Slide bài giảng ma trận hcmut

MA TRẬN Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 1 / 103 Bài toán thực tế Lĩnh vực du lịch Để chuẩn bị cho chuyến du lịch của mình, đôi khi bạn quên những vật dụng cần thiết. Việc mua những vật dụng này ở những thành phố khác nhau sẽ có giá khác nhau. Giá trung bình các vật dụng này được liệt kê như sau: TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 2 / 103 Bài toán thực tế Những dữ liệu này được mô tả bởi ma trận sau Atlanta LosAngeles Mexico Tokyo Film ảnh 4.03 4.21 3.97 7.08 Thuốc 6.78 7.41 7.43 36.57 Máy xấy tóc 18.98 20.49 32.25 63.71 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 3 / 103 Bài toán thực tế Nội dung 1 Những khái niệm cơ bản về ma trận 2 Các phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận 3 Hạng của ma trận 4 Các phép toán trên ma trận TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 4 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Một ma trận A cỡ m ×n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau: A =        a 11 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . a i1 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . a m 1 . . . a mj . . . a mn        TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 5 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Định nghĩa Ma trận A có m hàng và n cột thường được ký hiệu A = (a ij ) m ×n . Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m ×n được ký hiệu là M m ×n (K ). Định nghĩa Phần tử a ij (i = 1 m; j = 1 n) được gọi là phần tử hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 6 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận cột, ma trận hàng Ma trận cột, ma trận hàng Định nghĩa      a 1 a 2 . . . a n      được gọi là ma trận cột.  a 1 a 2 . . . a n  được gọi là ma trận hàng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 7 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận cột, ma trận hàng Mối quan hệ giữa ma trận và ma trận hàng, cột Gọi A i∗ =  a i1 a i2 . . . a in  là hàng thứ i của ma trận A, 1  i  m, và gọi A ∗j =      a 1j a 2j . . . a mj      là cột thứ j của ma trận A, 1  j  n thì A =      A 1∗ A 2∗ . . . A m∗      =  A ∗1 A ∗2 . . . A ∗n  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 8 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận cột, ma trận hàng Ví dụ Ma trận A =  1 −4 5 0 3 −2  2×3 gồm có: 2 ma trận hàng  1 −4 5  ,  0 3 −2  và 3 ma trận cột  1 0  ,  −4 3  ,  5 −2  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 9 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận không Ma trận không Định nghĩa Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là a ij = 0, ∀i, j. Ví dụ A =   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   là ma trận không cỡ 3 × 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 10 / 103 [...]...Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận đối Ma trận đối Định nghĩa Ma trận −A = (−aij )m×n được gọi là ma trận đối của A Ví dụ B= A= 1 2 3 là ma trận đối của ma trận 0 4 −5 −1 −2 −3 0 −4 5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 11 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa ma trận vuông Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông Tập ma trận vuông cấp n được... ma trận chéo cấp n và được ký hiệu là D = dig α1 α2 αn   Ma trận vuông D =   TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 16 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận chéo Ví dụ   1 0 0 A =  0 −3 0  là ma trận chéo cấp 3 0 0 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 17 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang Ma trận dạng bậc thang Định nghĩa Một hàng của ma trận. .. (aii = 1, i = 1, n; aij = 0, ∀i = j) được gọi là ma trận đơn vị cấp n và được ký hiệu là I hay In TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 14 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận đơn vị Ví dụ   1 0 0 I =  0 1 0  là ma trận đơn vị cấp 3 0 0 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 15 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận chéo Ma trận chéo Định nghĩa   α1 0 0  0 α2 0... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 12 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ví dụ   1 2 3 A =  0 −3 −2  là ma trận vuông cấp 3 Các 5 4 −5 phần tử nằm trên đường chéo chính là 1, −3, −5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 13 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị Định nghĩa   1 0 0    0 1 0  Ma trận vuông I =   ,... 23 / 103 Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Hạng của ma trận Định nghĩa Giả sử Am×n −→ Bm×n , với B là ma trận dạng bậc thang Khi đó hạng của ma trận A là số hàng khác 0 của ma trận dạng bậc thang B Kí hiệu r (A) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 24 / 103 Hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận 1 2 3 r (A) = 0 ⇔ A = 0 0 r (Am×n ) min{m,... TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 22 / 103 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định lý về việc đưa ma trận về dạng bậc thang Định nghĩa Ta ký hiệu A −→ B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên A Định lý Mọi ma trận đều có thể đưa được về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 23 / 103 Hạng của ma trận. .. Biện luận r (A) = 3, nếu λ = 0   TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013     32 / 103 Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau Ma trận bằng nhau Định nghĩa Hai ma trận A và B gọi là bằng nhau nếu như A = (aij )m×n = B = (bij )m×n ⇔ aij = bij , ∀i, j TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 33 / 103 Các phép toán trên ma trận Ví dụ Tìm x, y , z, t sao cho x + y 2z + t = x −y z −t... − − − − − −→ r (B) = r (A) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 25 / 103 Hạng của ma trận Ví dụ Ví dụ   0 2 −4  −1 −4 5      Cho A =  3 1 7  Đưa ma trận A về    0 5 −10  2 3 0 ma trận dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp Từ đó suy ra hạng của A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 26 / 103 Hạng của ma trận Ví dụ   0 2 −4  −1 −4 5  h2 →−h2   h ↔h1 ... — 2013 19 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang Ví dụ 0 0 không có dạng bậc thang vì không thỏa 1 5 điều kiện 1 Ví dụ       2 1 3 1 2 5 1 2 3 4  0 5 2  ,  0 0 2  ,  0 0 2 1  có 0 0 3 0 0 0 0 0 0 6 dạng bậc thang TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP HCM — 2013 20 / 103 Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang rút gọn Định nghĩa Ma trận được gọi là có dạng bậc... Xuân Đại (BK TPHCM) = = = = Ma trận bằng nhau 3 7 1 5 3 1 7 5  x    y ⇔ z    t MA TRẬN = = = = 2 1 4 −1 TP HCM — 2013 34 / 103 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n (K ), α ∈ K Khi đó tích của số α với ma trận A là αA = (α.aij ) ∈ Mm×n (K ) Tính chất 1.A = A, (−1).A = −A 0.A = 0, 0 ∈ K α.0 = 0, ∀α ∈ K , 0 là ma trận không α(βA) = (αβ)A, ∀α,