Slide bài giảng hệ phương trình

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 60 Nội dung 1 Hệ phương trình không thuần nhất - Phương pháp giải 2 Hệ phương trình thuần nhất - Phương pháp giải TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 2 / 60 Khái niệm tổng quát Định nghĩa hệ phương trình Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn là hệ có dạng:            a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1j x j + . . . + a 1n x n = b 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a ij x j + . . . + a in x n = b i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mj x j + . . . + a mn x n = b m (1) với a ij là hệ số của hệ, b i là hệ số tự do của hệ, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n; x 1 , x 2 , . . . , x n là các biến số. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 3 / 60 Khái niệm tổng quát Định nghĩa hệ phương trình Định nghĩa Ma trận A = (a ij ) ∈ M m ×n (K ) được gọi là ma trận hệ số của hệ (1). Ma trận A B =        a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a mj . . . a mn            b 1 . . . b i . . . b m        m ×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 4 / 60 Khái niệm tổng quát Định nghĩa hệ phương trình Nếu đặt X =      x 1 x 2 . . . x n      và B =      b 1 b 2 . . . b m      thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận A m ×n X n ×1 = B m ×1 . Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm  0 0 . . . 0  T và được gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 5 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất có tính chất: Hoặc là vô nghiệm Hoặc là có nghiệm duy nhất Hoặc là vô số nghiệm TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 6 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định nghĩa Véctơ α =      α 1 α 2 . . . α n      , α i ∈ K , i = 1, 2, . . . , n được gọi là 1 nghiệm của hệ (1) nếu Aα = B. Có nghĩa là khi thay x 1 = α 1 , x 2 = α 2 , . . . , x n = α n vào hệ (1) ta thu được đồng nhất thức. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 7 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm. Định nghĩa Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 8 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau và ma trận hệ số là không suy biến. Tức là hệ có dạng            a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1i x i + . . . + a 1n x n = b 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a ii x i + . . . + a in x n = b i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 x 1 + a n2 x 2 + . . . + a ni x i + . . . + a nn x n = b n (2) trong đó A = (a ij ) ∈ M n (K ) và detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 9 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer Định lý Cramer Định lý Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất x i = detA i detA , i = 1, 2, . . . , n trong đó ma trận A i nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do B =  b 1 b 2 . . . b n  T |A| =           a 11 a 12 . . . a 1i . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i 1 a i 2 . . . a ii . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . . . a ni . . . a nn           ⇒ |A i | =           a 11 a 12 . . . b 1 . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i 1 a i 2 . . . b i . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . . . b n . . . a nn           TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 10 / 60 [...]... trên hệ (1): Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn Nhân vào một phương trình của hệ một số λ = 0(hi → λhi ) Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj ) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1) 1 2 3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 16 / 60 Hệ phương trình. .. r (A) = 3 18  2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 30 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau   x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2    −3x2 + 8x3 − 11x4 = 9 10x3 − 20x4 = 18     0 = 2 Hệ này vô nghiệm nên hệ đã cho cũng vô nghiệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 31 / 60 Hệ phương trình tuyến tính... R tùy ý TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 27 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Ví dụ Giải hệ phương trình   x1 −2x2    3x1 +3x2  −2x1 +x2    3x 1 Phương pháp Gauss +3x3 −4x4 −5x3 +x4 +2x3 −3x4 +3x3 −10x4 = = = = 2 −3 5 8 Giải TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 28 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất... Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 34 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau   x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1    x2 − 2x3 + 2x4 = 1 x3 + x4 = m + 1     (m − 7)x4 = m2 − 7m TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 35 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất 1 2 Phương pháp Gauss... trận mở rộng về ma trận có dạng bậc thang Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang Nếu r (AB ) > r (A) thì hệ (1) vô nghiệm Nếu r (AB ) = r (A) = r thì hệ có nghiệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 19 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó xn−1,... trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn            a11 x1 + a12 x2 + + a1j xj + + a1n xn ai1 x1 + ai2 x2 + + aij xj + + ain xn am1 x1 + am2 x2 + + amj xj + + amn xn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH = = = b1 bi bm TP HCM — 2013 15 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Hệ phương trình tương đương... detA = 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0 Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 12 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer Ví dụ Giải hệ phương trình   2x1 − 2x2 − x3 = −1 x2 + x3 = 1  −x1 + x2 + x3 = −1 Giải Ta có 2 −2 −1 |A| = 0 1 1 = 1 = 0; −1 1 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN... TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 13 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer −1 −2 −1 2 −1 −1 |A1| = 1 1 1 ; |A2| = 0 1 1 ; −1 1 1 −1 −1 1 2 −2 −1 |A3| = 0 1 1 ; −1 1 −1 Vậy x1 = |A1| |A2| |A3| = 2, x2 = = 4, x3 = = −3 |A| |A| |A| TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 14 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép... TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 25 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất  −3 −10 10 10  1 h3 →h3 +h2  h4 →h +h  0 − − 4− 2  −−→ 0 0 1  0  0 0 2 1 −1 −1 5 17 −17 −17 Phương pháp Gauss  1  −2   2  2 2 −3 5 1 −10 17 0 0 0 0 0 0  1  −2   0  0 Hệ có vô số nghiệm vì r (AB ) = r (A) = 2 < 4 Biến cơ sở x1, x2 Biến tự do x3, x4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH... với cii = 0, i = 1, 2, , r Nếu dr +1 = 0 thì hệ (1) vô nghiệm và r (AB ) = r + 1 > r (A) = r Nếu dr +1 = 0 thì hệ (1) có nghiệm và r (AB ) = r (A) = r TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 18 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss 1 2 3 4 5 Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng . TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 14 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình. Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 5 / 60 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Một hệ phương trình tuyến tính không. TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 60 Nội dung 1 Hệ phương trình không thuần nhất - Phương pháp giải 2 Hệ phương trình thuần nhất - Phương pháp giải TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ