Bất đẳng thức Lojasiewicz là một trong những công cụ mạnh của Giải tích, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học như: Lý thuyết kỳ dị, Hình học giải tích, Hình học đại số, Phương trình đạo hàm riêng, Tối ưu,... Bất đẳng thức Lojasiewicz được thiết lập đầu tiên bởi nhà Toán học nổi tiếng người Ba Lan Lojasiewicz vào khoảng những năm 60 của thế kỷ trước cho hàm giải tích thực. Sau đó, cùng với sự phát triển của Hình học nửa giải tích và dưới giải tích, bất đẳng thức này được mở rộng cho những lớp hàm tổng quát hơn: hàm fin C{1} dưới giải tích và tiếp theo cho hàm không trơn dưới giải tích, nửa liên tục dưới.
Mục lục Mở đầu 1 Chương 1 Một số yếu tố cơ bản của giải tích không trơn 3 1.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 2 Tập và hàm dưới giải tích 7 2.1 Tập và hàm nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Tập nửa giải tích, tập dưới giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.1 Tập nửa giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.2 Tập dưới giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Dưới giải tích toàn cục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 3 Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm không trơn 20 3.1 Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm liên tục dưới giải tích . . . . . 20 3.2 Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm lồi, dưới giải tích, nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Đặc trưng Bất đẳng thức Lojasiewicz trong không gian Hilbert . . 26 3.3.1 Bất đẳng thức Lojasiewicz với điều kiện metric chính . . . 26 3.3.2 Bất đẳng thức Lojasiewicz trong không gian Hilbert . . . . 30 3.3.3 Đặc trưng của Bất đẳng thức Lojasiewicz . . . . . . . . . . 32 Chương 4 Áp dụng Hệ động lực vi phân 40 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Quyết định giao đề tài luận văn 49 1 Mở đầu Bất đẳng thức Lojasiewicz là một trong những công cụ mạnh của Giải tích, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học như: Lý thuyết kỳ dị, Hình học giải tích, Hình học đại số, Phương trình đạo hàm riêng, Tối ưu, Bất đẳng thức Lojasiewicz được thiết lập đầu tiên bởi nhà Toán học nổi tiếng người Ba Lan Lojasiewicz vào khoảng những năm 60 của thế kỷ trước cho hàm giải tích thực. Sau đó, cùng với sự phát triển của Hình học nửa giải tích và dưới giải tích, bất đẳng thức này được mở rộng cho những lớp hàm tổng quát hơn: hàm f C 1 dưới giải tích và tiếp theo cho hàm không trơn dưới giải tích, nửa liên tục dưới [1,2]. Bất đẳng thức Lojasiewicz phát biểu một cách ngắn gọn cho hàm f giải tích như sau: Tồn tại số ρ 0, 1 sao cho đại lượng f f ¯x ρ ∇f x bị chặn trên lân cận của điểm tới hạn ¯x, tức là ∇f ¯x 0. Vào năm 2007 trong tài liệu [2], nhóm tác giả Daniilidis - Bolte - Lewis đã chứng tỏ rằng: Khi f là hàm không trơn, đại lượng ∇f x được thay bằng một khái niệm "độ dốc " không trơn thích hợp, thì bất đẳng thức trên vẫn còn đúng cho lớp hàm dưới giải tích. Mục đích luận văn này tìm hiểu một số yếu tố cơ bản của Hình học dưới giải tích, trình bày chi tiết chứng minh Bất đẳng thức Lojasiewicz cho lớp hàm dưới giải tích không trơn và xem xét ứng dụng của nó cho hệ động lực vi phân. Luận văn chủ yếu đọc hiểu, trình bày hệ thống lại những kết quả trong ba tài liệu tham khảo chính [1], [2], [5]. Luận văn được cấu trúc thành bốn chương: 2 Chương 1: Một số yếu tố cơ bản của giải tích không trơn Trong chương này nêu lại các khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích không trơn liên quan đến luận văn như: hàm lồi, ánh xạ đa trị, hàm nửa liên tục dưới và đặc biệt là dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân giới hạn. Chương 2: Tập và hàm dưới giải tích Tập và hàm dưới giải tích là khái niệm cơ bản của Hình học dưới giải tích. Chúng Tôi trình bày những nội dung cơ bản nhất các khái niệm này. Chương 3: Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm không trơn Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này nội dung chủ yếu tác giả trích từ hai bài báo [1] và [2]. Xét bất đẳng thức Lojasiewicz cho các trường hợp hàm f liên tục dưới giải tích và hàm f lồi, dưới giải tích, nửa liên tục dưới. Bên cạnh đó xem xét đặc trưng của bất đẳng thức này trong không gian Hilbert. Chương 4: Áp dụng hệ động lực vi phân Trong chương này trình bày ứng dụng của bất đẳng thức Lojasiewicz để đánh giá tốc độ hội tụ của quỹ đạo hệ động lực dưới vi phân đến điểm tới hạn thông qua độ dài của quỹ đạo. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất tận tình của TSKH. Huỳnh Văn Ngãi. Qua đây tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy đã chỉ dẫn về chuyên môn vô cùng quý báu. Tác giả tỏ lòng cảm ơn đến lãnh đạo Khoa Toán, quý Thầy cô trong Khoa và các cán bộ phòng Sau đại học của trường Đại học Quy Nhơn đã chỉ dẫn và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Ngoài ra, tác giả cũng ghi nhận và biết ơn đến các Bạn trong lớp Sư phạm Toán B- K25 và các học viên lớp Cao học Toán Giải tích-K14 trường Đại học Quy Nhơn đã có những chia sẽ và đóng góp bổ ích cho tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã rất nổ lực về chuyên môn để luận văn được hoàn thành. Tuy nhiên do năng lực có hạn nên khó tránh khỏi thiếu sót trong luận văn này. Rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý kiến của quý Thầy cô cùng các Bạn để luận văn được hoàn chỉnh nhất. Tác giả xin chân thành cảm ơn. 3 Chương 1 Một số yếu tố cơ bản của giải tích không trơn Trong chương này nêu các nội dung chính được dùng trong các chương sau. Nội dung chương này được tham khảo trong tài liệu [11]. Miền hữu hiệu của hàm số f, ký hiệu domf, được xác định như sau: domf x R n : f x . Đồ thị của hàm số được ký hiệu và xác định Grf : x, λ R n R : f x λ . Epigraph của hàm số f, ký hiệu epif, được xác định: epif x, λ R n R : λ f x . Epigraph chặt của hàm số f, ký hiệu epi s f, được xác định : epi s f x, λ R n R : λ f x . Tập K 0, ¯r được xác định như sau: K 0, ¯r : ϕ C 0, ¯r C 1 0, ¯r : ϕ 0 0, ϕ r 0, r 0, ¯r . 1.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1. (Tập mức) Cho r 1 r 2 thuộc , , ta đặt: r 1 f r 2 x X : r 1 f x r 2 . Nếu r 1 r 2 thì ta viết f r 1 và gọi là tập mức. Nếu r 1 thì f r 2 và gọi là tập mức dưới. Định nghĩa 1.2.(Khoảng cách) i) Khoảng cách từ điểm x X đến tập S X được ký hiệu và xác định bởi: 4 d x, S inf y S d x, y . ii) Khoảng cách Hausdorff hai tập S 1 và S 2 được xác định bởi: d S 1 , S 2 max sup x S 1 d x, S 2 , sup x S 2 d x, S 1 . Định nghĩa 1.3.(Hàm lồi, hàm nửa lồi) Cho hàm số f : R n R . Khi đó: (i) Hàm f được gọi là lồi nếu với mọi x, y R n , với mọi λ 0, 1 , ta có f λx 1 λ y λf x 1 λ f y . (ii) Hàm f được gọi là nửa lồi nếu với α 0 thì hàm x f x α 2 x 2 là hàm lồi. Định nghĩa 1.4.(Ánh xạ đa trị) Cho X, Y là hai không gian metric. Ký hiệu F : X Y được gọi là ánh xạ đa trị nếu có quy tắc mỗi x X với tập con của Y . Định nghĩa 1.5. (i) Hàm số f : R n R được gọi là nửa liên tục dưới tại x 0 R n nếu lim x x 0 inff x f x 0 . (ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên R n nếu nó liên tục dưới tại mọi điểm x R n . 1.2 Dưới vi phân Định nghĩa 1.2.1. Cho f : R n R là hàm nửa liên tục dưới, x domf. i) Dưới vi phân Fréchet của hàm f tại x, ký hiệu ˆ f x , được xác định bởi: ˆ f x : x R n : lim y x,y x inf f y f x x , y x y x 0 , trong đó x domf và ˆ f x ∅ trường hợp còn lại. ii) Dưới vi phân giới hạn của hàm f tại x, ký hiệu f x , được xác định bởi: f x : x R n x k , x k : x k x , x k , f x k x, f x , x k ˆ f x k . 5 Nhận xét 1.2.1. (i) ˆ f x f x . (ii) Nếu f là hàm lồi thì ˆ f x f x . (iii) Nếu f C 1 thì ˆ f x f x f x . Ví dụ 1.2.1. Cho hàm số f x x sin 1 x nếu x 0 0 nếu x 0. Khi đó f 0 1, 1 . Định nghĩa 1.2.2. Độ dốc không trơn của hàm số f tại x, ký hiệu m f x , được xác định bởi: m f x : inf x : x f x . Tính chất 1.2.1. Nếu f là Lipschitz địa phương tại x và g là nửa liên tục dưới thì f g x f x g x . Mệnh đề 1.2.1. Cho hàm số: f : R n R nửa liên tục dưới, g : R m R n là hàm thuộc C 1 , h : R m R sao cho h x f g x . Khi đó, ∇g x T ˆ f g x ˆ h x . Hơn nữa, nếu f Lipschitz tại g x thì h x ∇g x T f g x . Định nghĩa 1.2.2. Cho hàm số f : R n R . (i) Điểm a R n được gọi là điểm tới hạn của hàm số f , nếu 0 f a . Ký hiệu critf là tập các điểm tới hạn của f. (ii) Số r domf được gọi là giá trị trị tới hạn của f , nếu tập f r chứa điểm tới hạn. Định nghĩa 1.2.3. Độ dốc mạnh của hàm f tại x domf, ký hiệu ∇f x được xác định bởi: ∇f x lim y x sup f x f y d x, y , trong đó a max a, 0 . 6 Quy ước: 0 0 0. Nhận xét 1.2.2. (i) ∇f x m f x (ii) Nếu f C 1 thì ∇f x m f x . 7 Chương 2 Tập và hàm dưới giải tích 2.1 Tập và hàm nửa đại số Định nghĩa 2.1. Cho X R n . Tập X được gọi là nửa đại số nếu và chỉ nếu tồn tại các đa thức f ij x và g ij x ; trong đó i 1, , p, j 1, , q sao cho X p i 1 x : f ij x 0, g ij x 0, j 1, , q . Định nghĩa 2.2. Cho X R n . Hàm số f : X R được gọi là nửa đại số nếu với mỗi tập con nửa đại số T của R p 1 thì t, x R p n : x X, t, f x T là tập nửa đại số. Định lý 2.1. [4, Định lý 2.3] Cho đa thức P x, y , trong đó x x 1 , , x n . Khi đó tồn tại phép phân hoạch nửa đại số A 1 , , A m của R n sao cho, mỗi k 1, , m, P x, y có dấu thuộc 0, 0, 0 , với mọi x A k và y R hoặc tồn tại hữu hạn hàm liên tục nửa đại số ξ 1 ξ n trên A k sao cho • ξ 1 x , , ξ r k x là tập không điểm của P x, y , với mỗi x A k ; • Dấu của P x, y , x A k chỉ phụ thuộc vào dấu y ξ i x , mỗi i 1, , r k . Hệ quả 2.1. Cho đa thức P x, y , trong đó x x 1 , , x n . Khi đó tồn tại phép phân hoạch nửa đại số A 1 , , A m của R n sao cho, mỗi k 1, , m, không điểm của P 1 , , P t trên A k được cho bởi các hàm liên tục nửa đại số ξ 1 ξ n và dấu của mỗi p j x, y trên A k chỉ phụ thuộc vào dấu của y ξ i x , i 1, , r k . 8 2.2 Tập nửa giải tích, tập dưới giải tích 2.2.1 Tập nửa giải tích Gọi U là tập con mở của không gian R n . Ta ký hiệu O U là tập các hàm giải tích trên U. Định nghĩa 2.1.1. Tập con A của R n được gọi là nửa giải tích nếu mỗi điểm thuộc R n có lân cận V sao cho A V có dạng: p i 1 q j 1 x V : f ij x 0, g ij 0 , trong đó f ij , g ij : V R là các hàm giải tích thực; với mỗi 1 i p, 1 j q. Định nghĩa 2.1.2. Cho X là tập con của M . Hàm f : X R gọi là nửa giải tích nếu đồ thị của nó là tập nửa giải tích. Bổ đề 2.1.1.(Bổ đề Thom) Cho P 1 x , , P m x là các hàm đa thức một biến. Đặt A m i 1 x R : P i x σ i 0 , trong đó σ i là các dấu , , . Khi đó (i) A ∅ hoặc là tập liên thông. (ii) Nếu A ∅ thì ¯ A m i 1 x : P i x ¯σ i 0 , trong đó ¯σ i là các dấu , , . Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo m. Khi m 0 thỏa mãn. Giả sử khẳng định trên đúng với m 1, trong đó m 1. Sắp xếp P 1 x , , P m x sao cho P m x có bậc cao nhất. Đặt A m 1 i 1 x : P i x σ i 0 . Khi đó A A x : P m x σ m 0 . Giả thiết A ∅. Nếu A là giá trị thì kết quả được suy ra. Nếu A là một khoảng thì đạo hàm của P m có hằng số dấu trên A . Do đó P m đơn điệu hoặc hằng số trên ¯ A . Kết quả được chứng minh. Mệnh đề 2.1.1. Cho f 1 x, y , , f t x, y O M y . Khi đó tồn tại phép phân [...]... ton c c, v i B l t p con d i gi H Đ qu 2.2.2 Cho hm s f : Rn i tớch c a Rn 20 Chng 3 B t ng th c Lojasiewicz cho hm khụng trn 3.1 B t ng th c Lojasiewicz cho hm liờn t c d i gi i tớch M nh 3.1.1 Cho f l hm d i gi i tớch, ký hi u pcritf qa l thnh ph n liờn thụng c a critf ch a a, domf úng tng i v f |domf liờn t c Khi ú Đ f Đpcritf qa l h ng s nh lý 3.1.1 Cho f : Rn ẹ R tVu l hm d (3.1) i gi i tớch,... p3.2.1q cng th a B t ng th c Lojasiewicz khi xột trờn lõn c n c a a domf 26 3.3 c trng B t ng th c Lojasiewicz trong khụng gian Hilbert 3.3.1 B t ng th c Lojasiewicz v i i u ki n metric chớnh nh ngha 3.3.1 (Metric chớnh c a hm a tr ) r0, Vq (i) nh x a tr F c g i l kĂ metric chớnh t px, yq GraphF, n u t n t i , Ă 0 sao cho Cho k dpx, F Ă1 py qq Ô kd py, F pxqq, (ii) Cho V l t p con khỏc r ng... 1 L y p, 1q v s d ng p3.6q t n t i t0 Ă 0 sao cho ptq Ơ ct , dt r0, t0 q Vỡ f |domf liờn t c t i a nờn t n t i à Ă 0 sao cho dx domf B pa, àq c p3.2q ta quan sỏt th y mf pxq Ơ pf pxqq Ơ cf pxq , dx B pa, àq Ơ 23 Nh n xột 3.1.1 B t ng th c Lojasiewicz kh ng nh trờn v n ỳng trờn lõn c n i m a domf zcritf 24 3.2 B t ng th c Lojasiewicz cho hm l i, d i gi i tớch, n a liờn t c d i M nh 3.2.1... sao cho z p0q a v z pp0, 1qq A B 2.2.2 (Tớnh n i u) [9, 4.1] Cho trong R N u : p, q ẹ R l hm d t i phộp phõn ho ch i gi i tớch ton c c thỡ t n t0 : t1 tl1 : Đ c a p, q sao cho Đpt ,t q l C V v i m i i t0, , lu Hn n a [8], cú khai tri n P uiseux t i t ; t c l, t n t i Ă 0, s k, l NƯ v dóy tan unƠl R i i 1 sao cho ptq a pt Ă q nƠl n n k v i m i t p, q B 2.2.3 (Nhõn t Lojasiewicz) ... (iii) th a cho AzY Gi thi t Y gj l cỏc hm gi i tớch, l y g dimA, ch ng tx : g1pxq gppxq 0u, trong ú gj 2 Ơ B 2.1.4 (B c t) Cho X W , X l n a gi i tớch v compact tng i Khi ú t n t i h u h n B q; i B, |B : B ẹ U t p con trn n a gi i tớch B con X sao cho: (i) pX q p (ii) V i m l phộp nhỳng; (iii) V i m i B thỡ khụng gian con pTx Aq, x B cú chung ph n bự c a U B 2.1.5 Cho t p... critg suy ra S : critf l d i gi i tớch Ch ng minh Xột hm g pxq T i gi i tớch v liờn t c Ta bi u di n g suy ra i u ki n cho f dS pxq 0 ụ |g pxq Ă min g | 0, dx K Dựng b nhõn t Lojasiewicz cho hai hm d i gi i tớch |g Ă min g | v dS trờn t p K s t n t i r Ă 1 v c Ă 0 sao cho crdS pxqs r Ô |gpxq Ă min g| , dx K M t khỏc, v i gi thi t Ô f , critf critg, inf f inf g ta cú: R R |f pxq Ă min... c d i t T M nh 2.1.3 Cho M l a t p gi i tớch th c, X l t p con úng d i gi i U pAq; dimpX U q v tớch c a M Khi ú v i m i i m c a X cú lõn c n U sao cho X trong ú A l t p con úng gi i tớch c a U :U Â Rn ẹ U, |A Â Rq , dimA l hm chớnh M nh 2.1.4 Cho M l a t p gi i tớch th c, X M Khi ú cỏc kh ng nh sau l tng ng: (i) X d i gi i tớch; (ii) M i i m c a M cú lõn c n U sao cho X U i 1, , p;... 3.3.3 Cho a, b r Ă V, Vs c s Ă t f pxq (3.21) (i) ( ng liờn t c tuy t i t ng khỳc) V i a b ng : pa, bq ẹ H c g i l ng liờn t c tuy t i t ng khỳc n u t n t i phộp phõn ho ch m c c a kho ng pa, bq sao cho |Ik l liờn t c tuy t i 32 (ii) ( di ng cong) Cho : pa, bq khỳc di c a c xỏc nh b i: lengthr s : ẹ H l ằb a ng liờn t c tuy t i t ng } ptq}dt W (iii) ( ng d i gradient t ng khỳc) Cho. .. : p0, rs ẹ H sao cho prq R prq, R Ă talweg B 3.3.1 (Quy t c dõy chuy n) Cho hm s f : H (i) N u : p0, 1q ẹ H l hm thu c C 1 thỡ B , dr p0, rs dr p0, rs (3.24) c g i l ẹ R tVu Khi ú fp Ơ f qpxq I pf pxqqff pxq, dx r0 f 1s (ii) N u : p0, 1q ẹ H l ng thu c C 1 thỡ W fpf Ơ qptq tx ptq, pptqy : pptq ff p ptqqu , dt p0, 1q B 3.3.2 Cho u l hm n a liờn t c trờn, sao cho u L1 p0, r0 q... i hm liờn t c : p0, r0 s ẹ R sao cho w Ơ u v L1p0, r0q Hn n u khụng tng thỡ cú th ch n l hm gi m nh lý 3.3.4 (B t ng th c d i gradient - c trng a phng) a, n u 34 ẹ R tVu l hm n a l i n a liờn t c d i, x rf 0s v th a i u ki n p3.22q, p3.23q Cỏc m nh sau l tng ng: (i)(B t ng th c Lojasiewicz) T n t i r0 p0, rq, p0, q v K p0, r0 q sao Cho f : H cho }fp Ơ f q}Ă Ơ 1, dx B px, q