Trong mục này ta nguyên cứu trên không gian Hilbert thực rH,x,ys, có chuẩn }x} axx, xy, @xPH.
Ta ký hiệu:
}C} dp0, Cq inft}x}: xPCu PRY t 8u,@C H. (3.16) Quy ước: }C} 8 nếu C ∅.
3.3.2.1. Một số khái niệm
i) Hàm f nửa lồi khi và chỉ khi
fpyq fpxq ¥ xp, y xy α}xy}2
; @x, yP H, pP Bfpxq, α ¡0. (3.17) ii) @xP H, Bfpxq là tập lồi đóng trong H.
iii) Ta ký hiệu B0fpxq là hình chiếu của 0 trên Bfpxq. Khi đó
}Bfpxq} B0fpxq (3.18) iv) Nếu f là hàm nửa lồi thì
}Bfpxq} |∇fpxq|
3.3.2.2. Các tính chất của đường dưới gradient
Trong mục này ta nói đến các tính chất chính đường dưới gradient của hệ $ ' & ' % 9 χxptq P Bfpχxptqq, tP p0, 8q χxp0q x Pdomf (3.19)
Định lý 3.3.2. (Đường dưới gradient)
Với mỗi xP domf tồn tại duy nhất đường dưới gradient χx : r0, 8q ÑH thỏa hệ p3.19q . Hơn nữa:
(i) χxptq Pdomf, @tP p0, 8q;
(ii) @t¡ 0, đạo hàm phải χ9xpt q xác định và bằng B0fpχxptqq. Đặc biệt, 9
χxptq B0fpχxptqq, @t;
(iii) Ánh xạ tÞÑ }Bfpχxptqq} liên tục phải tại mỗi tP p0, 8q ; (iv) Hàm tÞÑ fpχxptqq không tăng và liên tục trên r0, 8q. Hơn nữa,
fpχxptqq fpχxpτqq ¥ »τ
t
} 9χxpuq}2
du; @t, τ P r0, 8q, t¤τ; pvq Hàm tÞÑ Bfpχxptqq liên tục Lipschitz trên rη, 8q, @η ¡0. Hơn nữa,
d
dtfpχxptqq } 9χxptq}2
trên pη, 8q.
Định lý 3.3.3.(Liên tục của nửa dõng).
Cho f là hàm nửa lồi. Ánh xạ nửa dõng $ ' & ' % R domf ÑH pt, xq ÞÑχxptq
liên tục trên tập con củar0, TspBp0, RqXrf ¤rsq, trong đó T, R¡0 và rP R.
Chứng minh. Ta cố định x, y Pdomf và T ¡0. Khi đó với tP r0, Ts, tồn tại
ppχxptqq P Bfpχxptqq và qpχyptqq P Bfpχyptqq sao cho d dt}χxptq χyptq}2 2xχxptq χyptq,χ9xptq 9χyptqy 2xχxptq χyptq, ppχxptqq qpχyptqqy. Theo p3.17q ta được d dt}χxptq χyptq}2 ¤2α}χxptq χyptq}2 . (3.20) Dùng bổ đề Gronwal ta được }χxptq χyptq}2 ¤expp2αTq}xy}2 , với 0¤t¤T. Với 0 ¤t¤s ¤T, theo bất đẳng Cauchy và định lý (3.3.2) suy ra
}χxpsq χxptq} ¤ »s t } 9χxpτq}dτ ¤?st d»t s } 9χxpτq}2 dτ ¤ ?sta fpxq. (3.21) Định nghĩa 3.3.3. Cho a, bP r 8, 8s.
(i) (Đường liên tục tuyệt đối từng khúc). Với a b. Đường γ : pa, bq Ñ H được gọi là đường liên tục tuyệt đối từng khúc nếu tồn tại phép phân hoạch đếm được của khoảng pa, bq sao cho γ|Ik là liên tục tuyệt đối.
(ii) (Độ dài đường cong). Cho γ : pa, bq Ñ H là đường liên tục tuyệt đối từng khúc. Độ dài của γ được xác định bởi:
lengthrγs: »b
a
} 9γptq}dt.
(iii) (Đường dưới gradient từng khúc). Cho T P p0, 8s, đường γ : r0, Tq Ñ H
được gọi là đường dưới gradient từng khúc nếu tồn tại phép phân hoạch đếm được của r0, Ts sao cho:
• γ|Ik là đường dưới gradient với mỗi chỉ số k;
• Với hai khoảng rời nhauIkvà Il thì fpγpIkqqvà fpγpIlqq có nhiều nhất một điểm chung.
Nhận xét 3.3.2. Đường dưới gradient từng khúc là đường liên tục tuyệt đối từng khúc.