tính toán dao dộng của dầm, khung có độ cứng thay đổi

Cũng xuất phát từ nhu cầu giải quyết nhữngvấn đề đó tôi đã chọn đề tài của mình là: “Tính toán dao dộng của dầm, khung có độ cứng thay đổi.” Mục đích của luận văn là: Tìm hiểu một số ph

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trờng Đại học Kiến trúc HàNội, các thầy cô trong khoa Sau đại học, cùng với các thầy cô giáo các bộmôn đã tạo mọi điều kiện để chúng tôi có thể hoàn thành khoá học 2008-2011!

Đặc biệt tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy giáo hớng dẫn luậnvăn tốt nghiệp của tôi là thầy: PGS.TS Đặng Quốc Lơng Tôi xin cảm ơn thầy

đã nhiệt tình giúp đỡ, tạo điều kiện, dành nhiều thời gian cũng nh đầu t tài liệu

để hớng dẫn tôi hoàn thành đợc luận văn tốt nghiệp của mình!

Tôi xin cảm ơn công ty CP T vấn Đầu t Xây dựng và Thơng Mại ViệtBắc cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tôitrong thời gian học tập và làm luận văn tốt nghiệp của mình

Luận văn của tôi còn cha thật hoàn chỉnh, nhiều chỗ trình bày còn thiếusót Nhng tôi xin hứa sẽ đầu t nghiên cứu thêm những vấn đề còn thiếu sót đó

để hoàn thiện thêm kiến thức của mình trong quá trình làm việc sau này!

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đã thực hiện đầy đủ các yêu cầu của một luận văn tốtnghiệp thạc sỹ chuyên ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Tôi cam

đoan đã thực hiện đúng quy cách luận văn, và nội dung đề tài phù hợp vớichuyên ngành Đề tài luận văn của tôi cũng không bị trùng lặp với các đề tàiluận văn tốt nghiệp trớc đây Nội dung của luận văn đã đợc trích dẫn đầy đủcác tài liệu tham khảo

Mục lục Trang Mục lục

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Phần 1: Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Đối tợng và phạm vi nghiên cứu

4 ý nghĩa thực tiễn và khoa học của đề tài

Phần 2: nội dung của luận văn

Chơng 1: Tổng quan về DĐ của dầm, khung có

2.2.5 Tính toán dao động cho dầm, khung, và các kết cấu công

trình đơn giản

48

2.2.8 áp dụng cho hệ khung 2 tầng và các công trình 2 tầng 572.2.9 áp dụng phơng pháp hệ tơng đơng tính toán dao động của

khung có độ cứng thay đổi

64

Chơng 3: áp dụng tính dao động của dầm,

khung có độ cứng thay đổi.

Me – Mô men uốn của hệ tơng đơng

Q – Lực cắt hoặc tải tập trung

 - Khối lợng một đơn vị chiều dài dầm

có tiết diện không đổi tơng đơng Nhng ngày nay, yêu cầu cần phải phát triển

và hoàn thiện công nghệ tính toán các công trình xây dựng nói chung và cáccông trình kỹ thuật đặc biệt nói riêng để nâng cao độ chính xác trong quátrình thiết kế kết cấu Việc tính toán các kết cấu phải có sự chính xác cao vàthuận tiện cho việc sử dụng máy vi tính Mặc dù vấn đề tính toán kết cấu là rấtquan trọng và đã đợc nhiều nhà khoa học quan tâm, và đã có nhiều công trìnhnghiên cứu, song vẫn còn nhiều vấn đề về phơng pháp tính toán các kết cấuvẫn cha đợc giải quyết triệt để Cũng xuất phát từ nhu cầu giải quyết nhữngvấn đề đó tôi đã chọn đề tài của mình là:

“Tính toán dao dộng của dầm, khung có độ cứng thay đổi.”

Mục đích của luận văn là:

Tìm hiểu một số phơng pháp tính toán dao động của dầm, khung có độcứng thay đổi

Giải các bài toán về dao động của dầm,khung có độ cứng thay đổi

So sánh các kết quả nhận đợc với lời giải của các phơng pháp số và phơng pháp giải tích đã biết

Đối tợng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tợng của luận văn là nghiên cứu dao động dầm, khung có độ cứngthay đổi

Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu dao động của dầm, và khung phẳng

ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn là:

Nghiên cứu và áp dụng các phơng pháp tính toán dao động của dầm,khung có độ cứng thay đổi, để thiết kế các công trình xây dựng

Chơng 1: Tổng quan về dao động của dầm, khung có

độ cứng thay đổi.

Việc tính toán dao động dầm có độ cứng thay đổi đã đợc đề cập đếntrong nhiều tài liệu, trong đó xem xét nhiều vấn đề khác nhau liên quan đếnviệc nghiên cứu trạng thái của chúng dới tác dụng của nhiều loại tải trọng, vànhiều tài liệu có tính đến tác động của nền đàn hồi Trong nhiều chơng trình

và tài liệu chuyên khảo nổi tiếng về lý thuyết dầm đều đặc biệt chú ý đến việctính toán dầm có độ cứng thay đổi Hàng loạt các công trình nghiên cứu trong

đó chú ý đến việc tính toán dầm trên nền đàn hồi nh các nghiên cứu củaAnokhin N.N; Gabaxoop.R.F; Leonchiev N.N [17]… Vấn đề tính toán dầm có Vấn đề tính toán dầm có

độ cứng thay đổi chịu tải trọng tĩnh đợc nghiên cứu trong các công trình củaVarvac P.M Công trình nghiên cứu của Khetrumov P.A nghiên cứu các bài

toán về tính toán các thanh ghép có tiết diện thay đổi Trong công trình này có

áp dụng phơng pháp biến phân Động lực học của thanh có độ cứng thay đổi

đợc làm sáng tỏ trong công trình của Korenhev B.G [15] Trong công trìnhnày sử dụng phơng pháp thông số ban đầu để giải phơng trình vi phân Bexelvới chỉ số v tùy ý trong các hàm cơ sở Tuy vậy, các công trình kể trên liênquan đến tính toán động lực học của thanh có độ cứng thay đổi chỉ giới hạn ở

lý thuyết, không có các ví dụ tính toán và các kết quả bằng số

Phơng pháp tính dao động của dầm có độ cứng thay đổi có thể chiathành phơng pháp chính xác và phơng pháp gần đúng Phơng pháp chính xácgồm một số phơng pháp: Phơng pháp tích phân trực tiếp (chỉ trong trờng hợp

(x) và J(x) đợc biểu thị bằng các hàm số thích hợp) Phơng pháp gần đúnggồm một số phơng pháp: Phơng pháp chuyển vị, phơng pháp năng lợng, phơngpháp ma trận chuyển tiếp, Phơng pháp thay thế khối lợng, Phơng pháp saiphân hữu hạn, Phơng pháp Bunốp Galookin, phơng pháp Lagrăng Rit [16]

Sau đây trình bày một số phơng pháp đợc trình bày trong bài toán cơhọc:

Phơng pháp tích phân trực tiếp [16]

Chỉ có thể giải đợc trong trờng hợp khi dầm có tiết diện hình lăng trụ

Từ đó ta tìm đợc phơng trình vi phân của dầm có tiết diện hình lăng trụ là

ph-ơng trình vi phân Bessel Giải phph-ơng trình vi phân Bessel ta tìm đợc chuyển vị,

từ đó tính đợc góc xoay, mô men uốn và lực cắt Từ các điều kiện biên, ta cóthể xác định đợc các hằng số trong hệ thức Trong quá trình đó, ta sẽ nhận đợcphơng trình đặc trng Giải phơng trình đặc trng ta sẽ nhận đợc các trị riêng 1

từ đó tính đợc các tần số riêng của dầm

2

1 1

n g

x

l x J(x) J c

l

Phơng pháp chuyển vị [16]

Chỉ cho kết quả chính xác khi tính các thanh có tiết diện ngang thay đổitheo bậc và cho kết quả xấp xỉ khi tính các thanh với tiết diện ngang thay đổiliên tiếp Khi đó thanh đợc chia thành những phân đoạn với mặt cắt không đổi

và đợc coi là một hệ các thanh có tiết diện lăng trụ Theo phơng pháp này trớctiên ta phải tính toán với dầm có tiêt diện không đổi Sau đó áp dụng vào

thanh có tiết diện thay đổi theo bậc với các mặt cắt không đổi Nếu tiết diệnthanh biến thiên liên tục, ta phải tiến hành chia nhỏ thanh thành nhiều phân

đoạn mà mặt cắt và khối lợng 1 đơn vị dài  đợc xem là không đổi

i i i

P v

m v

Phơng pháp ma trận chuyển tiếp [15]

Đây là một trong những phơng pháp giải tích cơ bản để tính hệ thanh

Nó đặc biệt có hiệu quả khi tính thanh dạng dải (thẳng, cong, không gian).ứng dụng vào bài toán ổn định, dao động, nó cho phép giải một loạt các trờnghợp phức tạp

Trong phơng pháp ma trận chuyển tiếp ngoài những ẩn ở đầu trái (gốcxuất phát để tính toán) còn có ẩn số ở những liên kết ngoài cứng và liên kếttrong trơn Những giá trị không biết ở đầu phải (nút cuối thanh) thờng đợc tính

ra trong việc giải bài toán Từ các điều kiện biên, ta có thể xác định đợc cáchằng số trong hệ thức, trong quá trình đó ta sẽ nhận đợc các phơng trình đặctrng Giải phơng trình đặc trng ta sẽ nhận đợc các giá trị riêng 1 từ đó tính đ-

ợc các tần số riêng tơng ứng

Phơng pháp thay thế khối lợng [15]

Thay thế các khối lợng phân bố hay tập trung với khối lợng ít hơn trênkết cấu đặt tại một số điểm đặc biệt Nội dung của phơng pháp thay thế khối l-

ợng là thay hệ gồm các khối lợng phân bố liên tục và tập trung thành hệ cómột số khối lợng tập trung Đa hệ từ hệ vô hạn bậc tự do thành hệ hữu hạn bậc

có sự xuất hiện của máy tính và sự phát triển mạnh mẽ của ngành tin học cùngvới các phần mềm hỗ trợ nh Cad, Sap, Etaps… Vấn đề tính toán dầm có Thì thực sự phơng pháp phần

tử hữu hạn mới đợc ứng dụng phổ biến và rộng rãi trong thực tế

Đối tợng nghiên cứu của phơng pháp phần tử hữu hạn là tìm lời giải sốcho các bài toán của lý thuyết trờng nói chung và cơ học vật rắn biến dạng nóiriêng phơng pháp phần tử hữu hạn đợc áp dụng đặc biệt thành công trong lĩnhvực cơ học vật rắn biến dạng, trong đó các ẩn số cần tìm là chuyển vị, biếndạng, ứng suất tại mỗi điểm bất kỳ trong kết cấu

Phơng pháp phần tử hữu hạn tối thiểu hóa phiếm hàm năng lợng và baogồm các bớc sau:

1) Chia nhỏ đối tợng nghiên cứu thành các phần tử hữu hạn;

2) Lựa chọn các ẩn số cơ bản của hàm xấp xỉ trong giới hạn của phầntử;

3) Xây dựng ma trận độ cứng, nghĩa là xác định sự phụ thuộc giữa lựctác dụng và chuyển dịch trong các nút của phần tử;

vi phân tơng ứng Dạng sai phân dựa trên cơ sở hàm đa thức từng đoạn và coicác gián đoạn hữu hạn đã suy rộng khái niệm về miền vi phân và kể đến cácgián đoạn hữu hạn của hàm số cũng nh đạo hàm bậc nhất của nó GabbaxovR.F [6] đã xác định rằng dạng hợp lý nhất của phơng pháp xấp xỉ dần là dạngsai phân Dạng này đợc biểu hiện khi phân hoạch vùng tích phân của các ph-

ơng trình vi phân thành các miền con ( các phần tử có kích thớc hữu hạn), và

sử dụng ma trận vi phân và tích phân trong giới hạn phần tử Nhờ đó ta có thểgiải đợc các bài toán dẫn đến hệ phơng trình vi phân bậc 2, đạo hàm bình th-ờng và đạo hàm riêng PP này có tính đến những gián đoạn ở vế phải của ph-

ơng trình vi phân cần tìm và những đạo hàm đầu tiên của nó Khi sử dụng

ph-ơng pháp xấp xỉ dần không cần phải viết các điều kiện biên ở bải toán cho các

điểm ngoải miền khảo sát, cũng không cần cô đặc lới ở gần vùng gián đoạn

Phơng pháp sử dụng phơng trình suy rộng của phơng pháp sai phân hữuhạn.[18]

Phơng pháp sai phân hữu hạn có tính đến tất cả các gián đoạn hữu hạnnói trên, ngoài gián đoạn của các đạo hàm bậc nhất của vế phải các phơngtrình vi phân ban đầu Khi đó, khác với các phơng trình bình thờng của phơngpháp sai phân hữu hạn không cần cô đặc lới hoặc dùng giá trị trung bình tạivùng gần gián đoạn Ngoài ra tất cả các điểm tính toán phân bổ trong giới hạncủa vùng tích phân các phơng trình vi phân Khi không có các gián đoạn, cácphơng trình suy rộng của phơng pháp sai phân hữu hạn trở thành các phơngtrình đã biết của phơng pháp sai phân hữu hạn Nếu bài toán đợc giải trên máytính với mức độ phân hoạch cao thì sự khác nhau về độ chính xác giữa kết quảkhi dùng phơng pháp phần tử hữu hạn hay phơng trình suy rộng của phơngpháp sai phân hữu hạn là không đáng kể

Phơng pháp hệ tơng đơng [18]

Đây là một phơng pháp khá đơn giản để giải quyết các vấn đề phức tạp,

đợc sử dụng để phân tích tĩnh học, động lực học, và sự dao động của hệ kếtcấu đợc cấu tạo từ nhiều cấu kiện có độ cứng EJ thay đổi

Cơ sở lý thuyết của phơng pháp hệ tơng đơng là cho phép thay thế một cấukiện có độ cứng thay đổi ExJx bằng một cấu kiện có độ cứng không đổi E1J1,bằng cách thêm vào một hệ thức của hệ tơng đơng Sự phát triển của cơ sở lýthuyết này căn cứ vào các giả thiết về độ lệch (sai số) nhỏ, giả thiết về đờngnối các trọng tâm của các mặt cắt liền tiếp nhau là đờng thẳng Nếu đờng nốinày cong thì lý thuyết này sẽ vẫn ứng dụng đợc với độ chính xác tơng đối nếu

tỷ lệ giữa bán kính của đờng cong đối với chiều dày của mặt cắt cấu kiện làlớn

Một hệ tơng đơng đợc thành lập, nó đợc sử dụng để tính toán lần lợt độlệch, dao động tự do, và dạng dao động của các phần tử có độ cứng thay đổicủa hệ ban đầu.

Chơng 2: một số phơng pháp tính dao động của dầm,

khung có độ cứng thay đổi.

2.1 Phơng pháp chuyển vị góc (phơng pháp ghép trơn) [16]

2.1.1 Phơng trình vi phân dao động của dầm có tiết diện đều

Xét một phân tố khối lợng dx của dầm tựa đơn có tiết diện không đổi.Dầm dao động ngang dới tác động của các lực bên ngoài

Hình 2.1 biểu diễn độ võng và mô mem uốn, lực cắt trên mỗi phân tố [16]Theo lý thuyết đàn hồi: Mô men uốn và lực cắt đợc xác định bởi hệ thức:

2 2

y(x, t) M(x, t) EJ

y(x, t) Q(x, t) EJ

2.1.2 Nghiệm của phơng trình vi phân dao động của dầm có tiết diện đều

Nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân thuần nhất (2.6) là tổng hợpcủa 4 nghiệm riêng có dạng nh sau:

  

   

 

(2.10)Khi đó nghiệm tổng quát có dạng:

  (2.14)Trong đó:

2 2

  (2.16)Trong đó:

3 3

*) Đối với dầm tựa đơn, điều kiện biên có thể áp dụng là:

L (2.20)Với j là số nguyên dơng.

Dao động riêng thứ j đợc tính theo 2.12, Sau khi thay vào đợc dạng sau:

Với y(L/2j) là biên độ dao động

*) Đối với dầm ngàm tại hai đầu thì điều kiện biên là:

0 0

0 0

A(cos cosh ) B(sin sinh )

A(sin sinh ) B(cos cosh )

Khi tính toán hệ khung gồm các dao động ngang (hệ dầm liên tục, khung cứng

vv… Vấn đề tính toán dầm có) việc xác định hằng số tích phân từ A đến D là khác nhau đối với các

thanh khác nhau Nếu hệ khung, dầm đợc phân tích là có n thanh thì sẽ có 4n

ẩn số Các phơng trình cần cho việc xác định hằng số tích phân đợc lấy từ các

điều kiện biên tại các điểm nút của hệ thanh

2.1.3 Mô men và lực cắt tại biên của thanh dao động ngang.

Xét những hệ dao động với dao động điều hoà Dao động này có thểphát sinh do dao động tự do hay do dao động cỡng bức do lực tác dụng điềuhoà trong khoảng thời gian đủ dài:

Hình 2.2 Mô men, lực cắt đầu thanh tách từ khung [16]

Từ hệ trong hình 2.2 phần tách rời của thanh gh đang dao động ngang

Để thay thế tác dụng của phần còn lại trên hệ, tại mỗi đầu thanh đợc tác dụngbởi những mô men M (t), M (t),gh hg và lực cắt Q (t), Q (t).gh hg Giả sử mô men tại 2

đầu thanh quay thuận kim đồng hồ dơng

Do đó, mô men đầu trái phù hợp với mô men uốn tác dụng ở mặt cắtx=0 cả về độ lớn và dấu, trong khi mô men đầu phải có dấu ngợc lại với mômen uốn tại mặt cắt x=1

Lực cắt ở đầu thanh đợc coi dơng nếu lực hớng xuống phía dới Kết quả

là, lực ở đầu bên phải Qhg ứng với lực trợt tác động tại vị trí x=1 trong cả dấu

và độ lớn, trong khi đó lực ở đầu bên trái Q thì ngợc lại với lực trợt tại x=0

Nếu biết đợc sự biến dạng tại các đầu thanh ta có thể xác định đợc tấtcả các mô men uốn và lực cắt tại đầu theo phơng trình 2.12-2.17 áp dụng chonhững mặt cắt tại mỗi đầu các thanh.

Điều này cũng thoả mãn với trờng hợp thanh chắn đợc liên kết tại 2 đầucác điều kiện biên khác nhau Tức là, ngay cả khi nó bị ngàm, tựa bản lề, tự do

ở một đầu hay có tựa đàn hồi (hình 2.3)

Hình 2.3 Các điều kiện biên [16]

Ví dụ xét thanh bên bên trái bị ngàm chặt, còn đầu phải cho chuyển

động xoay cỡng bức theo dao động điều hoà  sin t  với biên độ   1, tronglúc những chuyển vị và góc xoay còn lại ở đầu kia bằng 0 (hình 2.4)

2

2 L

Q hg = EJ

Hình 2.4 Góc quay đơn vị tại đầu phải [16]

Nếu không có sự tác dụng trong khoảng giữa thanh, phơng trình 2.12 và các

đạo hàm từ 2.13-2.17, các điều kiện biên đợc biểu diễn là:

0 0

A cos B sin C cosh D sinh

A sin B cos C sinh D cosh L /

2

2 2

2 4

1 1 1

F ( )

cosh cos sinh sin

F ( )

cosh cos

(2.31)

Tóm lại, các lực cắt, mô men uốn tại các đầu mút ứng với các chuyển vị đơn

vị khác tại các đầu thanh gh khác cũng sẽ thu đợc bằng cách làm tơng tự Xétchuyển vị và góc xoay tuỳ ý tại các đầu g và h

g h

y y

A F ( ) F ( ) F ( ) F ( ) y

y y

3 6

1 1

g h

y y

EJ

M F ( ) F ( ) F ( ) F ( )

y y

1 1

1 2

1 2

cosh sin sinh cos

L

cosh sin sinh cos

+) §èi víi thanh ngµm t¹i g vµ cã tùa t¹i h, c¸c ®iÒu kiÖn biªn lµ

g h

g

g

y y

A F ( ) F ( ) F ( ) y

y y

Một đại lợng quan trọng trong phép tính động năng là giá trị tích phân:2



y (x)dx j (2.39)

Đợc dùng trong việc tính toán các dạng riêng không trực giao, trong các dao

động giảm dần cũng nh không giảm dần, khi xét đến ảnh hởng của tải trọng

động… Vấn đề tính toán dầm có

Dạng của dao động điều hoà của thanh tiết diện chữ nhật, tách rời khỏi hệkhung, đợc xác định theo phơng trình 2.12, các hằng số tích phân đợc tínhtheo công thức 2.34 Do đó 2.12 có thể viết dới dạng:

1 2

2 4

1

2 4

1

3 4

1

3 4

1 2 4 1 2 4 1 3 4 1

4 1 3 4

F ( )

F ( )F ( ) ( ) F ( )

1 2 4 1 3 4

2.1.5 Bài toán dầm có tiết diện thay đổi

Phơng trình dao động của thanh phi lăng trụ thẳng cũng giống nh phơngtrình của thanh tiết diện hình lăng trụ Mô men uốn đợc mô tả theo biểu thức:

2 2

y(x, t) M(x, t) EJ

Đối với dao động điều hòa:

y(x, t)  y(x) sin t 

2.1.6 áp dụng phơng pháp chuyển vị (phơng pháp ghép trơn)

Chia thanh thành những phân đoạn với mặt cắt không đổi và đợc coi làmột hệ các thanh tiết diện lăng trụ

a) Dầm có tiết diện thay đổi theo bậc

Xét thanh gồm 4 thành phần có hình lăng trụ và 3 mối nối trực tiếp,cùng 6 biến dạng cha biết Gồm 3 chuyển động xoay 1, 2… Vấn đề tính toán dầm có 3 và 3 chuyển

Nếu thanh có tiết diện thay đổi liên tục, phơng pháp ghép trơn cho kếtquả xấp xỉ Trong trờng hợp này, cách tiến hành nh sau: chia nhỏ thanh thànhnhiều phân đoạn mà mặt cắt và  đợc coi là không đổi.

Nếu chia thanh làm 4 phần và coi các phần này có tiết diện không đổi,

ta đợc thanh là các tiết diện ngang thay đổi theo bậc mà ta đã giải trong ví dụtrớc

Độ cứng thay đổi ExJx của một cấu kiện đợc diễn giải nh sau:

1 1

x x

E J  E J f(x) (2.61)Với E1J1 là một giá trị cho trớc bất kỳ của độ cứng thay đổi ExJx, và f(x)

là một hàm số của x, biểu diễn giá trị của ExJx thông qua giá trị E1J1 Thay(2.61) vào (2.60) ta đợc:

M M

f(x)

 (2.66)Mệnh đề chứng minh rằng đối với dầm có hệ số độ cứng thay đổi ExJx,tồn tại một hệ tơng đơng với hằng số độ cứng E1J1 Nếu điều kiện biên vàchiều dài giống nhau đối với mọi đoạn có độ cứng thay đổi, thì mô men tại bất

kỳ điểm nào trên mặt cắt qua x đợc xác định bởi công thức (2.66)

Mô men của hệ tơng đơng ứng với hằng số độ cứng E1J1 đợc thỏa mãntrong công thức (2.66) Mx, f(x) có thể đợc tính toán với Me đã biết Khi đó lựccắt Qe và tải trọng phân bố qe của hệ tơng đơng đợc xác định:

Xét ví dụ của dầm trong hình 2.7a Biểu đồ mô men quán tính đợc thểhiện trong hình 2.7b Mô đun đàn hồi E là hằng số, độ cứng EJ1 đợc chọn là

độ cứng tại đầu tự do của dầm

2

2 6

x e

Hệ tơng đơng có độ cứng không đổi hình 2.8e, điều kiện biên giống nh của hệban đầu trong hình 2.8a.

0,425 (kN)

(d) y

3 (2L+6x)

Hình 2.8 (a) Hệ ban đầu; (b) Mô men quán tính; (c) Biểu đồ mô men Me; (d)Biểu đồ lực cắt Qe; (e) Hệ tơng đơng.[13]

(2.74)Với q=1,785kg/m và L=1,524m

2.2.2 Phơng pháp gần đúng của hệ tơng đơng.

Phơng pháp chính xác của hệ tơng đơng vừa đợc trình bày ở trên thờngtrở nên khó khăn đối với các hệ phức tạp Trong thực tế, sự khó khăn này đợcthay thế bằng một phơng pháp đơn giản hơn trong phép lấy đạo hàm của hệ t-

ơng đơng

Xét một ví dụ về một cấu kiện dầm có độ cứng thay đổi trong hình2.10a Và hàm số độ cứng đợc xác định bởi công thức f(x) = ExJx/ E1J1 tronghình 2.10b Đồ thị đợc xác lập bằng việc chọn một hằng số E1J1 cho trớc vàtính toán giá trị của f(x) = ExJx/ E1J1 của tất cả các mặt cắt dọc theo chiều dàicủa cấu kiện Tại những mặt cắt tơng tự nhau, giá trị mô men Mx của cấu kiệntrong hình 2.10a đợc tính toán và vẽ trong hình 2.10c Bằng việc biểu diễn giá

trị Mx theo f(x), biểu đồ mô men x

e

M M f(x)

 của hệ tơng đơng đợc biểu thị trên

đờng cong trong hình 2.10d

x

(a) L

Hình 2.10 (a) Hệ ban đầu (b) Biểu đồ hàm số độ cứng (c) Biểu đồ mô men

hệ ban đầu (d) Biểu đồ xấp xỉ Me (e) Biểu đồ lực cắt thay thế (f) Hệ tơng

đ-ơng có độ cứng không đổi [13]

Dạng của Me xấp xỉ đúng với đoạn thẳng đơn vị chiều dài  Sn, vớin=1,2,3… Vấn đề tính toán dầm có, đã đợc biểu diễn trên hình 2.10d Những đoạn  Snkhông bắt buộcphải có độ dài bằng nhau, các điểm nối của chúng nằm bên dới hoặc bên trên

đờng biểu diễn Me Vì thế diện tích phần thêm vào hay bớt đi của đờng nốinày xấp xỉ bằng diện tích của biểu đồ Me Số lợng của các đoạn  Snphụ thuộcvào dạng của biểu đồ Me Thông thờng có từ 3-5 đoạn  Sn

Biểu đồ lực cắt tơng đơng đợc vẽ trong biểu đồ 2.10e Cho ví dụ, lực cắt

Q2 ứng với điểm thay đổi mô men trên mặt cắt C và B, xác định trên đoạn có

độ dài  X2 Hệ tơng đơng có độ cứng không đổi E1J1 đợc xác định trong hình2.10f và đợc thay thế bằng 3 lực tập trung Khi đó độ dốc hay độ lệch của bất

kỳ điểm nào trên biến dạng dài của hệ có độ cứng thay đổi đều xác định đợcthông qua hệ tơng đơng trên hình 2.10f

Xét dầm trong hình 2.11a Yêu cầu xác định hệ tơng đơng có độ cứngkhông đổi EJ 1 bằng cách áp dụng PP gần đúng của hệ tơng đơng Thêm vào

đó, bằng cách áp dụng phơng pháp hệ tơng đơng và áp dụng PP diện tích mômen để xác định chuyển vị và góc xoay tại đầu tự do

Đồ thị của Me tơng tự nh trong hình 2.11c, nhng ở phần này đồ thị đợc lậpbằng cách thay thế số mặt cắt dọc theo chiều dài cảu cấu kiện và chia giá trịcủa Mx cho gia trị f(x) phù hợp Đồ thị gần đúng của Me gồm 3 đoạn

2 2 1

F =Q  Q  0,178kN và F =Q 2 3  Q 2  0,093kN áp dụng phơng pháp diện tích mômen cho hệ tơng đơng trong hình 2.11c ta có:

3 A

1

(11,63)(10) θ

EJ



Phơng pháp hệ tơng đơng chính xác cũng cho kết quả tơng tự

0,914m

0,3560,254

xL=1,524m

2.2.3 Bài toán dầm siêu tĩnh.

Phơng pháp hệ tơng đơng cũng có thể đợc sử dụng để giải quyết các bàitoán dầm siêu tĩnh

Xem xét ví dụ trong hình 2.12:

L (a)

L (b)

L (c) f(x)

L (d)

M load

M A

R Ax

+ - -

Hình 2.12 (a) Hệ ban đầu (b) Hệ ban đầu với MA, RA (c) Biểu đồ hàm số độcứng thay đổi (d) Biểu đồ mô men của hệ thực gây ra bởi các thành phần.[13]Thay thế liên kết ngàm ở A bằng mô men MA, và lực cắt RA

Với mỗi biểu đồ mô men trong hình 2.12d có một biểu đồ Me tơng ứng đợcxác định bởi vì dầm đã trở thành tĩnh định

Có 3 hệ tơng đơng có độ cứng bằng hằng số đợc xác định và biểu diễn trênhình 2.13b,c,d

A

B

BA

L(b)

Hình 2.13 (a) Biểu đồ gần đúng của Me (b) Hệ tơng đơng ứng với RA (c) Hệtơng đơng ứng với MA (d) Hệ tơng đơng ứng với lực tác dụng.[13]

’ trong biểu đồ là giá trị lựa chọn thu đợc trong hệ tơng đơng

Giá trị MA, RA đợc tính toán bằng cách sử dụng 3 sơ đồ của hệ tơng đơng vàcác phơng pháp đã biết trong sức bền vật liệu

Nếu chuyển vị tại điểm A trong các biểu đồ 2.13b,c,d đã xác định bằng ’A;

’’A; ’’’A; và góc xoay ở điểm cuối ’A; ’’A; ’’’A; Điều kiện biên tại điểmcuối A của hệ ban đầu trong hình 2.3a sẽ đợc thỏa mãn nếu:

’A+ ’’A+ ’’’A= 0 (2.76)

’A+ ’’A+ ’’’A= 0 (2.77)Phơng trình (2.18); (2.19) là công thức tính của MA, và RA Giá trị mô men Mx

tại mặt cắt bất kỳ dọc theo chiều dài của cấu kiện trong hình 2.12a có thể đợctính toán bàng tĩnh học đơn giản Bằng việc sử dụng phơng pháp hệ tơng đơng

nh trên, một hệ tơng đơng có độ cứng không đổi đợc đa ra trong hình 2.14

L (a)

L (b)

L A

(d)

B

Hình 2.14 (a) Hệ ban đầu (b) Biểu đồ mô men Mx thực tế (c) Biểu đồ mômen Me (d) Hệ tơng đơng.[13]

Hệ tơng đơng trong hình 2.14d có chiều dài, điều kiện biên và biến dạng dàigiống nh hệ có độ cứng thay đổi trong hình 2.12a Do đó góc xoay và độ võngcủa hệ có độ cứng thay đổi có thể xác định bằng phơng pháp hệ tơng đơng.

2.2.4 Dao động của dầm có độ cứng thay đổi.

Xét dầm có khối lợng bất kỳ trong hệ ban đầu ở hình 2.15a

Đa về khối lợng phân bố rời rạc trong hình 2.15b Số lợng khối lợng tập trung

ít nhất là 2 Sau đó sử dụng hệ trên hình 2.15b và áp dụng phơng pháp Stodola

để xác định dạng dao động của dầm (PP Stodola sẽ đợc trình bày ở phần phụlục 3)

Khi sử dụng phơng pháp Stodola hệ số dao động aij dễ dàng đợc tính toán bằngviệc sử dụng phơng pháp hệ tơng đơng Ví dụ trong hình 2.15c, lực bằng 1

đơn vị đặt tại điểm 1 Hệ số dao động tại các điểm 2,3,4 gây ra bởi lực bằng

đơn vị có thể tính toán bằng sơ đồ trong hình 2.15c với phơng pháp hệ tơng

ơng Khi hệ số dao động đã đợc xác định, dạng dao động tự do cũng sẽ tìm

đ-ợc bằng phơng pháp Stodola (Phần phụ lục 3)

Dạng 2 sử dụng hệ tơng đơng thay thế cho hệ ban đầu VD trong hình 2.16a khối lợng của dầm đợc giả thiết nh tải phân bố w trên cấu kiện nh

hình vẽ Nếu cấu kiện chịu thêm khối lợng bên ngoài, các khối lợng này cũng

sẽ đợc xem nh lực tác dụng Sau đó áp dụng phơng pháp xấp xỉ của hệ tơng

đ-ơng và hệ tđ-ơng đđ-ơng có độ cứng không đổi đợc xác định nh hình 2.16b

B 4

2 1

L (b)

B A

B A

L (a)

q

c

Hình 2.16: (a) Hệ ban đầu, (b) Hệ tơng đơng, (c) tính toán hệ số dao động

bằng các PP của sức bền vật liệu.[13]

Khối lợng tập trung trong hình 2.16b là khối lợng tơng đơng, độ lớn và

vị trí trên hệ tơng đơng đợc xác định bằng cách bù vào cho sự thay đổi độcứng của cấu kiện Do đó tại trạng thái cân bằng tĩnh học, biến dạng dài củahai hệ là giống nhau

Kết luận: Hệ tơng đơng trong hình 2.16b sẽ có dạng dao động tự dogiống với hệ trong hình 2.16a Để xác định dạng dao động tự do trong hình2.16b có thể áp dụng phơng pháp Stodola hoặc các phơng pháp đã học

a) Phơng pháp Stodola với giả thiết EJ giữa 2 điểm khối lợng tập trung bất kỳ

là trung bình cộng của 2 điểm đó

b) Phơng pháp Stodola, nhng có áp dụng phơng pháp hệ tơng đơng nh trong hình 2.15c để xác định hệ số dao động

c) Sử dụng hệ tơng đơng có độ cứng là hằng số nh trong hình 2.16b

Kết quả chỉ ra rằng, trong 5 dạng dao động đầu tiên, tất cả các phơng pháp

đều cho kết quả tơng đơng, thậm chí nếu số khối lợng tập trung là lớn hơn 20.Tuy nhiên số khối lợng này không phải là vô hạn vì 1 kết quả chính xác cho

động lực học của công trình thờng chỉ chính xác trong 1 số ít dạng dao động

đầu tiên