Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác từ một bài toán cơ bản

Đề tài : KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢNA-ĐẶT VẤN ĐỀ: Chúng ta biết rằng : Khi dạy ôn luyện cho học sinh nếu chúng ta đột nhiên đưa cho học sinh một bài toán chưa quen dạng hay một bài

Đề tài : KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN

A-ĐẶT VẤN ĐỀ:

Chúng ta biết rằng : Khi dạy ôn luyện cho học sinh nếu chúng ta đột nhiên đưa cho học sinh một bài toán chưa quen dạng hay một bài toán khó,chưa có

cơ sở để giải thì chắc chắn các em rất bỡ ngỡ ,bị sốc , bị nghẹn -khó lòng tìm

ra lời giải.Nếu giáo viên có hướng dẫn hay chữa thì mức độ lĩnh hội tiếp thu của các em cũng rất hữu hạn.Do đó khi dạy ôn luyện các môn các bộ môn nói chung ,đặc biệt đối với bộ môn Toán nói riêng chúng ta nên dạy bắt đầu từ một bài toán cơ bản ,đơn giản rồi sau đó khai thác các góc cạnh của bài toán

để mở rộng ,nâng cao - Điều này sẽ phù hợp với quá trình nhận thức của học sinh từ thấp đến cao,từ đơn giản đến phức tạp , giúp các em tự mình khám phá

ra kiến thức ,cách giải một cách chủ động không bị gò ép bắt buộc-để từ đó các em hiểu hơn,nắm chắc hơn,nhớ lâu hơn,hơn thế nữa nó còn gây hứng thú học tập cho các em học sinh Chính vì lẽ đó tôi chọn đề tài :

"Khai thác từ một bài toán cơ bản " để nghiên cứu

I- CỞ SỞ LÝ LUẬN :

Như chúng ta đã biết khoa học ngày càng phát triển ,đòi hỏi mỗi giáo viên phải nỗ lực hết mình đem hết khả năng và trau dồi kiến thức ,chuyên môn của mình để đáp ứng với yêu cầu nhiệm vụ phát triển của xã hội nói chung và của ngành giáo dục nói riêng Đối với học sinh cũng vậy nhu cầu học ngày càng một sâu rộng hơn Do đó đòi hỏi kiến thức chương trình ,phương pháp dạy học phải thay đổi để phù hợp với thời đại

II- CỞ SỞ THỰC TIỄN:

-Đào Minh – Đô lương - Nghệ

E

D H A

C B

2

Khi gặp các bài toán khó các em học sinh rất bỡ ngỡ thấy xa lạ,chưa quen dạng nên khả năng suy nghĩ sáng tạo để tìm ra lời giải là rất khó Vì vậy cần phải đưa ra một số bài toán quen thuộc ,trên cơ sở giải các bài toán quen thuộc chúng ta có thể khai thác để giải các bài toán khó hơn Từ đó mà chúng ta có thể nâng dần chất lượng học sinh lên , khơi dậy niềm đam mê học tập môn Toán, phát triển được tư duy sáng tạo cho học sinh

Tuy nhiên tùy mức độ nhận thức tiếp thu của đối tượng học sinh mà chúng

ta dạy nâng lên đến mức độ nào cho phù hợp

Ở trong đề tài này tôi xin được trình bày một chùm bài toán xoay quanh khai thác từ một bài toán cơ bản của hình học 9

B-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

Chúng ta bắt đầu bằng bài toán cơ bản sau:

Bài toán 1 ( Bài toán cơ bản)

Cho tam giác nhọn ABC,có ba đường cao AD; BE; CFcắt nhau tại H

Chứng minh: Các tứ giác ABDE , BDHF nội tiếp

Chứng minh:

*HS dễ dàng chứng minh được :

·ADB = ·AEB = 900

⇒Tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn đường kính AB

*HS dễ dàng chứng minh được :

E

D H A

C B

2

·BDH + ·BFH = 900 + 900 = 1800

⇒Tứ giác BDHF nội tiếp đường tròn đường kính BH

Lưu ý:Tương tự như vậy HS dễ dàng chứng minh được các tứ giác AFDC, BCEF, AEHF,CDHE nội tiếp

Phân tích : Từ việc chứng minh được các tứ giác ABDE , BDHF nội tiếp

Từ đó với dự kiện như ở bài toán 1 ,ta có bài toán sau:

Bài toán 1.1

Cho tam giác nhọn ABC,có ba đường cao AD; BE; CFcắt nhau tại H

Chứng minh: DH là phân giác của E· DF

Chứng minh:

Ta có ABDE, BDHF là các tứ giác nội tiếp theo bài toán 1

B = D và µ ¶

B =D

(các góc nội tiếp cùng chắn một cung trong một đường tròn)

-Đào Minh – Đô lương - Nghệ

E

D H A

C B

2

D =D .Hay DH là phân giác của E· DF

Phân tích:Từ việc chứng minh được DH là phân giác của E· DFtheo bài

toán 1.1 Chứng minh tương tự ta có EH; FH lần lượt là các phân giác của

· EF

Từ đó với dự kiện như ở bài toán 1.1 ,ta có bài toán sau:

Bài toán 1.2

Cho tam giác nhọn ABC,có ba đường cao AD; BE; CFcắt nhau tại H

Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Gợi ý:

- Thế nào là đường tròn nội tiếp tam giác ?

- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác được xác định như thế nào?

(Nếu học sinh không trả lời được thì gợi ý hỏi sát hơn :Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm 3 đường gì của tam giác?)

- Để chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ta phải chứng minh điều gì? (Chứng minh: H là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác DEF )

Chứng minh:

Chứng minh tương tự như bài toán 1.1, ta có DH, EH; FH lần lượt là các phân giác của · DFE , · EFD và ·EFD ⇒ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Phân tích: Như vậy qua bài toán này học sinh thấy được tính chất đặc biệt

của điểm H, nó vừa là trực tâm tam giác ABC vừa là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF, với D, E ,F là chân đường cao của tam giác ABC Từ đó ta có bài toán dựng hình như sau:

Bài toán 1.3:

Dựng tam giác ABC biết E, F, D là chân 3 đường cao của tam giác đó

Hướng dẫn:

Phân tích: - Giả sử đã dựng được tam giác ABC có H là trực tâm, theo bài toán 1.2 ta suy ra điều gì?

(H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF )

- Từ đó để dựng tam giác ABC ta sẽ dựng như thế nào?

(Dựng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF trước)

Cách dựng:

- Dựng tam giác DEF

- Dựng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

- Dựng các đường thẳng vuông góc với HE , HF, HD theo thứ tự tại các điểm

E, F, D các đường thẳng này cắt nhau tạo thành tam giác ABC

Bây giờ ta quay trở lại bài toán 1,ta có thể khai thác bài toán 1 theo hướng khác như sau:

-Đào Minh – Đô lương - Nghệ

2

H

2

1

1

O

C D

H F

E

B

A

Phân tích:

Theo bài toán 1 ta đã chứng minh được : Tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp nên

·FAE FHE+ · = 180 0

Mà ·FHE=BHC· (đối đỉnh)

⇒ ·FAE+ · CBH = 180 0 (1)

Từ đó ta nghĩ là nếu lấy điểm H1 đối xứng với H qua BC

⇒ BHC· =·BH C1 (do H và H1 đối xứng nhau qua BC ) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ·FAE BH C+· 1 = 180 0⇒ Tứ giác ABH1C nội tiếp

Hay H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Như vậy từ đây ta lại khai thác ra được bài toán mới như sau:

Bài toán 2.1:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O); H là trực tâm của tam giác Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các giao điểm của các tia AH, BH, CH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Chứng minh: H1, H2, H3 lần lượt đối xứng với H qua BC, AC, AB

Gợi ý:

- Để chứng minh H1, H2, H3 lần lượt đối xứng với H qua BC,

AC, AB ta cần chứng minh điều gì?

(Chứng minh BC, AC, AB lần lượt là các trung trực

của HH1, HH2, HH3)

- Chẳng hạn chứng minh BC là trung trực của HH1:

Ta sẽ chứng minh CD vừa là đường cao ,vừa là phân giác của ∆CHH1 như sau:

Chứng minh:

Ta có: Cµ1 =µA1 (vì tứ giác CDFA là tứ giác nội tiếp)

¶ µ

C =A (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BH1) ⇒ Cµ1 =C¶ 2 hay CD là phân giác của ·HCH1

Trong tam giác CHH1 : CD vừa là phân giác,vừa là đường cao⇒ ∆CHH1 cân

⇒ CD là trung trực của HH1

Vậy H và H1 đối xứng nhau qua CD hay BC

Chứng minh H2, H3 đối xứng với H qua AC, AB tương tự

Từ bài toán 2.1 ta có bài toán đảo của nó như sau :

Bài toán 2.2:

-Đào Minh – Đô lương - Nghệ

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O); H là trực tâm của tam giác Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các điểm đối xứng với H qua BC, AC, AB Chứng ninh: H1, H2, H3 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Chứng minh:

Do tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp nên FAE FHE· + · = 1800 (1)

Ta có:FHE· = ·BHC (đối đỉnh); ·BHC= ·BH C1 (do H và H1 đối xứng nhau qua BC ) ⇒ EHF BH C· =· 1 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ·FAE BH C+· 1 = 1800 ⇒ Tứ giác ABH1C nội tiếp

Hay H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Chứng minh tương tự thì H2, H3 cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ngoài cách chứng minh trên ta có thể chứng minh bài toán theo cách khác

không ?

H3

2

1

H

H

2

1

1

O

C D

H F

E

B

A

E

F H

H1 B

A

C

Cũng có thể chứng minh theo cách khác:

Cách 2

Do H và H1 đối xứng với nhau qua BC

nên tam giác CHH1 cân ⇒ Cµ1 = ¶

2

C ;

mà Cµ1 = µA1 vì cùng phụ với ·ABC ⇒ ¶ µ

C = A

⇒Tứ giác ABH1C nội tiếp

Hay H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Chứng minh tương tự thì H2, H3 cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Phân tích :

Từ bài toán 2.2 ta đã chứng minh được : Tứ giác ABH1C nội tiếp Hay H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.nên trong tam giác ABC nếu cho

BC cố định,khi điểm A di động trên cung lớn BC thì điểm H1 di động trên cung nhỏ BC mà H1 và H đối xứng nhau qua BC,nên từ đó ta có bài toán cho quỹ tích trực tâm H như sau:

Bài toán 2.3:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) ,có ba đường cao AD; BE; CFcắt nhau tại H ; cho B ,C cố định.Tìm quỹ tích trực tâm H khi điểm A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O)

Hướng dẫn :

*Tìm quỹ tích điểm H:

- Từ bài toán 2.2:Với H1 đối xứng với H qua BC

-Đào Minh – Đô lương - Nghệ

Ta đã chứng minh được :

H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC O

- Khi A chuyển động trên cung lớn BC thì

H1 sẽ chuyển động trên đường nào?

(H1 chuyển động trên cung nhỏ BC)

- Mà H đối xứng với H1 qua BC

Vậy H sẽ chuyển động trên đường nào?

Giải

Gọi H1 đối xứng với H qua BC

Do tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp nên ·FAE FHE+ · = 1800 (1)

Ta có: ·FHE=BHC· (đối đỉnh)

và ·BHC= ·BH C1 (do H và H1 đối xứng nhau qua BC )

⇒ EHF BH C· =· 1 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ·FAE BH C+· 1 = 1800 ⇒ Tứ giác ABH1C nội tiếp đường tròn (O)

Hay H1 thuộc đường tròn (O)

⇒ Khi điểm A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O) thì điểm H1 di

động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O), mà H và H1 đối xứng nhau qua BC

⇒ Khi điểm A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O) thì trực tâm H di

động trên cung đối xứng với cung nhỏ BC của đường tròn (O) qua BC

(Cung chứa góc 1800- Â dựng trên đoạn thẳng BC, cùng phía với A đối với BC)

E

F H

H1 B

A

C

Phân tích: Từ bài toán 2.3 ta đã chứng minh được : Khi điểm A di động trên

cung lớn BC của đường tròn (O) thì điểm H1 di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O)

Mặt khác ta lại có SBHC = SBH C ( vì H và H1 đối xứng nhau qua BC)

mà BC không đổi

⇒ SBH C lớn nhất ⇔ DH1 lớn nhất

Từ đó ta có bài toán sau:

Bài toán 2.4:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) ,có ba đường cao AD; BE; CFcắt nhau tại H, BC cố định.Tìm vi trí điểm A trên cung lớn BC của đường tròn (O) để diện tích tam giác BHC lớn nhất

O

-Đào Minh – Đô lương - Nghệ

Giải :

Gọi H1 đối xứng với H qua BC

Theo bài toán 2.3 ta đã chứng minh được : Khi điểm A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O) thì điểm H1 di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O)

Ta có : SABC =

2

1

BC.DH , SABC =

2

1

BC.DH1

mà DH = DH1 (vì H1 đối xứng với H qua BC )

⇒ SBHC = SBH1C

⇒ SBHC lớn nhất ⇔ SBH1C lớn nhất

mà BC không đổi ⇒ SBH1C lớn nhất ⇔ DH1 lớn nhất

⇔H1 là điểm chính giữa của cung nhỏ BC

⇔ A là điểm chính giữa của cung lớn BC

Sau khi học sinh được học bài toán cơ bản rồi khai thác mở rộng nâng cao

giải được các bài toán khó hơn thì bây giờ ta ra cho học sinh một số bài toán tổng hợp để các em học sinh định hướng nghĩ ra cách giải dựa trên các bài toán đã khai thác giải ở trên.

Một số bài toán tổng hợp vận dụng

Bài 1:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O); ba đường cao của tam

giác là AD; BE; CFcắt nhau tại H Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các giao điểm của các tia AH, BH, CH với đường tròn tâm O

a) Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC, CHA có

2 3

2

1

H

H

H

O F

E

D H A

C B

1

bán kính bằng nhau

b) Chứng minh ED // H1H2; EF // H2H3; FD // H1H3

c) Chứng minh OA ⊥ EF; OB ⊥ FD; OC⊥ ED

d) Cho B, C cố định ; A chuyển động trên cung lớn BC

- Tìm quỹ tích trực tâm H?

- Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác BHC đạt giá trị lớn nhất

- Tìm vị trí điểm A để chu tam giác DEF lớn nhất

Hướng dẫn:

a) Phân tích : - Theo bài toán 2.1 ta đã chứng minh được H1, H2, H3, lần lượt đối xứng với H qua BC, AC, AB nên các tam giác AHB, BHC, CHA sẽ lần lượt

bằng các tam giác nào?

- Các tam giác AH3B, BH1C, CH2A có đặc điểm gì?

(đều là các tam giác nội tiếp đường tròn tâm O)

- Từ đó ta có thể chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC, CHA có bán kính bằng nhau như thế nào?

Chứng minh:

a ) Theo bài toán 2.1 ta chứng minh được H và H1

đối xứng với nhau qua BC

⇒ ∆BHC = ∆BH1C

⇒Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆BHC

bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆BH1C

Mà ∆BH1C nội tiếp đường tròn tâm O

-Đào Minh – Đô lương - Nghệ

E x

O

A

F

⇒ Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆BHC

bằng bán kính đường tròn tâm O

Chứng minh tương tự ⇒ các bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆AHC, ∆AHB,

∆BHC đều bằng nhau và bằng bán kính đường tròn tâm O

b) Do H1, H2 lần lượt đối xứng với H qua BC, AC (theo bài toán 2.1)

⇒ DH = DH1 , EH = EH2

⇒DE là đường trung bình của ∆HH1H2 ⇒ DE // H1H2

Ta có thể chứng minh câu b) theo cách khác không ?

Cách 2: Ta có : µE1 = µA1 (do tứ giác AEDB nội tiếp ,theo bài toán 1cơ bản)

µ ¶

A =H (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BH1 ) ⇒ µE1 =H¶ 2 ⇒ ED // H1H2 (Vì hai góc đồng vị bằng nhau) Chứng minh tương tự ⇒ EF // H2H3; FD // H1H3

c) Ta có: Cµ1 =C¶ 2(chứng minh ở bài toán 2.1)

⇒ BH¼ 3 =BH¼ 1 ⇒ BH3= BH1

Mặt khác : OH3= OH1 (bán kính đường tròn tâm O)

⇒ OB là trung trực của H1H3 ⇒ OB ⊥ H1H3

Chứng minh tương tự ⇒ AO⊥ EF; CO⊥ ED

Câu c ) còn có cách chứng minh nào khác không ?

Lưu ý: Ở câu c ta đã sử dụng kết quả của câu b để chứng minh Ta cũng có thể chứng minh theo cách khác như sau:

-Đào Minh – Đô lương - Nghệ

Cách 2 : Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn(O)

Ta có B· Ax=AFE· ( cùng bằng·ACB)

⇒Ax // EF; mà Ax ⊥AO ⇒ EF ⊥AO

Chứng minh tương tự ⇒ BO⊥ FD; CO⊥ ED

Cách 3 : Kẻ đường kính AK của đường tròn(O)

Ta có: AFE· = ·AKB (cùng bằng·ACB)

Mà ·AKB BAK+ · = 900 ⇒AFE BAK· + · =900

⇒ AK ⊥EF Hay AO ⊥ EF

Chứng minh tương tự ⇒ BO⊥ FD; CO⊥ ED.

d) Hướng dẫn :

*Tìm quỹ tích điểm H: (Giải như bài toán 2.3)

* Xác định vị trí điểm H để diện tích tam giác BHC đạt giá trị lớn nhất:

(Giải như bài toán 2.4)

* Tìm vị trí của điểm A trên cung lớn BC để chu vi tam giác DEF lớn nhất

Do AO⊥ EF, CO ⊥ED, BO⊥ FD (theo câu c )

nên SAEOF =

2

1

AO.EF ; SBFOD =

2

1

BO.FD ; SCDOE =

2

1

CO.DE

Vì trường hợp này O ở trong tam giác ABC nên

SAEOF + SBFOD + SCDOE = SABC

⇒SABC =

2

1

( AO.EF + BO.FD + CO.DE )

=

2

1

AO(EF + FD + DE) (vì AO = BO = CO = R(O))

-Đào Minh – Đô lương - Nghệ

E

D

A

H

O

J

I

Gọi R là bán kính đường tròn tâm O; P là chu vi tam giác DEF

⇒SABC =

2

1

R.P ⇒ P =

R

S ABC

2

Vậy P lớn nhất ⇔ SABC lớnnhất (vì R không đổi)

Mà SABC =

2

1

BC.AD Vì BC không đổi, nên SABC lớn nhất ⇔AD lớn nhất

⇔A là điểm chính giữa của cung lớn BC.

Bài 2:

Cho tam giác nhọn ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H

a) Chứng minh : Tứ giác BDEC nội tiếp

b) Chứng minh : AD.AB = AE AC

c) Chứng tỏ KA là phân giác của góc DKE

d) Gọi I; J lần lượt là các trung điểm của BC và DE Chứng minh: OA // IJ

Hướng dẫn:

a) Tứ giác BDEC nội tiếp ( bài toán1 cơ bản).

b) Từ giác BDEC nội tiếp ⇒ ∆ADE ∆ACB (g.g)⇒ đpcm

c) KA là phân giác của góc DKE

(Giải như bài toán 1.1)

d) Do tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn

tâm I, đường kính BC; J là trung điểm của

dây cung DE ⇒ IJ ⊥DE

Mà AO ⊥DE (theo câu c bài 1) ⇒ IJ // AO