Định nghĩa 3.3.1. (Metric chính của hàm đa trị)
Cho k P r0, 8q. (i) Ánh xạ đa trị F được gọi là k metric chính tại px,¯ y¯q PGraphF, nếu tồn tại ε, δ ¡ 0 sao cho
dpx, F1pyqq ¤kdpy, Fpxqq, @px, yq PBpx, ε¯ q Bpy, δ¯ q.
(ii) Cho V là tập con khác rỗng của X Y. Ánh xạ đa trị F được gọi là k metric trên V nếu F là k metric chính tại mọi điểm px,¯ y¯q PGraphF XV.
Nhận xét 3.3.1.Mệnh đề (i) ở trên tương đương khẳng định piq1 như sau : Với mỗipx,¯ r¯q PGraphF, với ¯xP r0 f r0s và ¯rP p0, r0q, tồn tạiε, δ ¡0 sao cho
dpx,rf ¤rsq ¤ kpfpxq rq , (3.11) trong đó $ ' & ' % xP Bpx, ε¯ q X r0 f r0s r P p¯rδ,r¯ δq X p0, r0s.
Chứng minh. Rõ ràng (i) suy ra piq1. Ngược lại, xét
px,¯ r¯q PGraphF X r0 f r0s p0, r0q.
Từpiq1lấyε, δ ¡ 0 sao cho 0 r¯δ r¯ 2δ r0, ε ¤kpr0r¯2δqvàf dương trênBpx, ε¯ q. Với px, rq PBpx, ε¯ q p¯rδ,r¯ δq, ta córP p0, r0q vàfpxq ¡0. Do đó theo piq1 nếu fpxq r0, ta có dpx,rf ¤rsq ¤kpfpxq rq kdpr, Fpxqq. Nếu fpxq ¥ r0 thì dpx,rf ¤ rsq ¤ dpx,x¯q dpx,¯ rf ¤ rs) ¤ε kpfpx¯q rq ¤
ε kδ ¤kpr0r¯δq ¤kpr0r¯q ¤kpfpxq rq kdpr, Fpxqq. Do đó piq1 suy ra (i).
Định lý 3.3.1.Cho X là không gian metric đầy đủ,f : X Ñ RY t 8ulà hàm nửa liên tục dưới và r0 ¡ 0. Giả sử r0 f r0s ∅. Các khẳng định sau là tương đương: (i) Ánh xạ đa trịF : $ ' & ' % X Ñ R xÞÑ rfpxq, 8q là k metric chính
trên r0 f r0s p0, r0q;
(ii) Với mọi r P p0, r0q và x Pr0 f r0s thì dpx,rf ¤rsq ¤ kpfpxq rq ; (iii) Với mọi x P r0 f r0sthì |∇f| pxq ¥ 1
k.
Hệ quả 3.3.1.
Cho rP p0, r0q và xP rf rs. Khi đó tồn tại r r và x P rf rssao cho
dpx, xq ¤k1prr1q, (3.12) trong đó
dpx,rf ¤ssq ¤ k1prsq, @sP rr, rs.
Chứng minh. Áp dụng piq1 tại px, rq PGraphF, tồn tại ρ P p0, rq sao cho
dpx,rf ¤ss)¤ kprsq, @sP rρ, rs. Từ k1 ¡ k, tồn tại x P rf ¤ ρs thỏa dpx, x) ¤ k 1 kdpx,rf ¤ ρs), do đó p3.11q suy ra dpx, x) k1prρq. Đặt r fpxq ¤ρ và nhận xét rằng với sP rr, ρs ta có dpx,rf ¤ssq ¤dpx, xq ¤k1prρq ¤k1prsq k1pfpxq sq. Tính chất 3.3.1. GọiA là họ gồm các tpxi, riquiPI rf ¤ r1s R chứa px1, r1q thỏa các điều kiện:
• pP1q. fpxiq ri, mọi i PI vàri rj, i j;
• pP2q. Nếu i, j P I và ri rj thì dpxj, xiq ¤k1prjriq;
• pP3q. Đặt r inftri : i PIu và lấy s P pr, r
1s ta có: dpx1,rf ¤ ssq ¤
k1pr1sq.
Khi đó A là tập sắp thứ tự toàn phần nên có phần tử lớn nhất.
Hệ quả 3.3.2. Giả sử phần tử cực đại của A trong tính chất p3.3.1q ở trên là
M tpxi, riquiPI. Khi đó
r inf
iPI ri¤ 0. (3.13)
Chứng minh. Ta chứng minh phản chứng. Giả sử r ¡ 0. Ta giả thiết tồn tại
j P I sao cho r rj. Đặt r : r
j rj, x
j x P rf rs và xét họ
M1 M Y tpx, rqu. Khi đó M1 thỏa pP1q. Thấy rằng, mỗi i P I thì
dpx, x
i) ¤dpx, x
Lấy sP rr,r
js, với px, rq ta có đánh giá
dpx1,rf ¤ssq ¤ dpx1, xjq dpxj,rf ¤ ssq ¤ k1pr1rjq k1prjsq ¤k1pr1sq.
Như thế M1 PA. Điều này mâu thuẫn tính cực đại của M. Do đó còn lại ta xử lý trường hợp inf imum r không đạt được.
Lấy dãy giảm trinun¥1, in PI thỏa ri1 r1 và rin × r. Để cho đơn giản ta ký
hiệu trinun¥1 là trnun¥1 và txinun¥1 là txnun¥1. Áp dụng pP2q ta được
dpxn, xn m)¤ k1prnrn mq. (3.14) Nhận xéttxnun¥1 là dãy Cauchy do đó hội tụ đếnx. Trongp3.14q chomÑ 8 ta được dpxn, x) ¤k1prnrq, @n P N. Lấy i PI, tồn tại n sao cho rn ri và khi đó
dpx, x
i) ¤dpx, x
nq dpxn, xiq ¤k1prirq ¤k1prifpxqq. (3.15) Ta đặtfpxq ρ ¤r và M1 MY tpx, ρqu. Vì inftri :i P Iu không đạt nên họM1thỏapP1q. Từp3.15qta thấyM1thỏapP2q. Lấys P rρ, rs. Vìx P rf ¤ ss ta có
dpx1,rf ¤ss) ¤dpx1, x)¤ k1pr1rq ¤k1pr1sq.
Do đó M1 P A mâu thuẫn với tính cực đại của M.
Cho k1 Ñk. Hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 3.3.3. (Bất đẳng thức Lojasiewicz và ánh xạ tập mức dưới)
Cho hàm f : X Ñ RY t 8u là hàm nửa liên tục dưới xác định trên không gian metric đầy đủ X và ϕ P Kp0, r0q. Giả sử r0 f r0s ∅. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) Ánh xạ đa trị $ ' & ' % X Ñ R xÞÑ r(ϕfqpxq, 8q là k metric chính trên r0 f r0s p0, ϕpr0qq; (ii) dprf ¤r1s,rf ¤r2s) ¤k|ϕpr1q ϕpr2q|, @r1, r2 P p0, r0q; (iii) Với mọi x P r0 f r0sthì
|∇pϕfq| pxq ¥ 1
k.
Ta nói hàm thỏa tính chất này gọi là metric chính cốt yếu.
dốc mạnh chính nếu mỗi điểm xPdomf thì |∇f| pxq |∇pfq| pxq.
Mệnh đề 3.3.1. (Ánh xạ mức và liên liên tục Lipschitz).
Cho X là không gian metric có hình cầu liên thông. Giả sử f : X Ñ R liên tục, dốc mạnh chính và p0, r0q fpXq. Khi đó các khẳng định của định lý 3.3.1 tương đương ánh xạ mức $ ' & ' % X ÑX
xÞÑ rf rs liên tục Lipschitz trên p0, r0q, với metric Hausdorf f.
Hệ quả 3.3.4. (Bất đẳng thức Lojasiewicz và ánh xạ mức)
Cho X là không gian metric có hình cầu liên thông. Giả sử f : X Ñ R liên tục, nghiêng mạnh chính, p0, r0q fpXq và ϕ P Kp0, r0q. Các khẳng định sau là tương đương:
(i) ϕf là k metric chính trên r0 f r0s (0,ϕ(r0qq; (ii) dprf r1s,rf r2sq ¤ k|ϕpr1q ϕpr2q|, @r1, r2 P p0, r0q; (iii) |∇pϕfq| pxq ¥ 1