) ta có: x3 + y3 + z3 = 3 ( 2 2) (3 2 2)

ax + by + cz = a(a2 - bc) + b(b2 - ac) + c(c2 - ab)

= a3 - abc + b3 - abc + c3 - abc = a3 + b3 + c3 - 3abc

 xy + yz + zx = 1 2 2 2

   (2)Thay (2) vào (1), ta được:

3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + 1

2xyz(x2 + y2 + z2)  2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2), đpcm

Bài 1: Cho a - b - c = 0 Chứng minh rằng a3 - b3 - c3 = 3abc

Bài 2: Cho a + b + c + d = 0 Chứng minh rằng:

a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab - cd)

Bài 3: Cho 2a + b + c = 0 Chứng minh rằng: 2a3 + b3 + c3 = 3a(a + b)(c - b)

Bài 4: Cho a + b - c = 0 Chứng minh rằng 2(a5 + b5 - c5) = -5abc(a2 + b2 + c2)

Bài 5: Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: (4x – 3y + 2z)2 = 16x2 + 9y2 + 4z2

2xyz(x2 + y2 + z2) (**)Thay (**) vào đẳng thức (*) ta được đpcm.

Bài 10: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

coi mẫu số của A có dạng a + b + c Khi đó nhân cả tử và mẫu của A với(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca), tức là      3 a 2 3b 2 3c 2 3 ab 3bc 3ca ta được:

2 2

và nhiều phương trình có thể đưa được về một trong các dạng đó để giải.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

Bây giờ ta tìm cách viết vế trái của phương trình dưới dạng: x3 + a3 + b3 - 3abx,

như vậy a, b thoả mãn hệ phương trình:

3 3

3 3

3

2 54 1 18

a) Nhận thấy phương trình có dạng A3 + B3 + C3 = 0, với A + B + C = 0

Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi phương trình về dạng:

Phương trình có ba nghiệm x = 2, x = - 1 và x = 1

2.b) Đặt a 3 x 1, b 3 x 2, c 3 x 3

Khi đó, phương trình có dạng: a + b + c = 0  a3 + b3 + c3 = 3abc

1 0

- Với a + b = 0, suy ra 5x2 – 5x = 0  x = 0 hoặc x = 1.

Vậy (x - 1); (2y - 3) là nghiệm của phương trình t2 + t + 6 = 0

Phương trình này vô nghiệm

b) Với 3z - 2 = -2, thay vào hệ (II) được hệ: ((x x1) (21)(2y y3) 3) 23



Vậy x - 1; 2y - 3 là nghiệm của phương trình t2 - 2t - 3 = 0

Phương trình này có hai nghiệm t1 = -1; t2 = 3.

Kết hợp với phương trình 3z - 2 = -2 suy ra hệ phương trình (I) có hai nghiệmnguyên (x; y; z) là (0; 3; 0); (4; 1; 0)

Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: (x + y)3 = (x - 2)3 + (y + 2)3 + 6

Bài 7: Giải phương trình bậc ba (ẩn x): x3 - 3abx + (a3 + b3) = 0

Phương trình (1) có:  = (a + b)2 - 4(a2 + b2 - ab) = - 3(a - b)2

Do đó nó chỉ có nghiệm nếu a = b, nghiệm ấy là x = a (nghiệm kép)

2.6 Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1: Cho a, b, c  0 Chứng minh rằng: a + b + c 3 abc3

(Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm)

Bài 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 a2 bc b 2 ca c 2 ab

Hướng dẫn: (a3 + abc) + (b3 + abc) + (c3 + abc)

 2 a abc3  2 b abc3  2 c abc3  2a2 bc b ca c 2  2 ab (1)

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

ở đây a = 37, b = - 28, c = - 1, suy ra A chia hết cho 37 – 28 – 1 = 1930

Ví dụ 2: Cho a + b + c = (a - b)(b - c)(c - a).

Chứng minh rằng (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 chia hết cho 3

Từ đó, ta thấy ngay (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 chia hết cho 3

Nhận xét: Cũng với phương pháp trên chúng ta còn có thể chứng minh được các

bài toán tổng quát hơn như sau:

1 Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:

(a + b + c)p + (a - b - c)p + (b - c - a)p + (c - a - b)p chia hết cho 8pabc

2 Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:

(a - b)p + (b - c)p + (c - a)p chia hết cho p(a - b)(b - c)(c - a)

- Thử lại, với m = - 3, ta được:

x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)

Vậy với m = - 3 thoả mãn điều kiện đầu bài

Bài 2: Cho x, y, z nguyên thoả mãn điều kiện x + y + z = (x - y)(y - z)(z - x)

Chứng minh rằng: M = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 chia hết cho 81

Hướng dẫn: Vì (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0 nên ta có:

(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)

Xét ba số dư của phép chia x, y, z cho 3

a) Nếu cả ba số dư là khác nhau (là 0, 1, 2) thì (x + y + z) chia hết cho 3 Khi

đó (x - y)(y - z)(z - x) không chia hết cho 3, trái với giả thiết

b) Nếu có hai số dư bằng nhau thì x + y + z không chia hết cho 3, trong khi đómột trong ba hiệu: (x - y), (y - z), (z - x) chia hết cho 3, trái với giả thiết

c) Vậy chỉ còn trường hợp cả ba số x, y, z đều có cùng số dư khi chia cho 3.Lúc đó 3(x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3.3 nên M chia hết cho 81

Bài 3: Cho x, y, z là các số nguyên khác 0 Chứng minh rằng nếu x2 - yz = a,

3 2 2 2 3

1 1

0

abc b a b c

a

a b c abc c b

Khử 3a b c2 2 2 trong hệ này, ta tính được:a b  3 abc b c a (  ) (1)

Do abc  0 nên nếu a - b = 0 thì (1)  a b c  (không xảy ra vì x + y + z = 0).Nếu a - b  0 thì (1)

nó là lập phương của một số nguyên.

Vậy trong mọi trường hợp, abc đều là lập phương của một số nguyên (đpcm)

Ví dụ 2: Biết xn + yn + zn = an + bn + cn đúng với n = 1, 2, 3, chứng minh rằng nóđúng với mọi số tự nhiên n

Hướng dẫn: Từ giả thiết biểu thức đúng với n = 1, 2, 3, ta lần lượt có:

x + y + z = a + b + c (1)

x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + z2 (2)

x3 + y3 + z3 = a3 + b3 + z3 (3)Khi đó: (1)  (x + y + z)2 = (a + b + c)2

 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

 xy + yz + zx = ab + bc + ca (4)

(3)  (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + 3xyz

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab + bc + ca) + 3abc

 xyz = abc (5)

Từ (1), (4), (5) suy ra x, y, z là nghiệm của phương trình:

t3 - (a + b + c)t2 + (ab + bc + ca)t - abc = 0

Như vậy, ta thấy (x, y, z) là một hoán vị của (a, b, c), do đó:

xn + yn + zn = an + bn + cn đúng với mọi số tự nhiên n

Mâu thuẫn với 1 1 1 0

a b c   Chứng tỏ không tồn tại a, b, c thoả mãn các giảthiết hay giả thiết của bài toán là phi lí

Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy, hãy tìm tập hợp các điểm

A(x; y) sao cho x3 - y3 = 3xy + 1 (1)

Hướng dẫn: (1)  x3 - y3 - 1 = 3xy  x y x y1 01



Vậy tập hợp A là đường thẳng x - y - 1 = 0 và điểm A0(-1; 1)

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c thoả mãn a3 + b3 + c3 = 3abc Hỏitam giác ABC là tam giác gì?

Bài 3: Sai ở đâu? Sửa cho đúng.

Cả hai lời giải sẽ đúng nếu đề bài cho thêm giả thiết.

Bài 4: Tìm công thức tính nhanh tổng sau theo số tự nhiên k:

S = 1.2.3 + 3.4.7 + 7.8.15 + + (2k - 1)2k(2k+1 - 1)

Hướng dẫn: Vì (2k - 1) + 2k + (1 - 2k+1) = 0 nên ta có:

(2k - 1)3 + (2k)3 - (2k + 1 - 1)3 = - 3(2k - 1)2k(2k+1 - 1)

Ta có: -3S = (-3).1.2.3 + (-3).3.4.7 + (-3).7.8.15 + + (-3)(2k - 1)2k(2k+1 - 1)  - 3S = (1 + 23 - 33) + (33 + 43 - 73) + (73 + 83 - 153) + + (2k - 1)3 +

in ấn tài liệu cho học sinh tham khảo, giáo viên tổ chức cho học sinh tích cực,chủ động tự học để nắm vững nội dung chuyên đề Chúng tôi thấy rằng, các emhọc sinh rất hứng thú khi được thầy cung cấp những tư liệu hướng dẫn tự học

Đa số các em khá giỏi tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dễ dàng; các

em đã biết khai thác sâu bài toán, biết xâu chuỗi các bài toán, biết vận dụng cáckiến thức cơ bản, nâng cao để giải được nhiều bài toán khó, để học tốt các nộidung kiến thức khác trong chương trình học; giúp các em thêm tự tin, dànhđược kết quả cao trong quá trình học tập và trong các kỳ thi học sinh giỏicác cấp

Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy toán, tôi luôn chú trọng hướng các em đitìm các ứng dụng của mỗi hằng đẳng thức nâng cao, các phương pháp giải, cáchgiải khác nhau cho mỗi bài toán, giúp học sinh xâu chuỗi các bài toán Từ đókhơi dậy lòng say mê, niềm cảm hứng với những nét độc đáo, niềm tin, niềm tựhào khi tự mình có thể trang bị được những kiến thức mới một cách hệ thống vàkhoa học.

2 Những bài học kinh nghiệm

- Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụngmột vấn đề nào đó, trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc Vìvậy, người thầy phải không ngừng nâng cao trình độ cho bản thân, phải luônhọc hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, phân dạng các bài toán, xâuchuỗi các bài toán Giáo viên cần chủ động phát hiện ra những bài toán cơ bản,những hằng đẳng thức có nhiều ứng dụng và tập hợp các ứng dụng đó, viếtthành tư liệu dành cho học sinh tham khảo Đó là một phương pháp học manglại hiệu quả rất cao trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán

- Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kỹ năng thường xuyên lưu ý; liên hệmột bài toán “mới” với những bài toán đã biết, giúp học sinh phát hiện ra rằng,bài toán đó không còn mới đối với các em hoặc nhanh chóng xếp loại được bàitoán, từ đó định hướng được phương pháp giải quyết

- Nên cấu tạo bài tập toán đa dạng và phong phú (với mục đích vận dụng kiếnthức, rèn luyện kỹ năng, kiểm tra năng lực toán học, ) để phù hợp với phươngpháp dạy học đổi mới theo hướng tích cực, độc lập, sáng tạo

- Trong quá trình dạy học toán, việc tìm lời giải các bài toán không chỉ là mụcđích mà còn là cơ sở để đề xuất các bài toán mới Phát triển kết quả là một côngviệc cực kỳ thú vị đối với người làm toán Từ một kết quả đơn giản ban đầu,bằng sự phát triển thông minh và sáng tạo, ta có thể đi đến những kết quả bấtngờ và sâu sắc

Trên đây tôi đã trình bày một số ứng dụng của hằng đẳng thức tổng ba lậpphương với mong muốn đóng góp một phần nhỏ vào quá trình đổi mới nộidung, phương pháp dạy học toán ở trường Trung học cơ sở nhằm giúp học sinhđạt được kết quả cao nhất trong học tập Có thể trong đề tài còn có những hạnchế, thiếu sót, rất mong được sự đóng gớp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để

đề tài này được hoàn thiện và có tác dụng hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tháng 3 năm 2011.