skkn khai thác sâu một bài toán thi đại học

  - - - - - - - - -    ! "#$ Môn: Toán Tác gia%&'() *+, /0123/014 1 &'&5 Tác gia%LÝ CHÍ HƯỚNG Chức vụ:Phó Hiệu Trưởng Đơn vị công tác: Trường THPT Dương Quảng Hàm Tên đề tài: !"#$ 2 61766 17&'$8 Qua quá trình công tác giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì bản thân mỗi thầy, cô cần phải có nhiều phương pháp và nhiều cách hướng dẫn cho học sinh tiếp thu và tiếp cận bài giải. Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp và cách giải qua một bài toán để từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động, tư duy sáng tạo, phát triển bài toán và có thể đề xuất hoặc tự làm các bài toán tương tự đã được nghiên cứu, bồi dưỡng. Đào sâu suy nghĩ một bài toán là một chủ đề không có gì mới lạ. Thậm chí nó còn cổ điển như chính lịch sử toán học vậy. Dạy cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, đảm bảo trình độ thi đỗ đại học đã là khó và rất cần thiết nhưng chưa đủ. Là thầy giáo dạy toán ở trường THPT ai cũng mong muốn mình có được nhiều học sinh yêu quý, có nhiều học sinh đỗ đạt, có nhiều học sinh giỏi. Song để thực hiện được điều đó người thầy cần có sự say mê chuyên môn, đặt ra cho mình nhiều nhiệm vụ, truyền sự say mê đó cho học trò. “Khai thác sâu một bài toán” cũng là một phần việc giúp người thầy thành công trong sự nghiệp của mình. Với chút hiểu biết nhỏ bé của mình cùng niềm say mê toán học tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Khai thác sâu một bài toán thi đại học” mong muốn được chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán và dạy toán với bạn bè trong tỉnh. Hy vọng đề tài giúp ích một phần nhỏ bé cho quý thầy cô trong công tác . /7(9 -Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn, rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo của học sinh, phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán. - Thông qua đề tài này, là tài liệu tham thảo có ích cho giáo viên và học sinh, đặc biệt là đối với học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, thi đại học, cao đẳng. 3 27:;9 - Nghiên cứu phương pháp giải các bài toán thi Đại học theo nhiều cách 3Đề tài hướng tới các đối tượng học sinh lớp chọn, chuyên Toán, học sinh giỏi và học sinh ôn thi Đại học, nhất là học sinh khối 12 . 479 - Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu là phương pháp thống kê, lựa chọn những bài toán hay, độc đáo, có cùng phương pháp giảisau đó phân tích, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa để làm nổi bật phương pháp ứng rút ra kết luận. <79 - Đề tài này tác giả nghiên cứu và hoàn thiện trong 2 năm 2012 - 2014 4 6/7" #=>?@AB17Trong đề thi Đại học khối B năm 2007 có bài toán sau. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng: d: x + y – 2 = 0; d’: x + y – 8 = 0; và điểm A(2;2). Tìm trên đường thẳng d diểm B và trên đường thẳng d’ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Đứng trước bài toán trên học sinh thường đưa ra lời giải như sau. &% Cách 1: Gọi B( b; 2 – b ); C( c; 8 – c ) lần lượt là các điểm thuộc d và d’. Để tam giác ABC vuông cân tại A ta có hệ: . 0 AB AC AB AC =    =   uuur uuur Ta có: ( 2; )AB b b= − − uuur , ( 2;6 )AC c c= − − uuur Hệ trở thành: 2 2 2 2 ( 2) ( 2) (6 ) ( 2)( 2) (6 ) 0 b b c c b c b c  − + = − + −  − − − − =  ,CBDE?%&=+?,F@Cách 1GHIJ,KJ,*B?L@BGM>N.G>O>,N7 Với tinh thần bền bỉ và sáng tạo tôi động viên học trò và hướng dẫn các em hai hướng giải như sau: PQBG1%H?RBI,STPUMV,NTWBG.XITYZ>[?.A.,G>O>7 Ta biến đổi hệ thành: 2 2 2 2 2 2 8 20 ( 1) ( 4) 3 4 2 0 4 2 0 b b c c b c bc b c bc b c   − + = − + − − − = ⇔   − − + = − − + =   A C B 5 Đặt 1 1 4 4 b x b x c y c y − = = +   ⇒   − = = +   thay vào hệ ta được: 2 2 3 2 x y xy  − =  =  Đến đây ta được hệ đẳng cấp bậc 2 đã biết cách giải. PQBG/%\]SBG^_I,`.7 Ta biến đổi hệ thành: 2 2 2 2 2 8 18 0 ( 2 8 18) (2 8 2 4) 0 2 8 2 4 0 b c b c b c b c bc b c i bc b c  − − + − = ⇔ − − + − + − − + =  − − + =  2 2 2 ( 2 ) 2( ) 8( ) 18 4 0 ( ) 2(1 4 )( ) 18 4 0 b bci c b ci bi c i b ci i b ci i ⇔ + − − + − − − + = ⇔ + − + + − + = Đến đây ta được phương trình bậc 2 trong tập số phức các em dễ dàng tìm được nghiệm là: 3 5 1 3 b ci i b ci i + = +   + = − +  và có điểm B(3;1), C(5;3) hoặc B(-1;3), C(3;5) Không dừng lại ở Cách 1. Tôi hướng dẫn HS làm cách khác Cách 2. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên d và d’ta dễ dàng chứng minh được hai tam giác AHB và tam giác CKA bằng nhau khi tam giác ABC vuông cân tại A . Ta có hệ: AK CH BK AH =   =  Để tìm H và K ta lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với d (cần chú ý rằng d và d’ song song). Đường thẳng đó cắt d và d’ tại K và H. Ta có: K(1;1), H(4;4), B(b; 2 – b ), C(c; 8 – c ) 2 2 2 2 2 2 8, 2( 4) , 2, 2( 1)AH CH c AK BK b= = − = = − Hệ trở thành: 2 2 ( 4) 1 ( 1) 4 c b  − =   − =   Giải hệ rất dễ dàng tuy nhiên ta phải thử lại, loại nghiệm và kết luận. 6 Tam giác ABC vuông cân tại A khiến cho chúng ta nghĩ đến phép quay tâm A góc quay 0 90± . Do đó tôi hướng dẫn học sinh làm Cách 3. Cách 3. Giả sử ta có tam giác ABC vuông cân tại A thỏa mãn đề bài, Vậy điểm B là ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc quay 0 90± . Ta dựng d’’ là ảnh của d’ qua phép quay tâm A góc quay 0 90± Giao điểm của d và d’’ chính là điểm B. Có điểm B ta dễ dàng tìm được điểm C Cụ thể: Tính khoảng cách từ A đến d: ( ; ) 2 2d A d = Đường tròn tâm A bán kính 2 2R = có phương trình là. 2 2 ( 2) ( 2) 8x y− + − = Đường thẳng d’’ là tiếp tuyến của đường tròn và vuông góc với d’ Ta có d’’ có dạng: x –y + c = 0 Do d’’ là tiếp tuyến của đường tròn: 2 2 ( ; '') 2 2 4 2 c d A d R c − + = ⇔ = ⇔ = ± LPaBG,bI17 d’’ có phương trình: x – y + 4 = 0 ta có điểm B( -1;3) là giao điểm của d và d’’ Gọi C(c, 8 – c ) Ta có ( 2,6 ), (3; 1)AC c c AB= − − = − uuur uuur Mà tam giác ABC vuông tại A nên 0 3( 2) 1(6 ) 0 3AB AC c c c= ⇔ − − − = ⇔ = uuuruuur Vậy điểm C(3;5) LPaBG,bI/7 d’’ có phương trình: x – y - 4 = 0 ta có điểm B( 3;-1) là giao điểm của d và d’’ Gọi C(c, 8 – c ) Ta có ( 2,6 ), (1; 3)AC c c AB= − − = − uuur ur A C B K H 7 Mà tam giác ABC vuông tại A nên 0 1( 2) 3(6 ) 0 5AB AC c c c= ⇔ − − − = ⇔ = uuuruuur Vậy điểm C(5;3) Không thỏa mãn với 3 cách trên tôi tiếp tục tìm tòi và tìm ra Cách 4. Cách 4. Đây là một cách giải mà tôi khá tâm đắc, với cách giải này khiến tôi mở rông bài toán trên thành nhiều bài toán thú vị, nhiều bài không làm theo cách này gần như bế tắc. Qua A kẻ đường thẳng y = 2 song song trục hoành. B C A d d ’ d’’ A C B HK d d’ y=2 8 Giả sử có tam giác ABC vuông cân tại A thỏa mãn đề bài. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C trên đường thẳng y = 2. Dễ dàng chứng minh được tam giác AHB và tam giác BKA bằng nhau. Ta có hệ: AK BH CK AH =   =  Mà A(2;2), B(b; 2 – b ), C(c; 8 – c ), H(b; 2), K(c; 2) Nên 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) , , ( 6) , ( 2)AK c BH b CK c AH b= − = = − = − Hệ trở thành: 2 2 2 2 ( 2) ( 6) ( 2) c b c b  − =   − = −   Giải hệ rất dễ dàng tuy nhiên ta phải thử lại, loại nghiệm và kết luận. Tiếp tục đào sâu suy nghĩ tôi nhận thấy giả thiết 2 đường thẳng d và d’ song song với nhau rất đặc biệt, gợi ý cho tôi ra được các bài toán tương tự một cách dễ dàng và thành công ngay trong tất cả các lời giải của 4 cách làm trên. Nhưng nếu thay đổi giả thiết cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau (không vuông góc) thì Cách 1 mà đa số học sinh suy nghĩ và làm theo thì gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải hệ phương trình. Và tất nhiên khi đó không thể có cách làm số 2. Cách 3 và Cách 4 thì vẫn còn nguyên giá trị. Sau dây tôi đưa ra bài toán số 2 #=>?@AB/7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x – y = 0 Và diểm A(2; 1). Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên trục hoành điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Khi đưa bài tập này cho học sinh đa số các em suy nghĩ và làm theo Cách 1 Và tôi cũng mất rất nhiều thời gian vào phương án này vì thách thức đặt ra là giải hệ phương trình. Tất nhiên sử dụng phương pháp thế đưa về phương trình bậc 4 có hai nghiệm hữu tỷ cũng đi tới kết quả. Với phép quay thì bài toán được giải quyết một cách nhanh chóng. 9 Giả sử ta có tam giác ABC vuông cân taị A thỏa mãn đề bài, Vậy điểm B là ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc quay 0 90± . Ta dựng d’ là ảnh của Ox qua phép quay tâm A góc quay 0 90± Giao điểm của d và d’ chính là điểm B. Có điểm B ta dễ dàng tìm được điểm C Cụ thể. Xét đường tròn tâm A(2; 1) bán kính R = 1 tiếp xúc với trục Ox Đường thẳng d’ tiếp xúc với đường tròn và vuông góc với trục Ox có phương trình là: x = 3 hoặc x = 1. LPaBG,bI17 d’có phương trình: x = 3 ta có điểm B( 3;3) là giao điểm của d và d’ Gọi C(c; 0 ) thuộc trục Ox . Ta có ( 2, 1), (1;2)AC c AB= − − = uuur uuur Mà tam giác ABC vuông tại A nên 0 1( 2) 2 0 4AB AC c c= ⇔ − − = ⇔ = uuuruuur Vậy điểm C(4; 0) LPaBG,bI/7 d’có phương trình: x = 1 ta có điểm B( 1;1) là giao điểm của d và d’ Gọi C(c; 0 ) thuộc trục Ox . Ta có ( 2, 1), ( 1;0)AC c AB= − − = − uuur uuur Mà tam giác ABC vuông tại A nên 0 1( 2) 0 2AB AC c c= ⇔ − − = ⇔ = uuuruuur Vậy điểm C(2; 0) C B A O d d’ 10 [...]... cho ta sáng tạo một dạng bài tập khác Từ một bài toán thi đại học tôi đã đào sâu suy nghĩ đưa ra được nhiều cách giải và mở rộng thành nhiều bài toán khác độ khó tăng lên rõ rệt Với phương pháp tư duy trên phần nào giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập, tạo động lực học tập một cách chủ động, tích cực của học sinh Đó chính là cái hay, cái đẹp của toán học, khiến người ta say mê toán học 24 TÀI LIỆU... khi chấm sáng kiến những SKKN nào được giải A, B, gửi về cho các trường tham khảo, học hỏi kinh nghiệm Tổ chức cho tác giả SKKN loại A báo cáo SKKN của mình để các tổ chuyên môn của các trường đi dự và học tập 23 KẾT LUẬN Nếu học sinh được biết một phương pháp mới có hiệu quả thì các em sẽ tự tin hơn trong giải quyết các bài toán dạng này và dạng tương tự Tuy nhiên mỗi bài toán có nhiều cách giải ,... gần gũi tôi lại khai thác bài toán trên đối với một đường thẳng và một parabol Bài Toán 5 Cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và Parabol (P): y = x 2 , điểm A(3;2) Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên parabol (P) điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A Bài toán tưởng đơn giản nhưng bắt tay vào làm mới thấy nhiều khó khăn  AB = AC  và bế tắc không giải nổi  AB AC = 0  ur ur Đa số học sinh đưa về... XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập- Tự do- Hạnh phúc BẢN CAM KẾT I TÁC GIẢ Họ và tên: Lý Chí Hướng 26 Ngày sinh: 26/08/1979 Giáo viên môn: TOÁN Đơn vị công tác: Trường THPT Dương Quảng Hàm II TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên SKKN: KHAI THÁC SÂU MỘT BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC III NỘI DUNG CAM KẾT Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là của bản thân tôi viết, không sao chép nội dung của người khác Sáng kiến... • Phát huy được năng lực tư duy toán học của học sinh Qua thực tế giảng dạy các lớp chuyên đề 12A1, 12A3, 12A5 Các em rất hào hứng và sôi nổi trong việc đề xuất cách mới và bài toán mới Cụ thể kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh năm học 2012-2013 trước và sau khi áp dụng sáng kiến như sau: Tổng số học sinh Trước khi áp dụng SKKN Yếu 120 Số lượng % TB Sau khi áp dụng SKKN Khá Giỏi Yêú TB Khá Giỏi 50... Quay lại bài toán 1 ta nhận thấy giả thi t tam giác ABC vuông cân tại A rất đặc biệt Bây giờ tôi muốn tam giác ABC là tam giác đều liệu kết quả ra sao ta có bài toán 3 11 Bài toán 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng: d: x + y – 2 = 0; d’: x + y – 8 = 0; và điểm A(2;2) Tìm trên đường thẳng d diểm B và trên đường thẳng d’ điểm C sao cho tam giác ABC đều Đứng trước bài toán trên học sinh... chức cho học sinh tiếp nhận bài học một cách chủ động, tích cực, tất cả các em đều hứng thú học tập thực sự và hăng hái làm bài tập giao về nhà tương tự Phương pháp dạy học trên đây dựa vào các nguyên tắc: • Đảm bảo tính khoa học chính xác • Đảm bảo tính lôgic • Đảm bảo tính sư phạm • Đảm bảo tính hiệu quả Khi trình bày tôi đã chú ý đến phương diện sau: • Phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh... giác ABC đều thỏa mãn điều kiện bài toán Khi đó B là ảnh của C qua phép quay tâm A góc quay ±600 Dựng d’’ là ảnh của d’ qua phép quay tâm A góc quay ±600 B là giao điểm của d và d’’ Có A, B dễ dàng tìm được C để tam giác ABC đều Khai thác hai đường thẳng chưa làm tôi thỏa mãn, vì vậy thúc đẩy tôi bẻ cong hai đường thẳng song song thành hai nhánh của đồ thị hàm số Bài toán 4 Cho điểm A(2;1), tìm trên... sinh Đó chính là cái hay, cái đẹp của toán học, khiến người ta say mê toán học 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tác giả chỉ tham khảo một câu trong Đề thi tuyển sinh vào Đại Học khối B năm 2007 Còn lại toàn bộ sáng kiến là kinh nghiệm của tác giả tích lũy trong nhiều năm Không có trong bất cứ một tài liệu nào 25 MỤC LỤC 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .3 2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .3 3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU ... luận 16 Thay đổi Parabol bằng mooth Hypebol ta được bài toán Bài Toán 6 Cho đồ thị hàm số (H) y = x +1 và đường thẳng d : x + 2y – 5 = 0, điểm A(2;2) x −1 Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đồ thị hàm số (H) điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A Qua A kẻ đường thẳng y = 2 song song trục hoành Giả sử có tam giác ABC vuông cân tại A thỏa mãn đề bài Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của . kinh nghiệm: Khai thác sâu một bài toán thi đại học mong muốn được chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán và dạy toán với bạn bè trong tỉnh. Hy vọng đề tài giúp ích một phần nhỏ bé. Tỉnh, thi đại học, cao đẳng. 3 27:;9 - Nghiên cứu phương pháp giải các bài toán thi Đại học theo nhiều cách 3Đề tài hướng tới các đối tượng học sinh lớp chọn, chuyên Toán, học sinh. mê đó cho học trò. Khai thác sâu một bài toán cũng là một phần việc giúp người thầy thành công trong sự nghiệp của mình. Với chút hiểu biết nhỏ bé của mình cùng niềm say mê toán học tôi viết