Mô phỏng hiện tượng tán xạ cổ điển

1 Mô phỏng hiện tượng tán xạ cổ điển • Vai trò của bài toán tán xạ trong Vật lý, vì sao nó quan trọng? - Trong các thí nghiệm Vật lý, ta rất cần biết rõ cấu trúc của hệ cũng như các tính chất động lực của hệ, như tương tác, v. v. Giải bài toán tán xạ sẽ cung cấp cho chúng ta những thông tin này về hệ Bài toán tán xạ cổ điển: Lý thuyết • Tại sao phải giải số? • Hầu như các quá trình tán xạ thực đều không có nghiệm giải tích chính xác do dạng của thế phức tạp. Chính vì vậy chúng ta phải giải số (mô phỏng) • Đặt bài toán: - Giả sử có một chùm hạt với vận tốc v, bay đến một bia tại O dọc theo trục x (từ phía bên trái). Ví dụ: ở kích thước nhỏ micro, chùm hạt có thể là proton, neutron trong hạt nhân. Ở kích thước lớn hơn cỡ thiên hà, nó có thể là các hành tinh, v. v. Bài toán tán xạ cổ điển: Lý thuyết 72 Numerical calculus db θ ∆φ d θ b r O x m ∆φ Fig. 3.2 A sketch of the scattering process of a particle in a central potential. The total cross section of such a scattering process is given by σ =  σ (θ) d, (3.64) where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s being found in the solid angle element d = 2π sin θ dθ at the deflection angle θ. If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit time within the range db of the impact parameter b is 2π Ibdb. Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d with the probability σ (θ), we have 2π Ibdb = I σ (θ) d, (3.65) which gives the differential cross section as σ (θ) = b sin θ     db dθ     . (3.66) The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the impact parameter. However, σ (θ) has to be positive because it is a probability. We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq. (3.57) and Eq. (3.58), which relates r and r c back to r 1 and r 2 . We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook. Numerical evaluation of the cross section Because the interaction between two particles is described by a spherically sym- metric potential, the angular momentum and the total energy of the system are Bài toán tán xạ cổ điển: Lý thuyết 72 Numerical calculus db θ ∆φ d θ b r O x m ∆φ Fig. 3.2 A sketch of the scattering process of a particle in a central potential. The total cross section of such a scattering process is given by σ =  σ (θ) d, (3.64) where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s being found in the solid angle element d = 2π sin θ dθ at the deflection angle θ. If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit time within the range db of the impact parameter b is 2π Ibdb. Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d with the probability σ (θ), we have 2π Ibdb = I σ (θ) d, (3.65) which gives the differential cross section as σ (θ) = b sin θ     db dθ     . (3.66) The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the impact parameter. However, σ (θ) has to be positive because it is a probability. We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq. (3.57) and Eq. (3.58), which relates r and r c back to r 1 and r 2 . We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook. Numerical evaluation of the cross section Because the interaction between two particles is described by a spherically sym- metric potential, the angular momentum and the total energy of the system are b: tham số va chạm • Giả thiết rằng độ rộng của chùm hạt lớn hơn bia tại O rất nhiều. Về mặt lý thuyết, bia sẽ có nhiều tâm tán xạ nhưng chúng ta chỉ xem bia giống như 1 hạt đủ nhỏ để tiện tính toán • Giả thiết thêm rằng tán xạ là đàn hồi và tâm O đứng im Bài toán tán xạ cổ điển: Lý thuyết 72 Numerical calculus db θ ∆φ d θ b r O x m ∆φ Fig. 3.2 A sketch of the scattering process of a particle in a central potential. The total cross section of such a scattering process is given by σ =  σ (θ) d, (3.64) where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s being found in the solid angle element d = 2π sin θ dθ at the deflection angle θ. If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit time within the range db of the impact parameter b is 2π Ibdb. Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d with the probability σ (θ), we have 2π Ibdb = I σ (θ) d, (3.65) which gives the differential cross section as σ (θ) = b sin θ     db dθ     . (3.66) The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the impact parameter. However, σ (θ) has to be positive because it is a probability. We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq. (3.57) and Eq. (3.58), which relates r and r c back to r 1 and r 2 . We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook. Numerical evaluation of the cross section Because the interaction between two particles is described by a spherically sym- metric potential, the angular momentum and the total energy of the system are b: tham số va chạm • Cũng giả thiết rằng, không có hạt nào bị tán xạ qúa 1 lần. Đồng thời, xem rằng các hạt có tốc độ trước và sau tán xạ như nhau • Do tương tác của bia và hạt, hạt sẽ bị tán xạ. Do vậy, có sự phụ thuộc của góc tán xạ 𝜃 vào tham số b Bài toán tán xạ cổ điển: Lý thuyết 72 Numerical calculus db θ ∆φ d θ b r O x m ∆φ Fig. 3.2 A sketch of the scattering process of a particle in a central potential. The total cross section of such a scattering process is given by σ =  σ (θ ) d, (3.64) where σ(θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s being found in the solid angle element d = 2π sin θ dθ at the deflection angle θ. If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit time within the range db of the impact parameter b is 2π Ibdb. Because all the incoming par ticles in this area will go out in the solid angle element d with the probability σ (θ ), we have 2π Ibdb = Iσ (θ ) d, (3.65) which gives the differential cross section as σ (θ ) = b sin θ     db dθ     . (3.66) The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the impact parameter. However, σ (θ ) has to be positive because it is a probability. We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq. (3.57) and Eq. (3.58), which relates r and r c back to r 1 and r 2 . We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook. Numerical evaluation of the cross section Because the interaction between two particles is described by a spherically sym- metric potential, the angular momentum and the total energy of the system are b: tham số va chạm • Do tương tác của bia và hạt, hạt sẽ bị tán xạ. Vậy, có sự phụ thuộc của góc tán xạ 𝜃 vào tham số b • Hạt tán xạ sẽ được ghi lại bằng detector. Các detector sẽ đếm được số hạt bị tán xạ trong một góc khối dΩ = sin𝜃 d𝜃 dΦ • Tiết diện tán xạ vi phân có mối liên hệ với các hạt đo được bởi detector như sau: Với: dN là số hạt tán xạ trong góc khối dΩ, N là tổng số hạt và n là mật độ của bia trên một đơn vị diện tích Bài toán tán xạ cổ điển: Lý thuyết 72 Numerical calculus db θ ∆φ d θ b r O x m ∆φ Fig. 3.2 A sketch of the scattering process of a particle in a central potential. The total cross section of such a scattering process is given by σ =  σ (θ ) d, (3.64) where σ(θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s being found in the solid angle element d = 2π sin θ dθ at the deflection angle θ. If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit time within the range db of the impact parameter b is 2π Ibdb. Because all the incoming par ticles in this area will go out in the solid angle element d with the probability σ (θ ), we have 2π Ibdb = Iσ (θ ) d, (3.65) which gives the differential cross section as σ (θ ) = b sin θ     db dθ     . (3.66) The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the impact parameter. However, σ (θ ) has to be positive because it is a probability. We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq. (3.57) and Eq. (3.58), which relates r and r c back to r 1 and r 2 . We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook. Numerical evaluation of the cross section Because the interaction between two particles is described by a spherically sym- metric potential, the angular momentum and the total energy of the system are b: tham số va chạm dN N = n(✓)d⌦ Bài toán tán xạ cổ điển: Lý thuyết 72 Numerical calculus db θ ∆φ d θ b r O x m ∆φ Fig. 3.2 A sketch of the scattering process of a particle in a central potential. The total cross section of such a scattering process is given by σ =  σ (θ) d, (3.64) where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s being found in the solid angle element d = 2π sin θ dθ at the deflection angle θ. If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit time within the range db of the impact parameter b is 2π Ibdb. Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d with the probability σ (θ), we have 2π Ibdb = I σ (θ ) d, (3.65) which gives the differential cross section as σ (θ) = b sin θ     db dθ     . (3.66) The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the impact parameter. However, σ (θ) has to be positive because it is a probability. We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq. (3.57) and Eq. (3.58), which relates r and r c back to r 1 and r 2 . We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook. Numerical evaluation of the cross section Because the interaction between two particles is described by a spherically sym- metric potential, the angular momentum and the total energy of the system are b: tham số va chạm • Nhiệm vụ của chúng ta là tính được tiết diện tán xạ vi phân σ(𝜃) dN N = n(✓)d⌦ Bài toán hai hạt • Bài toán tán xạ có thể được hiểu như là sự tổng hợp của các quá trình tán xạ giữa hai hạt. Vì vậy, ta có thể khảo sát tán xạ của riêng hai hạt. L = m 1 2 v 2 1 + m 2 2 v 2 2  V (r 1 , r 2 ) • Lagrangian cho hệ hai hạt tổng quát: • Trong đó: v i = | dr i dt | ; i = 1, 2 V (r 1 , r 2 )=V (r 12 ) r 12 = |r 2  r 1 | • Với giả thiết thế tương tác V có tính đối xứng cầu: Khoảng cách giữa hai hạt: Bài toán tán xạ cổ điển r c = m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 r = r 2  r 1 • Chúng ta có thể sử dụng toạ độ tương đối và toạ độ khối tâm nhờ phép biến đổi sau: L = M 2 v 2 c + m 2 v 2  V (r) • Lagrangian của hệ trở thành: r = r 12 v = | dr dt | M = m 1 + m 2 m = m 1 m 2 m 1 + m 2 • Với: v c = dr c dt =0 • Nếu ta khảo cđ của hệ với điều kiện • Bài toán đưa về bài toán 1 hạt cđ trong thế V(r)