Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm không trơn

Bất đẳng thức Lojasiewicz là một trong những công cụ mạnh của Giải tích, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học như: Lý thuyết kỳ dị, Hình học giải tích, Hình học đại số, Phương trình đạo hàm riêng, Tối ưu,... Bất đẳng thức Lojasiewicz được thiết lập đầu tiên bởi nhà Toán học nổi tiếng người Ba Lan Lojasiewicz vào khoảng những năm 60 của thế kỷ trước cho hàm giải tích thực. Sau đó, cùng với sự phát triển của Hình học nửa giải tích và dưới giải tích, bất đẳng thức này được mở rộng cho những lớp hàm tổng quát hơn: hàm fin C{1} dưới giải tích và tiếp theo cho hàm không trơn dưới giải tích, nửa liên tục dưới.

Mục lục

Chương 1 Một số yếu tố cơ bản của giải tích không trơn 3

1.1 Một số định nghĩa 3

1.2 Dưới vi phân 4

Chương 2 Tập và hàm dưới giải tích 7 2.1 Tập và hàm nửa đại số 7

2.2 Tập nửa giải tích, tập dưới giải tích 8

2.2.1 Tập nửa giải tích 8

2.2.2 Tập dưới giải tích 12

2.3 Dưới giải tích toàn cục 17

Chương 3 Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm không trơn 20 3.1 Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm liên tục dưới giải tích 20

3.2 Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm lồi, dưới giải tích, nửa liên tục dưới 24

3.3 Đặc trưng Bất đẳng thức Lojasiewicz trong không gian Hilbert 26

3.3.1 Bất đẳng thức Lojasiewicz với điều kiện metric chính 26

3.3.2 Bất đẳng thức Lojasiewicz trong không gian Hilbert 30

3.3.3 Đặc trưng của Bất đẳng thức Lojasiewicz 32

Mở đầu

Bất đẳng thức Lojasiewicz là một trong những công cụ mạnh của Giải tích,

có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học như: Lý thuyết

kỳ dị, Hình học giải tích, Hình học đại số, Phương trình đạo hàm riêng, Tốiưu,

Bất đẳng thức Lojasiewicz được thiết lập đầu tiên bởi nhà Toán học nổi tiếngngười Ba Lan Lojasiewicz vào khoảng những năm 60 của thế kỷ trước cho hàmgiải tích thực Sau đó, cùng với sự phát triển của Hình học nửa giải tích và dướigiải tích, bất đẳng thức này được mở rộng cho những lớp hàm tổng quát hơn:

hàm f P C1 dưới giải tích và tiếp theo cho hàm không trơn dưới giải tích, nửaliên tục dưới [1,2]

Bất đẳng thức Lojasiewicz phát biểu một cách ngắn gọn cho hàm f giải tích như sau: Tồn tại số ρ P r0, 1q sao cho đại lượng

|f
fp¯xq| ρ

}∇fpxq}

bị chặn trên lân cận của điểm tới hạn ¯x, tức là ∇f p¯xq  0.

Vào năm 2007 trong tài liệu [2], nhóm tác giả Daniilidis - Bolte - Lewis đã

chứng tỏ rằng: Khi f là hàm không trơn, đại lượng }∇fpxq} được thay bằng

một khái niệm "độ dốc " không trơn thích hợp, thì bất đẳng thức trên vẫn cònđúng cho lớp hàm dưới giải tích

Mục đích luận văn này tìm hiểu một số yếu tố cơ bản của Hình học dướigiải tích, trình bày chi tiết chứng minh Bất đẳng thức Lojasiewicz cho lớp hàmdưới giải tích không trơn và xem xét ứng dụng của nó cho hệ động lực vi phân.Luận văn chủ yếu đọc hiểu, trình bày hệ thống lại những kết quả trong ba tàiliệu tham khảo chính [1], [2], [5]

Luận văn được cấu trúc thành bốn chương:

Chương 1: Một số yếu tố cơ bản của giải tích không trơn

Trong chương này nêu lại các khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích khôngtrơn liên quan đến luận văn như: hàm lồi, ánh xạ đa trị, hàm nửa liên tục dưới

và đặc biệt là dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân giới hạn

Chương 2: Tập và hàm dưới giải tích

Tập và hàm dưới giải tích là khái niệm cơ bản của Hình học dưới giải tích ChúngTôi trình bày những nội dung cơ bản nhất các khái niệm này

Chương 3: Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm không trơn

Đây là nội dung chính của luận văn Trong chương này nội dung chủ yếu tác giảtrích từ hai bài báo [1] và [2] Xét bất đẳng thức Lojasiewicz cho các trường hợp

hàm f liên tục dưới giải tích và hàm f lồi, dưới giải tích, nửa liên tục dưới Bên

cạnh đó xem xét đặc trưng của bất đẳng thức này trong không gian Hilbert

Chương 4: Áp dụng hệ động lực vi phân

Trong chương này trình bày ứng dụng của bất đẳng thức Lojasiewicz để đánhgiá tốc độ hội tụ của quỹ đạo hệ động lực dưới vi phân đến điểm tới hạn thôngqua độ dài của quỹ đạo

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất tận tình của

TSKH Huỳnh Văn Ngãi Qua đây tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy đã chỉdẫn về chuyên môn vô cùng quý báu

Tác giả tỏ lòng cảm ơn đến lãnh đạo Khoa Toán, quý Thầy cô trong Khoa

và các cán bộ phòng Sau đại học của trường Đại học Quy Nhơn đã chỉ dẫn vàgiúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Ngoài ra, tác giả cũng ghi nhận và biết ơn đến các Bạn trong lớp Sư phạmToán B- K25 và các học viên lớp Cao học Toán Giải tích-K14 trường Đại họcQuy Nhơn đã có những chia sẽ và đóng góp bổ ích cho tác giả trong quá trìnhhoàn thành luận văn này

Mặc dù đã rất nổ lực về chuyên môn để luận văn được hoàn thành Tuy nhiên

do năng lực có hạn nên khó tránh khỏi thiếu sót trong luận văn này Rất mongnhận được sự chỉ bảo, góp ý kiến của quý Thầy cô cùng các Bạn để luận vănđược hoàn chỉnh nhất Tác giả xin chân thành cảm ơn

Nếu r1  r2 thì ta viết rf  r1s và gọi là tập mức.

Nếu r1 
8 thì rf ¤ r2s và gọi là tập mức dưới

Định nghĩa 1.2.(Khoảng cách)

i) Khoảng cách từ điểm x P X đến tập S € X được ký hiệu và xác định bởi:

Định nghĩa 1.3.(Hàm lồi, hàm nửa lồi)

Cho hàm số f : R n Ñ R Y t 8u Khi đó:

(i) Hàm f được gọi là lồi nếu với mọi x, yP Rn , với mọi λ P r0, 1s, ta có

f pλx p1
λqyq ¤ λfpxq p1
λqfpyq.

(ii) Hàm f được gọi là nửa lồi nếu với α ¡ 0 thì hàm x ÞÑ fpxq α

2}x}2

là hàmlồi

Định nghĩa 1.4.(Ánh xạ đa trị)

Cho X, Y là hai không gian metric Ký hiệu F : X Ñ Y được gọi là ánh xạ đa trị nếu có quy tắc mỗi x P X với tập con của Y

Định nghĩa 1.5 (i) Hàm số f : R n Ñ R Y t 8u được gọi là nửa liên tục dưới

tại x0 P Rn nếu lim

trong đó x P domf và ˆBfpxq  ∅ trường hợp còn lại.

ii) Dưới vi phân giới hạn của hàm f tại x, ký hiệu Bfpxq, được xác định bởi: Bfpxq :!x P Rn {Dpx k q, px

k q : x

k Ñ x, px k , f px k qq Ñ px, fpxqq, x

k P ˆBfpx kq).

Mệnh đề 1.2.1 Cho hàm số: f : R n Ñ R Y t 8u nửa liên tục dưới, g : R m Ñ

Rn là hàm thuộc C1, h : R m Ñ R Y t 8u sao cho hpxq  fpgpxqq Khi đó,

∇g pxq TˆBfpgpxqq „ ˆBhpxq.

Hơn nữa, nếu f Lipschitz tại g pxq thì Bhpxq „ ∇gpxq T

Bfpgpxqq.

Định nghĩa 1.2.2 Cho hàm số f : R n Ñ R Y t 8u

(i) Điểm aP Rn được gọi là điểm tới hạn của hàm số f , nếu 0 P Bfpaq Ký hiệu

critf là tập các điểm tới hạn của f

(ii) Số r P domf được gọi là giá trị trị tới hạn của f, nếu tập rf  rs chứa điểm

tới hạn

Định nghĩa 1.2.3 Độ dốc mạnh của hàm f tại x P domf, ký hiệu |∇f| pxq

được xác định bởi:

|∇f| pxq  lim y Ñx suppfpxq
fpyqq

d px, yq , trong đó a  max ta, 0u.

Định nghĩa 2.2 Cho X € Rn Hàm số f : X Ñ R được gọi là nửa đại số nếu

với mỗi tập con nửa đại số T của R p 1 thì

nửa đại số ξ1     ξ n trên A k sao cho

• tξ1pxq, , ξ r k pxqu là tập không điểm của P px, yq, với mỗi x P A k;

• Dấu của P px, yq, x P A k chỉ phụ thuộc vào dấu y
ξ i pxq, mỗi i  1, , r k

Hệ quả 2.1 Cho đa thức P px, yq, trong đó x  px1, , x nq Khi đó tồn tạiphép phân hoạch nửa đại sốtA1, , A mu của Rn sao cho, mỗi k  1, , m, không điểm của P1, , P t trên A k được cho bởi các hàm liên tục nửa đại số ξ1     ξ n

và dấu của mỗi p j px, yq trên A k chỉ phụ thuộc vào dấu của y
ξ i pxq, i  1, , r k

2.2 Tập nửa giải tích, tập dưới giải tích

trong đó fij, gij : V Ñ R là các hàm giải tích thực; với mỗi 1 ¤ i ¤ p, 1 ¤ j ¤ q.

Định nghĩa 2.1.2 Cho X là tập con của M Hàm f : X Ñ R gọi là nửa giảitích nếu đồ thị của nó là tập nửa giải tích

trong đó σ i là các dấu ¡,  ,  Khi đó

(i) A ∅ hoặc là tập liên thông

Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo m Khi m 0 thỏa mãn

Giả sử khẳng định trên đúng với m
1, trong đó m ¥ 1 Sắp xếp P1pxq, , P m pxq sao cho P m pxq có bậc cao nhất Đặt

A1 

m£
1

i1

tx : P i pxq σ i0u

Khi đó A  A1 X tx : P m pxq σ m0u Giả thiết A1  ∅ Nếu A1 là giá trị thì kết

quả được suy ra Nếu A1 là một khoảng thì đạo hàm của P m có hằng số dấu

trên A1 Do đó P m đơn điệu hoặc hằng số trên ¯A1 Kết quả được chứng minh 

Mệnh đề 2.1.1 Cho f1px, yq, , f t px, yq P OpMq rys Khi đó tồn tại phép phân

hoạch nửa giải tích tA1, , A m u của M sao cho mỗi k  1, , m thỏa:

(i) f1, , f m trên A k được cho bởi các hàm nửa giải tích liên tục ξ1     ξ r k

(ii) Dấu của f i px, yq trên A k phụ thuộc vào dấu của y
ξ i pxq.

Định nghĩa 2.1.3 Cho U là tập con mở của R n Họ hữu hạn f1, , f m P OpUq gọi là tách nếu với tập A € U, A nửa giải tích có dạng:

(i) A là ∅ hoặc là tập liên thông.

(ii) Nếu A ∅ thì ¯A “m

i1 tx P U : f i pxqσ i0u, trong đó ¯σ i P t¥, ¤, u.

Định lý 2.1.1 Họ hữu hạn các hàm giải tích trên M có thể được bổ sung các

hàm xét trên lân cận của điểm cho trước để được họ tách

Chứng minh Giả sử dimM  m Gọi họ f1, , f p P OpMq Theo định lý strass[10, Chương 2, Định lý 2] ta giả thiết điểm thuộc M có lân cận U sao cho: (i) U  U1  I, trong đó U1 là tập con mở của Rm
1 và I là khoảng mở.

Weier-(ii) Gọipx, yq  px1, , x m
1, y q là tọa độ của U  U1 I Khi đó mỗi f j px, yq 

u j px, yqg j px, yq, trong đó u j là hàm giải tích triệt tiêu trên U và g j là đa thức

theo biến y có hệ số là các hàm trên U1, do đó mỗi x P U1, các nghiệm của

g i px, yqq thuộc I.

Mỗi g j P OpU1qrys € OpU1  Rq Rõ ràng nó biểu diễn qua các hàm g1, , g p có

thể bổ sung để được họ tách, thu hẹp trên U1 nếu cần thiết Nếu m 1 thì đâychính là bổ đề Thom: Ta có họ tách bằng cách thêm vào các đạo hàm

Nói chung, ta thêm vào các đạo hàm của g1, , g p, sắp như sau

g1, , g p , g p 1 , , g p q

Theo Mệnh đề 2.1.1, tồn tại phép phân hoạch nửa đại số tB1, , B s u của U1 sao

cho, với mỗi k  1, , s thì g1, , g p q trên B k được cho bởi các hàm liên tục

nửa giải tích ξ1     ξ t k và dấu của g j px, yq trên B k chỉ phụ thuộc vào dấu của

y
ξ i pxq Khi thu hẹp trên U1, mỗi B k có thể được mô tả bởi các hàm trên U1

Ta bổ sung các hàm trên B k đó là g p q 1 pxq, , g p q r pxq Khi đó g1, , g p q r

Gọi ξ1     ξ t là nghiệm của g1pxq, , g p q pxq trên B và π : U1  R Ñ U1

là phép chiếu Theo bổ đề Thom, nếu x0 P B thì A X π
1px0q là ∅, px0, ξ i px0qqhoặc khoảng tpx0, y q : ξ i px0q   y   ξ i 1 px0qu, trong đó ξ i có thể là
8 và ξ i 1

có thể là 8 Vì dấu của g j px, yq phụ thuộc dấu y
ξ i pxq trên B; A là một trong các trường hợp ∅, tpx, ξ i pxqq : x P Bu hoặc tpx, yq : x P B, ξ i pxq   y   ξ i 1 pxqu Khi đó A rỗng hoặc liên thông.

Lấy x0 P ¯B Vì g j px, yq là đa thức xét theo hạn chế của biến y, ta tìm lân cận

V1 của x0 trong U1 và K ¡ 0 sao cho các nghiệm ξ1, , ξ t bị chặn theo K trên

B X V1 Do đó, mọi x P B X V1, ¯A X ptxu  r
K, Ksq  ∅ thì ¯ A X π
1px0q  ∅

Theo bổ đề Thom có hai trường hợp nghịch ảnh của x0:

(i) Nếu một điểm thì nó trùng với nghịch ảnh của x0

(ii) Nếu là một khoảng đóng Giả sửpx0, yq thuộc phần trong Khi đó chắc chắn

g j px0, y qσ j 0, j  1, , p q, trong đó σ j P t ,  u Suy ra px0, yq P ¯A Do đó

khoảng đóng nằm trong ¯A.

Vậy A1 € ¯A. 

Hệ quả 2.1.1 Cho X € M, X nửa giải tích Khi đó:

(i) Mỗi thành phần liên thông của X là nửa giải tích;

(ii) Họ các thành phần liên thông của X là hữu hạn địa phương Đặc biệt họ là hữu hạn nếu X compact tương đối;

(iii) X liên thông địa phương

Hệ quả 2.1.2 Cho A là tập nửa giải tích Khi đó ¯ A và int A là các tập nửa

(ii) Mỗi tập nửa giải tích đóng trong M là hợp hữu hạn của các tập có dạng

tx P X : f1pxq ¥ 0, , f k pxq ¥ 0u , trong đó f j là các hàm giải tích

Mệnh đề 2.1.2 Cho f1, , f p P OpMq và a P M Khi đó tồn tại lân cận mở nửa giải tích U của a và họ tách h1, , h p , h p 1 , , h p s P OpUq sao cho

• Mỗi A k là nửa giải tích liên thông và là đa tạp con của M.

• (Điều kiện biên) Nếu A k X ¯A l  ∅ thì A k € ¯A l và dim A k   dim A l

Chứng minh Gọi U và U1 là các tập nửa giải tích Tập con của U1

Hạn chế trên U1, ta giả sử các nghiệm ξ1     ξ t của g1px, yq, , g p q px, yq có

đồ thị là nửa giải tích trên M Khi đó U là hợp của các tập nửa giải tích rời

Vì tg1, g p q u ổn định dưới phép lấy vi phân khi xét theo biến y nên mỗi ξ i pxq

là nghiệm đơn của g i px, yq Do đó B là đa tạp, ξ i giải tích và A là đa tạp Từ

phép chứng minh của định lý 2.1.1 ta suy ra điều kiện biên.

Hệ quả 2.1.4 GọitX iu là họ hữu hạn các tập con nửa giải tích địa phương của

M Khi đó tồn tại họ hữu hạn phân tầng nửa giải tích địa phương tA ku tương

ứng với X i , tức là mỗi X i là hợp các A k

Bổ đề 2.1.2. Cho A € B € M, B là nửa giải tích Đặt A1  ¯A X B và

A2  AzclpBzAq Khi đó A nửa giải tích khi và chỉ khi A1zA và AzA2 là nửagiải tích

Định lý 2.1.2 Cho X € M Khi đó X là nửa giải tích, dimX ¤ k khi và chỉ khi tồn tại tập giải tích Z € M, dimZ ¤ k sao cho X € Z, ¯ X zX và Xz int X là nửa giải tích, cùng có số chiều bé hơn bằng k
1

Chứng minh Điều kiện cần rõ ràng được suy ra Ta chứng minh điều kiện đủ.

mở trong Y ; nếu dimY ¡ dimA thì A € Y1 Khi đó lặp lại lý luận cho Y1, A

nằm trong tập Z có số chiều bằng số chiều A.

Theo bổ đề 2.1.2, ¯A zA và Az int A là nửa giải tích Theo hệ quả 2.1.4, ta phân tầng A và ¯ A zA, biên A có số chiều bé hơn số chiều A Gọi A2 là phần trong

của A trong Z Phân tầng A và A2, khi đó A2 chứa trong A có số chiều bằng số chiều A Do đó A zA2 có số chiều bé hơn số chiều A. 

Định nghĩa 2.1.4 Tập con A của R n được gọi là dưới giải tích nếu mỗi điểmthuộc Rn có lân cận V sao cho

A X V  tx P R n : Dy P R m , px, yq P Bu , trong đó B là tập con bị chặn nửa giải tích của R n  Rm với mỗi m ¥ 1

Định nghĩa 2.1.5 Hàm số f : R n Ñ R Y t 8u được gọi là dưới giải tích nếu

đồ thị của nó là tập dưới giải tích trong Rn R.

Tính chất 2.1.1.

i) Hợp và giao hữu hạn các tập dưới giải tích là dưới giải tích

ii) Phần bù, phần trong, bao đóng và biên của tập dưới giải tích là dưới giảitích

iii) Thành phần liên thông của một tập là dưới giải tích

Định nghĩa 2.1.6 Cho X € M, X dưới giải tích.

(i) Điểm x P X được gọi là điểm trơn nếu trong lân cận của nó thì X là đa tạp giải tích con của M

(ii) Tập X gọi là trơn nếu mọi điểm của nó là điểm trơn.

Bổ đề 2.1.3 Cho X € W , X là nửa giải tích và compact tương đối Khi đó

X là hợp hữu hạn của các tập con nửa giải tích trơn liên thông A, sao cho trên

mỗi A:

(i) rank pπ | A q là hằng số trên A;

(ii) Không gian con tuyến tính T x A X V, x P A có chung phần bù của V và không gian π pT x A q, x P A có chung phần bù của U Ký hiệu T x A là không gian

con tiếp xúc với A tại x;

(iii) Tồn tại hàm giải tích g trong lân cận của ¯ A sao cho g ¡ 0 trên A và g  0

trên ¯A zA.

Chứng minh Giả sử dimX  k Nếu k  0 thì kết quả được thỏa mãn Nếu

k ¡ 0 thì tồn tại tập con dưới giải tích Y của X sao cho dimY   k và XzY có

số chiều bằng k chứa các điểm trơn Ta chứng minh quy nạp theo k Giả sử kết quả thỏa mãn cho Y Khi đó ta giả thiết X trơn và liên thông.

Đặt X0  tx P X : rk x pπ | X q maxu Khi đó X0 nửa giải tích và dimpXzX0q   k Tập X0 nằm trong tập giải tích có số chiều bằng k; do đó ta giả thiết có các hàm h1, , h n
k xác định trên lân cận của X0 sao cho h i  0 trên X0, với

i  1, , n
k Nếu tập Z gồm các giá trị x sao cho gradh i pxq phụ thuộc tuyến

tính thì dimpX0X Zq   k Theo phép quy nạp ta giả sử rk x pπ | Xq là hằng số

trên X và gradh i pxq độc lập tuyến tính.

Gọi G k pMq là không gian con tuyến tính k chiều của W Lấy E, F lần lượt là các không gian con của U và V Gọi G E,F là tập gồm các T P G k pWq sao cho F

bổ sung T X V trong V và E bổ sung πpEq trong U Rõ ràng G E,F là tập con

mở nửa đại số của G k pW q Khi đó tồn tại hữu hạn các cặp như pE, F q sao cho

là ánh xạ liên tục nửa đại số Đặt H pxq  pgradh1pxq, , gradh n
k pxqq Khi đó

S
1pG E,F q là tập con nửa đại số của W n
k và

(ii) Với mỗi B, π|B : B Ñ U là phép nhúng;

(iii) Với mỗi B thì không gian con π pT x A q, x P B có chung phần bù của U.

Bổ đề 2.1.5 Cho tập U , giả sử phần bù của mọi tập dưới giải tích trong

trong U đều dưới giải tích Gọi B là tập nửa giải tích trơn bị chặn trong W sao cho π|B : B Ñ U là phép đồng phôi Mỗi u P U, µpuq là số các điểm thuộc

B u  B X π
1puq Khi đó µpuq bị chặn trên U.

Định nghĩa 2.1.7 Cho ánh xạ ϕ : X Ñ Y , trong đó X, Y là hai tập hợp Với mỗi sP N, ta định nghĩa X s

ϕ được xác định như sau:

X ϕ s  x  px1, , x s q P X s : ϕ px1q   ϕpx sq(

và ánh xạ cảm sinh ϕ : X ϕ s Ñ Y xác định bởi ϕpxq  ϕpx1q.

Bổ đề 2.1.6 Cho tập U , giả sử phần bù của mọi tập dưới giải tích trong U đều

dưới giải tích Gọi X € W, X dưới giải tích compact tương đối Số các điểm

µ puq thuộc X u  X X π
1puq bị chặn trên U Khi đó WzX là dưới giải tích.

Định lý 2.1.3 (Định lý phần bù)

Cho M là một đa tạp giải tích thực và X là tập con dưới giải tích của M Khi

đó X zM là dưới giải tích.

Chứng minh Giả sử M là không gian Ơclit n chiều và X là compact tương đối.

Nếu n  0 thì thỏa mãn Ta xét trường hợp n  0.

Khi đó có không gian vectơ Z, dimZ   8 và tập con nửa giải tích compact

tương đối B của W X Z sao cho X  πpBq, trong đó π : W  Z Ñ W là phép chiếu Theo bổ đề cắt ta giả thiết B là trơn, π|B là phép nhúng và π pT x Bq có

chung phần bù của V trong W

Trường hợp dimB   n Gọi U là phần bù của V trong W và π0 : W  U `V Ñ U

là phép chiếu Vì dimU   n, định lý đúng trong U Theo bổ đề 2.1.5, số điểm trong B X pπ0 πq
1puq bị chặn trên U Do đó số các điểm trong πpBq X π0
1puq

bị chặn Theo bổ đề 2.1.6, phần bù của X  πpBq trong W là dưới giải tích Trường hợp dimB  n Khi đó π | B là phép vi phôi Đặt C  ¯B zB Khi đó πpCq dưới giải tích và có số chiều bé hơn n, do đó W zπpCq dưới giải tích.

Vì tập mở W zπp ¯ B q đóng trong WzπpCq do đó nó cũng dưới giải tích.

(iii) Phép chiếu chính tắc π xác định bởi π px, z, yq  px, yq Khi đó tập

tpx, yq P R n  R : y ¥ dpx, Xqu  πpAq là dưới giải tích.

Ví dụ 2.1.2 Cho M, N là các đa tạp giải tích thực Gọi X, T lần lượt là tập

con của M và N , trong đó T compact Nếu hàm f : X  T Ñ R liên tục dưới giải tích thì hàm g pxq  min

t PT f px, tq là dưới giải tích trên X.

Mệnh đề 2.1.3 Cho M là đa tạp giải tích thực, X là tập con đóng dưới giải

tích của M Khi đó với mỗi điểm của X có lân cận U sao cho X X U  πpAq; trong đó A là tập con đóng giải tích của U  Rq , dimA  dimpX X Uq và

π : U  Rn Ñ U, π | A là hàm chính

Mệnh đề 2.1.4 Cho M là đa tạp giải tích thực, X € M Khi đó các khẳng

định sau là tương đương:

(i) X dưới giải tích;

(ii) Mỗi điểm của M có lân cận U sao cho

(iii) Mỗi điểm của M có lân cận U sao cho X X U thuộc lớp các tập con của U

đó là giao hữu hạn các tập con, hợp hữu hạn các tập con, phần bù tập con từ

các tập con của U có dạng f pAq, trong đó A là tập con đóng giải tích trong đa tạp N , f : N Ñ U giải tích và f | A là hàm chính

Chứng minh (ii) ñ (i) Áp dụng định lý phần bù

(i) ñ (iii) Gọi U là tập con mở của M và A là tập nửa giải tích compact tương đối của MRp sao cho π pAq  X XU, trong đó π : M R p Ñ M Đặt C  ¯ A zA.

Khi đó

π pAq  πp ¯ A q
pπp ¯ A q
πpAqq  πp ¯ A q
pπpCq
pπpAq X πpCqqq.

Ta có π pCq
pπpAq X πpCqq dưới giải tích có số chiều nhỏ hơn chiều πpAq Theo

mệnh đề 2.1.3 ta suy ra điều cần chứng minh

(iii)ñ (ii) Theo giả thiết điểm thuộc M có lân cận U sao cho X X U là hợp của

trong đó A jk là tập đóng trong N jk và g jk : N jk Ñ U là ánh xạ giải tích thực sao cho g jkA jk chính Gọi A1 € ±q

dạng N j1  N j2 Khi đó A2 € N2 Gọi g2 : N2 Ñ U là ánh xạ cảm sinh của

g j1  π j1 , trong đó π j1 : N j1  N j2 Ñ N j1 Khi đó g k|A k là chính, với k  1, 2 và

X1  g1pA1qzg2pA2q Vậy phép chứng minh được suy ra 

Định lý 2.1.4 Cho M, N là hai đa tạp giải tích; X € M là compact tương đối Hàm ϕ : X Ñ N dưới giải tích Khi đó số các thành phần liên thông của ϕ
1pyq

bị chặn địa phương trên N

Chứng minh Gọi π : N  M Ñ N là phép chiếu Nếu X là tập con dưới giải tích compact tương đối của N  M, thì số các thành phần liên thông của

X y  X X π
1pyq, y P N bị chặn Khi đó ta giả thiết X nửa giải tích và N, M

là hai không gian vectơ hữu hạn chiều Ta chứng minh quy nạp theo số chiều

cực đại k của X y Theo bổ đề 2.1.3, ta biểu diễn X là hợp các tập con nửa giải tích trơn liên thông A.

Với k  0 Mỗi tập A, ta viết N  U ` V , trong đó V là phần bù tuyến tính của π pT x A q, x P A Gọi π1 : N Ñ U Khi đó pπ1  πq | A là phép đồng phôi địaphương; theo bổ đề 2.1.5 kết quả được suy ra

Đặt k  dimA
rkpπ | A q Khi đó mỗi thành phần của thớ A y , y P πpAq là một đa tạp con của π
1pyq có số chiều k Gọi Z  x P A : pd x gqpT x A XMq  0(

,

trong đó g là hàm được xác định như trong bổ đề 2.1.3(iii) Theo bổ đề 2.1.4,

ta có mỗi y P πpAq, Z giao với A y và dimpZ X A k q   k Theo phép quy nạp ta

là tập dưới giải tích.

ii) Hàm số f : R n Ñ R Y t 8u được gọi là dưới giải tích toàn cục nếu đồ thịcủa nó là tập dưới giải tích toàn cục

Nhận xét 2.2.1.

i) Tập dưới giải tích toàn cục là dưới giải tích

ii) Tập dưới giải tích bị chặn là dưới giải tích toàn cục

Định lý 2.2.1 Ảnh của tập dưới giải tích toàn cục qua phép chiếu chính tắc

là tập dưới giải tích toàn cục

Hệ quả 2.2.1 Ảnh và nghịch ảnh của tập dưới giải tích toàn cục qua hàm dưới

giải tích toàn cục là các tập dưới giải tích toàn cục

Mệnh đề 2.2.1 Cho f : R n Ñ R Y t 8u là hàm dưới giải tích toàn cục Khi

đó domf, epif, epif s là các tập dưới giải tích toàn cục

Mệnh đề 2.2.2 Cho f : R n Ñ R Y t 8u là hàm dưới giải tích bị chặn tương

đối trên domf , tức là tập tfpxq : x P domf X Bu bị chặn, trong đó B là tập bị

chặn trong Rn Khi đó domf, epif, epif s là các tập dưới giải tích

Bổ đề 2.2.1 (Chọn đường cong) [5, Bổ đề 6.3]

Cho A là tập dưới giải tích của R n và a P bdA Khi đó tồn tại một đường cong

z : p
1, 1q Ñ R n sao cho z p0q  a và zpp0, 1qq € A.

Bổ đề 2.2.2 (Tính đơn điệu) [9, 4.1]

Cho α   β trong R Nếu ϕ : pα, βq Ñ R là hàm dưới giải tích toàn cục thì tồn

tại phép phân hoạch

t0 : α   t1     t l 1 : β

của pα, βq sao cho ϕpt i ,t i 1q là C8 với mọi i P t0, , lu Hơn nữa [8], ϕ có khai triển P uiseux tại t  α; tức là, tồn tại δ ¡ 0, số k, l P N và dãy ta nun ¥l € Rsao cho

ϕ ptq  °

n ¥l a n pt
αq n k với mọi t P pα, α δq.

Bổ đề 2.2.3 (Nhân tử Lojasiewicz) [5, 6.4]

Cho K € Rn là tập compact và hai hàm f, g : K Ñ R liên tục dưới giải tích toàn

cục Nếu f
1p0q € g
1p0q, thì tồn tại c ¡ 0 và r P N sao cho |gpxq| r

¤ c |fpxq|,

@x P K.

Nhận xét 2.2.2 Nếu f lồi, nửa liên tục dưới hoặc domf đóng và f|domf

liên tục thì Bf và critf đóng Hơn nữa, m f pxq là hàm nửa liên tục dưới và

critf  m f
1p0q.

Mệnh đề 2.2.3 Cho hàm số f : R n Ñ R Y t 8u Khi đó

i) Nếu f là dưới giải tích toàn cục thì ˆ Bf, Bf, m f , critf là dưới giải tích toàn cục.

ii) Nếu f là dưới giải tích và bị chặn tương đối thì ˆ Bf, Bf, m f , critf là dưới giải

tích

Hệ quả 2.2.2 Cho hàm số f : R n Ñ R Y t 8u Khi đó

i) f 

ˆ

Bf , f|Bf là dưới giải tích toàn cục.

ii) m f|B là dưới giải tích toàn cục, với B là tập con dưới giải tích của R n

Chương 3

Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm không trơn

dưới giải tích

Mệnh đề 3.1.1 Cho f là hàm dưới giải tích, ký hiệu pcritfq a là thành phần

liên thông của critf chứa a, domf đóng tương đối và f |domf liên tục Khi đó

fpcritfq

là hằng số

Định lý 3.1.1 Cho f : R n Ñ R Y t 8u là hàm dưới giải tích, domf đóng và

f |domf liên tục Gọi a P Rn là điểm tới hạn của f Khi đó tồn tại θ P r0, 1q sao

Ta sẽ chứng minh f dưới giải tích toàn cục và S a compact.Thật vậy, nếu trái lại

ta thay f bởi hàm dưới giải tích toàn cục g được xác định bởi

g pxq  fpxq δ B pa,Rq pxq, trong đó δ B pa,Rq là hàm chỉ

Khi đó domg đóng tương đối và g liên tục tương đối trên đó, a là điểm tới hạn của g và pcritgq a X Bpa, Rq  S a X Bpa, Rq.

Như vậy ta chuyển bài toán chứng minh cho hàm f sang chứng minh đối với

hàm g.

Ta xét hàm x ÞÑ rm f pxqs
1|fpxq| θ

bị chặn khi x thuộc tập dưới giải tích

f
1pp0, 8sq cũng như khi x thuộc tập f
1pp
8, 0sq Từ đó không mất tính tổng quát ta giả thiết f ¥ 0

Ta chọn ∆¡ 0 sao cho tập compact U  tx P R n : d S a pxq ¤ ∆u X domf tách S a

từ các thành phần liên thông của S.

Ta có U là tập dưới giải tích đầy đủ Ta cần chứng minh rằng x bất kì thuộc

p, @p Theo định nghĩa dưới vi phân giới hạn tồn tại dãy

py p , y

p q P GrˆBf sao cho fpy p q ¡ ry

p ¡ 0, trong đó y p Ñ ¯x Điều này chứng tỏ với r ¡ 0, ¯x thuộc bao đóng của tập

c ¡ 0 để hptq  ct q o pt q q, @t ¡ 0 Vi phân khai triển Puiseux của h tại t  0

và thế vào trên ta suy ra mâu thuẫn

Bây giờ ta chứng minh p3.2q Xét hàm dưới giải tích toàn cục

ϕ ptq  inf m f pxq : x P U X f
1ptq(, tP R

Rõ ràng ϕ p0q  0, từ định nghĩa tập U đảm bảo 0   ϕptq ¤ 8, @t ¡ 0 Nếu với mỗi δ ¡ 0, hàm ϕ giả sử có giá trị vô hạn tại điểm bé nhất trong p0, δq thì theo tính giải tích của domϕ suy ra 0 là điểm cô lập của domϕ Khi đó p3.2q trở nên tầm thường Ta giả thiết ϕ là hữu hạn xung quanh 0 Theo bổ đề tính đơn

điệu suy ra

l lim

tÑ0 ϕ ptq P r0, 8s.

Trường hợp l  0, p3.2q dễ dàng được suy ra(với θ  0) Vì vậy giả sử l  0 và

ϕ liên tục Khi đó, xét khai triển Puiseux của ϕ có dạng:

trong đó c :  a n0 ¡ 0 Để p3.2q không tầm thường, ta giả sử từ p3.1q tồn tại dãy

px υqυ € UzS a sao cho x υ Ñ a, m f px υ q Ñ 0 và fpx υq ¥ 0

Xét tập dưới giải tích toàn cục

A  tx P UzS a : m f pxq  ϕpfpxqq, fpxq ¥ 0u  ∅.

Ta sẽ chứng minh

Thật vậy, nếu trái lại thì theo tính compact, tồn tại lân cận mở V xung quanh

S a sao cho S a € V € domf € U và A X V  ∅ Đặt t υ  fpx υ q và xét y υ € U sao cho m f py υ q  ϕpt υ q và t υ  fpx υ q ta được ty υuυ € UzV Theo tính compact,

ta có thể giả sử y υ Ñ y P UzV , khi đó m f pyq  0, tức là y P S a Điều này mâuthuẫn

Vậy p3.7q thỏa mãn, do đó tồn tại đường z : p
1, 1q Ñ R n với z p0q  b P S a và

z pp0, 1qq € A Khi s × 0 ta có fpzpsqq Ñ 0 và m f pzpsqq  ϕpfpzpsqqq Ñ 0.

Từ p3.6q suy ra m f pzpsqq  cpfpzpsqqq η

o ppfpzpsqq θ

q Do đó p3.3q suy ra η   1 Lấy θ P pη, 1q và sử dụng p3.6q tồn tại t0 ¡ 0 sao cho ϕptq ¥ ct θ , @t P r0, t0q Vì

f |domf liên tục tại a nên tồn tại µ ¡ 0 sao cho @x P domf X Bpa, µq Để được p3.2q ta quan sát thấy m f pxq ¥ ϕpfpxqq ¥ cfpxq θ

, @x P Bpa, µq 

Nhận xét 3.1.1 Bất đẳng thức Lojasiewicz khẳng định trên vẫn đúng trên lân

cận điểm a P domfzcritf.