Ứng dụng phương trình hàm Cauchy

Luận văn PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY nhằm giúp cho giáo viên và học sinh có được hệ thống kiến thức để phục vụ cho các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Tài liệu là một chuyên đề hay và đặc sắc. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho bạn đọc và thương hiệu của tôi ngày một phát triển.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ TRÚC LY ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ TRÚC LY ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. NGUYỄN SUM Bình Định - Năm 2013 Mục lục Lời mở đầu 1 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị về hàm số một biến số 3 1.1 Hàm số chẵn - hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . 7 1.4 Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính . 9 Chương 2 Một số dạng phương trình hàm một biến 13 2.1 Phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Phương trình hàm Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Phương trình hàm Cauchy và phương trình hàm Jensen trên một đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Phương trình hàm dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Phương trình hàm dạng lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 3 Một số bài toán ứng dụng 34 3.1 Ứng dụng phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Ứng dụng phương trình hàm Jensen . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Ứng dụng phương trình hàm dạng lượng giác . . . . . . . . . . 54 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 Quyết định giao đề tài luận văn 63 1 Lời mở đầu Phương trình hàm là một trong những lĩnh vực sâu sắc trong toán sơ cấp, nó được sử dụng trong nhiều trong việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh các lớp chuyên chọn ở trường trung học phổ thông và trong các kỳ thi học sinh giỏi ở các cấp. Nhiều tài liệu và các đề tài về phương trình hàm đã được biên soạn và thực hiện. Tuy nhiên, mỗi tài liệu chỉ trình bày một số vấn đề và các ứng dụng chưa bao quát được đầy đủ các phương pháp giải tổng quát. Chủ yếu các tài liệu chỉ nói về các phương trình hàm đối với các hàm cần tìm là các hàm liên tục. Vì vậy các vấn đề về phương trình hàm vẫn còn rất phong phú. Mục đích của luận văn là trình bày vấn đề phương trình hàm theo hướng hệ thông hóa lý thuyết theo các dạng của phương trình hàm và ứng dụng một cách có hiệu quả hệ thống lý thuyết trong việc nhận dạng và giải các lớp phương trình hàm một biến số. Đặc biệt là ứng dụng các lý thuyết này trong việc giảng dạy và bồi dưỡng kiến thức toán học cho học sinh trung học phổ thông và làm tài liệu tham khảo cho sinh viên các ngành Toán học. Luận văn gồm ba chương: Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị về hàm số một biến số Chương 2. Trình bày một số dạng phương trình hàm một biến Chương 3. Một số bài toán ứng dụng 2 Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. NGUYỄN SUM. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đến Thầy. Thầy đã hướng dẫn tận tình để tác giả hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất. Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô trong Phòng sau đại học và Khoa Toán đã tạo điều kiện, giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. 3 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị về hàm số một biến số Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất của hàm số một biến số sẽ được sử dụng trong các chương sau. 1.1 Hàm số chẵn - hàm số lẻ Xét hàm số f x với tập xác định D f R và tập giá trị R f R. Định nghĩa 1.1.1. a) f x được gọi là hàm số chẵn trên M , M D f nếu x M x M và f x f x , x M. b) f x được gọi là hàm số lẻ trên M, M D f nếu x M x M và f x f x , x M. Mệnh đề 1.1.2. Cho x 0 R. Nếu hàm số f x thỏa mãn f x 0 x f x , x R (1.1.1) thì f x g x x 0 2 với mọi x R và g x là hàm số chẵn. Chứng minh. Đặt x x 0 2 t, suy ra t x 0 2 x . Khi đó x 0 x x 0 2 t 4 và (1.1.1) có dạng f x 0 2 t f x 0 2 t , t R. (1.1.2) Đặt g t f x 0 2 t thì (1.1.2) có dạng g t g t . Do đó g t là hàm số chẵn trên R. Vậy f x g x x 0 2 trong đó g x là hàm số chẵn tùy ý trên R. Mệnh đề 1.1.3. Nếu tồn tại a, b R sao cho hàm số f x thỏa mãn f a x f x b, x R (1.1.3) thì f x g x a 2 b 2 , trong đó g x là hàm số lẻ tùy ý trên R. Chứng minh. Đặt a 2 x t, thì x a 2 t và a x a 2 t. Khi đó (1.1.3) có dạng f a 2 t f a 2 t b. Đặt f a 2 t b 2 g t , ta có thể viết (1.1.3) dưới dạng g t g t 0, t R hay g t g t , t R. (1.1.4) Vậy f x g x a 2 b 2 , trong đó g x là hàm số lẻ tùy ý trên R. 1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn Định nghĩa 1.2.1. a) f x được gọi là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a 0 trên M D f nếu x M x a M, f x a f x , x M. (1.2.5) 5 b) Cho f x là một hàm tuần hoàn trên M. Khi đó số T 0 được gọi là chu kỳ cơ sở của f x nếu f x tuần hoàn với chu kỳ T mà không tuần hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn T . Chú ý 1.2.2. Tồn tại một hàm số f x khác hằng số, tuần hoàn trên R nhưng không có chu kì cơ sở. Chứng minh. Xét hàm Dirichlet f x 0, khi x Q, 1, khi x Q. Khi đó f x là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a Q tùy ý. Vì trong Q không có số nhỏ nhất nên hàm f x không có chu kỳ cơ sở. Mệnh đề 1.2.3. Nếu các hàm số f x , g x tuần hoàn trên M có các chu kỳ lần lượt là a và b với a b Q thì các hàm số F x : f x g x và G x : f x g x cũng là những hàm tuần hoàn trên M . Chứng minh. Theo giả thiết m, n Z với m, n 1 sao cho a b m n . Đặt T na mb. Khi đó F x T f x na g x mb f x g x F x , x M, G x T f x na g x mb f x g x G x , x M. Hơn nữa, dễ thấy x M thì x T M . Vậy F x , G x là những hàm tuần hoàn trên M. 6 Định nghĩa 1.2.4. Hàm số f x được gọi là phản tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ b b 0 trên M nếu M D f và x M x b M f x b f x , x M. Mệnh đề 1.2.5. Mọi hàm phản tuần hoàn trên M đều là hàm tuần hoàn trên M. Chứng minh. Theo giả thiết, b 0 sao cho x M thì x b M và f x b f x , x M. Khi đó, chúng ta có được x M thì x 2b M và f x 2b f x b b f x b f x f x , x M. Ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.2.6. Hàm số f x là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M khi và chỉ khi f x có dạng f x g x b g x với g x là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b. Chứng minh. Thật vậy, với f x thỏa mãn giả thiết trên, ta có f x b g x 2b g x b g x g x b g x b g x f x , x M. Hơn nữa, x M thì x b M. Do đó f x là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M. Ngược lại, với f x là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M, chọn g x 1 2 f x [...]... px.1q  xf p1q  ax V y f pxq  ax, dx R, a R cho tr c Ng c l i n u f pxq  ax, dx R v ia R thỡ th y r ng f l m t nghi m c a phng trỡnh Cauchy i u ki n liờn t c c a hm f tng ng v i m t trong cỏc i u ki n sau B 2.1.5 Cho f : R ẹ R l m t nghi m c a phng trỡnh Cauchy (2.1.2) khụng ng nh t b ng 0 Khi ú cỏc m nh sau õy l tng ng i) f liờn t c trờn R ii) f liờn t c t i i m x0 R iii) f liờn t c t i... trỡnh (2.1.1) l tỡm t p h p t t c cỏc nghi m c a nú Trong ph n ny chỳng tụi trỡnh by cỏc k t qu v vi c gi i phng trỡnh hm v i hai bi n t do F, G l cỏc phộp toỏn trờn R 14 nh ngha 2.1.3 Phng trỡnh hm Cauchy l phng trỡnh hm cú d ng f px y q  f pxq f py q, dx, y R, (2.1.2) trong ú f pxq l hm s xỏc nh trờn R nh lớ 2.1.4 Hm s liờn t c f pxq l nghi m c a phng trỡnh (2.1.2) khi v ch khi f pxq  ax,... k ln a trờn R 13 Chng 2 M t s d ng phng trỡnh hm m t bi n Chng ny trỡnh by m t s d ng phng trỡnh hm m t bi n s thụng d ng c s d ng nhi u trong vi c gi i cỏc bi toỏn v phng trỡnh hm 2.1 Phng trỡnh hm Cauchy nh ngha 2.1.1 Phng trỡnh hm m t bi n l ng th c cú d ng f pF px1 , x2 , , xk qq  Gpx1 , x2 , , xk , f px1 q, f px2 q, , f pxk qq, (2.1.1) trong ú: - f l hm s 1 bi n s c n tỡm xỏc nh... k n n V y limnẹV f pxn q  0  f p0q nờn f liờn t c tai 0, do ú f liờn t c K t h p nh lý 2.1.4 v B 2.1.5, ta th y r ng hm f th a món m t trong cỏc i u ki n c a B 2.1.5 l nghi m c a phng trỡnh hm Cauchy khi v ch khi f pxq  ax v i m i x R v a l h ng s H qu 2.1.6 Hm s f liờn t c trờn R v nghi m c a phng trỡnh hm f px y q  f pxqf py q, dx, y R (2.1.3) khi v ch khi f pxq  bx , v i m i x R v... nh lý c ch ng minh T cỏc k t qu trờn ta cú H qu 2.2.3 Nghi m c a phng trỡnh (2.2.4) l f pxq  f0 pxq b, trong ú f0 pxq l nghi m tựy ý c a phng trỡnh (2.1.2) v b l h ng s th c tựy ý 2.3 Phng trỡnh hm Cauchy v phng trỡnh hm Jensen trờn m t o n Trong ph n ny chỳng tụi trỡnh by vi c gi i cỏc phng trỡnh (2.1.2) v (2.2.4) v i hm c n tỡm f pxq xỏc nh v liờn t c trờn m t o n I R  r, s 21 nh lớ 2.3.1... n tớnh Xột phng trỡnh hm cú d ng f pax by cq  Af pxq Bf py q C, abAB $ 0 dx, y R (2.4.1) nh lớ 2.4.1 N u hm s f pxq th a món phng trỡnh (2.4.1) thỡ hm g pxq  f pxq Ă f p0q th a món phng trỡnh Cauchy g pu v q  g puq g pv q, Ch ng minh L y tựy ý u, v t x  u, y a R  vĂc , ta cú b f pu v q  Af t x  u, y a Ăuâ a Bf Ăv Ă c â C b (2.4.2)  Ă c , ta cú u  ax by c Do ú b f puq  Af ... ac ĂĂ 1 b N u a b  1 thỡ c Ă C  0 N u c  0 thỡ C  0 v $ 0, tựy ý N u c $ 0 thỡ  C v tựy ý nh lý c ch ng minh c Chỳ ý 2.4.3 -N uabAB  1, c  C  0 thỡ phng trỡnh (2.4.1) l phng trỡnh Cauchy (2.1.2) -N uabAB  1 , c  C  0 thỡ phng trỡnh (2.4.1) l phng 2 trỡnh Jensen (2.2.4) 2.5 Phng trỡnh hm d ng l ng giỏc nh lớ 2.5.1 N u hm s f pxq xỏc nh, liờn t c trờn R v th a món 6 9 8f x . quả của Mệnh đề 1. 4 .1, ta được điều cần chứng minh. Mệnh đề 1. 4.3. Hàm số f x thỏa mãn f ax f x , x R, (1. 4 .10 ) với a 0, a 1, khi và chỉ khi f x 1 2 g x g ax , trong đó g x h 1 1 2 log a x , nếu. chọn g x 1 2 f x 7 thì g x là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M và g x b g x 1 2 f x b 1 2 f x 1 2 f x 1 2 f x f x , x M. 1. 3 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính Định nghĩa 1. 3 .1. Hàm số. và 1 2 g bx g x 1 2 f bx f x 1 2 f x f x f x , x M. 1. 4 Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính Mệnh đề 1. 4 .1. Hàm số f x thỏa mãn hệ thức f ax f x , x R (1. 4.7) với a 0, a 1