Bài giảng định thức trong đại học

ĐỊNH THỨC Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 1 / 67 Bài toán thực tế Bài toán thực tế - Tính diện tích tam giác S = 1 2 abs|[ −→ AB, −→ AC ]| = 1 2 abs       2, 5 1 1 3 2 1 1 3 1       = 5 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 2 / 67 Bài toán thực tế Tính thể tích của hình lăng trụ −→ a = (a 1 , a 2 , a 3 ); −→ b = (b 1 , b 2 , b 3 ); −→ c = (c 1 , c 2 , c 3 ) ⇒ V = abs([ −→ a × −→ b ], −→ c ) = abs       a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3       TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 3 / 67 Bài toán thực tế Nội dung 1 Khái niệm và tính chất của định thức 2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 4 / 67 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A = (a ij ) là một số, được ký hiệu là detA hoặc |A|. Vậy det : M n (K ) → K A → detA. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 5 / 67 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi M ij là định thức con phụ của phần tử a ij . Định thức M ij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 6 / 67 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức |A| =                a 11 . . . a 1(j−1) a 1j a 1(j+1) . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a (i−1)1 . . . a (i−1)(j−1) a (i−1)j a (i−1)(j+1) . . . a (i−1)n a i1 . . . a i(j−1) a ij a i(j+1) . . . a in a (i+1)1 . . . a (i+1)(j−1) a (i+1)j a (i+1)(j+1) . . . a (i+1)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 . . . a n)(j−1) a nj a n(j+1) . . . a nn                n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 7 / 67 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức M ij =              a 11 . . . a 1(j−1) a 1(j+1) . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a (i−1)1 . . . a (i−1)(j −1) a (i−1)(j +1) . . . a (i−1)n a (i+1)1 . . . a (i+1)(j −1) a (i+1)(j +1) . . . a (i+1)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 . . . a n(j−1) a n(j+1) . . . a nn              (n−1)×(n−1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 8 / 67 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi A ij = (−1) i+j M ij là phần bù đại số của phần tử a ij . Định nghĩa (Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận vuông cấp n A = (a ij ) là một số bằng n  j=1 a 1j A 1j = a 11 A 11 + a 12 A 12 + . . . + a 1n A 1n . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 9 / 67 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức detA =            a 11 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . a i1 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . . a nj . . . a nn            = n  j=1 a 1j A 1j = = n  j=1 a 1j .(−1) 1+j M 1j . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 10 / 67 [...]... 3.3) = −8 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2013 15 / 67 Khái niệm định thức Tính chất của định thức   1 2 3 Tính định thức detA với A =  2 1 0  3 1 0 Giải Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 2 1 3.(−1)1+3 = 3(2.1 − 1.3) = −3 3 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2013 16 / 67 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam... TP HCM — 2013 12 / 67 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng bất kỳ a11 detA = ai1 an1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a1j aij anj a1n ain = ann ĐỊNH THỨC n aij Aij j=1 TP HCM — 2013 13 / 67 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1... a22 ann TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2013 18 / 67 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA Ví dụ     1 3 5 1 2 2 Cho A =  2 4 6  ⇒ AT =  3 4 1  Khi 2 1 8 5 6 8 đó detAT = detA = −16 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2013 19 / 67 Khái niệm định thức Sử dụng các phép... Xuân Đại (BK TPHCM) 2 3 2 0 5 3 = −36 0 4 6 ĐỊNH THỨC TP HCM — 2013 29 / 67 Khái niệm định thức Định lý Laplace Định lý Laplace Định thức của ma trận A bằng tổng các tích mọi định thức con rút ra từ k hàng (khai triển theo k hàng) (hoặc k cột - khai triển theo k cột) với bù đại số tương ứng của nó k Cn j j j j j j 12 k 12 k mi1i2 ik Ai1i2 ik detA = 1 Chú ý Khi tính định thức ta nên khai triển định thức. .. TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2013 30 / 67 Khái niệm định thức Định lý Laplace Cách áp dụng khai triển Laplace để tính định thức 1 2 3 4 Chọn k hànghoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt để khai triển Tính tất cả các định thức con cấp k thu được k từ k hàng đã chọn Tổng cộng có Cn định thức con theo k hàng đã chọn này Tìm tất cả các bù đại số tương ứng của các định thức con cấp... Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2013 34 / 67 Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ Tính định thức D = 1 2 3 4 1 3 0 3 0 0 2 1 1 1 2 2 1 2 0 1 0 0 3 3 1 0 2 1 1 1 0 1 0 0 2 1 Ta thấy hàng 1, 3, 4 có nhiều số 0 nên khai triển định thức theo 3 3 hàng này Tồn tại C6 định thức con cấp 3 từ 3 hàng này nhưng chỉ có 1 1 1 1,3,5 1 định thức con cấp 3 khác không m1,3,4 = 3 2 2 = 1 4 2 1 TS Lê Xuân Đại. .. niệm định thức Định lý Laplace Định lý Laplace Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn (K ) Chọn k hàng và k cột tùy ý trong ma trận A i1, i2, , ik và j1, j2, , jk Định thức của ma trận thu được từ A bởi các phần tử nằm ở phần giao của k hàng và k cột j1 j2 jk (1 k n) được ký hiệu là mi1i2 ik và được gọi là định thức con cấp k của A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2013 26 / 67 Khái niệm định. .. hàng đã chọn này Tìm tất cả các bù đại số tương ứng của các định thức con cấp k ở bước 2 Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k với bù đại số tương ứng của chúng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2013 31 / 67 Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ 2 0 Tính định thức D = 3 6 1 2 1 3 3 0 5 0 5 4 0 6 Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4 Lấy 2 cột gồm... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC 32 / 67 Khái niệm định thức Làm tương 0 1,4 m2,4 = 6 2 2,3 m2,4 = 3 2 2,4 m2,4 = 3 0 3,4 m2,4 = 0 tự 4 6 0 0 4 6 4 6 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Định lý Laplace ta được , A1,4 = (−1)2+4+1+4 2,4 , A2,3 = (−1)2+4+2+3 2,4 , A2,4 = (−1)2+4+2+4 2,4 , A3,4 = (−1)2+4+3+4 2,4 ĐỊNH THỨC 1 1 2 3 2 3 2 3 3 , 5 5 , 0 3 , 5 1 1 TP HCM — 2013 33 / 67 Khái niệm định thức Định lý Laplace... TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2013 11 / 67 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Ví dụ   1 2 3 Tính định thức detA với A =  4 2 1  3 1 5 Giải Khai triển theo hàng 1: |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13 2 1 A11 = (−1)1+1 = 2.5 − 1.1 = 9, 1 5 4 1 A12 = (−1)1+2 = −(4.5 − 1.3) = −17, 3 5 4 2 = 4.1 − 2.3 = −2 A13 = (−1)1+3 3 1 Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM . a ij . Định thức M ij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 6 / 67 Khái niệm định thức Định. a nn TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 18 / 67 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận. detA. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 5 / 67 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi M ij là định thức con phụ