SKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại học

SKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại họcSKKN Khai thác sâu một bài toán thi đại học

PHẦN PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Qua q trình cơng tác giảng dạy trường THPT tơi nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải tốn thân thầy, cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách hướng dẫn cho học sinh tiếp thu tiếp cận giải Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu tìm nhiều phương pháp cách giải qua tốn để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động, tư sáng tạo, phát triển tốn đề xuất tự làm toán tương tự nghiên cứu, bồi dưỡng Đào sâu suy nghĩ tốn chủ đề khơng có lạ Thậm chí cổ điển lịch sử toán học Dạy cho học sinh nắm vững kiến thức bản, đảm bảo trình độ thi đỗ đại học khó cần thiết chưa đủ Là thầy giáo dạy toán trường THPT mong muốn có nhiều học sinh u quý, có nhiều học sinh đỗ đạt, có nhiều học sinh giỏi Song để thực điều người thầy cần có say mê chun mơn, đặt cho nhiều nhiệm vụ, truyền say mê cho học trò “Khai thác sâu tốn” phần việc giúp người thầy thành công nghiệp Với chút hiểu biết nhỏ bé niềm say mê tốn học tơi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Khai thác sâu toán thi đại học” mong muốn chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán dạy toán với bạn bè tỉnh Hy vọng đề tài giúp ích phần nhỏ bé cho q thầy cơng tác MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU -Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn, rút kinh nghiệm trình giảng dạy, phát triển tư linh hoạt, sáng tạo học sinh, phát bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn - Thơng qua đề tài này, tài liệu tham thảo có ích cho giáo viên học sinh, đặc biệt học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, thi đại học, cao đẳng ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu phương pháp giải toán thi Đại học theo nhiều cách - Đề tài hướng tới đối tượng học sinh lớp chọn, chuyên Toán, học sinh giỏi học sinh ôn thi Đại học, học sinh khối 10 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu phương pháp thống kê, lựa chọn tốn hay, độc đáo, có phương pháp giải sau phân tích, so sánh, khái qt hóa, đặc biệt hóa để làm bật phương pháp rút kết luận KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU - Đề tài tác giả nghiên cứu hoàn thiện năm 2014 - 2016 PHẦN NỘI DUNG Bài toán Trong đề thi Đại học khối D năm 2006 có tốn sau Giải phương trình: 2x   x  3x   LG: Cách 1: x� ĐK PT � 2x   2x   x  x  Đặt 2x   t , Phương trình cho trở thành: t  t  x2  x  t  x � � � t  1 x � Trở lại phép đặ ta có � 2x   x � � 2x    x Giải phương trình, so sánh điều kiện ta nghiệm phương trình là: x 1 � � x  2 � Nhận xét: Cách phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn, với cách làm ta khai thác nhiều với cách giải tương tự Cách ĐK x� PT � x  x+  2x   2x   1 � ( x  )2  ( 2x   ) 2 � 2x   x �� � 2x    x Giải phương trình, so sánh điều kiện ta nghiệm phương trình là: x 1 � � x  2 � Nhận xét: Cách phương pháp biến đổi tổng hiệu hai bình phương, với cách làm ta khai thác nhiều với cách giải tương tự Cách Cô lập thức, đặt điều kiện, bình phương hai vế, giải phương trình x 1 � bậc bốn ta tìm nghiệm là: � x  2 � Tuy nhiên Cách khơng thú vị, nên làm phương trình có nghiệm đẹp, có nghiệm đẹp nên suy nghĩ đến phương pháp nhân liên hợp để xuất nhân tử chung Không thỏa mãn với cách tiếp tục suy nghĩ đến phương án đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại II tìm Cách Cách ĐK x� PT � (1  x)2  x   (1  x)  x 1 x  u � � � (1  x)  x  v Đặt � � u  x  v � Theo ta có: �2 v  x  u � Đến ta hệ phương trình đối xứng loại II, giải hệ ta uv � ; trở lại phép đặt, � u  1 v � x 1 � Giải phương trình, ta nghiệm phương trình là: � x  2 � Nhận xét: Trong Cách Tôi chủ động đề cập tới dạng tổng quát  mx  n   b  a a  mx  n   b Đây cách giải mà tâm đắc, với cách giải khiến mở rộng toán thành nhiều toán thú vị, nhiều không làm theo cách gần bế tắc Với xu hướng đề thi phần phương trình, hệ phương trình câu chặn điểm Do dạy học phần phương trình vô tỷ không cung cấp cho học sinh kiến thức bản, kĩ thành thạo phải hướng dẫn học sinh đào sâu suy nghĩ từ tốn quan tâm đến tốn khó Trong khuôn khổ Sáng kiến kinh nghiệm này, tập trung khai thác sâu Cách 4, từ sáng tạo toán thú vị Bài toán Giải phương trình x  11x     x  x  x  Nhận xét: Bài tốn khơng có nghiệm đẹp việc nhân liên hợp hay bình phương hai vế khó khăn; Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn khơng đơn giản, với Cách ta có lời giải sau: Lời giải Điều kiện x �R Phương trình cho tương đương với:   3x    x  x  3    x    x    x    x  x  3 � �2  x  u Đặt � � 4x  6x   v � u2  x2  x    1 x  v � � u  v2    x   v  u  �2 v  1 x u  x  x  � ta thu hệ uv � �  u  v   u  v  x  1  � � u  v  x 1  � Xét hai trường hợp xảy u  v �  3x  x2  x  � x�  14 � �� �x � 5x  x   � u  v  x   � x2  x   x  �  33 �x � �� � x 12 �4 x  x   16 x  24 x  � �3  14  33 � ; � 12 � � � Kết luận tập nghiệm S  � Nhận xét: Mức độ phức tạp tăng thực sự, nguyên dạng tổng quát  mx  n   b  a a  mx  n   b Trong a; b lúc theo thứ tự nhị thức bậc tam thức bậc hai   3x    x  x  3    x    x    3x    x  x  3 Ngoài cách làm trên, đặt ẩn phụ khơng hồn tồn thu kết nhiên vất vả Sau mở rộng tiếp để toán phức tạp 16 x  11x   x  18 x  Bài tốn Giải phương trình x  Lời giải �x �4 Điều kiện � 2 x  x  �0 � Phương trình cho tương đương với 16 x  11x   ( x  4) x  18 x  � (4 x  1)  x  ( x  4) (4 x  1)( x  4)  3x Đặt 4 x   u; x  18 x   v ta thu hệ phương trình � u  3x  ( x  4)v � � u  v  ( x  4)(v  u ) �2 v  3x  ( x  4)u � � uv 4 x   x  18 x  4(1) � �� �� u  v  x   � � � x  18 x   x  3(2) Xét trường hợp � 4 x  �0 � 13  109 �x � � (1) � � �� � x 12 16 x  x   x  18 x  � � 12 x  26 x   � � x  �0 � �x � � (2) � � � � x  18 x   25 x  30 x  � � 21x  12 x  13  � ( Hệ vơ nghiệm) 13  109 Kết luận: Phương trình ban đầu có nghiệm x   12 30 Bài tốn Giải phương trình 2x  7x     x  �� x �1 �� � x� Điều kiện �� � � � x  x �90 � Phương trình cho tương đương với 30  (  x  1)  x2  x    � 9 x  39  ( x  1) x  x  � (  x  5)  ( x  x  14)  ( x  1) ( x  1)( x  5)  x  x  14 Đặt  x   u; x  x   v,(v �0; v �9) ta thu hệ phương trình � u  ( x  x  14)  ( x  1)v uv � � 2 � u  v  (  x  1)( v  u ) � �2 � u  v  x 1 v  ( x  x  14)  ( x  1)u � � Xét trường hợp xảy  x  �0 � � u  v �  x   x  x  � �2 �x  10 x  25  x  x  �3  145 3  145 � �x �5 � �2 � x �� ; � 2 x  x  34  � � � � u  v  x   � 2x2  x   x  x �6 � �x �3 �� � (1) � 2 x  x   (2 x  6) x  17 x  45  � � Vậy phương trình (1) vơ nghiệm   nên trường hợp vô nghiệm Đối chiếu điều kiện đến tập nghiệm �3  145 3  145 � S � ; � 2 � � x2  x  Bài toán Giải phương trình  x2  5x  2 x  Lời giải Điều kiện x � Phương trình cho tương đương với x  x   (2 x  3) x  x  �   x  1  x   (2 x  3) (2 x  3)( x  1)  x  Đặt  x   u; x  x   v,(v  0) ta thu � u  x   (2 x  3)v uv � � 2 � u  v  (  x  3)( v  u ) � �2 � u  v  2x   v  x2   (2 x  3)u � � Xét trường hợp � u  v �  x   x2  5x  �x �1 �x �1 � �2 � � x �� � x  x  x   x  x  � � � u  v  x   � x  x   3x  x �4 � 19  73 �� � x 16 x  19 x   � Kết luận: Phương trình ban đầu có nghiệm x  19  73 16 Nhận xét Đến nhiều bạn thắc mắc: dạng tổng quát:  mx  n   b  a a  mx  n   b “ Làm để tìm a, b, m, n” ? Câu trả lời sau: x  x   (2 x  3) x  x  �   x  n   x  a.x  b  (2 x  3) (2 x  3)( x  n)  ( x  a.x  b) � n  b  3 n 1 � � 3n  b  � � �� a0 Đồng hệ số �  n  a   � � b  4 � � 2n   a  � Bài tốn Giải phương trình   x  x  x Lời giải Điều kiện x �0 Phương trình cho tương đương với x   x x  x  �  x    x  x   x x( x  2)  x  x  Đặt x   u; x  x   v,(v  0) ta thu � u  x  x   xv uv � 2 � u  v  x ( v  u ) � �2 � uv x0 v  x  x   xu � � Xét trường hợp �x �2 � u  v � x   x  x  � �2 �x  x   x  x  �3  21  21 � �x �2 � �2 � x �� ; � � �x  x   � �x �1 � u  v  x  � x  x   2 x  � � 2x  x   x2  8x  � �x �1 �� � x  3 x  x   � �3  21  21 � ; ; 3� Kết luận: Phương trình ban đầu có tập nghiệm x �� � � Nhận xét Đối với tốn ,phía ngồi thức có dạng nhị thức bậc nên tạm thời sử dụng : x   x x  x  �  x  n   ( x  a.x  b)  x x( x  n )  x  a.x  b � n2  b  n2 � � b  � � �� a  1 � n  a 1 Đồng hệ số � � b 1 � � n  a  � � ( x  2)  x  x   x x( x  2)  x  x  Bài tốn Giải phương trình Lời giải x  17 x  27  x  12 x  2 x �x �2 Điều kiện � �x  x  �0 Phương trình cho tương đương với x  17 x  27  ( x  2) x  12 x  �  2 x    3x   ( x  2) ( x  2)(2 x  5)  x  2 Đặt 2 x   u; x  12 x   v,(v  0) ta thu � u  3x   ( x  2)v uv � � � u  v  (  x  2)(v  u ) � � �2 uvx20 v  3x   ( x  2)u � � Xét trường hợp � u  v � 2 x   x  12 x  2 x  �0 � �� x  20 x  25  x  12 x  � x �5 � �� x  x  17  � ( vô nghiệm) � uvx20 x �7 � (vô nghiệm) � x  12 x   3x  � � x  30 x  41  � Kết luận: Phương trình ban đầu vơ nghiệm  2x  Bài tốn Giải phương trình (2 x  1)(4 x  3)  Lời giải �� x� �� �� Điều kiện �� 3 x� �� � (2 x  1)(4 x  3) �36 � Phương trình cho tương đương với  (2 x  1)   (2 x  1)(4 x  3)  � 12 x   (2 x  1) x  x  � x  x   x  x   (2 x  1) x  x   x  x  � (2 x  2)  x  x   (2 x  1) (2 x  1)(2 x  2)  x  x  Đặt x   u; x  x   v,(v �0) ta thu � u  x  x   (2 x  1)v uv � 2 � u  v  (2 x  1)( v  u ) � �2 � u  v  2x   v  x  x   (2 x  1)u � � Xét trường hợp �x �1 �x �1 � u  v � x   8x2  x  � � � � x  8x   8x  x  � 4x  6x   � �3 � 37 � � x �� � � � � x �3 � x � � u  v  x   � x  x   4 x  � � � � x  22 x  12  � x  2 � 10 � 37 � �3  ; 2; Kết luận Phương trình cho có nghiệm x �� � 4 � � Bài toán Giải phương trình Lời giải 18 x  25  x  10 x  2x  x �1 � Điều kiện � x  10 x  �0 � Phương trình cho tương đương với 18 x  25  (2 x  1) x  10 x  �  x    x  x  (2 x  1) (2 x  1)(2 x  5)  x  x Đặt x   u; x  10 x   v,(v �0) ta thu � u  x  x  (2 x  1)v uv � 2 � u  v  (2 x  1)( v  u ) � �2 � u  v  2x   v  x  x  (2 x  1)u � � Xét trường hợp x �5 � � 145 � u  v � x   x  10 x  � � � x x  10 x  30  � �x �1 � u  v  x   � x  10 x   4 x  � � x  22 x  21  � (vô nghiệm) � 145 Kết luận: Phương trình có nghiệm: x  Bài tốn 10 Giải phương trình x  x    4 x  1 x  3x  Lời giải Điều kiện x  3x  �0 Phương trình cho tương đương với  2 x  1  x   4 x  1  4 x  1  2 x  1  x Đặt 2 x   u; x  x   v ta thu hệ phương trình � u  x   4 x  1 v uv � � � u  v   4 x  1  v  u  � � �2 u  v   4x v  x   4 x  1 u � � Xét hai trường hợp xảy 11 2 x  �0 � �u  v � 2 x   x  x  � � x  x   x  3x  � � �x � �1 � �� � x �� ; 2� �4 � 4x2  x   � �x �0 �u  v   x � x  x  x  � � 36 x  x  x  � �x �0 �� (Hệ vô nghiệm) �28 x  3x   Kết luận phương trình cho có hai nghiệm x  ; x  2 Bài toán 11 Giải phương trình x  19 x   x x  x  Lời giải Điều kiện x  x  �0 Phương trình cho tương đương với  x  3  x   x x  x  3  x  Đặt x   u; x  x   v ta thu hệ phương trình � u  x   xv uv � � u  v2  x  v  u  � � �2 u  v  x u  x   xu � � Xét hai trường hợp xảy x  �0 � �u  v � x   x  x  � � x  12 x   x  x  � � �x � �� � x  4  13 2 � x  16 x   � �x �1 11  79 �u  v   x �  x  x   3x  � � �x 7 x  22 x   � Vậy phương trình cho có hai nghiệm Nhận xét Các toán bạn giải phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn nhân liên hợp, khơng đơn giản đòi hỏi phải có nhiều kinh nghiệm kĩ thật tốt giải Sau tiếp tục làm phức tạp hóa tốn lên, khiến cho phương pháp khác phải khó khăn 12 Bài tốn 12 Giải phương trình x  x  10  x3  x  x x  3x  Biến đổi PT dạng: ( x  2)2  x   (2 x  x  3) (2 x  3x  3)( x  2)  (5 x  6) � �x   u � (2 x  x  3)( x  2)  (5 x  6)  v Đặt: � � u  x   (2 x  x  3)v Ta thu hệ: �2 v  x   (2 x  3x  3)u � uv � Giải hệ ta được: � u  v  x  3x   � Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện x  1 � ta tìm nghiệm: � x  1  � x  29 x  26  x3  x  15 x  14 Bài toán 13 Giải phương trình x  x3 Biến đổi PT dạng: (3x  5)   x  ( x  x  3) ( x  x  3)(3x  5)  (1  x) 3x   u � � Đặt: � � ( x  x  3)(3 x  5)  (1  x)  v � u   x  ( x  x  3)v � Ta thu hệ: �2 v   x  ( x  x  3)u � uv � Giải hệ ta được: � u  v  x2  x   � Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện x  1 � � ta tìm nghiệm: � � 37 x � Bài toán 14 Giải phương trình x2  x   x3  x  x  16 x2  x  Biến đổi PT dạng: ( x  4)2  x  12  (2 x  x  1) (2 x2  x  1)( x  4)  (7 x  12) � �x   u Đặt: � � (2 x  x  1)( x  4)  (7 x  12)  v � u  x  12  (2 x  x  1)v � Ta thu hệ: �2 v  x  12  (2 x  x  1)u � 13 uv � Giải hệ ta được: � u  v  2x2  x   � Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện x0 � ta tìm nghiệm: � 3 � 17 � x � Bài tốn 15 Giải phương trình x  10 x   x3  x  x2  x  Biến đổi PT dạng: ( x  3)2  x   ( x  x  1) ( x  x  1)( x  3)  (4 x  6) � �x   u � ( x  x  1)( x  3)  (4 x  1)  v Đặt: � � u  x   ( x  x  1)v Ta thu hệ: �2 v  x   ( x  x  1)u � uv � Giải hệ ta được: � u  v  x2  x   � Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện x0 � � ta tìm nghiệm: � 3  33 x � 14 BÀI TẬP THAM KHẢO Giải phương trình: x  x  Giải phương trình: x3 x    x  1  x Giải phương trình: x  x   x  Giải phương trình:  x 1 ( x  1)(2 x  3)  Giải phương trình: x    x  1 x  x  x2  x  2 Giải phương trình: 6x  Giải phương trình: x  x    x  3x  8x  Giải phương trình: x  11x    x  1 x  x  Giải phương trình: x  24   x2  x  x x 10.Giải phương trình: 2(2 x  )  2 x  x  x 11.Giải phương trình: 2(2 x   )  x  x  11 12.Giải phương trình: x  10   2 x  3x  x 13.Giải phương trình: x  13  18  x  x 14.Giải phương trình: 4( x  x  12)   x  3 x  10 x  48 15 15.Giải phương trình: ( x  1)( x  2)  18   3x  1 ( x  2)(3x  10) 16.Giải phương trình: 18 x  17.Giải phương trình: 13  18  x  2x 8x2  x  2 12 x  18.Giải phương trình: x  13  (2 x  4) 2(2 x  1)(2x  3) 19.Giải phương trình:  5x  (5 x  1)(10 x  3)  20.Giải phương trình: ( x  1)2  27   x  3 ( x  2)(x  9) 21.Giải phương trình: x  11  x ( x  1)(2x  7) 22.Giải phương trình: x  13  ( x  4) 2( x  1)(x  3) 23.Giải phương trình: x  11  ( x  3) ( x  1)(2x  7) 24.Giải phương trình: x  3x  33  ( x  5) 2( x  5)(x  7) 25.Giải phương trình: x  x    x   x3  x  5x  26.Giải phương trình: 27.Giải phương trình: 28.Giải phương trình: 29.Giải phương trình: 30.Giải phương trình: 31.Giải phương trình: 32.Giải phương trình: 33.Giải phương trình: x 3 x  x  4x   x2   13 x  26 x  29 x  x  x  10 4x  x  18 x  x  x  27 4x  x  2 x  x  8x 3x  x  x  10  x2  x  x2  x  9x  x   x2  6x   x2  x x  x  8x   2 x  10 x  3x  x   2 x  10 x  3x  x    x2  x  x2   x2  16 34.Giải phương trình: 35.Giải phương trình: 36.Giải phương trình: 37.Giải phương trình: 3x  x  x  2x  3  x2  5x x  x  x  21 8x x  2x  x   x2  x  13 x  16 x  x  17 x   x2    x2  4x  PHẦN KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KẾT LUẬN Kết đạt sáng kiến kinh nghiệm Với phương pháp tổ chức cho học sinh tiếp nhận học cách chủ động, tích cực, tất em hứng thú học tập thực hăng hái làm tập giao nhà tương tự Phương pháp dạy học dựa vào nguyên tắc:  Đảm bảo tính khoa học xác  Đảm bảo tính lơgic  Đảm bảo tính sư phạm  Đảm bảo tính hiệu Khi trình bày tơi ý đến phương diện sau:  Phù hợp với trình độ nhận thức học sinh  Phát huy lực tư toán học học sinh Qua thực tế giảng dạy lớp chuyên đề trường THPT Dương Quảng Hàm Các em hào hứng sôi việc đề xuất cách toán Cụ thể kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh khối 10 năm học 2015-2016 trước sau áp dụng sáng kiến sau: Tổng số học sinh Trước áp dụng SKKN Yếu 120 Số lượng Kém 18 TB 48 Sau áp dụng SKKN Khá Giỏi Yêú TB Khá Giỏi 45 Kém 34 60 20 17 % 15,0 40 37,5 7,5 5,0 28,3 50,0 16,7 Một số kiến nghị đề xuất Về phía giáo viên: Tích cực trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, trao đổi kinh nghiệm, kiến thức, phương pháp không trường mà mở rộng cụm trường tỉnh tỉnh xung quanh, trao đổi nhiều thu nhiều Về phía lãnh đạo nhà trường Tăng cường động viên, khích lệ, khen thưởng đồng chí GV trẻ, có lực chun mơn tốt tích cực viết sáng kiến , trao đổi kinh nghiệm với thầy trước để nhanh chóng trưởng thành Về phía Sở Giáo dục Sau chấm sáng kiến SKKN giải A, B, gửi cho trường tham khảo, học hỏi kinh nghiệm Tổ chức cho tác giả SKKN loại A báo cáo SKKN để tổ chuyên môn trường dự học tập 18 KẾT LUẬN Nếu học sinh biết phương pháp có hiệu em tự tin giải toán dạng dạng tương tự Tuy nhiên tốn có nhiều cách giải , phương pháp giải dài phương pháp khác lại có đường lối nhận biết rõ ràng dễ tiếp cận phương pháp khác Hoặc tiền đề cho ta sáng tạo dạng tập khác Từ tốn thi đại học tơi đào sâu suy nghĩ đưa nhiều cách giải mở rộng thành nhiều tốn khác độ khó tăng lên rõ rệt Đó hay, đẹp toán học, khiến người ta say mê toán học 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Đề thi tuyển sinh vào Đại Học năm từ 2001 đến 2015 - Chuyên đề phương trình, hệ phương trình thạc sỹ Lê Văn Đoàn - Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015 nhiều trường THPT 20 MỤC LỤC TRANG PHẦN PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kế hoạch nghiên cứu 21 PHẦN NỘI DUNG Một số ví dụ minh họa Bài tập tham khảo 15 PHẦN KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KẾT LUẬN 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 22 ... - Nghiên cứu phương pháp giải toán thi Đại học theo nhiều cách - Đề tài hướng tới đối tượng học sinh lớp chọn, chuyên Toán, học sinh giỏi học sinh ôn thi Đại học, học sinh khối 10 PHƯƠNG PHÁP... Từ toán thi đại học đào sâu suy nghĩ đưa nhiều cách giải mở rộng thành nhiều toán khác độ khó tăng lên rõ rệt Đó hay, đẹp toán học, khiến người ta say mê toán học 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Đề thi. .. thức học sinh  Phát huy lực tư toán học học sinh Qua thực tế giảng dạy lớp chuyên đề trường THPT Dương Quảng Hàm Các em hào hứng sôi việc đề xuất cách toán Cụ thể kiểm tra khảo sát chất lượng học