Ứng dụng phương trình hàm Cauchy

Luận văn PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY nhằm giúp cho giáo viên và học sinh có được hệ thống kiến thức để phục vụ cho các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Tài liệu là một chuyên đề hay và đặc sắc. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho bạn đọc và thương hiệu của tôi ngày một phát triển.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ TRÚC LY

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ TRÚC LY

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN SUM

Bình Định - Năm 2013

Lời mở đầu 1 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị về hàm số một biến số 3

1.1 Hàm số chẵn - hàm số lẻ 31.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn 41.3 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính 71.4 Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính 9

Chương 2 Một số dạng phương trình hàm một biến 13

2.1 Phương trình hàm Cauchy 132.2 Phương trình hàm Jensen 192.3 Phương trình hàm Cauchy và phương trình hàm Jensen trên

một đoạn 202.4 Phương trình hàm dạng tựa tuyến tính 242.5 Phương trình hàm dạng lượng giác 26

3.1 Ứng dụng phương trình hàm Cauchy 343.2 Ứng dụng phương trình hàm Jensen 463.3 Ứng dụng phương trình hàm dạng lượng giác 54

Quyết định giao đề tài luận văn 63

Lời mở đầu

Phương trình hàm là một trong những lĩnh vực sâu sắc trong toán sơ cấp,

nó được sử dụng trong nhiều trong việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh cáclớp chuyên chọn ở trường trung học phổ thông và trong các kỳ thi học sinhgiỏi ở các cấp

Nhiều tài liệu và các đề tài về phương trình hàm đã được biên soạn vàthực hiện Tuy nhiên, mỗi tài liệu chỉ trình bày một số vấn đề và các ứngdụng chưa bao quát được đầy đủ các phương pháp giải tổng quát Chủ yếucác tài liệu chỉ nói về các phương trình hàm đối với các hàm cần tìm là cáchàm liên tục Vì vậy các vấn đề về phương trình hàm vẫn còn rất phong phú.Mục đích của luận văn là trình bày vấn đề phương trình hàm theo hướng

hệ thông hóa lý thuyết theo các dạng của phương trình hàm và ứng dụngmột cách có hiệu quả hệ thống lý thuyết trong việc nhận dạng và giải các lớpphương trình hàm một biến số Đặc biệt là ứng dụng các lý thuyết này trongviệc giảng dạy và bồi dưỡng kiến thức toán học cho học sinh trung học phổthông và làm tài liệu tham khảo cho sinh viên các ngành Toán học

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị về hàm số một biến số Chương 2 Trình bày một số dạng phương trình hàm một biến Chương 3 Một số bài toán ứng dụng

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS.NGUYỄN SUM Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọngsâu sắc đến Thầy Thầy đã hướng dẫn tận tình để tác giả hoàn thành luậnvăn này một cách tốt nhất Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô trong Phòng sauđại học và Khoa Toán đã tạo điều kiện, giúp đỡ cho tác giả trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu.

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị về hàm số một biến số

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất của hàm số mộtbiến số sẽ được sử dụng trong các chương sau

trong đó g pxq là hàm số chẵn tùy ý trên R.

Mệnh đề 1.1.3 Nếu tồn tại a, b P R sao cho hàm số fpxq thỏa mãn

2, trong đó g pxq là hàm số lẻ tùy ý trên R.

1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn

Định nghĩa 1.2.1.

a) f pxq được gọi là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a ¡ 0 trên M € Dpfq

nếu

$''

@x P M ñ x  a P M,

f px aq  fpxq, @x P M.

(1.2.5)

b) Cho f pxq là một hàm tuần hoàn trên M Khi đó số T ¡ 0 được gọi là chu

kỳ cơ sở của f pxq nếu fpxq tuần hoàn với chu kỳ T mà không tuần hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn T

Chú ý 1.2.2 Tồn tại một hàm số f pxq khác hằng số, tuần hoàn trên R

nhưng không có chu kì cơ sở

Chứng minh Xét hàm Dirichlet

f pxq 

$''

G pxq : fpxqgpxq cũng là những hàm tuần hoàn trên M.

Chứng minh Theo giả thiết Dm, n P Z với pm, nq  1 sao cho a

Định nghĩa 1.2.4 Hàm số f pxq được gọi là phản tuần hoàn (cộng tính) chu

kỳ b pb ¡ 0q trên M nếu M € Dpfq và

$''

Ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.2.6 Hàm số f pxq là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M khi

và chỉ khi f pxq có dạng fpxq  gpx bq
gpxq với gpxq là hàm tuần hoàn chu

thì g pxq là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M và

1.3 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 1.3.1 Hàm số f pxq được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu

kỳ a pa R t0, 1,
1uq trên M € Dpfq nếu

$''

Mệnh đề 1.3.3 Nếu các hàm số f pxq, gpxq là các hàm tuần hoàn nhân

tính chu kỳ a và b tương ứng trên M và ln|a|

Chứng minh Từ giả thiết suy ra |a| n

Do dó F pxq và Gpxq là những hàm tuần hoàn nhân tính trên M.

Định nghĩa 1.3.4 Hàm số f pxq được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ a pa R t0, 1,
1uq trên M nếu M € Dpfq và

$''

@x P M ۖ a1x, P M,

f paxq 
fpxq, @x P M.

Mệnh đề 1.3.5 Mọi hàm phản tuần hoàn nhân tính trên M cũng là hàm

tuần hoàn nhân tính trên M

Chứng minh Theo giả thiết tồn tại b R t0, 1,
1u sao cho với mọi x P M thì

b1 P M và fpbxq 
fpxq Do đó với mọi x P M thì pb2q1x P M và

f pb2

x q  fpbbxq 
fpbxq 
p
fpxqq  fpxq.

Như vậy, f pxq là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M.

Mệnh đề 1.3.6 Hàm số f pxq là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ

b pb R t0, 1,
1uq trên M khi và chỉ khi fpxq có dạng

f pxq  1

2pgpbxq
gpxqq, (1.3.6)

trong đó g pxq là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M.

Chứng minh Thật vậy, nếu f pxq có dạng (1.3.6) thì

h1ploga x q, nếu x ¡ 0,

c tùy ý, nếu x  0,

h2ploga |x|q, nếu x   0,

trong đó h1ptq, h2ptq là các hàm tuần hoàn cộng tính tùy ý chu kỳ 1 trên R.

Chứng minh Xét x ¡ 0 Đặt x  a t và f pa t q  h1ptq Khi đó, ta có t  log a x

và hệ thức (1.4.7) tương đương với

h1pt 1q  h1ptq, @t P R.

Xét x   0 Đặt
x  a t và f p
a t q  h2ptq Khi đó, ta có t  log a x và hệ

thức (1.4.7) tương đương với

h3p1

2log|a| x q, nếu x ¡ 0

d tùy ý, nếu x  0

h4p1

2log|a| x q, nếu x   0

trong đó h3ptq và h4ptq là các hàm tuần hoàn cộng tính tùy ý chu kỳ 1 trên R.

Chứng minh Với a   0 thì fpxq  1

2rgpxq gpaxqs , trong đó fpa2x q  fpxq

và f pxq được cho bởi công thức

Ngược lại, nếu f pxq thỏa mãn (1.4.8) thì chọn gpxq  fpxq Khi đó, ta có

h1p1

2log|a| x q, nếu x ¡ 0

d tùy ý, nếu x  0

h2p1

2log|a| x q, nếu x   0

với h1ptq, h2ptq là các hàm tuần hoàn cộng tính tùy ý chu kỳ 1 trên R.

Chứng minh Từ (1.4.10) suy ra f pa2x q  fpxq, @x P R Do đó, mọi nghiệm

của (1.4.10) đều có dạng

f pxq  1

2rgpxq
gpaxqs , trong đó g pa2

Chú ý 1.4.4 Nếu f pxq là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a ¡ 0 trên R thì

ta có được hàm số g ptq  fpln tq, pt ¡ 0q là hàm tuần hoàn nhân tính chu

kỳ e a trên R Ngược lại, nếu f pxq là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a p0   a  1q trên R thì gptq  fpe t q là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ ln a trên R.

Chương 2

Một số dạng phương trình hàm một biến

Chương này trình bày một số dạng phương trình hàm một biến số thôngdụng được sử dụng nhiều trong việc giải các bài toán về phương trình hàm

2.1 Phương trình hàm Cauchy

Định nghĩa 2.1.1 Phương trình hàm một biến là đẳng thức có dạng

f pF px1, x2, , x k qq  Gpx1, x2, , x k , f px1q, fpx2q, , fpx k qq, (2.1.1)trong đó:

- f là hàm số 1 biến số cần tìm xác định trên miền D € R, với giá trị

trong miền E € R,

- F là hàm số k biến số cho trước xác định trên D k € Rk,

- G là hàm số 2k biến số cho trước xác định trên D k  E k € R2k,

- x1, x2, , x k lấy giá trị tùy ý trong D.

Phương trình hàm (2.1.1) được gọi là phương trình hàm thường với k biến

tự do

Định nghĩa 2.1.2 Hàm số f : D Ñ E thỏa mãn phương trình (2.1.1) được

gọi là một nghiệm của phương trình đã cho Giải phương trình (2.1.1) là tìmtập hợp tất cả các nghiệm của nó

Trong phần này chúng tôi trình bày các kết quả về việc giải phương trình

hàm với hai biến tự do F, G là các phép toán trên R.

Định nghĩa 2.1.3 Phương trình hàm Cauchy là phương trình hàm có dạng

Chứng minh Cho x  y ta có fp2xq  2fpxq Bằng cách quy nạp theo n, ta

sẽ chứng minh f pnxq  nfpxq với mọi n P N và x P R.

Thật vậy, có thể thấy được trường hợp n  1 và n  2 hệ thức cần chứng minh là đúng Giả sử f pkxq  kfpxq, k ¥ 1 Khi đó

f ppk 1qxq  fpx kxq  fpxq fpkxq  fpxq kfpxq  pk 1qfpxq Cho x  y  0, suy ra fp0q  0.

Tiếp theo ta thay y 
x sẽ được

Ngược lại nếu f pxq  ax, @x P R với a P R thì đẽ thấy rằng f là một

nghiệm của phương trình Cauchy

Điều kiện liên tục của hàm f tương đương với một trong các điều kiện

sau

Bổ đề 2.1.5 Cho f : R Ñ R là một nghiệm của phương trình Cauchy (2.1.2)

không đồng nhất bằng 0 Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương

i) f liên tục trên R.

ii) f liên tục tại điểm x0 P R.

iii) f liên tục tại điểm 0.

iv) f đơn điệu thực sự trên một khoảng trong R.

v) f bị chặn trên một khoảng (hoặc một đoạn) trong R.

Chứng minh Từ phép chứng minh của Định lý 2.1.4 ta có

f prxq  rfpxq, @x P R, r P Q.

Từ i) suy ra ii) và từ ii) suy ra iii) là hiển nhiên Ta chứng minh từ iii) suy

Vậy f liên tục tại x0 Do đó f là hàm số liên tục.

Bây giờ ta chứng minh i) suy ra iv) Giả sử f liên tục Theo Định lý 2.1.4,

f pxq  ax với mọi x P R và a là hằng số Vì f không đồng nhất bằng 0 nên a  0 Do đó f đơn điệu trên R Ngược lại giả sử f đơn điệu trên một khoảng I € R Ta giả thiết f đơn điệu tăng Lấy x0 P I và ε ¡ 0 sao cho

Cuối cùng ta chứng minh i) tương đương với v) Ta chỉ cần chứng minh

v) suy ra i) Giả sử f bị chặn trên khoản I € R Lấy x0 P I và ε ¡ 0 sao

cho px0
ε, x0 ε q € I Với mọi x P p
ε, εq, fpxq  fpx x0q
fpx0q với

x x0 P I Do đó f bị chặn trên p
ε, εq Tức là tồn tại M ¡ 0 sao cho

|fpxq| ¤ M với |x|   ε Giả sử lim nÑ8x n  0 Đặt k n 

1a

|x n|



P N Ta

trong các điều kiện của Bổ đề 2.1.5 là nghiệm của phương trình hàm Cauchy

khi và chỉ khi f pxq  ax với mọi x P R và a là hằng số.

Hệ quả 2.1.6 Hàm số f liên tục trên R và nghiệm của phương trình hàm

f px yq  fpxqfpyq, @x, y P R (2.1.3)

khi và chỉ khi f pxq  b x , với mọi x P R và b ¡ 0 là hằng số.

Chứng minh Nếu có x0 P R sao cho fpx0q  0 thì

Hệ thức (2.1.3) tương đương với

lnrfpx yqs  ln rfpxqfpyqs  ln fpxq ln fpyq

hay

g px yq  gpxq gpyq, trong đó g pxq  ln rfpxqs Theo Định lý 2.1.4, ta có gpxq  ax với một giá trị

a P R nào đó Vậy

f pxq  e ax  b x pvới b  e a ¡ 0q.

Hệ quả được chứng minh

Hệ quả 2.1.7 Hàm f pxq liên tục trên Rz t0u là nghiệm của phương trình

ô gpu vq  gpuq gpvq, @u, v P R.

Ở đây g puq  fpe u q liên tục trên R Áp dụng Định lý 2.1.4, ta có gpuq  au Suy ra f pxq  gpln xq  a ln x, @x P R

Vậy f pxq  a ln |x|, @x P Rz t0u, với a P R tuỳ ý.

Hệ quả 2.1.8 Hàm số f pxq liên tục trên Rz t0u là nghiệm của phương trình

f pxyq  fpxq.fpyq, @x, y P Rz t0u

khi và chỉ khi f pxq  |x| α

, @x P Rz t0u và α là hằng số.

Chứng minh Cho y  1 ùự fpxq  fpxq.fp1q đự fpxqp1
fp1qq  0.

Nếu f p1q  1 thì fpxq  0, @x P Rz t0u Do vậy f  0.

Bây giờ xét f p1q  1 Khi đó fp1q  f x.1

f pxq  0, @x P Rz t0u Vì vậy

f px2q  fpxq.fpxq  f2pxq ¡ 0 ùự fpxq ¡ 0, @x P R

Đặt g ptq  fpe t q, t P R Khi đó

g pt uq  fpe t u q  fpe t e u q  fpe t q.fpe u q  gptq.gpuq.

Phương trình trên có ngiệm là: g ptq  a t , @t P R Vì x  e t đự t  ln x,

cho nên

f pxq  gpln xq  a ln x  pe ln aqln x  pe ln xqln a  x ln a  x α , α P R Xét x, y P R
, thì
x,
y P R Nếu x  y ta nhận được fpx2q  f2pxq ¡ 0.

Vì x2 ¡ 0, theo chứng minh trên fpx2q  px2qβ , với β P R Do đó

Chứng minh Rõ ràng hàm số f pxq  ax b, @x P R là nghiệm của phương trình (2.2.4) Giả sử f là một nghiệm của phương trình (2.2.4) Với y  0, ta

có

f

x2

2.3 Phương trình hàm Cauchy và phương trình hàm

Jensen trên một đoạn

Trong phần này chúng tôi trình bày việc giải các phương trình (2.1.2) và

(2.2.4) với hàm cần tìm f pxq xác định và liên tục trên một đoạn I  rα, βs € R.

Định lí 2.3.1 Hàm số f pxq  ax b, với a, b là các hằng số, là nghiệm tổng

quát của phương trình hàm

f

x y2

 f pxq fpyq

2 , @x, y P I. (2.3.5)

Chứng minh Xét hàm ϕ : r0, 1s Ñ I  rα, βs, ϕptq  p1
tqα tβ, @t P I Khi đó hàm số hàm số f là nghiệm của phương trình (2.3.5) khi và chỉ khi

g ptq  fpϕptqq, @t P r0, 1s là nghiệm của phương trình (2.3.5) với I  r0, 1s.

Vì vậy ta có thể giả thiết I  r0, 1s Đặt fp0q  b, fp1q  c Từ (2.3.5) suy ra

f

1

2n
1

 12

Vậy đẳng thức (2.3.6) đúng với mọi m, n P N.

Với mọi x P r0, 1s ta có x  lim nÑ8r2n xs

2n Vì f liên tục nên

f pxq  lim nÑ8f

r2n xs

2n  limnÑ8



ar2n xs

2n b  ax b.

Định lý đã được chứng minh.

Bây giờ chúng tôi xét phương trình (2.1.2) với ẩn hàm f pxq xác định và

liên tục trên đoạn rα, βs € R Tức là xét phương trình

Nếu 13β   α ¤ 1

2β thì ta xét hàm f pxq xác định bởi

f pxq 

$''''''

f pxq 

$''''''

2 Tương tự như trên ta thấy rằng

hàm số f pxq xác định bởi hệ thức (2.3.9) là nghiệm của phương trình hàm

(2.3.7)

Trường hợp 2.3 α ¤ 0, β ¥ 0 Khi đó α1  α, β1  β và 0 P rα, βs nên

f p0q  fp0q fp0q suy ra b  0 Vậy fpxq  ax, @x P rα, βs, với a là hằng

số, là nghiệm tổng quát của phương trình (2.3.7)

Tóm lại ta có

Định lí 2.3.2.

i) Nếu rα, βsXr2α, 2βs  H thì nghiệm tổng quát của phương trình (2.3.7)

là hàm số f liên tục tùy ý trên rα, βs.

ii) Nếu hoặc α ¤ 0 ¤ β hoặc 0   α ¤ 1

f pax by cq  Afpxq Bfpyq C, abAB  0 @x, y P R. (2.4.1)

Định lí 2.4.1 Nếu hàm số f pxq thỏa mãn phương trình (2.4.1) thì hàm

g pxq  fpxq
fp0q thỏa mãn phương trình Cauchy

thỏa một trong các tính chất của Bổ đề 2.1.5 Theo Định lý 2.1.4, ta có

g pxq  αx, @x P R và α là hằng số tùy ý Khi đó fpxq  αx β với β  fp0q.

Định lí 2.4.2 Phương trình (2.4.1) có nghiệm là hàm liên tục f pxq  αx

β, @x P R, không phải là hàm hằng khi và chỉ khi

tương đương với

α pax by cq β  Apαx βq Bpαy βq C, @x, y P R

đự αa  αA, αb  αB, αc β  Aβ Bβ C, @x, y P R

2.5 Phương trình hàm dạng lượng giác

Định lắ 2.5.1 Nếu hàm số f pxq xác định, liên tục trên R và thỏa mãn

$''

f px yq fpx
yq  2fpxqfpyq,

f p0q  1, Dx0 P R : |fpx0q|   1,

thì f pxq  cos ax, @x P R, a là hằng số khác 0.

Chứng minh Cho x  y ùự fp2xq 1  2f2pxq ùự fp2xq  2f2pxq
1 Vì

f liên tục tại x  0 và fp0q  1 nên tồn tại ε ¡ 0 sao cho fpxq ¡ 0 với mọi

x P r
ε, εs Do fpx0q   1 nên x0  0 Ta chọn n0 đủ lớn sao cho |x0 |

2n0   ε Khi

đó fpx0

2n0 q ¡ 0 Ta chứng minh fp x0

2n0 q   1.

cos α

 2 cospkα n q cospα n q
cosppk
1qα nq

 2 cospkα n q cospα n q
cospkα n q cospα n q sinpkα n q sinpα nq

 cospkα n q cospα n q
sinpkα n q sinpα nq

Bây giờ lấy x P R và đặt t  x

x1  0 Vậy fpxq  cos ax, @x P R, với a là hằng số khác 0.

Định lí 2.5.2 Nếu hàm f pxq xác định, liên tục trên R và thỏa mãn

$''

f px yq fpx
yq  2fpxqfpyq

f p0q  1, Dx0 P R : fpx0q ¡ 1,

thì f pxq  chax với mọi x P R và a là hằng số khác 0.

Chứng minh Do f liên tục tại 0 và f p0q  1 nên Dε ¡ 0 : fpxq ¡ 0, @x P p
ε, εq Vì fpx0q ¡ 1 nên x0  0 Chọn n0 P N sao cho x0

2n0 P p
ε, εq Ta chứng minh f x0

Lấy k  n ùñ fpx0q ¤ 1, điều này mâu thuẫn với giả thiết Do đó fp x0

x1  0 Vậy fpxq  chax, @x P R, với a là hằng số khác 0 cho

   1 ùñ 1 f
x1

2

tanα

2n  t Vì fpxq liên tục trên tập hợp D nên ta có

Vì f pxq liên tục nên gpxq liên tục Theo kết quả về phương trình hàm Cauchy

ta có g pxq  ax, hay fpxq  ax b, với b  fp0q.

Bài toán 3.1.2 Cho hàm số f đơn điệu trên R và thỏa mãn

f px yq  fpxq fpyq 2xy, @x, y P R (3.1.1)

Đặt g pxq  fpxq
x2 thì phương trình (3.1.1) trở thành

g px yq px yq2  gpxq gpyq x2

y2 2xy.

Suy ra:g px yq  gpxq gpyq Theo phương trình hàm Cauchy có gpxq  ax

và f pxq  x2 ax Thử lại ta thấy f pxq thỏa mãn phương trình (3.1.1).

Bài toán 3.1.3 Tìm tất cả các hàm số f : R ÝÑ Rzt0u thỏa mãn.

f

1

a Vì f liên tục trên R nên g cũng liên tục trên R

Từ một hệ quả của phương trình hàm Cauchy ta có g pxq  x α , @x P R , với α P R là hằng số khác 0 Vậy fpxq  ax α , @x P R

Thử lại ta thấy f pxq  ax α , @x P R , thỏa mãn (3.1.2).