Trong mục này hàm số được xét f : H ÑRY t 8uvà điểm ¯xP rf 0s. Ta luôn giả thiết điều kiện sau:
• Tồn tại ¯r,ε¯¡0 sao cho
x PB¯px,¯ ε¯q X r0 f ¤r¯s ñ 0R Bfpxq. (3.22)
• Tồn tại ¯r,ε¯¡0 sao cho
¯
Bpx,¯ ε¯q X rf ¤r¯s (3.23) là compact.
Mệnh đề 3.3.2.( Hàm dốc và nửa liên tục)
Cho f : H Ñ RY t 8u là hàm nửa lồi, nửa liên tục dưới. Khi đó (i) Hàm có giá trị thực mở rộng
H x ÞÑ }Bfpxq} : inf
pPBfpxq }p} (Dốc tại x) là nửa liên tục dưới.
p8, r0s rÞÑSDprq : inf
xPrf¤rsXD}Bfpxq} ( Dốc cực tiểu của mức r). là nửa liên tục dưới.
(iii) Với giả thiết (3.22) và (3.23). Nếu 0 r1 ¤r2 ¤r¯thì tồn tại ηr1,r2 ¡0 sao cho
inf
xPrr1¤f¤r2sXB¯p¯r,ε¯q}Bfpxq} ¥ηr1,r2 ¡0.
Mệnh đề 3.3.3. (Chọn đường liên tục tuyệt đối từng khúc)
Cho r0 ¡0 và ν : p0, r0s ÑH. Giả sử mỗi rP p0, r0s, tồn tại εr P p0, rq và đường liên tục tuyệt đối θr :prεr, rs ÑH sao cho
θrpsq Pνpsq, @s P prεr, rs.
Khi đó tồn tại phép phân hoạch đếm được tInuPN của p0, r0svà đường
θr :p0, r0s ÑRn củaν sao cho θ là đường liên tục tuyệt đối trên mỗi In.
Định nghĩa 3.3.4. (Talweg/Valley)
(i) Cho ¯xP rf 0svà giả sử tồn tại ¯r,ε¯¡ 0 sao chox PB¯px,¯ ε¯q X r0 f ¤r¯s ñ 0R Bfpxq. Gọi D là tập đóng bị chặn chứa ¯Bpx,¯ ε¯q X r0 f ¤r¯s. Với R ¡1, ta định nghĩa Rvalley của f xung quanh ¯x, ký hiệu υRDpq được xác định bởi:
υRDprq : " xP rf rs XD: }Bfpxq} ¤R inf yPrfrsXD}Bfpyq} * , @rP p0,r¯s. (3.24) (ii) Một đường cong θ : p0,r¯s Ñ H sao cho θprq P υRDprq, @r P p0,r¯s được gọi là
Rtalweg.
Bổ đề 3.3.1. (Quy tắc dây chuyền) Cho hàm số f :H ÑRY t 8u. Khi đó (i) Nếu ϕ: p0,1q ÑH là hàm thuộc C1 thì
Bpϕfqpxq ϕ1pfpxqqBfpxq, @x P r0 f 1s.
(ii) Nếu γ : p0,1q ÑH là đường thuộc C1 thì
Bpf γqptq tx 9γptq, pptqy :pptq P Bfpγptqqu, @t P p0,1q.
Bổ đề 3.3.2.Cho u là hàm nửa liên tục trên, sao cho uPL1p0, r0q. Khi đó tồn tại hàm liên tục ω : p0, r0s Ñ R sao cho w¥ u và ω PL1p0, r0q. Hơn nữa, nếu
u không tăng thì ω có thể chọn là hàm giảm.
Cho f : H Ñ RY t 8u là hàm nửa lồi nửa liên tục dưới, ¯x P rf 0s và thỏa điều kiện p3.22q,p3.23q. Các mệnh đề sau là tương đương:
(i)(Bất đẳng thức Lojasiewicz). Tồn tại r0 P p0,r¯q, εP p0,ε¯q vàϕ P Kp0, r0q sao cho
}Bpϕfq} ¥1, @xPB¯px, ε¯ q r0 f ¤ r0s; (3.25) (ii)(Chặn độ dài của đường dưới gradient). Tồn tại r0 P p0,r¯q, εP p0,ε¯q và hàm liên tục tăng chặt σ : r0, r0s Ñ r0, 8q với σp0q 0 sao cho với mọi đường dưới gradient χx thỏa χxpr0, Tqq B¯px, ε¯ q X r0 f ¤ r0s, trong đó T P p0, 8s, ta có
»T
0
} 9χxptq}dt¤σpfpxqq σpfpχxpTqqq; (iii)(Đường dưới gradient từng khúc có độ dài hữu hạn).
Tồn tại r0 P p0,¯rq, εP p0,ε¯q vàM ¡0 sao cho với mọi đường dưới gradient bất kì γ :r0, Tq ÑH,pT P p0, 8sq ta có
γpr0, Tqq B¯px, ε¯ q X r0 f ¤r0s ñlengthrγp0,Tq s= »T
0
} 9γpτ}dτ M;
(iv) (Độ dài hữu hạn của Talweg). Với mỗi R ¡ 1, tồn tại r0 P p0,r¯q, ε P p0,ε¯q, tập đóng bị chặn Dchứa ¯Bpx, ε¯ qXr0 f ¤r0svà đường liên tục tuyệt đối từng khúc θ : p0, r0s Ñ H có độ dài hữu hạn là Rtalweg;
pvq(Điều kiện khả tích). Tồn tại r0 P p0,r¯q, εP p0,ε¯q sao cho hàm
uprq 1
inf
xPB¯px,ε¯ qXrfrs}Bfpxq}, r P p0, rs có giá trị hữu hạn và thuộc L1p0, r0q.
Chứng minh. rpiq ñ piiqs. Gọi χx là đường dưới gradient với xP r0 f ¤ r0svà giả thiết χxpr0, Tqq B¯px, ε¯ q X r0 f ¤ r0s, T ¡0.
Lấy x P domf. Vì ϕ thuộc C1, theo định lý p3.3.2qpvq và bổ đề p3.3.1q, ta suy ra đường tÞÑ ϕpfpχxptqqq liên tục tuyệt đối có đạo hàm
d
dtpϕf χxqptq ϕ1pfpχxptqqq} 9χxptq}2
trên p0, Tq. Lấy tích phân trên p0, Tq, theo p3.25q và χxp0q x ta có
ϕpfpxqq ϕpfpχxpTqqq »T
0
d
»T 0 ϕ1pfpχxptqqq} 9χxptq}2 dt¥ »T 0 } 9χxptq}dt.
Do đó (ii) thỏa cho σ : ϕ và tất cả các đường dưới gradient có điểm xuất phát thuộc domBf. Lấy xP domfzdomBf và cố định δ P p0, Tq. Từ χxprδ, Tsq
domBf, bất đẳng thức ở trên suy ra »T
δ
} 9χxptq}dt ¤σpfpχxpδqqq σpfpχxpTqqq.
Lấy δ × 0 và sử dụng tính liên tục của ánh xạ t ÞÑ fpXxptqq tại 0 (định lý p3.3.2qpiiq) ta suy ra điều cần chứng minh.
rpiiq ñ piiiqs Gọi γ là đường dưới gradient từng khúc và Ik là khoảng của phép phân hoạch r0, Ts. Lấy taku, tbku là hai dãy số thực sao cho intIk pak, bkq. Từ
γ|Ik là đường dưới gradient, áp dụng giả thiết trên pak, bkq ta có
lengthrγ|Ik s ¤σpfpγpakqqq σpfpγpbkqqq.
Lấy mlà số tự nhiên và Ik1, ...., Ikm là họ con hữu hạn của phép phân hoạch. Ta giả thiết các khoảng này được sắp thứ tự là 0 ¤ ak1 ¤ bk1 ¤ ... ¤ akm ¤ bkm. Khi đó m
¸
1
rσpfpγpakiqqq σpfpγpbkiqqqs ¤σpfpγpak1qqq ¤ σpr0q.
Do đó họ tσpfpγpakqqq σpfpγpbkqqqu là khả tổng, theo định nghĩa tích phân
Bochner [4], ta được
lengthrγs ¤ ¸
kPN
lengthrγ|Ik s ¤σpr0q.
rpiiiq ñ piiqs Gọi r0 P p0,r¯q, ε P p0,ε¯q, chọn r, r1 sao cho 0 ¤ r1 r ¤r0 và ký hiệu Γr1,r là tập gồm tất cả các đường dưới gradient từng khúc γ : r0, Ts Ñ H, (trong đó T P p0, 8s) sao cho
γpr0, Tqq B¯px, ε¯ q X rr1 f ¤ rs Ta đặt: ψpr1, rq : sup γPΓ r1,r lengthrγs và σprq :ψp0, rq.
Với giả thiết ta nhận xét rằng ψ và σ có giá trị hữu hạn. Từ định nghĩa p3.3.3q suy ra
ψp0, r1q ψpr, r1q ψp0, rq. (3.26) Do đó mỗi xPB¯px, ε¯ q X r0 f ¤ r0svà T ¡ 0 sao cho
χxpr0, Tsq Bpx, ε¯ q X r0 f ¤r0s,
ta có »T
0
} 9χxpτq}dτ σpfpχxpTqqq ¤ σpfpxqq. (3.27) Vì hàm σ không âm và tăng, ta có thể mở rộng tính liên tục tại 0 bằng cách đặt
σp0q limtÓ0σptq ¥ 0. Từ p3.27q ta thay σpq bởi σpq σp0q, không mất tổng quát giả thiết σp0q 0.
Để chứng minh điều kiện đủ, ta thiết lập tính liên tục của hàm σ trên p0, r0s. Cố định ˜rP p0, r0q và lấy đường dưới gradient χ :r0, Tq ÑH thỏa
χpr0, Tqq B¯px, ε¯ q X rf ¤r0s, trong đó T P p0, 8s. Đặt fpχp0qq r, lim
tÑT fpχptqq r1 và giả thiết ˜r ¤r1 ¤r ¤r0.
Từ định lý p3.3.2qpivq và mệnh đề 42(iii), ta suy ra T 8, vì vậy
χpr0, Tsq B¯px, ε¯ q X rr1 ¤ f ¤rs.
Dùng giả thiết p3.22q cùng với định lý p3.3.2qpiq,pvq ta suy ra đường liên tục tuyệt đối f χ: r0, Ts Ñ rr1, rscó hàm ngược và
d dρrf χs1pρq 9χprf χs11 pρqq2 ¥ 1 inf xPB¯px,ε¯ qXrr˜¤f¤r0s }Bfpxq}2 : K, @ρ P pr, r1q. Theo mệnh đề 3.3.2(iii) ta có K 8 và do đó hàm ρ ÞÑ rf χs1 pρq liên tục Lipschitz với hằng số K P rr1, rs. Dùng bất đẳng thức Cauchy và định lý p3.3.2qpivq ta được lengthrχs »T 0 } 9χ} ¤?T d»T 0 } 9χ} brf χs1 prq rf χs1 pr1q d»T 0 } 9χ}2 ¤ aKprr1qarr1 ?Kprr1q.
Như vậy với đường dưới gradient γ :r0, Tq Ñ H sao cho
γpr0, Tqq B¯px, ε¯ q X rr1 f ¤ rs thỏa mãn
lengthrγs ¤?Kprr1q.
Từ p3.26q ta được σprq σpr1q ¤?Kprr1q, như thế σ liên lục.
rpiiq ñ pivqs Trước tiên ta thiết lập sự mở rộng tập con đóng bị chặn D của r0 f ¤r0s thỏa
xPD, t ¥0, fpχxptqq ¡ 0ñχxptq PD. (3.28) Lấy r ¥r0 ¡ 0 sao cho σpr1q ε
3 và đặt D : y PB¯px, ε¯ q X r0 f ¤r1s: DxPB¯px,¯ ε3q X r0 f ¤r1s,Dt¥0, χxptq y( . Ta chứng minh p3.28q thỏa, tức là xPB¯px,¯ ε 3q X r0 f ¤r1s, t ¥0, fp χxptqq ¡0ñχxptq PD.
Cố định x P B¯px,¯ 3εq X r0 f ¤ r1s. Theo tính liên tục của dõng, ta thấy rằng t ¡ 0 ta có χxptq P B¯px, ε¯ q, @t ¥ 0 sao cho χxpr0, tsq B¯px, ε¯ q, trong đó
fpχxptqq ¡0. Từ giả thiết suy ra
}χxptq x¯} ¤ }χxptq x} }xx¯} ¤ »t 0 } 9χxpτq}dτ ε 3 ¤σpr1q ε 3 ¤ 2ε 3 . (3.29) Do đó p3.28q thỏa và ¯Bpx,¯ ε3q X rf ¤ r1s D.
Ta chứng minh D đóng(tương đối) trong r0 f ¤r1s. Lấy tykuk¥1 là dãy trong
D hội tụ đến y với fpyq P p0, r1s. Khi đó tồn tại dãy txnun B¯px,¯ 3εq X r0
f ¤ r1s và ttnun R sao cho χxnptnq yn. Vì f nửa liên tục dưới nên tồn tại n0 P N và η ¡ 0 sao cho fpynq ¡ η, @n ¥ n0. Theo định lý p3.3.2q, (ii),(iv), p3.22q và mệnh đề 42(iii), ta được: 0 tn inf zPB¯px,ε¯ qXrη¤f¤r1s }Bfpzq}2 ¤ »tn 0 } 9χxnptq}2 dt ¤fpxnq ¤r1, @n ¥n0. Suy ra dãy ttnun bị chặn. Theo tính compact ta suy raxn Ñx˜ vàtn Ñt˜, trong đó ˜x P B¯px,¯ 3εq X rf ¤ r1s và ˜t P R . Theo định lý p3.3.3q suy ra y χx˜p˜tq và
Bây giờ ta xây dựng đường liên tục tuyệt đối từng khúc trong valley. Theo mệnh đề 3.3.2 ta đặt
SDprq : inf }Bfpxq} :x PDX rf rs(,
do đó với R ¡ 1, R valley xung quanh ¯x được xác định là:
υDRprq: xP rf rs XD :}Bfpxq} ¤ RSDprq(.
Nếu ¯Bpx,¯ ε3q X rf rs ∅, @r P p0, r1s thì thỏa mãn. Nếu trường hợp khác thì tồn tại 0 r2 ¤ r1 và x2 P B¯px,¯ ε3q X rf r2s D. Theo định lý p3.3.2q và mệnh đề 3.3.2 ta suy ra χx2ptq P rf fpχx2ptqqs XD X domBf, @t ¥ t0, sao cho rf χx2sptq ¡ 0 và hàm ngược rf χx2s1
pq xác định trên khoảng chứa p0, r2q. Mặt khác, tập rf rs XDXdomBf ∅, với mỗi r P p0, r2q. Suy ra
υRD ∅, @rP p0, r2q. Không mất tính tổng quát ta giả thiết υDRpr2q ∅.
LấyR1 P p1, RqvàxP rf r2sXDsao cho}Bfpxq} ¤R1SDpr2q. GọiρP pR1, Rq, vì ánh xạtÞÑ }Bfpχxptq}liên tục phải nên tồn tạit0 ¡0 sao cho}Bfpχxptqq}
ρSDpr2q, @tP p0, t0q. Mặt khác theo mệnh đề 3.3.2 hàm tÞÑ SDpfpχxptqq là nửa liên tục dưới, do đó tồn tại t1 P p0, t0q sao cho
RSDfpχxptqq ¡ρSDpr2q, @tP p0, t2q.
Theo tính liên tục của ánh xạ χxpq và p3.28q ta suy ra tồn tại t2 ¡ 0 sao cho
χxptq PυRDpfpxptqqq, @tP r0, t2q.
Lập luận tương tự như rpiiiq ñ piiqs ta xác định đường liên tục tuyệt đối pf χx2pt2q, r2sr ÞÑθprq χxprf χx2s1
prqq P DX rf rs.
Áp dụng mệnh đề 3.3.3 cùng với bổ đề Zorn, ta được đường dưới gradient từng khúc, ký hiệu là θ, xác định trên p0, r2sthỏaθprq P υDRprq, @rP p0, r2s. Giả thiết (iii) cho ta lengthrθs M 8. Vậy suy ra điều cần chứng minh.
rpivq ñ pvqs Theo bổ đề 3.3.1 ta có
d
drpf θqprq 1Aθ9prq, pprqE, @r P p0, r0s, @pprq P Bfpθprqq.
Theo bất đẳng thức Cauchy và quan hệDXrf rs B¯px, ε¯ qXrf rs, ta được
R 9θprq ¥ uprq 1 inf
Vì θ có độ dài hữu hạn và u đo được ta suy ra uPL1p0, r0q.
rpvq ñ piqs. Theo mệnh đề 3.3.2 ta suy ra hàm u có giá trị hữu hạn và nửa liên tục trên. Áp dụng bổ đề 3.3.2 ta được hàm ¯u : p0, r0s Ñ p0, 8q liên tục sao cho ¯uprq ¥uprq, @rP p0, r0s. Đặt ϕprq »r 0 ¯ upsqds. Thấy rằng ϕp0q 0, ϕ P Cpr0, rsq XC1p0, rq và ϕ1prq ¡ 0, @r P p0, r0q. Lấy xPB¯px, ε¯ q X rf rs vàq P Bpϕfqpxq. Theo bổ đề 3.3.1 ta suy ra p: q ϕ1prq P Bfpxq và do đó }q} ϕ1prq ϕ1qprq ¥uprq }p} ¥1.
Chương 4
Áp dụng Hệ động lực vi phân
Trong chương này ta xét hàm f thỏa các điều kiện: pH1q f lồi nửa liên tục dưới hoặc dưới C2 trên domf Rn pH2q domf ∅ và bị chặn dưới.
Định nghĩa 4.1.Hàm số f được gọi là dưới C2 nếu với mỗi x0 thuộcdomf tồn tại lân cậnU, không gian topo compact S và hàm liên tục F : US Ñ R thỏa: i) fpxq max
sPS Fpx, sq, @x PU; ii) Các đạo hàm riêng ∇xp,q và ∇2
xp,q tồn tại và liên tục.
Định nghĩa 4.2. Hệ động lực dưới gradient là bao hàm thức vi phân có dạng: 9
xptq Bfpxptqq 0, (*) trong đó Bf : Rn Ñ Rn là dưới vi phân giới hạn của f.
Quỹ đạo của hệ là đường liên tục tuyệt đối x: r0;Tq ÑRn thỏa: $ ' & ' % 9 xptq Bfpxptqq 0, tP p0, Tq Bfpxptqq ∅, tP r0, Tq. pGq
Định lý 4.1. (Sự tồn tại của quỹ đạo) Cho hàm f có giả thiết pH1q và pH2q. Nếu x0 PRn thỏa Bfpx0q ∅, thì tồn tại duy nhất quỹ đạo x: r0, Tq ÑRn của hệ động lực sao cho xp0q x0.
Hệ quả 4.1. Gọix: r0, Tq ÑRn là quỹ đạo của hệ (*) thỏa xp0q x0. Khi đó: i) Với mọi tP p0, Tq, d
dtpf xqptq x 9xptq, xy, @x P Bfpxptqq.
ii) Với mọi tP p0, Tq, hàm x ÞÑ x 9xptq, xy là hằng số trên Bfpxptqq. iii) Quỹ đạo x có thể mở rộng đến quỹ đạo cực đại ˆxPW1,2pR ;Rnq.
Chứng minh.Đặt hf x và nhận thấy rằng các đường liên tục tuyệt đối hvà
x khả vi trên p0, TqzN, trong đó N là tập có độ đo 0.
Lấy t P p0, TqzN. Từ xptq P domBf và Bfpxptqq ˆBfpxptqq, thỏa quy tắc dây chuyền ta được:
Bhptq !h1ptq) " d dtpf xqptq * tx 9xptq, xy, x P Bfpxptqqu. Do đó i) và ii) được suy ra.
Để chứng minh iii), trước tiên ta chứng minh xP W1,2pp0, Tq;Rnq. Từ i) ta suy ra d dtpf xqptq } 9xptq}2 ,@tP p0, Tq. Do đó f là hàm Lyapunov của hệ động lực và »T 0 } 9xptq}2 dt fpx0q fpxpTqq 8;
tức là, x9 P L2pp0, Tq;Rnq. Thấy rằng x9ptq bị chặn khi t Ñ T. Theo ([7,p.147]),
f dưới C2 và đồ thị Bf đóng ta cóxpTq P domBf. Do đó theo kết quả sự tồn tại quỹ đạo, quỹ đạo ban đầu được mở rộng trên r0, T δq, với δ ¡ 0 chứa r0, Ts. Chứng tỏ sự mở rộng cực đại của xptqq xác định trên p0, 8q.
Hệ quả 4.2.Gọixlà quỹ đạo cực đại của hệ(*) thỏaxp0q x0. Khi đó, @tPR