Mô Phỏng :Mô Hình ising

1 Mô hình Ising 2 Một số kiến thức về thống kê 3 Một số kiến thức về thống kê Không gian pha ● Xét một hệ cổ điển N hạt ● Trạng thái của hệ được xác định bởi tọa độ r và xung lượng p của tất cả các hạt ● Không gian pha: 6N biến, Γ = (r,p) hoặc (q,p) ● Sự thay đổi trạng thái theo thời gian tuân theo các phương trình cơ học cổ điển ˙ q k = ∂ H ∂ p k , ˙ p k =− ∂ H ∂ q k H = K V p 4 ● Chuyển động của hệ theo thời gian mô tả bởi một quỹ đạo trong không gian pha Γ(t) ● Do tính tất định của các phương trình Newton, quỹ đạo này không bao giờ cắt chính nó! ● Poincare: nếu đợi đủ lâu thì hệ có thể quay trở về trạng thái ban đầu! – Poincare recurrence time > tuổi vũ trụ đối với hệ vĩ mô 5 Một số kiến thức về thống kê ● Đại lượng đo được A(Γ) ● Giá trị đo được bằng thực nghiệm là giá trị trung bình theo thời gian ● Gibbs: lấy trung bình theo tập hợp với phân bố cần thiết! – ρ(Γ): mật độ xác suất trạng thái ở điều kiện vĩ mô nhất định: NVE, NVT, NPT A obs =〈 A〉 time =〈 A t 〉 time = 1 t obs ∫ 0 t obs A t dt A obs =〈 A〉 ens = ∑  A   Tập hợp thống kê 6 Một số kiến thức về thống kê ● Tập hợp: bao gồm các bản sao của hệ ở nhiều trạng thái khác nhau ● ρ(Γ,t) mật độ xác suất ● Định lý Louville: – số hệ trong tập hợp không thay đổi theo thời gian – tập hợp chuyển động theo thời gian trong không gian pha như một chất lỏng có độ nén bằng 0! d  dt =0 ∂  ∂t =− ∑ i=1 N  ˙  r i  ∇ r i  ˙  p i  ∇ p i   7 Một số kiến thức về thống kê ● Khi t vô cùng lớn, ta có tập hợp cân bằng: – khi đó, ρ không phụ thuộc thời gian! – và ta có ● Hệ ergodic: any point in phase space is accessible from any other point ● Hệ non-ergodic: some region of phase space is not accessible from outside ∂  ∂t =0 〈 A〉 time =〈 A〉 ens 8 Một số kiến thức về thống kê ● Trọng số & hàm phân hoạch: – tùy thuộc vào cách lấy trọng số ta có các tập hợp khác nhau – Mô phỏng Monte Carlo: cho phép tạo ra một tập hợp các trạng thái theo mật độ xác xuất ρ cho trước, khi đó  =Q −1 w  Q= ∑  w  〈 A〉=Q −1 ∑  Aw  〈 A〉= 1 K ∑ k=1 K A k  9 Một số kiến thức về thống kê Tập hợp vi chính tắc ● N,V,E = constants ● Phương pháp động lực học phân tử (MD): tạo ra tập vi chính tắc (E=constant), đồng thời bảo toàn xung lượng tổng cộng Q NVE = ∑  H −E  Q NVE = 1 N ! 1 h 3N ∫ dr dp H r , p−E  S =k B ln Q NVE entropy 10 Một số kiến thức về thống kê Tập hợp chính tắc ● N,V,T = constants w(Γ)=e −H (Γ)/k B T Q NVT = ∑ Γ e −H (Γ)/ k B T F =−k B T ln Q NVT Q NVT = 1 N ! 1 h 3N ∫ dp e −K / k B T ∫ dr e −V p r/k B T Năng lượng tự do Helmholtz Z NVT = Q NVT = 1 N ! h 2 /2mk B T  3N /2 Z NVE ∫ dr e −V p r / k B T Tíchphâncấuhình [...]... 〉 C v= 2 kBT ● 2 N,P,T=constants 2 2 〈 H 〉−〈 H 〉 C p= 2 k BT 19 Mô hình Ising • Mô hình Ising là gì? Vì sao nó quan trọng? • Mô hình Ising là mô hình toán học được đặt theo tên của nhà Vật lý Ernst Ising (Người Đức) • Mô hình Ising là mô hình dùng để mô tả hiện tượng chuyển pha sắt từ mà chỉ sử dụng các spin-up và down Mô hình Ising • Ising đã giải bài toán 1D năm 1924 trong luận văn Tiến sĩ của mình... vuông 2D có thể giải chính xác được bằng giải tích (Onsager, 1944) • Đến nay, bài toán về mô hình Ising được áp dụng trong rất nhiều lĩnh vực: vật lý, sinh học (liên quan đến từ) đến các vấn đề xã hội (mô hình đơn giản 2 lựa chọn) • Mô hình Ising là mô hình chuẩn để thử xem một thuật toán trong khuôn khổ áp dụng của mô hình có hiệu quả không Sắt từ Các domain từ sắp xếp thẳng hàng theo một hướng Thông... hợp kim 2 chất, hệ 2 chất lỏng trộn lẫn, hay hệ siêu chảy của Helium trong 3 chiều đều thuộc vào một lớp Mô hình Ising Nhiệt độ thấp Nhiệt độ cao Giải tích 1-D Ising – 1924 2-D Onsager – 1944 3-D Giải số, ví dụ pp Monte Carlo Mô hình Ising N E=−J ∑ s i s j H ∑ s i Hệ spin trên mạng 〈 ij 〉 Ernst Ising (1924) i=1 Đôi khi sử dụng B thay vì H s=±1 các cặp lân cận gần nhất J - năng lượng tương tác trao... Nhiệt độ Curie (nhiệt độ tại đó toàn bộ tính sắt từ biến mất) Với sắt là 1043 K Điểm tới hạn: là điểm xảy ra sự chuyển pha (loại II) Giản đồ pha Nhiệt độ thấp Nhiệt độ cao Mô hình Mô hình Ising chỉ sử dụng các vector UP và DOWN nhưng lại mô tả được rất nhiều pha khác nhau của vật chất - Hợp kim 2 chất - Trộn 2 chất lỏng - Chất lỏng và khí trộn lẫn - Siêu chảy của Helium - Hiện tượng siêu dẫn trong kim loại... χT = kBT Độ cảm từ (susceptibility) 26 y conditions =−1 the spins are o s =−1 s so s =−1 Giải tích mô hình Ising 1 chiều n• either side1and with the điều Ma Dimensional Isingchiều gồm N spin vớiexter Model and Transfer Giả sử có chuỗi 1 2 N he kiện biên tuần hoàn Mỗi model where N spins one-dimensional Ising spin tương tác với boundary conditions so tác động của trường a r on lân cận gần nhất N chịu... − B)] +1|P | − 1 = +1|P | − 1 = exp[−βJ] +1|P | − 1 = +1|P | − 1 = exp[−βJ] |−1 +1|P | − 1 = exp[− = Giải tích mô hình Ising 1 chiều • Biểu thức cho ma trận P sẽ được viết là on for P is −βJ β(J+B) P = e −βJ e 2 e β(J−B) e s, we can write the partition function in the f +1 Giải tích mô hình Ising 1 chiều +1 +1 S the partition in • Biểu thức của hàmwrite |Phoạch S2 |P |S3 the finitions, we can wecan... λ+ = ln λ+ N  N Giải elmholtz 1  λ−  = ln λ+ + lim ln 1 + N →∞ λ+ tích mô hình N Ising 1 chiều free λenergy per spin is = ln + F kB T ln Z = −kB T ln λ+ k T= − =N − ln Z = −k Nln λ T N oltz free energy per spin is B B + = −J − kB T ln cosh(βB) + cosh2 (βB) − 2e−2βJ sinh(2βJ) = −J − kB T ln cosh(βB) + 3 3 Giải tích mô hình Ising 1 chiều er spin is • Từ độ: M m = N 1 ∂ ln Z = βN ∂B 1 ∂F = − N ∂B =... trận 2x2 lements × given by uct of 2 are 2 matrices To see this, let the matrix P be f 2 × 2 matrices To see this, let the matrix P 2 × given by 2 matrices To see this, let the matrix P are Giải tích mô hình Ising 1 chiều are given by • Thực vậy, ta định nghĩa ma trận P như sau: 1 S|P |S = exp β JSS +1 B(S + S ) S|P |S = exp β JSS + 2 B(S + S ) 2 y • Với S và S’ độc lập on the values ±1 Here is independently... do = 3N−N c Nc là số ràng buộc (constraint) 13 Nhiệt độ về thì Một số kiến thứctứcthống kê ● ● ● Nhiệt độ đo được bằng thực nghiệm là nghiệt độ trung bình theo thời gian Trong mô phỏng có thể tính nhiệt độ từ một trạng thái vi mô của hệ Từ định luật đẳng phân ta có: 〈 N 2 〉 ∣p i∣ 3N 〈 K 〉= ∑ = kBT 2 i=1 2 mi ● Nhiệt độ tức thì: N 2 ∣p i∣ 2K 1  T= = ∑ m 3Nk B 3Nk B i=1 i 14 Một số kiến thức về thống... consequence the of the boun er powerthpower ofa matrix isisaaconsequence periodicperiod 5) The eigenvalue equation is 5) The eigenvalue is eigenvalue equationequation is ue equation is = λ+ + λ− Giải tích mô hình Isingtwo eigenvalues 1 chiều where λ+ and λ− are the • Thực vậy, hàm Z với vết bậc N của ma trận là trace ofcủa điềuth power tuần hoàn the(11) biên of a matrix is a con N kiện hệ quả nvalues of P trị